H0009, Introduktionskurs i matematik
Armin Halilovic
Algebraiska uttryck:
Räknelagar:
a + b = b + a,
ab = ba
a + (b + c) = (a + b) + c (ab)c = a (bc)
a (b + c) = ab + ac
kommutativa lagar
associativa lagar
distributiva
a + ( + b) = a + b
( + a )( + b) = ab
a − ( − b) = a + b
( − a )( −b) = ab
a − ( + b) = a − b
a + ( − b) = a − b
( − a )( + b) = − ab
( + a )( −b) = − ab
lagen
a
+a
=−
b
−b
a
−a
=−
b
+b
+a a
=
+b b
−a a
=
−b b
Potenser:
a1 = a
a2 = a ⋅ a
a3 = a ⋅ a ⋅ a
…
( n gånger )
an = a ⋅ aLa
--------------------------------------⎧ a n , n jämnt tal
n
( −a ) = ⎨ n
⎩− a , n udda tal
( a − b) = −( b − a )
( a − b) 2 = ( b − a ) 2
--------------------------------------Potenser med heltalsexponenter:
Om x och y är hela tal då gäller följande potenslagar:
a x ⋅ a y = a x+ y
(a )
x y
= a xy
( ab ) x = a x b x
x
ax
ax
⎛a⎞
x− y
=
,
b≠0
=
a
,
a
≠
0
⎜
⎟
bx
ay
⎝b⎠
−x
x
1
⎛a⎞
⎛b⎞
a −x = x ,
a≠0
=
a, b ≠ 0
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ,
a
⎝b⎠
⎝a⎠
a0 = 1 ,
a≠0
--------------------------------------(Aritmetiska) Rötter: n a = b ⇔ a = b n ( a ≥ 0, b ≥ 0, n = 1,2,3... )
För udda exponenter definieras även roten ur ett negativt tal:
n
− a = −n a
( a ≥ 0, n = 1, 3, 5 7,... )
Potenser med rationella exponenter:
p
q
q
Om a > 0 , p och q hela tal, q ≠ 0 då definieras a = a p .
1 av 4
H0009, Introduktionskurs i matematik
Armin Halilovic
Potenser med reella exponenter: Ovanstående potenslagarna gäller även för reella
exponenter för positiva baser.
Uttrycket a x är definierad för alla reella x om basen a > 0 .
Exempel: a) 161 / 2 = 16 = 4 b) 16 −0.75 = 16 −3 / 4 = 4 16 −3 = ( 4 16 ) −3 = 2 −3 = 1 / 8
Rationella uttryck (bråk)
a
Uttrycket är definierat om och endast om b ≠ 0 .
b
Anmärkning: I nedanstående exempel och frågor antar vi att rationella uttryck är
korrekt definierade dvs att nämnarna ≠ 0 .
a
a c ad + bc
a c ac
b = a ⋅ d = ad ,
,
,
+ =
⋅ =
c b c bc
b d
bd
b d bd
d
a
a a c ac
b = a⋅1 = a ,
= ⋅ =
.
b 1 b b
c b c bc
c
Kvadreringsreglerna:
( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Konjugatregeln:
( a − b)( a + b) = a 2 − b 2
Exempel 1. Förenkla följande uttryck
( a 3 )10 ⋅ ( a 5 ) 2
( a 3b 2 )10 ⋅ ( ab 3 ) 2
a)
b)
(a 2 ) 2
(a 2b3 ) 2
c)
( − ab 2 ) 3 ⋅ ( − ab 3 )10
a 10 b 4
Lösning.
( a 3 )10 ⋅ ( a 5 ) 2 a 30 ⋅ a 10 a 40
a)
=
= 4 = a 36
2 2
4
(a )
a
a
b)
( a 3b 2 )10 ⋅ ( ab 3 ) 2 a 30 b 20 ⋅ a 2 b 6 a 32 b 26
=
= 4 6 = a 28 b 20
2 3 2
4 6
(a b )
a b
a b
c)
( − ab 2 ) 3 ⋅ ( − ab 3 )10 − a 3b 6 ⋅ a 10 b 30 − a 13b 36
=
= 10 4 = −a 3b 32
a 10 b 4
a 10 b 4
a b
--------------------------------------------------------------------------------------------Exempel 2. Faktorisera följande uttryck
a) a 4 x + a 5 y + a 7 z
b) ax 2 − ay 2
c) ax − ay + by − bx
Lösning.
a) a 4 x + a 5 y + a 7 z = a 4 ( x + ay + a 3 z )
2 av 4
H0009, Introduktionskurs i matematik
Armin Halilovic
b) ax 2 − ay 2 = a ( x 2 − y 2 ) = a ( x − y )( x + y )
c) ax − ay + by − bx = a ( x − y ) + b( y − x) = a ( x − y ) − b( x − y ) = ( x − y )(a − b)
---------------------------------------------------------------------------------------------
Exempel 3. Beräkna och förenkla
a b − b a − ab
⋅
ab − b 2 a 2 + ab
2
a)
3
2
ab 3
c3
b)
(abc 2 ) 3
c3
1
−
x2
c)
3
−
x
1
y2
3
y
Lösning.
a)
a 2 b − b 3 a 2 − ab b(a 2 − b 2 ) a (a − b) b(a − b)(a + b) a (a − b)
⋅
=
⋅
=
⋅
= a −b
b ( a − b) a ( a + b)
b( a − b )
a ( a + b)
ab − b 2 a 2 + ab
b)
ab 3
ab 3
3
ab 3
c3
1
c3
c
= 3 3 6 = 3 ⋅ 3 3 6 = 2 6
2 3
(abc )
a b c
c a b c
a c
3
3
c
c
1
−
x2
c)
3
−
x
y2 − x2
1
y2 − x2
xy
xy
x+ y
( y − x)( y + x)
x2 y2
y2
=
= 2 2 ⋅
=
⋅
=
2 2
3
3 y − 3x
3 y − 3x
3( y − x)
3 xy
x y
x y
xy
y
ÖVNINGSUPPGIFTER
Beräkna och förenkla
1.
a) ( −a 3 ) 2
c) ( −2a 2 ) 3 ( −5a 5 ) 2
2 . a) a 2 ( a 3 + a ) − a 3 ( a 2 − a )
b) ( − a 2 ) 3
d) a x −3 ⋅ a 3− x
b) ( −3a x ) 2 + ( a 2 ) x
3 av 4
H0009, Introduktionskurs i matematik
Armin Halilovic
c) a x ( a y + a z ) − a y ( a x − a − y )
3.
a) ( a + b + c ) + 5d
3
0
d) ( a x −3 ) 2 ⋅ a 3− x
a0 + x0
b)
2 z 0 + w0
( a −3 ) 2
d)
( 2a −7 ) −1
0
c) ( a −3 ) −3 ⋅ ( a 3 ) 3
4.
a)
(a 3 ) 2 ⋅ (a 5 ) 2
(a 2 ) 2
( −a 2 ) 3 ⋅ ( − ab 3 )10
a 10 b 4
5a − 5b
5. a)
b−a
a2 − b2
c)
4b − 4a
( a − b) 3
e)
b−a
2
y − x2
xy
⋅
6. a)
2 2
5 y − 5x
x y
1
a
1−
1−
y
b
7. a)
b)
1
a
2−
1+
y
b
SVAR:
b) − a 6
1.
a) a 6
b) 10a 2 x
2.
a) a 3 + a 4
2
3 . a) 6
b)
3
12
4.
a) a
b) a 22 b 20 c 6
(−a 2 ) 3 ⋅ (− ab 3 ) 9
a 10 b 4
a−b
b)
bx − ax
( a − b) 2
d)
b−a
( a − b) 4
f)
b−a
a 2 b − b 3 a 2 − ab
b)
⋅
a − b a 2 + ab
c)
5.
6.
7.
a) − 5
e) − (a − b) 2
x+ y
a)
5 xy
y −1
a)
2y −1
( a 3b 2 c )10 ⋅ ( ab 3 ) 2
( a 5b 3c 2 ) 2
b)
b)
d)
b a
−
d) a b
ax − bx
b a
−
c) a b
a
1+
b
c) − 200a 16
c) a x + z + 1
d) 1
d) a x −3
c) a18
d) 2a −13
c) − a 6 b 26
−1
x
c)
d) a 5 b 23
− ( a + b)
4
[= − (b − a) 2 ]
d) b − a
f) (b − a) 3
[= − (a − b) 3 ]
b) ab − b 2
b)
b−a
b+a
c)
b−a
a
4 av 4
d)
−a−b
abx
