LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

H0009, Introduktionskurs i matematik
Armin Halilovic
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Två ekvationer med två obekanta variabler x och y.
(1)
⎧ax + by = c
⎨
(2)
⎩dx + ey = f
SUBSTITUTIONSMETODEN
Vi löser ut en av de obekanta ur den ena ekvationen och sätter in i den andra.
⎧2 x − 3 y = 1
Exempel 1. Lös följande ekvationssystem exakt ⎨
⎩3x + y = 7
Lösning.
I andra ekvationen är det lätt att lösa ut y:
(1)
(2)
1. Ekvation (2) ger y = 7 − 3x .
2. I ekvation (1) ersätter (substituerar) vi därför y med (7 − 3 x)
2 x − 3 y = 1 ersätter vi
y med (7 − 3 x)
I ekvationen
2 x − 3(7 − 3 x) = 1 ⇒
2 x − 21 + 9 x = 1 ⇒
11x = 22
Dividera båda leden med 11
x=2
3. x = 2 insättes i y = 7 − 3x , vilket ger y = 1
Kontroll:
(1)
⎧2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = 1
⎨
(2)
⎩3 ⋅ 2 + 1 = 7
Svar: x = 2 , y = 1
Exempel 2. Lös följande ekvationssystem med avseende på x och y
(1)
⎧ x + 2 y = 2a + 3
⎨
(2)
⎩2 x + 3 y = 3a + 5
Lösning.
I första ekvationen är det lätt att lösa ut x:
1. Ekvation (1) ger
x = 2a + 3 − 2 y
2. I ekvation (2) ersätter vi därför x med (2a + 3 − 2 y )
2(2a + 3 − 2 y ) + 3 y = 3a + 5 ⇒
4a + 6 − 4 y + 3 y = 3a + 5 ⇒
− y = −a − 1
Multiplicera båda leden med (-1)
y = a +1
3. y = a + 1 insättes i x = 2a + 3 − 2 y , vilket ger x = 2a + 3 − 2a + 2 d v s
x =1
Svar: x = 1 , y = a + 1
1 av 2
H0009, Introduktionskurs i matematik
Armin Halilovic
Exempel 3. Linjerna i figuren har ekvationen y = 3x + 2 och y = x − 1 . Bestäm exakt
koordinaterna för linjernas skärningspunkt.
Lösning.
⎧ y = 3x + 2
Vi ska lösa ekvationssystemet ⎨
⎩y = x −1
I andra ekvationen ersätter vi y med ( 3 x + 2 ) vilket ger
3x + 2 = x − 1 ⇒
2 x = −3 ⇒
−3
x=
.
2
−3
−5
Vi ersätter x =
i ekvationen y = x − 1 och får y =
2
2
−3
−5
, y=
Svar: x =
2
2
ÖVNINGAR: ( Substitutionsmetoden)
(1-4) Lös följande ekvationssystem med avseende på x och y:
⎧x + 2 y = 5
1. ⎨
⎩3x + 2 y = 7
⎧2 x + 3 y = 1
2. ⎨
⎩3x + y = 5
⎧ x + y = 2a + 1
3. ⎨
⎩2 x + 3 y = 4 a + 3
⎧ x + y = a + 2b
4. ⎨
⎩ x − 2 y = 2b − 2a
5. Bestäm exakt koordinaterna för skärningspunkten mellan de båda linjerna
y = 2 x + 2 och y = x + 3
Svar:
1. x = 1 , y = 2
5. x = 1 , y = 4
2. x = 2 , y = −1 3. x = 2a , y = 1 4. x = 2b , y = a
2 av 2