Stat. teori gk, ht 2006, JW
F1 INLEDNING
Kursinnehåll
Sannolikhetslära (NCT: kap. 4 – 7)
Statistisk slutledning (NCT: kap. 8 – 13, 15 – 16)
Matematik som behövs
Elementär algebra.
(gymnasiekunskaper)
Vad är en funktion?
(gymnasiekunskaper)
Använda summatecken.
Använda elementär kombinatorik.
Använda elementär mängdlära.
Förstå vad en formel säger.
Kunna uttrycka sig med hjälp av formler.
Använda lite sunt förnuft. T.ex. bedöma om en
lösning verkar rimligt eller ej.
1
Summatecken
Säg att vi har n stycken tal, x1, x2,…, xn.
Summan av dessa tal (alltså x1 + x2 +…+ xn) skrivs
kortfattat med hjälp av summatecken:
n
xi
(”summa xi då i går fr.o.m. 1 t.o.m. n”)
i 1
Vad betyder följande?
n
xi2
i 1
n
( xi )2 =
i 1
n
c
i 1
n
cxi
i 1
n
( xi yi )
i 1
n
xi yi
i 1
2
Ex.: x1 = 3,
3
x2 = -1,
3
n
j 1
i 1
xi ; x j ;
i 1
x3 = 7. Beräkna
xi2 ;
3
( xi ) ;
2
i 1
3
n
i 1
i 1
11; 11xi
Ibland används mer eller mindre ofullständigt
skrivsätt, t.ex.:
xi
eller
xi
eller
x
i
3
i stället för
n
xi .
i 1
Enkel beskrivande statistik, repetition
(NCT, Kap. 3)
Data bestående av observerade numeriska värden
på en viss variabel: x1, x2, …, xn
1 n
x x xn
Medelvärde: x xi 1 2
n i 1
n
Varians:
1 n
s
( xi x ) 2
n 1 i 1
2
( x1 x ) 2 ( x2 x ) 2 ( xn x ) 2
n 1
Standardavvikelse: s s 2
(pos. kvadratroten)
Ex: Observerade värden: 4, 6, 6, 2, 7. Beräkna
medelvärde, varians och standardavvikelse.
OBS Manuell beräkning av varians ofta lättare om
variansen skrivs på ”kalkylform” (se t.ex. Karin
Dahmströms bok).
4
Ex.: Data: 5, 6, 7, 3, 7, 6, 6, 2, 6, 8, 7, 5.
Minitab ger:
Descriptive Statistics: x
Total
Count
12
Variable
x
Mean
5,667
StDev
1,723
Variance
2,970
Hur ser fördelningen ut?
Empirisk fördelning
4
Antal
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Medelvärde = centralmått
Standardavvikelse = spridningsmått (spridning
kring medelvärdet)
n
Ex.:
Visa att
( xi x ) 0
i 1
5
Data i frekvenstabell med K olika variabelvärden:
Variabelvärde
x1
x2
xK
Summa
Antal
obs.
f1
f2
fK
n
Medelvärde:
1K
f x f x f K xK
x fi xi 1 1 2 2
n i 1
n
Varians:
1 K
s
fi ( xi x ) 2
n 1 i 1
2
f1 ( x1 x ) 2 f 2 ( x2 x ) 2 f K ( xK x ) 2
n 1
Standardavvikelse:
s s 2 (pos. kvadratroten)
6
Kombinatorik (NCT, Kap. 4: Appendix)
Ex.: Matsedel med tre förrätter, fyra huvudrätter
och två efterrätter. På hur många olika sätt kan en
trerätters måltid komponeras?
Svar:
Illustration: Träddiagram
Multiplikationsprincipen
Antag att man skall utföra k operationer i tur och
ordning. Den första kan utföras på n1 olika sätt,
den andra på n2 olika sätt etc. På hur många olika
sätt kan man utföra de k operationerna i tur och
ordning?
Multiplikationsprincipen: Antalet möjliga sätt att
utföra de k operationerna i tur och ordning är:
n1 n2 … nk
Ex.: Exemplet ovan.
7
Permutationer
Ett arrangemang av n olika objekt i en bestämd
ordning kallas för en permutation av objekten.
Hur många olika permutationer kan man bilda av
n olika objekt?
Antalet olika permutationer av n olika objekt är:
n! = 1 2 3 … (n-1) n
(”n-fakultet”; eng. ”n factorial”)
Ex.: På hur många olika sätt kan vi permutera de
tre objekten A, B, C?
Svar: På 3! = 123 = 6 olika sätt, nämligen
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
OBS Vi definierar 0! = 1.
8
Kombinationer
På hur många sätt kan vi välja ut n objekt från N
objekt (n N), ifall vi inte bryr oss om dragningsordningen?
Antalet olika sätt att välja ut n objekt från N
objekt (ifall vi struntar i dragningsordningen) är:
N
N!
( )
n!( N n)!
n
N ( N 1)( N 2) ( N n 1)
1 2 3 n
(”N över n”, binomialkoefficient)
N
OBS Vi definierar ( ) = 1.
0
OBS NCT skriver
CnN
N
i stället för ( ) .
n
En delmängd av n objekt från N objekt kallas
ibland för en kombination av n objekt från N.
9
Ex.: På hur många sätt kan man välja ut tre objekt
från de fem objekten A, B, C, D, E?
5 5 4 3 60
Svar: ( )
10 . De tio möjliga
3 1 2 3 6
kombinationerna är ABC, ABD, ABE, ACD,
ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
Ex.: På hur många olika sätt kan man välja ut 5
kort från en vanlig kortlek med 52 kort?
Ex: En förening har 20 medlemmar. Bland dessa
skall väljas en ordförande, en sekreterare och en
kassör. På hur många olika sätt kan detta göras?
10
