Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Binomialsatsen
KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN
PERMUTATIONER (Ordnade listor med n element, så kallade n- tipplar)
1. (permutationer av n olika element) Vi betraktar ordnade listor med n olika element
, ,…,
Varje bestämd ordning av givna element kallas en permutation.
Antalet permutationer av n olika element ( där varje element förekommer exakt en gång)
betecknas med P(n) och beräknas enligt följande
1
2 ⋯ 2 ∙ 1
( För första platsen väljer vi bland n element. För andra platsen väljer vi bland (n-1) o s v.)
Uttrycket
Alltså
1
2 ⋯ 2 ∙ 1 betecknas kortare n! ( utläses ”en fakultet”)
!
Alltså
1!=1
2!=2,
3! =3·2·1=6,
4!=4· 3·2·1=24
5!= 5·4· 3·2·1=120
6!= 6·5·4· 3·2·1=720
….
Som vi ser, gäller även n!=n·(n-1)!
Anmärkning: 0! ≝ ( Av praktiska skäll definieras 0!=1 )
Uppgift 1. a) Hur många permutationer ( dvs olika ”ord”) kan vi skriva med bokstäver A, B,
C och D där varje bokstav används exakt en gång?
b) Ange alla permutationer
Lösning: a) Antalet permutationer = 4 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 24
b) Alla (24) permutationer :
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB
BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA,
CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA,
DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
2. Antalet permutationer av n element där är av samma typ1,
där
⋯
, beräknas enligt följande
är av samma typ2, …
!
! ∙ ! ∙∙∙ !
Uppgift 2. a) Hur många permutationer kan vi skriva med bokstäver A, A, B , B och B där A
förekommer 2 gånger och B 3 gånger?
b) Ange alla sådana permutationer.
,
,…,
Lösning till a delen: 1 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Binomialsatsen
5!
2! ∙ 3!
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
10
Uppgift 3.
Hur många permutationer av bokstäverna i ordet KOMBINATORIK börjar till vänster med
KOMB ?
Lösning:
Om bokstäverna KOMB finns i början av ordet då permuterar vi faktiskt de bokstäver som
finns i INATORIK
( Anm I förekommer 2 gånger i ordet ) . Därför 8! 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
20160
2!
2∙1
VARIATIONER. Ordnade k- tipplar valda bland n element (Ordnade dellistor med k
element valda bland n-element, kallas också permutationer, delpermutationer,…)
i) Antalet variationer med k element valda, utan upprepning, bland n element är
1
2 ⋯
1
!
!
ii) Antalet variationer med k element valda, med upprepning, bland n element är
∙ ⋯ Uppgift 4. Hur många tvåsiffriga naturliga tal kan vi skriva med siffrorna 2,4,6 och 8
a) utan upprepning b) med upprepning
Ange alla sådana tal.
a) Utan upprepning 4 24,
42,
62,
82,
4 4
1
4∙3
12
26, 28,
46, 48,
64, 68,
84, 86.
b) Med upprepning 4 22,
42,
62,
82,
24,
44,
64,
84,
4 ∙ 4
4
16
26, 28,
46, 48,
66, 68,
86, 88.
Uppgift 5. I Sverige används bilskyltar med tre bokstäver på första 3 platser och 3 siffror i
slutet, till exempel BCB344. Hur många olika bilskyltar kan man få om man använder endast
23 bokstäver och alla 10 siffror?
Svar: 23·23·23·10·10·10= 12167000
2 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Binomialsatsen
KOMBINATIONER ( delmängder)
En delmängd med k element valda bland n element utan hänsyn till ordning kallas en
kombination.
och beräknas
Antalet kombinationer med k element valda bland n element betecknas
enligt följande formel
!
!
!
[Anmärkning: Vi kan härleda ovanstående formel med hjälp av formeln för antalet
variationer !
och sambandet
∙ ! ]
!
Uttrycket
!
!
!
,(utläses n över k) och kallas binomialkoefficient.
betecknas ofta med
Alltså
Anmärkning: Exempel: Beräkna
Lösning:
!
!
!
∗
≝ 0
.
6
2
Om vi i uttrycket
6!
2! 4!
6∙5∙4∙3∙2∙1
2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
!
!
!
! har vi
förkortar
1 ⋯
1 ∙ 2 ∙∙∙
6∙5
2∙1
1
∗∗
där både täljaren och nämnaren innehåller k st. faktorer.
Exempel: Beräkna
Lösning:
.
100
2
100 ∙ 99
2∙1
3 av 5
4950
15
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Binomialsatsen
då a är ett reellt tal (inte nödvändigtvis ett helt
Uttrycket (**) användas för att definiera
positivt tal):
1 ⋯
1 ∙ 2 ∙∙∙
≝ 1
∗∗∗ där a är ett reellt tal och k= 1, 2, 3,….
och
0
.
Exempel: Beräkna
Lösning:
3.5
3
≝ 1.
.
3.5 ∙
3.5 1 ∙
1∙2∙3
3.5
2
3.5 ∙
4.5 ∙
6
5.5
14.4375
EGENSKAPER för binomialkoefficienter:
1,
1,
,
,
(symmetri )
Uppgift 6. Beräkna
,
b)
a)
c)
!
Lösning a)
!
Svar b) 6
!
c) 7
d)
e)
!
∙ ∙ ∙ ∙
! !
∙ ∙ ∙ ∙
d) 7 e) 1
f)
g)
10
f)
=
100
g) 1
Uppgift 7. På hur många sätt kan vi välja ( utan hänsyn till ordning) 2 studenter bland 10.
Lösning: Eftersom vi väljer utan hänsyn till ordning, handlar det om kombinationer:
10
!
!
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
!
( förkortning med 8!)
10 ∙ 9
45
2∙1 4 av 5
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Binomialsatsen
Svar: 45
BINOMIALSATSEN
Följande formler kan man härleda direkt ( genom att multiplicera parenteser på vänsterledet):
1
2
3
4
4
2
2
2
3
3
2
3
2 2
6
3
3
4
3
……
Med hjälp av matematisk induktion eller kombinatorik kan man bevisa följande formel
0
1 1
1
2
0
2 2
0
∙∙∙
som kalas oftast binomialsatsen.
Med hjälp av ∑ tecken kan vi skriva binomialsatsen på kortare sätt
.
.
Uppgift 8. Använd binomialsatsen för att bestämma
Lösning:
5
0
5
1
5
5
2
10
10
Uppgift 9. Använd binomialsatsen för att utveckla
Lösning:
5
3
5
4
5
5
5
.
5
5
5
5
5
1
2
3
4
5
5
10
10
5
8
Uppgift 10. Vad är koefficient för x i polynomet
2 .
10 10
Lösning:
2 ∑
2 . Koefficient c8 för x8 får vi för k=2.
c8=
5
0
2 =45·2 =180
Uppgift 11. Koefficient för x7 i polynomet
konstanten a.
10
Lösning:
∑
c7=
=120 . Nu har vi 120
10
är 3240. Bestäm den reella
. Koefficient c7 för x7 får vi för k=3.
3240 som ger a= 3.
5 av 5
