Logikkurs

Logikkurs
Logikens historia
Aristoteles
•
•
•
•
384 - 322 f.Kr.
atenare
Organon (redskap)
syllogismer (motsvarar predikatlogik)
Syllogism
(deduktiv slutledning)
Alla människor är dödliga.
Filosofer är människor.
(premiss)
(premiss)
Alltså, är filosofer dödlig.
(slutsats)
Francis Bacon
•
•
•
•
1561 - 1626
engelsk empiristisk filosof
Nova Organon
förespråkade induktion
Induktion
(motsats: deduktion)
Kråkan lägger ägg.
(premiss)
Bofinken lägger ägg.
Storken lägger ägg.
(premiss)
(premiss)
Alltså, lägger pingvinen ägg.
(slutsats)
Kråkan kan flyga.
(premiss)
Bofinken kan flyga.
Storken kan flyga.
(premiss)
(premiss)
Alltså, kan pingvinen flyga.
(slutsats)
Gottfried Wilhelm Leibnitz
•
•
•
•
1646 - 1716
tysk rationalistisk filosof, matematiker
försökte skapa en ”universalkalkyl”
införde symboler
George Boole
• 1815 - 1864
• engelsk matematiker och filosof
• skapade logik grundad på matematik
Gottlob Frege
• 1848 - 1925
• tysk logiker
• försökte grunda matematiken på logik
George Cantor
• 1845 - 1918
• tysk matematiker
• grundade mängdläran
dödliga
människor
filosofer
Bertrand Russel
•
•
•
•
1872 - 1970
engelsk filosof
Principia Matematica
skapade typteorin
(tillsammans med Whitehead)
Symbolisk logik
Formella språk
•
•
•
•
•
exakta språk
symboler: t.ex. , , , , 
(viss) satslogik, predikatlogik, modallogik
syntax (grammatik)
semantik (betydelseteori)
Objektspråk och metaspråk
• objektspråk: t.ex. (en viss) satslogik
• metaspråk: t.ex. svenska
• tecken i metaspråket: , 
Satser och propositioner
• I formell logik är alla satser påstående
satser.
• Med en proposition förstås ett påstående
med ett informationsinnehåll.
• Ordet sats används som synonym till
preposition.
Sanningsvärden
•
•
•
•
•
•
sann
falsk (osann)
1
0
Man talar även om sanningsfunktioner.
Det finns flervärdeslogik som räknar med
flera än två sanningsvärden.
Sanningsteori
• Vad betyder det att en sats är sann?
• Korrespondensteorin: En sats är sann om
det av satsen uttryckta sakförhållandet
råder (i den värld som satsen gäller).
• Intuitionistisk logik: En sats är sann om
den är bevisbar.
Satslogik
Satslogikens alfabet

negation, inte

konjunktion, och

disjunktion, eller

implikation, om… så (endast om)

ekvivalens, om och endast om
p, q atomära satser
( ) parenteser
Negation
Satsen P är sann (i modellen M) omm ¬P inte är
sann (i modellen M).
Konjunktion
Satsen P  Q är sann omm både P och Q är sanna.
Disjunktion
Satsen P  Q är sann omm minst en av satserna P
och Q är sanna (d.v.s. antingen P eller Q är sann
eller både P och Q är sanna).
Implikation
Satsen P  Q är sann omm Q är sann eller P inte
är sann (eller både P och Q är sanna eller varken P
eller Q är sanna).
Ekvivalens
Satsen P  Q är sann omm P och Q har samma
sanningsvärde (d.v.s. både P och Q är sanna eller
varken P eller Q är sanna).
Definierande sanningsvärdetabeller
negation
konjunktion
implikation
ekvivalens
disjunktion
Negation, ¬
p = Göran Persson är Finlands
statsminister.
¬p = Det är inte fallet att Göran Persson
är Finlands statsminister. = Göran Persson
är inte Finlands statsminister.
Men: Det är inte fallet att Göran Persson
valdes år 2000 till Finlands president. 
Göran Persson valdes inte år 2000 till
Finlands president.
Lagen om det uteslutna tredje: P  ¬P
Satsen P är antingen sann eller falsk.
Satsen ”Sveriges president heter Göran
Persson” är varken sann eller falsk, utan
saknar mening (enligt vissa logiker).
Konjunktion, 
p = Kalle studerar. q = Ville studerar.
p  q = Kalle och Ville studerar.
p  q = Kalle studerar, men Ville
studerar inte.
Men: Kalle är gift och Ville är gift. 
Kalle och Ville är gifta.
Disjunktion, 
p = Kalle studerar filosofi. q = Kalle
studerar matematik.
p  q = Kalle studerar filosofi eller
matematik.
Men: Om p = ”I priset ingår kaffe” och q
= ”I priset ingår glass, så ”I priset ingår
kaffe eller glass” = p  q  p  q.
Implikation, 
Det blixtrar.  Det mullrar. =
Om det blixtrar, så mullrar det. =
Det mullrar, om det blixtrar. =
Det blixtrar endast om det mullrar. =
Endast om det det mullrar blixtrar det.
Det blixtrar.  Det mullrar. =
Det är ett tillräckligt villkor att det blixtrar,
för att det skall mullra. =
Det är ett nödvändigt villkor att det
mullrar för att det skall blixtra.
Ekvivalens, 
Det blixtrar.  Det mullrar. =
(Det blixtrar.  Det mullrar.)  (Det
mullrar.  Det blixtrar .) =
(Det blixtrar endast om det mullrar.)  (Det
blixtrar om det mullrar.) =
(Det blixtrar om det mullrar.)  (Det blixtrar
endast om det mullrar.) =
Det blixtrar om och endast om det mullrar.
Det blixtrar.  Det mullrar. =
Det är ett nödvändigt och tillräckligt
villkor att det blixtrar för att det skall
mullra.
Alternativa grundkonnektiv
P  Q df (P  Q)
P  Q df (P  Q)
P  Q df (P  Q)  (P  Q)
P  Q df (P  Q)
P  Q df P  Q
P  Q df (P  Q)  (P  Q)
Välbildningsregler
Om P och Q är välbildade satser utgör
följande teckenföljder välbildade satser:
(P)
(P)
(P  Q)
(P  Q)
(P  Q)
(P  Q)
Kedjekonjunktioner
(P  (Q  R))  ((P  Q)  R))
Kan visas med sanningsvärdetabell!
(P  (Q  R)) df (P  Q  R)
Kedjedisjunktioner
(P  (Q  R))  ((P  Q)  R)
Kan visas med sanningsvärdetabell!
(P  (Q  R)) df (P  Q  R)
Regler för utlämnande av parenteser
• Parenteser kring en fristående sats kan
utelämnas.
• Parenteser kring en negation kan
utelämnas.
• Parenteser kring disjunktioner och
konjunktioner kan utelämnas då de
förekommer som led i en implikation
eller ekvivalens.
Tautologier (logiska sanningar)
• Tautologier är sanna i alla världar/
”tolkningar”.
• Det deskriptiva innehållet hos en
tautologi är tomt.
• Negationen av en tautologi är en
kontradiktion.
• Tautologier kan med en gemensam
symbol betecknas , medan
kontradiktioner betecknas .
Tautologier
(P  Q)  R  (P  R)  (Q  R)
distributiva lagen för konjunktion
(P  Q)  R  (P  R)  (Q  R)
distributiva lagen för disjunktion
PQQP
kommutativa lagen för konjunktion
PQQP
kommutativa lagen för disjunktion
PP
identitetslagen
P  P
lagen för dubbel negation
P  P
det uteslutna tredjes lag
 (P  P)
den uteslutna kontradiktionens lag
 (P  Q)  P  Q
de Morgans lag
 (P  Q)  P  Q
de Morgans lag
(P  Q)  (Q  P)
transpositionslagen
(P  Q)  P  Q
modus (ponendo) ponens
(P  Q)  Q P
modus tollendo tollens
(P  Q)  P  Q
modus tollendo ponens
tautologier
kontingenta/
(logiskt sanna/
syntetiska satser
analytiska satser)
Solen skiner eller
solen skiner inte.
mängden
mängden
mängden
mängden
mängden
av
av
av
av
av
Solen skiner.
Solen skiner inte.
kontradiktioner
(logiskt falska
satser)
Solen skiner och
solen skiner inte.
satisfierbara satser = mängden av tautologier  mängden av kontingenta satser
falsifierbara satser = mängden av kontradiktioner  mängden av kontingenta satser
kontingenta satser = mängden av satisfierbara satser  mängden av falsifierbara satser
tautologier = mängden av satisfierbara satser - mängden av kontingenta satser
kontradiktioner = mängden av falsifierbara satser - mängden av kontingenta satser
Logiska sanningar
Att satsen P är en tautologi kan skrivas
P.
Om satsen P  Q är en tautologi, följer Q
logiskt (semantiskt) ur P. Detta kan skrivas
P Q. Man säger här även att P logiskt
implicerar Q, vilket kan skrivas P  Q.
Substitution
Om den atomära satsen p ingår i en
tautologi och man konsekvent byter ut p
mot en godtycklig sats Q får man en ny
tautologi.
När man i detta fall byter ut p mot Q säger
man att man substituerar p med Q.
Från tautologin "p  p" får vi med hjälp av
substitution (¬p för p) den nya tautologin
" ¬p  ¬p".
Logisk följd
Om R följer från Q och Q följer från P, så
följer R från P.
"Q  R" följer ur P omm R följer från P och
Q. Detta kan med symboler skrivas
P Q  R omm P, Q R. Mera allmänt gäller
att P1, P2, ... Pn-2, Pn-1 Pn omm
P1, P2, ... Pn-2 Pn-1  Pn.
Specialfall
Q följer från P omm "P  Q" är en
tautologi, dvs P Q omm P  Q.
Att en sats är tautolog betyder att den
följer från en tom satsmängd eller vilken
sats som helst.
Axiomatiska system
Hilberts bevisteori
Logiska slutledningar
Det naturliga slutledningssystemet
Fullständighet
Sundhet och fullständighet
Predikatlogik
Syllogism
Alla människor är dödliga.
Alla filosofer är människor.
Alltså, är alla filosofer dödlig.
Syllogism
Ingen människa är odödlig.
Alla filosofer är människor.
Alltså, är ingen filosof odödlig.
Predikatlogikens alfabet

negation, inte

konjunktion, och

disjunktion, eller

implikation, om… så (endast om)

ekvivalens, om och endast om

identitet

allkvantifikator
$
existenskvantifikator
x, y, z,... variabler
a, b, c,... konstanter
p, p1,...
predikatsymboler
()
parenteser
,
komma
Satslogik
p = Kalle studerar.
q = Ville studerar.
p  q = Kalle och Ville studerar.
Predikatlogik
p(x)= x studerar
a = Kalle
b = Ville
p(a)  p(b) = Kalle och Ville studerar.
Satslogik
p = Kalle studerar.
q = Kalle jobbar.
p  q = Kalle studerar och jobbar.
Predikatlogik
p(x)= x studerar
q(x) = x jobbar
a = Kalle
p(a)  q(a) = Kalle studerar och jobbar.
Predikatlogik
p(x)= x studerar
xp(x) = Alla studerar.
(För alla x gäller att x studerar.)
$xp(x) = Någon studerar.
(Det existerar ett x sådant att x studerar.)
Allkvantifikator
Satsen xp(x) är sann omm p(a) är
sann för alla a  U.
Existenskvantifikator
Satsen $xp(x) är sann omm p(a) är
sann för något (minst ett) a  U.
I fall antalet individer i ett i ett bestämt
universum U är ändligt gäller det att
xp(x)  p(c1)  p(c2)  ...  p(cn) och
$xp(x)  p(c1)  p(c2)  ...  p(cn),
där n är antalet element i universumet U.
De Morgans lag
(P  Q)  P  Q
(P  Q)  ( P  Q)
P  Q  ( P  Q)
(P  Q)  P  Q
(P  Q)  ( P  Q)
P  Q  ( P  Q)
P  (Q  R)  ( P  (Q  R))
P  Q  R  ( P  (Q  R))
P  Q  R  ( P  Q  R)
P1  P2  ...  Pn   (P1  P2  ...  Pn)
Satslogik
p1  p2  ...  pn  (p1  p2  ...  pn)
Predikatlogik
p(c1)  p(c2)  ...  p(cn) 
(p(c1)  p(c2)  ...  p(cn))
Sambandet mellan all- och
existenskvantorn
xp(x) df $xp(x)
Flera samband
xp(x)  $xp(x)
xp(x)  $xp(x)
xp(x)  $xp(x)
xp(x)  $xp(x)
Relationer
p(x,y) = x älskar y
a = Göran
b = Anitra
p(a,b) = Göran älskar Anitra.
p(b,a) = Anitra älskar Göran.
p(a,a) = Göran älskar sig själv.
xp(x,a) = Alla älskar Göran.
xp(a,x) = Göran älskar alla.
$xp(x,b) = Någon älskar Anitra.
All- och existenssatser
p(x) = x är filosof
q(x) = x är människa
xp(x) = Alla är filosofer.
$xp(x) = Någon är filosof.
$x(p(x)  q(x)) = Någon filosof är människa.
x(p(x)  q(x)) = Alla filosofer är människor.
Flera samband mellan all- och
existenskvantorn
$x(p(x)  q(x)) 
x(p(x)  q(x)) 
x (p(x)  q(x)) 
x (p(x)  q(x)) 
x(p(x)  q(x))
Logiska slutledningar i
predikatlogiken
Naturliga deduktion
Mängdlära
Union
xABxAxB
A  B = {x|x  A  x  B}
Snitt
xABxAxB
A  B = {x|x  A  x  B}
Komplement
x  -A  x  A
A = {x|x  A}
Differans
xA-BxAxB
A - B = {x|x  A  x  B }
Nollmängd
xØ x=x
Ø = {x|  x = x }
Delmängd
A  B  x(x  A  x  B)
De Morgan
x  -(A  B)

x  A  B

 (x  A  x  B)

x  A  x  B

x  -A  x  -B

x  -A  -B
p(x) = x är filosof
q(x) = x är människa
P = mängden av filosofer = {x | p(x)}
Q = mängden av människor = {x | q(x)}
a är filosof = p(a) = a  P
a är människa = q(a) = a  Q
Alla filosofer är människor. =
x(p(x)  q(x)) = P  Q
Modallogik
Det är nödvändigt att satsen P är sann. = NP
Det är möjligt att satsen P är sann. = MP
MP  NP
NP  MP
NP  MP
MP  NP
NP  MP
MP  NP
NP  P
P  MP