SATSLOGIK I FICKFORMAT

SATSLOGIK I FICKFORMAT1
Martin Peterson
2004-03-17
1 Inledning ..................................................................................................................... 2
2 Formalisering och satslogiska konnektiv .................................................................... 3
3 Sanningstabeller .......................................................................................................... 5
4 Tautologier och satslogiska ekvivalenser ................................................................... 8
5 Naturlig deduktion i satslogiken ............................................................................... 10
1
Detta kompendium vänder sig till nybörjaren i logik. Syftet är således inte att ge en ur vetenskaplig
synvinkel tillfredsställande behandling av satslogiken. Syftet är snarare att säga det som behöver sägas
för att nybörjaren ska komma igång med sin logikstudier, varken mer eller mindre. Tonvikten ligger på
den hantverksmässiga biten av logiken, inte på formellt korrekta definitioner. För att vara av värde
måste kompendiet kompletteras med en stor dos undervisning. Kompendiet lämpar sig således inte för
självstudier. Några av exemplen har jag lånat ur mer fullständiga introduktionsböcker, som varmt
rekommenderas för vidare studier, nämligen Grundläggande logik, Studentlitteratur, av Kaj B. Hansen,
samt ABC i symbolisk logik, Thales, av Dag Prawitz.
1 Inledning
Inom logiken studerar man giltigheten hos slutledningar, eller annorlunda uttryckt,
förhållandet mellan premisser och slutsatser. Det finns flera olika logiker som lämpar
sig olika väl för olika typer av resonemang, exempelvis satslogik, predikatlogik, och
modallogik. I detta kompendium behandlas endast satslogiken, som är den allra
enklaste logiken. Studera följande fyra exempel på satslogiska slutledningar. Det som
står ovanför strecket är premisser (det som slutledningen grundar sig på) och det som
står under är slutsatsen. Notera att några av slutledningarna är giltiga och andra inte
(fundera ut vilka innan du läser vidare!):
[1] Om solen skiner, så är Martin glad.
[2] Solen skiner.
[3] Martin är glad.
[1*] Om solen skiner, så är Martin glad.
[2*] Martin är glad
[3*] Solen skiner.
[4] Om inflationen är låg, så är
arbetslösheten hög.
[5] Inflationen är låg.
[6] Arbetslösheten är hög.
[4*] Om inflationen är låg, så är
arbetslösheten hög.
[5*] Arbetslösheten är hög.
[6*] Inflationen är låg.
En slutledning är (logiskt) giltig bara ifall premisserna (det som står ovanför strecket)
garanterar att slutsatsen (det som står nedanförstrecket) med full säkerhet är sant. Det
viktiga är inte om premisserna faktiskt är sanna, utan huruvida slutsatsen skulle vara
det ifall premisserna vore sanna. Premissen ”[1] Om solen skiner, så är Martin glad”
är exempelvis falsk, då Martin inte alltid är glad då solen skiner. Däremot gäller det
att om [1] och [2] vore sanna, så skulle också [3] vara det. Observera att detta inte
beror på hur världen är beskaffad, utan på rent begreppsliga samband mellan de
inblandade satserna.
Slutledningen från [1*] och [2*] till [3*] är inte giltig. Det kan mycket väl vara sant
att om solen skiner så är Martin glad, samtidigt som Martin faktiskt är glad, utan att
det för den sakens skull behöver vara sant att solen skiner. Kanske är det så att solen
inte skiner, men att Martin har blivit glad av andra orsaker, t ex därför att han nyligen
ätit en god middag och druckit ett glas rött vin av anständig kvalitet.
Slutledningen från [4] och [5] till [6] är ur logisk synvinkel helt analog med den från
[1] och [2] till [3]. Det spelar ingen roll att dessa satser handlar om något annat. Det
viktiga är det formmässiga sambandet mellan dem: De säger att om A är fallet så är B
fallet, samt att A är fallet. Därför kan vi sluta oss till att B också är fallet.
Slutledningen från [4*] och [5*] till [6*] är ur logisk synvinkel helt analog med den
från [1*] och [2*] till [3*], och således ogiltig. Den säger att om A är fallet så är B
fallet, samt att B är fallet. Men ur detta kan vi inte sluta oss till att A är fallet. Kanske
är B fallet av någon annan anledning än A, t ex därför att C är fallet, och C också gör
så att B är fallet.
2 Formalisering och satslogiska konnektiv
En viktig poäng i det föregående avsnittet är att olika slutledningar kan ha samma
satslogiska form, trots att de handlar om till synes helt olika saker. Detta är viktigt
därför att satslogiska slutledningar är giltiga enbart i kraft av sin logiska form. För att
bestämma huruvida en satslogisk slutledning är giltig behöver vi således hitta ett sätt
att fastställa dess logiska form. Detta gör man genom att formalisera slutledningen,
vilket innebär att man delar upp premisser och slutsats i flera mindre komponenter
som betecknas med symboler.
De minsta komponenter man kan dela upp en satslogisk slutledning i kallas för
atomära satser, och betecknas med bokstäverna A, B, C, … osv.
A = Inflationen är låg
B= Arbetslösheten är hög.
A = Inflationen är låg
B= Arbetslösheten är hög.
[7] Om A, så B.
[8] A
[9] B
[7*] Om A, så B.
[8*] B
[9*] A
Nu ser vi tydigare att slutledningen från [7] och [8] till [9] är giltig, men att
slutledningen från [7*] och [8*] till [9*] inte är det.
Nästa steg i formaliseringen är att byta ut de små ord som kan förbinder olika atomära
satser – vi kallar dessa ord konnektiv – till symboler. Nedan följer en lista på
konnektiv och deras symboliska beteckningar:
om…., så …..
och
eller
inte
om och endast om





Satser som binds ihop av ett eller flera konnektiv, t ex A  B, kallar vi för ickeatomära satser. Konnektivet ”eller” är lite speciellt inom logiken. Satsen A  B är
nämligen sann om antingen bara A är sann, eller bara B är sann, eller både A och B är
sanna. Denna svaga mening av ”eller” brukar man kalla för en inklusiv disjunktion.
Motsatsen är en exklusiv disjunktion, som innebär att antingen är A sann, eller så är B
det, men inte båda. Notera att en exklusiv disjunktion A eller B kan definieras i termer
av en inklusiv disjunktion, nämligen som (A  B)   ( A  B).
Nedan följer några exempel på hur olika satser kan formaliseras.
A = Inflationen är låg
B= Arbetslösheten är hög.
C= Räntan är stabil.
[10] Om inflationen är låg, så är arbetslösheten hög.
[11] Inflationen är låg och arbetslösheten är hög.
[12] Om inflationen är låg och räntan är stabil, så är
[10] A  B
[11] A  B
[12] A  C  B
arbetslösheten hög.
[13] Inflationen är inte låg, och arbetslösheten är hög.
[14] Det är inte så att inflationen är låg, men
arbetslösheten är hög.
[15] Inflationen är låg eller räntan är stabil, men det är
inte så att arbetslösheten är hög.
[16] Inflationen är låg om och endast om arbetslösheten
är hög.
[13]  A  B
[14]  A  B
[15] (A  C)   B
[16] A  B
Frågan vad en sats ”egentligen är” kan vi bortse från här. Men notera att i den (lite
ovanliga) innebörd av ordet ”sats” som vi använder kan en och samma sats uttryckas
med olika sekvenser av ord. Orden ”Inflationen är inte låg” uttrycker exempelvis
(normalt) samma sats som orden ”Det är inte så att inflationen är låg”. Notera också
att ordet ”men” ofta kan översättas med konnektivet ”och”.
I exempel [15] använder vi parenteserna för att markera att konnektivet ”eller” binder
ihop satserna A och C. Hade vi i stället skrivit A  (C   B) hade det på vanlig
svenska betytt att ”Inflationen är låg eller räntan är stabil, och det är inte så att
arbetslösheten ät hög. Konnektiven kan rangordnas efter deras styrka; det starkaste
överst och de svagaste under (  och  är alltså lika starka, osv).

 ,
, 
För att vara extra tydlig kan man om man så vill sätta ut extra parenteser, för att på så
sätt undvika missförstånd. Istället för A  B   C  D kan man skriva (A  B) 
((  C)  D). Observera att användandet av för många parenteser lätt distraherar
läsaren (och dessutom anses en smula amatörmässigt).
Övning 1.1.
Översätt följande satser till det satslogiska formelspråket:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
Martin är filosof och Anna är filosof.
Martin är filosof och Anna också.
Martin och Anna är filosofer.
Anna vill ha kött eller fisk, inte sallad.
Om temperaturen i behållaren stiger så ökar trycket.
Om temperaturen i behållaren stiger så ökar trycket, men inte viskositeten.
Ett land är en demokrati om och endast om det förekommer allmänna och
fria val.
Om människan har en fri vilja, så kan hon handla annorlunda än hon
faktiskt gör, men detta är förenligt med att allting har en orsak.
Övning 1.2.
Formalisera följande argumentationer i det satslogiska språket:
(i)
(ii)
(iii)
Om Nordkorea håller allmänna och fria val är Nordkorea en demokrati.
Men i Nordkorea hålls inga allmänna och fria val. Alltså är Nordkorea inte
en demokrati.
Bertrand Russel måste räknas som en stor författare eftersom han fått
Nobelpriset i litteratur, och då han fått just Nobelpriset i litteratur måste
räknas som en stor författare.
I Norge kommer snart fler personer att få jobb, eftersom man har sänkt
skatten på arbete, och sänkt skatt på arbete leder till att fler personer får
jobb.
3 Sanningstabeller
I detta avsnitt ska vi visa hur man kan använda sanningstabeller för att avgöra om en
given slutsats följer ur en viss mängd premisser. Sanningstabeller uppfanns av
Ludwig Wittgenstein i början på 1900-talet. Låt oss exemplifiera metoden med
följande slutledning:
[17] A  B  A
Pilen  betecknar logisk följd. Satsen A  B  A utläses således “A följer logiskt ur
A och B”. En sanningstabell byggs upp genom att man låter siffran 1 (eller bokstaven
s) beteckna sant, och siffran 0 (eller bokstaven f) falskt. Sedan prövar man
systematiskt alla möjligheter; så här blir det för [17]:
A
1
1
0
0
 B  A
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
Ovanstående sanningstabell är uppbyggd genom att vi först har tilldelat de atomära
satserna A och B alla möjliga värden: A sann och B sann; A sann och B falsk; A falsk
och B sann; A falsk och B falsk. (Notera att A:et längst till höger helt bestäms av A:et
till vänster.) Sedan har vi ”räknat ut” sanningsvärdet för den icke-atomära satsen A 
B. Denna icke-atomära sats är sann bara ifall både A och B är sanna, annars är den
falsk. Slutligen har vi ”räknat ut” sanningsvärdet för pilen  som betecknat logisk
följd. Då ser vi att när helst premissen A  B är sann, så är slutsatsen A sann.
Dessutom ser vi att när premissen är falsk (t ex när A är sann och B falsk), så spelar
det ingen roll om slutsatsen är sann eller falsk; slutledningen gäller ändå (mer om
detta senare). Det enda som skulle kunna spräcka slutledningen är om det finns fall då
premissen är sann men slutsatsen falsk, men det gör det inte i detta fall. Därför är
slutledningen logiskt giltig.
För att kunna använda sanningstabeller mer allmänt måste vi känna till
sanningstabellerna för de enskilda konnektiven. De är som följer:
1) Konjunktionen  är sann bara om bägge konjunkterna (det som konjunktionen
binder ihop) är sanna. Sanningstabellen blir alltså:
A
1
1
0
0
 B
1
0
0
0
1
0
1
0
2) Disjunktionen  är sann om den ena, eller bägge, disjunkterna (det som
disjunktionem binder ihop) är sanna. Sanningstabellen blir alltså:
A
1
1
0
0
 B
1
1
1
0
1
0
1
0
3) Negationen  är sann om den sats den negerar är falsk, och falsk om den sats
den negerar är sann. Sanningstabellen blir alltså:
 A
1 0
0 1
4) Implikationen  är falsk bara om förledet (det som står till vänster) är sant
och efterledet (det som står till höger) är falskt. I alla andra fall är den sann,
alltså även om förledet är falskt och efterledet sant. (Detta eftersom vi bara har
två sanningsvärden att tillgå, sant och falskt, och implikationen ju i detta fall
omöjligt kan vara falsk!) Sanningstabellen blir alltså:
A
1
1
0
0
 B
1
0
1
1
1
0
1
0
5) Ekvivalkensrelationen  är sann om höger- och vänsterled har sammna
saninngsvärde. Annars är den falsk. Sanningstabellen blir alltså:
A
1
1
0
0
 B
1
0
0
1
1
0
1
0
Vi har nu de kunskaper som krävs för att använda sanningstabeller för att avgöra den
logiska giltigheten hos slutledningar. Vi illustrerar metoden i några exempel.
Exempel 2.1
Följer satsen  (  A   B ) logiskt ur satsen A  B? Dvs är det sant att:
[18] A  B   (  A   B )
Svar: Ja, vilket vi ser genom att konstruera nedanstående sanningstabell:
A
1
1
0
0
 B   ( A 
 B)
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
Exempel 2.2
Följer satsen A  C logiskt ur satsen A  B? Dvs är det sant att:
[19] A  B  A  C
Svar: Nej, som vi ser i nedanstående sanningstabell finns det en valuation (tilldelning
av sanningsvärden) som gör premissen sann men slutsatsen falsk, nämligen då A och
B är sanna och C falsk. Notera att vi i denna sanningstabell behöver åtta rader, efter
som vi har tre atomära satser A, B, och C.
A
1
1
1
1
0
0
0
0
 B  A  C
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
Exempel 2.3
Följer satsen  (A  B ) ur de två premisserna A  B och  (A  B) ? Dvs är det
sant att:
[20] (A  B)   (A  B)   (A  B )
Svar: Ja, vilket vi ser genom att konstruera nedanstående sanningstabell:
(A
1
1
0
0
 B) 
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0

0
1
1
1
(A
1
1
0
0
 B)   (A  B)
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
Övning 2.1.
Avgör genom att konstruera sanningstabeller vilka av följande slutledningar som är
satslogiskt giltiga:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(A  B)  A  B
A  B   ( A  B )
(A  B)  ((A  C)  (  C))  B
 (A  B)   A   B
Övning 2.2.
Använd sanningstabeller för att visa att  C är en satslogisk konsekvens av
premisserna  A och A  C. (Dvs visa att slutledningen från premisserna till
slutsatsen är logiskt giltig).
Övning 2.3.
Använd sanningstabeller för att konstruera motexempel som visar att A  B inte är en
satslogisk konsekvens av premissen  A  B, dvs att denna slutledning inte är
satslogiskt giltig.
Övning 2.4.
Visa att slutledningen i övning 2.1 inte är satslogiskt giltig.
4 Tautologier och satslogiska ekvivalenser
En tautologi är en sats som alltid är sann, oavsett vilket sanningsvärde som tilldelas
dess atomära satser. Ett viktigt exempel är motsägelselagen ¬(A  ¬A). Oavsett om A
är sann eller falsk är det ändå sant att ¬(A  ¬A). Motsatseten till en tautologi är en
logisk motsägelse, som alltid är falsk oavsett sanningsvärdena hos dess atomära
satser. Satsen ¬(A  ¬A är ett exempel på en logisk motsägesle.
Att två satser är satslogiskt ekvivalenta betyder de följer satslogiskt ur varandra, dvs
att slutledningen från den ena till den andra är satslogiskt giltig. Satslogisk ekvivalens
betecknas med symbolen  . Man inser exempelvis lätt att A  B   (  A   B).
Av det som sagts ovan följer att satsen A  B ↔  (  A   B) också är en tautologi.
För att avgöra om en sats är en tautologi, eller om två satser är satslogiskt ekvivalenta,
kan man givetvis rita upp sanningstabeller och studera hur sanningsvärdena varierar.
För satser som är uppbyggda av många atomära satser bli detta dock fort ganska
krångligt, eftersom det behövs väldigt många rader i sanningstabellen. I dessa fall kan
det vara bekvämt att se om man kan omforma satserna med hjälpa av några redan
kända tautologier eller satslogiska ekvivalenser. Här är en lista på några användbara
tautologier och satslogiska ekvivalenser. (Om du vill kan du verifiera att listan
stämmer genom att ställa upp sanningstabeller.) Ett viktigt antagande, som vi behöver
för att kunna använda dessa ekvivalenser, är den så kallade extensionalitetsprincipen,
som säger att sanningsvärdet hos en sammansatt sats i det satslogiska formelspråket
helt och hållet bestäms av (dvs. är en funktion av) delsatserna. Därför gäller det att om
två satser har samma sanningsvärde vid alla möjliga tilldelningar av sanningsvärden,
så kan vi fritt byta ut dem mot varandra, utan att de sammansatta satser de ingår i får
ett annat sanningsvärde.
Motsägelselagen
1.
¬(A  ¬A)  SANT
Lagen om det uteslutande tredje
2.
(A  ¬ A)  SANT
Dubbel negation
3.
¬¬A  A
Distributiva lagar:
4.
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
5.
A  (B  C)  (A  B )  (A  C)
Subsumering
6.
A  (A  B)  A
7.
A  (A  B)  A
Eliminering av ekvivalens och implikation
8.
(A  B)  (A  B  B  A)
9.
(A  B)  (¬A  B)
De Morgans lagar
10. ¬ (A  B)  (¬A  ¬B)
11. ¬ (A  B)  (¬A  ¬B)
Kontraposition
12. (A  B)  (¬B  ¬A)
Identitet och annihilator
13. A  SANT  A
14. A  FALSKT  FALSKT
15. A  SANT  SANT
16. A  FALSKT  A
Exempel 3.1
Visa, utan att rita sanningstabeller, att A  ¬B  B  ¬A.
Lösning: Vi utgår från listan ovan. Enligt regel 12 gäller att A  ¬B  ¬¬B  ¬A.
Enligt regel 3 gäller att ¬¬B  ¬A  B  ¬A. Alltså gäller det att A  ¬B 
B  ¬A.
Exempel 3.2
Visa, utan att rita sanningstabeller, att A  (A  B)  (A  ¬B).
Lösning: Vi utgår från listan ovan. Genom att byta ut C mot ¬B i regel 4 ser vi att A 
(B  ¬B)  (A  B)  (A  ¬B) . Satsen (B  ¬B) är enligt regel 2 en tautologi.
Därför kan vi använda regel 13, vilket ger oss A  (A  B)  (A  ¬B).
Övning 3.1
Visa, utan att rita sanningstabeller, att:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
A  (A  B)  A  (A  B)
(A  ¬A)  B  B
(A  ¬ A)  ¬(A  ¬A)
A  (A  B )  (A  A)
5 Naturlig deduktion i satslogiken
Antag att vi vill ta reda på om man ur premisserna A, A  B, och B  C kan härleda
slutsatsen C. Ett sätt att göra detta är att ställa upp sanningstabellen för
[21] A  (A  B)  (B  C)  C
Ett annat, ofta betydligt smidigare sätt, att göra samma sak är att försöka göra en
härledning av slutsatsen ur premisserna. Ett sätt att göra härledningar är att tillämpa
den metod som brukar kallas för naturlig deduktion, som i detta går till på följande
vis:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A B
B C
A
B
C
Premiss
Premiss
Premiss
från (1) och (3)
från (2) och (4)
I exemplet ovan har vi gjort en direkt härledning, eftersom slutsatsen följer ”direkt” ur
premisserna. Ibland behöver man istället göra hypotetiska härledningar. Antag t ex att
vi vill visa att satsen A  C följer ur premisserna A  B och B  C:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A B
B C
A
B
C
A C
Premiss
Premiss
Hypotes
(1),(3)
(2), (4)
(3) - (5)
Hur kom vi fram till slutsatsen (6)? Jo, vi antog hypotetiskt att A är sann. Då kunde vi
sluta oss till att i så fall är B också sann. Detta medför i sin tur att C är sann. Alltså:
Om A är sann, så är C sann, vilket är just vad satsen A  C säger.
Man inser snabbt att det finns många fler exempel på giltiga slutledningsregler än
dem vi givit exempel på ovan. Istället för att gå igenom dem en och en ger vi istället
en lista på giltiga slutledningsregler. (Om du vill kan du verifiera att de gäller genom
att ställa upp sanningstabeller.) Vi skiljer mellan två sorters regler, nämligen
introduktions- och elimineringsregler. En introduktionsregel, t ex -intro, visar vad
som måste gälla för att man ska få introducera satsen A  B, nämligen att A och B
bägge är sanna. En elimineringsregel, visar hur man från exempelvis A  B kan sluta
sig till A; denna regel kallas -elim.
Introduktionsregler
A
A

Regeln  -elim
finns ej. (Varför?)
hyp A
hyp  A

A
A
B
AB
A
 -intro
Elimineringsregler
 -intro
 -elim
A
-intro
-intro
AB
B

-intro
AB
A
-elim
AB
B
-elim
AB
A C
B C
-elim
C
AB
hyp A
B
A B
 -intro
A B
B  A  -intro
A  B
A B
A
B
 -elim
A  B  -elim
A B
A  B  -elim
B A
Låt oss visa med ett några exempel hur naturlig deduktion fungerar.
Exempel 5.1
Via hur man ur premisserna A  B, C  B, C kan härleda slutsatsen A.
(Mer formellt kan man skriva: Visa att A  B, C  B, C  A. Tecknet  betyder
att det som står till höger kan härledas ur det som står till vänster.)
Lösning:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A B
C B
C
B A
B
A
Premiss
Premiss
Premiss
 -elim (1)
 -elim (2),(3)
 -elim (4),(5)
Exempel 5.2
Via hur man ur premisserna A  B och  B kan härleda slutsatsen  A. (Dvs visa att:
A  B,  B   A.)
Lösning:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
A B
B
A
B

A
Premiss
Premiss
Hypotes
(1),(3)
 -intro (2), (4)
 -intro (3)-(5)
Exempel 5.3
Visa genom naturlig deduktion att (A  B)  (B  C)  (A  C) kan härledas ur
inga premisser alls, dvs att satsen är en tautologi. (Dvs visa att:  (A  B)  (B  C)
 (A  C).)
Lösning:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(A  B)  (B  C)
A
B
C
A C
(A  B)  (B  C)  (A  C)
Övning 5.1
Visa med naturlig deduktion att:
Hypotes
Hypotes
 -elim (1),(2)
 -elim (1),(3)
 -intro (2)-(4)
 -intro (1)-(5)
(i)
AB  BC
(ii)
A  B , A B  B
(iii)
A  B, B  C,  C   A
(iv)
B  AB
(v)
A  B, B  C  A  C
(vi)
A  (A  B)  A  (A  B)
(vii)
(A  ¬A)  B  B
(viii)
A  (A  B )  (A  A)