Stat. teori gk, vt 2006, JW
Vad blir följande?
F1 INLEDNING
•
Kursinnehåll
• Sannolikhetslära (NCT: kap. 3 – 7)
• Statistisk slutledning (NCT: kap. 8 – 11, 13 – 14)
Matematik som behövs
Elementär algebra
(gymnasiekunskaper)
Vad är en funktion?
(gymnasiekunskaper)
Förstå vad en formel säger
Kunna uttrycka sig med hjälp av formler
Använda summatecken
Använda elementär kombinatorik
Använda elementär mängdlära
n
∑ xi2 =
i =1
n
• ( ∑ xi )2 =
i =1
n
•
∑c =
•
∑ cxi =
•
∑ ( xi + yi ) =
•
∑ xi yi =
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
Ex.: x1 = 3, x2 = -1,
x3 = 7. Beräkna
3
n
3
3
n
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ xi , ∑ xi2 , ( ∑ xi )2, ∑11, ∑11xi
Summatecken
Summan av n stycken tal, x1, x2,…, xn, skrivs:
n
∑ xi
i =1
= x1 + x2 +…+ xn
Ibland används mer eller mindre förkortade skrivsätt, t.ex.
n
∑ xi
eller
∑ xi
eller
∑x
i stället för
i
1
∑ xi .
i =1
2
Kombinatorik (NCT 4: Appendix)
• Permutationer
Ex.: Matsedel med tre förrätter, fyra huvudrätter
och två efterrätter. På hur många olika sätt kan en
trerätters måltid komponeras?
Ett arrangemang av n olika objekt i en bestämd
ordning kallas för en permutation av objekten.
Svar:
Hur många olika permutationer kan man bilda av
n olika objekt?
Illustration: Träddiagram
Antalet olika permutationer av n olika objekt är:
• Multiplikationsprincipen
Antag att man skall utföra k operationer i tur och
ordning. Den första kan utföras på n1 olika sätt,
den andra på n2 olika sätt etc. På hur många olika
sätt kan man utföra de k operationerna i tur och
ordning?
Multiplikationsprincipen: Antalet möjliga sätt att
utföra de k operationerna i tur och ordning är:
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (n-1) ⋅ n
Ex.: På hur många olika sätt kan vi permutera de
tre objekten A, B, C?
Svar: På 3! = 1⋅2⋅3 = 6 olika sätt, nämligen
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
OBS Vi definierar 0! = 1.
n1 ⋅ n2 ⋅ … ⋅ nk
Ex.: Exemplet ovan.
3
(”n-fakultet”)
4
• Kombinationer
Ex.: På hur många sätt kan man välja ut tre objekt
från de fem objekten A, B, C, D, E?
På hur många sätt kan vi välja ut n objekt från N
objekt (n ≤ N), ifall vi inte bryr oss om dragningsordningen?
Antalet olika sätt att välja ut n objekt från N
objekt (ifall vi struntar i dragningsordningen) är:
N
N!
( )=
n!⋅( N − n)!
n
=
5 5 ⋅ 4 ⋅ 3 60
Svar: ( ) =
=
= 10 . De tio möjliga
3 1⋅ 2 ⋅ 3 6
kombinationerna är ABC, ABD, ABE, ACD,
ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
Ex.: På hur många olika sätt kan man välja ut 5
kort från en vanlig kortlek med 52 kort?
N ( N − 1)( N − 2) ⋅ K ⋅ ( N − n + 1)
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅K ⋅ n
(”N över n”, binomialkoefficient)
N
OBS Vi definierar ( ) = 1.
0
Ex: En förening har 20 medlemmar. Bland dessa
skall väljas en ordförande, en sekreterare och en
kassör. På hur många olika sätt kan detta göras?
N
OBS NCT skriver CnN i stället för ( ) .
n
En delmängd av n objekt från N objekt kallas
ibland för en kombination av n objekt från N.
5
Beskrivande statistik, repetition
(NCT 2.4-2.5)
6
Ex.: Data: 5, 6, 7, 3, 7, 6, 6, 2, 6, 8, 7, 5.
Minitab ger:
Data bestående av observerade numeriska värden
på en viss variabel: x1, x2, …, xn
Medelvärde: x =
Varians:
s2 =
1
x + x + K xn
xi = 1 2
∑
n i =1
n
Descriptive Statistics: x
Total
Count
12
Variable
x
n
Mean
5,667
StDev
1,723
Variance
2,970
Hur ser fördelningen ut?
1 n
( xi − x ) 2
∑
n − 1 i=1
Empirisk fördelning
4
3
Antal
( x − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + K + ( xn − x ) 2
= 1
n −1
1
0
Standardavvikelse: s = s 2
Ex: Observerade värden: 4, 6, 6, 2, 7. Beräkna
medelvärde, varians och standardavvikelse.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Medelvärde = centralmått
Standardavvikelse = spridningsmått (spridning
kring medelvärdet)
n
OBS Manuell beräkning av varians ofta lättare om
variansen skrivs på ”kalkylform” (= ”shortcut
formula”, NCT sid. 40).
7
Ex.:
Visa att
Visa att
∑ ( xi − x ) = 0
i =1
n
n
i =1
i =1
∑ ( xi − x ) 2 = ∑ xi2 − n ⋅ x 2
8
Data i frekvenstabell med k olika variabelvärden:
Variabelvärde
x1
x2
M
xk
Summa
Medelvärde: x =
Varians:
=
s2 =
Antal
obs.
f1
f2
M
fk
n
1 k
f x + f x + K + f k xk
f i xi = 1 1 2 2
∑
n i =1
n
1 k
f i ( xi − x ) 2
∑
n − 1 i =1
f1 ( x1 − x ) 2 + f 2 ( x2 − x ) 2 + K + f k ( xk − x ) 2
n −1
Standardavvikelse:
s = s2
9
