Problem

Lektion 11. Ekvivalenta ekvationer och olikheter
Teoridel. En lösningsmängd till en ekvation eller en olikhet är mängden av alla tal som
satisfierar ekvation. På samma sätt definieras en lösningsmängd till en olikhet.
Låt lösningsmängden till ekvationen f(x, y)=0 vara A och till ekvationen g(x, y)=0 vara B.
Då
1. lösningsmängden till ekvationen f(x,y)g(x,y)=0 är AB.
 f ( x, y )  0
2. lösningsmängden till ekvationssystemet 
är AB.
 g ( x, y )  0
Upp 1. Bestäm lösningsmängderna till följande ekvationer. Skugga oändliga mängder på
tallinjen eller koordinatplanet.
a) x2–25=0 b) x+y–2=0 c) (x–2)2+(y+1)2=0 d) |x|–x = 0
Upp 2. Bestäm lösningsmängderna till följande ekvationer eller ekvationssystem. Skugga
oändliga mängder på tallinjen eller koordinatplanet.
 x 2  y 2  18
x  y  0
a) (x–2)( x–10)=0 b) (x+y)(x–y) = 0 c) 
d) 
x  y  0
 x y 0
Teoridel. Två ekvationer (likaså olikheter, ekvationssystem, olikhetssystem) kallas
ekvivalenta om deras lösningsmängder sammanfaller.
Man får en ekvivalent ekvation
1. Om man byter ett led i en ekvation mot ett identiskt uttryck.
2. Om man lägger till eller drar av samma term från ekvationens båda led.
3. Om man multiplicerar eller delar båda led med samma tal som är 0.
4. Om man flyttar en term från ett led till ett annat led och byter tecken hos den.
Upp 3. Bestäm lösningsmängderna till följande ekvationer, ekvationssystem och olikheter. För
varje fall bestäm en ekvivalent ekvation eller ekvationssystem bland 1a, 1b, 1c, 1d, 2a, 2b, 2c,
2d.
4 x  2  0
a) (x–5)( x+5)=0 b) 3xx c) 
d) |x|+|y|=0
 x y 3
Upp 4. Bestäm 3 par ekvivalenta ekvationer utan att lösa de. Motivera ditt svar.
a) x2+2xy+y2=5 b) 2x2+4y=6y2–8x c) 2x2+4y=3y2–4x d) x2+2y=3y2–4x
e) (x–1)( x–2) (x–3)( x–4)=0 f) 4x+2x2+4y=3y2
g) (x+y)2=5
Upp 5*. Visa att för vilka som helst uttryck u och v är ekvationen u2+v2=0 ekvivalent till
u  0
systemet 
v  0
den 31 januari 2007, http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/indexsve.html