Ekvationssystem

MaB: Ekvationssystem
Allmänt
Ett ekvationssystem består av två eller flera
ekvationer som tillsammans har en lösning.
 x  y  24

2 x  3 y  58
Exemplet ovan består av två ekvationer med två
obekanta, x och y. Svaret består därför av ett x och ett
y-värde som uppfyller båda ekvationerna.
Ett ekvationssystem kan naturligtvis prövas som vanliga
ekvationer. Systemet ovan har lösning x = 14 och y = 10
Sätt in och prova om lösningen fungerar!
Lösningsmetoder
Grafisk lösning
Rita upp och finn skärningspunkten som har samma xoch y-värde för båda ekvationerna!
 y  2x  3

y  x 1
Här kan vi läsa av lösningen x = 2 och y = 1
Är inte ekvationen skriven på formen y = kx + m så måste vi
börja med att skriva om innan vi kan rita upp!
Nackdel: Ger inte alltid exakta lösningar pga avläsning
Lösningsmetoder
Substitutionsmetoden
Idén är att bryta ut x (eller y) i den ena ekvationen och
sedan sätta in det i den andra ekvationen.
 x  y  24  x  24  y
1. Väljer ”enklaste” ekvationen

och bryter ut x
2 x  4 y  58
2  (24  y )  4 y  58
2. Sätter in i den andra!
Får en ekvation med bara y:n!
48  2 y  4 y  58
3. Löser ekvationen, y = 5
48  2 y  58
y5
4. Sätter in y = 5 i den ekvation
x  24  y  24  5  19 jag skrev om från början och
beräknar x. Har nu hela svaret!
x = 19, y =5
Ger exakta svar men kan kräva lite
algebra. Välj ekvation att skriva om med omtanke.
Kom ihåg att pröva ditt svar.
Lösningsmetoder
Additionsmetoden
Idén är att lägga ihop ekvationerna för att få en enklare.
 x  y  24

2 x  4 y  58
(2)  ( x  y )  (2)  24
 2 x  2 y  48
 2 x  2 y  48

 2 x  4 y  58
2 y  10  y  5
x  5  24
x  24  5  19
1. Multiplicerar första ekvationen
med (-2) för att få -2x
2. Lägger ihop de två ekvationerna
så att x:n försvinner, får enkel
ekvation som löses
3. Sätter in y = 5 i en av
ekvationerna och beräknar x.
Kräver också en del manipulation och algebra.
Kan både vara enklare och svårare beroende på
ekvationssystemet. Välj den metod som är enklast!
Tillämpningar
Ex.1
En taxiresa kostar y kr för att åka x km.
Bolag A kostar: y = 15x +20 och bolag B: y = 10x +50
Hur mycket ska jag åka om kostnaderna ska vara lika?
Vi är här på jakt efter värde på x som ger samma y-värden för:
 y  15 x  20

 y  10 x  50
Detta är ett ekvationssystem som vi kan lösa med
någon av våra metoder, väljer grafisk lösning
Ritar upp och avläser skärningspunkt
x6
110
y  110
Svar: Om vi kör 6 km kostar det
110 kr med båda bolagen!!
6
Tillämpningar
Ex.2
Ett gäng som är ute och fikar beställer kaffe för 15 kr/st
och Caffe Latte för 25 kr/st. De är 10 st och får en
sammanslagen räkning på 190 kr.
Hur många drack vanligt kaffe´resp. Caffe Latte?
Vi kan naturligtvis prova oss fram men uppgiften löses med fördel med
någon av tidigare metoder om vi kan ställa upp ett ekvationssystem.
Vi börjar med att anta: x = antal kaffe, y = antal Caffe Latte och ställer upp:
 x  y  10

15 x  25 y  190
Totalt 10 st fikade
15 kr x antal kaffe + 25 kr x antal Caffe Latte = 190 kr
Visar lösning med substitutionsmetoden
 x  10  y

15 (10  y )  25 y  190
y  4  x  10  4  6
150  15 y  25 y  190
Svar: 6 st (x) drack kaffe och
150  10 y  190  10 y  40
4 st (y) drack Caffe Latte!!
y4