1
Föreläsning 5
Motsvarar avsnitten 4.4, 5.1–5.2, 8.1.1 i Griffiths
Linjära dielektrikum (Kap. 4.4)
Ett dielektrikum är ett material där polarisationen P induceras av ett elektriskt
fält. Om det pålagda fältet inte är extremt starkt är materialet linjärt (det finns
undantag). Då gäller att polarisationen är proportionell mot det pålagda elektriska
fältet
P = ε0 χe E
där χe är en dimensionslös materialkonstant som kallas den elektriska susceptibiliteten. Konstanten talar om hur mycket materialet polariseras. Mellan elektriska
flödestätheten D och polarisationen P råder följande samband:
D = ε0 εr E = εE
där εr = 1 + χe = den relativa permittiviteten, och ε = ε0 εr = den absoluta permittiviteten.
Exempel: Vattenmolekylen har ett permanent dipolmoment och den kan lätt
ställa in sig i det elektriska fältets riktning. Därför är susceptibiliteten för vatten mycket stor χe = 80. Fasta material brukar ha betydligt mindre värden på
susceptibiliteten.
Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap. 4.4.3)
För laddningar i vakuum gäller sedan tidigare:
Z
Z
1
ε0
We =
ρ(r)V (r) dv =
|E(r)|2 dv
2 V
2
R3
Uttrycket modifieras av polarisationen till
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ε0 εr
ε
1
2
E(r) · D(r) dv =
|E(r)| dv =
|E(r)|2 dv
We =
2
2
2
R3
R3
R3
2
Serie- och parallellkoppling
C1
C=
⇔
C2
C2
C1
C1 C2
C1 + C2
C = C1 + C2
⇔
Exempel: Ekvivalenta kondensatorer
S2
S1
εr1
d
εr2
S2
S1
=
εr1
εr2
S
S
d2
εr2
d1
εr1
d2
εr2
d1
εr1
=
Repetitionsfrågor
1. Vad är skillnaden mellan fria laddningar och bundna laddningar?
2. Hur påverkas fria laddningar av ett elektriskt fält?
3. Hur påverkas bunda laddningar av ett elektriskt fält?
4. En metallsfär som befinner sig i vakuum har radien R och laddningen Q >
0. Det elektriska fältet är då riktat radiellt ut från sfären och beror endast
av avståndet från sfärens centrum, dvs E 0 = E0 (r)r̂. Ett tjockt oledande
dielektriskt skal med permittiviteten εr > 1 läggs nu runt sfären. Skalet upptar
området 2R < r < 3R. Även i detta fall blir det elektriska fältet riktat radiellt
ut från sfären och ges av E 1 = E1 (r)r̂. Tre av följande påståenden är rätt.
Vilka? Du skall inte göra några räkningar utan endast tänka fysikaliskt.
(a) Utanför skalet är E1 (r) = E0 (r). Inuti skalet är E1 (r) < E0 (r).
(b) Överallt utanför sfären, r > R, gäller E1 (r) 6= E0 (r).
3
(c) Polarisationen P = P (r)r̂, där P (r) < 0 inuti och P (r) = 0 utanför
skalet.
(d) Polarisationen P = P (r)r̂, där P (r) > 0 inuti och P (r) = 0 utanför
skalet.
(e) Polarisationen P = P (r)r̂, där P (r) 6= 0 överallt utanför sfären.
(f) Elektriska flödestätheten D(r) påverkas inte av det dielektriska skalet.
(g) Elektriska flödestätheten D(r) påverkas endast inuti det dielektriska skalet
men inte utanför.
5. Var finns det nettoladdningar (fria och bundna) i fallet med dielektriskt skal?
Svar: 4. a), d) och f) är rätt. 5. På ytan av sfären (positiv ytladdning), på innerytan av skalet (negativ ytladdning) och på yttre ytan av skalet (positiv ytladdning)
Strömmar (Kap. 5.1.3)
Laddningstransport kan ske på flera sätt. Några är:
1. Ledningselektroner (eller hål) i metaller eller halvledare (små hastigheter ∼
10−4 m/s, stora mängder)
2. Strömmar i elektrolyter som följd av jontransport i vätskor
3. Strömmar av elektroner eller joner i vakuum eller uttunnade gaser (t.ex. katodstrålerör)
(stora hastigheter, små mängder)
I samtliga fall definieras strömtätheten J som
J = Nqv
där N är antalet laddningsbärare per volymsenhet, q laddningsbärarnas laddning
och v deras hastighet. Strömtätheten J har enheten laddning per ytenhet per
tidsenhet (C/m2 s eller A/m2 ).
Strömmen I genom en yta S (ytnormal n̂) är flödet av J genom S.
ZZ
I=
J · n̂ dS
S
Enheten är Ampère A.
Kontinuitetsekvationen (laddningens bevarande)
(Detta avsnitt tas upp igen i kapitel 7. Det kan nu läsas kursivt.)
4
^
n
S
V
Strömmen ut ur den slutna ytan S:
I=
ZZ
S
J · n̂ dS
I är den laddning som försvinner ut ur V per tidsenhet. Total laddning i V är
ZZZ
Q=
ρ dv
V
Laddningens bevarande (experimentellt faktum):
I =−
dQ
dt
eller med divergenssatsen
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZ
∂ρ
d
ρ dv = −
dv
∇ · J dv =
J · n̂ dS = −
dt
V
V ∂t
V
S
V godtycklig ger kontinuitetsekvationen
∇·J =−
∂ρ
∂t
Stationära strömmar (inga strömkällor):
∇·J =0
Exempel: Kirchhoffs stömlag
X
ik = 0
k
Magnetostatik (Kap. 5)
En viktig skillnad mot el-statiken är att det inte finns några magnetiska punktladdningar (det går inte att isolera polerna i en magnet). I magnetostatik gäller att
stationära strömmar, ∇ · J = 0, råder.
5
Kraftverkan mellan laddningar i rörelse (Kap. 5.1.2)
Magnetisk flödestäthet B
Kraften F på en testladdning q med hastighet v ges av Lorentzkraften
F = qE + qv × B
| {z }
|{z}
el.-statik
magnetiskt
1. E elektriskt fält (enhet V/m)
2. B magnetisk flödestäthet (enhet T=As/m2 =Wb/m2 )
Kraften (qv × B)⊥v, vilket medför att kraften inte utför något arbete
R
F · ℓ = 0.
Exempel: En magnetisk flödestäthet med styrkan 1 Tesla är mycket stark. De
allra starkaste permanentmagneterna (t.ex. Neodymmagneter) ger en Tesla. På vår
breddgrad är det jordmagnetiska fältet ungefär 57 µT. Vid magnetresonanstomografi
används magnetfält med styrkan 3-7 T. I acceleratorn Large Hadron Collider på Cern
används mycket starka supraledande elektromagneter för att få de högenergetiska
protonerna att gå längs den 27 km långa cirkulära acceleratorn. Dessa magneter ger
fältstyrkan 8 T. Man har nu rapporterat om en ny typ av elektromagnet som ger
13.5 T. Byter man till dessa magneter kan energin på protonerna ökas ytterligare.
Biot-Savarts lag (Kap. 5.2.2)
Den statiska magnetiska flödestätheten B genereras av laddningar i rörelse.
Experimentellt faktum
En laddning q ′ i punkten r′ med hastigheten v ′ genererar den magnetiska flödestätheten B(r) i punkten r:
B(r) =
µ0 qv ′ × (r − r ′ )
4π |r − r ′ |3
6
v
Fältpunkt
r¡r
jr ¡ r j
q
B
Källpunkt
r
r
Origo
Urspunget till detta experimentella faktum kommer från följande integralsamband
mellan en ström I i en ledning C och magnetiska flödestätheten B(r) kring ledningen:
Z
Idℓ′ × (r − r ′ )
µ0
(Biot-Savarts lag)
B(r) =
4π C
|r − r ′ |3
Fältpunkt
r¡r
I
C
jr ¡ r j
d`
B
Källpunkt
r
r
Origo
Detta är ett postulat med ursprung i experiment man gjorde 1820 på magnetfält
från strömmar i ledningar.
Konstanten µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am är vakuums permeabilitet och sambandet
c0 = √
1
≈ 3 · 108 m/s
ε0 µ0
7
gäller där c0 är ljushastigheten i vakuum.
Biot-Savarts lag kan generaliseras till ett samband mellan B och strömtätheten J i
en volym V:
ZZZ
µ0
J (r ′ ) × (r − r ′ ) ′
B(r) =
dv
4π
|r − r ′ |
V
Jämför med Coulombs lag
1
E(r) =
4πε0
ZZZ
V
ρ(r ′ )(r − r′ ) ′
dv
|r − r ′ |
För en ytströmtäthet som befinner sig på en yta S gäller på samma sätt:
ZZ
J S (r ′ ) × (r − r ′ ) ′
µ0
B(r) =
dS
4π
|r − r ′ |3
S
