• INTRODUKTION

1
Föreläsning 1:
• INTRODUKTION
•Målsättningar
Proffesionell kunskap.
Kunna hänvisa till lagar och definitioner.
Tydlighet och enhetliga beteckningar.
•Kursens olika delar
Teorin
Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2.
Inlämningsuppgifter
Lära känna kraven på redovisningar!
Problemlösning
Tentamen efter kursen.
2
• Newtons 3 lagar för partikelrörelse:
!
1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig
rörelse.
2. ma = F (vektorekvation)
m = massa, a = acceleration, F =totala kraften.
3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan
är noll.
!
!
• Eulers lagar för stela kroppar i vila:
!
!
!
1. F = 0 (Ingen translation av masscentrum)
där F = totala ’yttre’ krafter.
2. MO = 0 (Ingen rotation kring masscentrum)
MO = totala kraftmomentet från ’yttre’ krafter. O är
en godtycklig momentpunkt.
3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan
är noll. (se Newton 3!)
3
• MEKANIKENS STORHETER
och dimensionsanalys.
•STORHET
DIMENSION
(SI-)enhet
Grundläggande storheter:
massa
M
kg
längd, läge
L
m
tid
T
s
______________________________________________
Härledda storheter, t.ex.
MLT !2
kraft
N (= kg m/s/s)
-1
LT
hastighet
m/s
LT !2
acceleration
m / s2
Härledda storheter beror av grundläggande storheter
genom definitioner och/eller lagar.
4
EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är
dimensionsriktig.
Lösning:
dim {v} = LT !1 , dim {g} = LT !2 , dim{h} = L .
Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat.
---------EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt
fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och
fallhöjd!
Lösning: Ansätt
v = konst .! m " g # h $
(finns det andra ansatser?)
Jämför dimensioner i VL och HL.:
dim {v} = LT !1, dim {m } = M, dim{g} = LT !2, dim {h } = L
dvs L:s exponent i VL=HL ger:
M:s exponent i VL=HL ger:
T:s exponent i VL=HL ger:
Detta ger:
! = 0, " = 1 / 2, #
dvs v = konst gh
Jämför med det riktiga uttrycket!!
1= ! +"
0=!
!1 = !2 "
=1 / 2
5
• Krafter
-Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att
den uppkomna totalkraften är noll.
Exempel: Kontaktkrafter.
De båda motriktade krafterna verkar på olika
föremål.
Exempel: Trådkrafter. Betrakta en trådbit som
spänns av två ’yttre’ krafter.
Vid varje ’tänkt’ tvärsnittsyta genom en ’lätt’ tråd
finns ett motriktat kraftpar bestående av två
krafter som är lika stora som de båda ’yttre’
krafterna i ändarna.
6
T
T
Exempel: Hur stor kraft påverkas skivan med?
–Lägevektorn: r = ( x, y,z) , där x, y, z är koordinater.
–Vardagskrafter är vektorer:
Tre komponenter: F = ( Fx ,Fy ,Fz ) .
! har längd och riktning:
En vektor
Längd: F = F = Fx2 + Fy2 + Fz2
!
F
Riktning: eF = . (Sortlös vektor med längden 1)
F
!
Exempel: Bestäm kraftens komponenter!
!
Svar: Fx = F sin" , Fy = F cos" , Fz = 0 ,
dvs F = ( Fsin", Fcos",0) .
!
!
!
!
7
Exempel: Bestäm kraftens riktning!
Svar: eF = (sin", cos" ,0) .
Koordinataxlar representeras ibland av riktningarna
! ex ,ey ,ez , som är enhetsvektorer.
En kraft kan därför beskrivas som:
F = Fx ex + Fy ey + Fz ez ,
!
Fx ex är en komposant.
Fx är en komponent.
!
!
Koordinataxlar och linjer
En koordinataxel har en riktning och sammanfaller med en
rät linje. Linjen är en kontinuerlig punktmängd utan
speciell riktning.
8
Exempel: Bestäm kraftens komponenter från
lutningsförhållande!
Svar: Den liggande sidan i den lilla triangeln
förhåller sig till hypotenusan som 4 till 5:
Fx = 4 F = 8 N . Den stående sidan i den lilla
5
triangeln förhåller sig till hypotenusan som 3 till
5: Fy = 53 F = 6 N , och Fz = 0 ,
!
"
%
dvs F = $ 4 F, 3 F,0' .
#5
&
5
!
!
Exempel: Bestäm kraftens riktning från
lutningsförhållande!
!
Svar: eF = "$# 45 , 53 ,0%'& .
!
9
Skalärprodukt
Två definitioner:
Med vektorkomponenter: A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz .
Med längder och riktningar: A • B = ABcos"
!
Projektion (speciell
skalärprodukt)
! x-axel:
Kraftens projektion på
F • ex = ( Fx ,Fy ,Fz ) • (1,0,0) = Fx "1+ Fy " 0 + Fz " 0
= Fx .
!
!
Komponent i annan axelriktning:
Sök komponenten i längs en axel (riktad linje) L .
FL = F • eL . Här används skalärprodukten • och en
riktningsvektor för axeln. Man får en projektion
!
på axeln L .
!
!
!
10
KOMIHÅG 1:
--------------------------------• 3 oberoende storheter-3 oberoende dimensioner
• Kraft är en vektor. Skalärprodukt som projektion.
Föreläsning 2:
KRAFTERS VERKAN PÅ STELA
KROPPAR
• acceleration (Eulers 1:a lag)
• rotation (Eulers 2:a lag)
F
A
ej rot
F
B
rot
Det behövs två tillbehör för att beskriva krafter:
•angreppspunkt (se figuren ovan, A och B eller rA
och rB )
•verkningslinje ( rAl = rA + leF , ! " < l < " )
!
!
Viktigt! Kraft är en matematisk vektor! En an! behandlas också som en vektor i
greppspunkt
många fall. Hur räknar man med vektorer?
Skalärprodukt? Vektorprodukt?
11
Den räta linjen:
• Linjens ekvation i ett plan:
y = kx + y 0 , där y 0 och k
är konstanter, x och y är variabler (som beror av varandra).
-En vald punkt på linjen har koordinater som bildar läget
!
!
r0 = (0, y 0 ,0) .
-En godtycklig punkt på linjen kan skrivas
r = (x, y,0) = (x,kx + y 0 ,0) = (x,kx,0) + (0, y 0 ,0)
= (1,k,0)x + r0 = LeL + r0 ,
!
!
!
!
!
där L (= 1+ k 2 x) är en fri ’koordinat för linjen’, och
(1,k,0)
är linjens riktning.
eL =
2
1+ k
!• Linjens punktmängd: Linjens punkter kan alltså
skrivas: rL = LeL + r0 , där bara L är godtycklig. Men
även r = L("eL ) + r0 . En rak linje har två möjliga
riktningar ±eL , och r0 är en känd punkt.
!
!
!
Exempel: Beskriv x-axelns linje i xy-planet.
!
!Axelns riktning är känd ( e ), och en
Lösning:
x
koordinataxel går igenom origot för axlarna (nollvektorn
(0,0,0) ).
rx ) kan då skrivas:
Linjen (dess punktmängd !
rx = xe x , där x är godtycklig.
!
!
!
!
12
• KRAFTMOMENT med avséende på en
fix momentpunkt P.
– Kraftmomentet som vektor
Definition: MP = rPA " F ,
där rPA = rA " rP och rA är angreppspunktens koordinater
!
och rP är momentpunktens dito.
Speciellt:
Om rPA // F är MP = 0 .
!
!
!
!
!
13
Krafter i ett plan
Låt rA = ( x A ,y A ,0) , rP = (0,0,0) och F = ( Fx ,Fy ,0) .
Momentet map origo blir
ex ey ez
MO = rA "!
F = xA yA 0 !
!
Fx
Fy
0
= ( x A Fy " y A Fx )ez .
Betrakta figuren:
!
Fy
F
!
yA
O
Fx
xA
Fx och Fy vrider åt olika håll om Fx , Fy >0.
Moment m a p punkt respektive axel
!
Totala vridande förmågan med avseende på en punkt O :
MO = ( MOx ,MOy ,M
!Oz!
).
!
Komponenten MOz är kraftens vridande förmåga map zaxel genom origo.
!
MOz = x A Fy " y A Fx .
!
Matematisk
projektion av hela momentet: MOz = MO • ez .
!
!
!
!
14
– Kraften kan flyttas längs sin verkningslinje.
Förskjut kraften så att angreppspunkten ändras:
r " r + leF .
Bestämning av kraftmomentet:
M ' O = (r + leF ) " F = r " F + l eF " F = MO
!
!
= 0,ty //
För ett givet kraftmoment kan samma kraft ligga var som
helst på en linje.
Problem: Tyngdkraften mg verkar i mitten av en kub
och är riktad nedåt. Beräkna kraftens moment med
avseende på kontaktpunkten A.
Lösning: Dela upp kraften med komposanter längs
kroppens två symmetrilinjer map mittpunkten. Då är
avstånden till komposanternas vardera verkningslinjer
L/2 respektive L/4. Med hänsyn till vridningsrikningar
vrider komposanterna åt samma håll (medurs, som är en
negativ riktning i givna planet). Dvs
M A = " L mgcos # " L mgsin # . (vektorn in i planet)
4
2
!
15
Problem: Kraften P appliceras vinkelrätt på balkens
övre del. Beräkna kraftens moment med avseende på
böjleden respektive fotfästet.
P=30 N
d=1.6 m
45o
d=1.6 m
!
!
!
Lösning: Med 'origo' i böjpunkten ( B ) blir
angreppsvektorn och kraften vinkelräta:
M B = dP = 1.6 " 30 Nm = 48 Nm (negativ vridning i
planet)
Med 'origo' i fotpunkten ( A ) blir det svårare. Dela upp
kraften i horisontell och vertikal komposant. Den
horisontell komposanten har sin momentarm och den
vertikala sin. Addera:
M A = P cos 45 o ( d + d cos 45 o ) + P cos 45 o ( d cos 45 o )
"
1 %
= dP$1+
' = 81.94 Nm (negativ vridning i planet)
#
2&
16
Problem: En låda belastas med tre yttre krafter enligt
figuren med verkningslinjer längs tre av lådans kanter.
Lådan har formen av ett rätvinkligt block med
kantlängderna a, b och c.
Lösning: Vad är positiva moment kring en axel???
MO = ( 2Pb " Pc," 2Pa,0) .
!
!