Matematisk kommunikation (FMA085 4,5hp)
Läsperiod 2, HT 2011
Kurschef: Niels Chr. Overgaard (NCO), tel. 046-222 85 32, epost [email protected],
rum MH:551B.
Föreläsningar: NCO
On 8–10 E:C läsvecka 1, 2, 3.
Övningar: Olof Enquist och NCO
On 8–10 MH:362C, MH:362D läsvecka 4, 5. (Obligatoriskt kursmoment!)
Kurshemsida: www.maths.lth.se/~nco/kurser/matkomm2011/
Kurskrav: Kursen som helhet innehåller tre obligatoriska moment; två inlämningsuppgifter och en populärvetenskaplig uppsats. Kompisgranskning (se nedan) och presentation av
lösningar samt uppsatsseminarium (se nedan) och opposition på annan grupps projektarbete ingår som obligatoriska moment.
Inlämningsuppgifter: Andra inlämningsuppgiften delas ut på föreläsning 1 den 26 oktober. Uppgiften löses i grupper om tre–fyra personer enligt utdelat schema. En första version av lösningen ska vara klar måndagen den 14 november. Denna version presenteras
muntligt vid ett av övningstillfällena 16 eller 23 november, som en del av kompisgranskningen. Den slutgiltiga versionen lämnas in senast måndag den 28 november i inlämningsfacket
på femte våningen i Mattehuset.
Projekt: Arbetet med projektet sker i grupper om fyra personer under LP4 våren 2011
och ska mynna ut i en populärvetenskaplig rapport om ett matematiskt ämne. Projektförslag och handledning tillhandahållas av lektorer och doktorander vid Matematikcentrum.
Rapporten presenteras under ett heldagsseminarium. Dessutom ska grupperna opponera
på varandras rapporter.
Plan för föreläsningar, övningar (preliminärt):
26/10
2/11
9/11
14/11
16/11
23/11
28/11
F1
F2
F3
♣
Ö1
Ö2
♣
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Inl. 2 delas ut. Tema: ur analysens grunder
. . . . . Matematiska tidsskrifter. Tema: Mer ur analysens grunder
. . . . . . Information om kompisgranskning och om vårens projekt
. . . . . Död linje för version 1 av lösning. Mejla som pdf till NCO
. . . . . . . . Kompisgranskning 1/2: muntlig presentation av lösning
. . . . . . Kompisgranskning 2/2: muntlig presentationer av lösning
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Död linje för inlämningsuppgift 2
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
Inlämningsuppgift 2A
Problemen löses i grupper om tre personer (se lista). Man får gärna diskutera problemet med andra grupper, men varje grupp lämnar in en självständig
skriftlig redovisning. Lösningen ska inkludera en presentation av problemet,
observationer och tankar kring det, rimlighetskoll och slutligen i bästa fall ett
bevis av påståendet. Lösningen till inlämningsuppgiften ska skrivas i LATEX.
En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndag 14
november. Lösningen ingår i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation med efterföljande frågestund, sammanlagt c:a 15+5 minuter per grupp.
Den slutgiltiga versionen lämnas i Matematisk kommunikations fack på 5
våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndagen 28 november.
Problem. Låt f : R → R vara en kontinuerlig funktion sådan att
Z π
Z π
f (x) cos x dx = 0.
f (x) sin x dx =
0
0
Visa att detta medför att funktionen f har minst två nollställen i det öppna
intervallet (0.π). Ge även exempel som visar att f kan ha precis två nollställen
i detta intervall.
Ledning. Börja exempelvis med att visa att för en funktion g som är definierad
och kontinuerlig på intervallet I = [a, b], där a < b, och uppfyller g(x) ≥ 0
för alla x ∈ I, så gäller det att om
Z b
g(x) dx = 0,
a
så är g är identiskt lika med noll på I. (Integralens definition och kontinuiteten
av g är helt avgörande.)
Fundera på om resultatet ovan kan användas till att visa att f har åtminstone
ett nollställe i intervallet (0, π), tex. genom ett motsägelsebevis.
För att bevisa att minst ett ytterligare nollställe måsta existera, så kan man
fundera på om det finns en enkel trigonometrisk funktion som blir noll i precis en föreskriven punkt c i intervallet (0, π). Om vi redan vet att f har ett
nollställe i (0, π) så kan vi tex. välja punkten c till att vara just det nollstället.
21 oktober 2011
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
Inlämningsuppgift 2B
Problemen löses i grupper om tre personer (se lista). Man får gärna diskutera problemet med andra grupper, men varje grupp lämnar in en självständig
skriftlig redovisning. Lösningen ska inkludera en presentation av problemet,
observationer och tankar kring det, rimlighetskoll och slutligen i bästa fall ett
bevis av påståendet. Lösningen till inlämningsuppgiften ska skrivas i LATEX.
En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndag 14
november. Lösningen ingår i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation med efterföljande frågestund, sammanlagt c:a 15+5 minuter per grupp.
Den slutgiltiga versionen lämnas i Matematisk kommunikations fack på 5
våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndag 28 november.
Problem. Låt p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 vara ett polynom med
reella koefficienter och med endast reella rötter. Visa att
p(x)p00 (x) ≤ p0 (x)2 ,
för alla x ∈ R.
(1)
Ledning. Man ska alltid försöka betrakta ett givet problem utifrån så många
synvinklar man kan. Börja med att undersöka om påståendet är rimligt, t ex
genom att testa påståendet gör några enkla polynom. Undersök påståendet för
polynom av lågt gradtal så som n = 1 och n = 2. Undersök vad (1) säger i
fallet då p(x) = xn .
Man kan fundera över vad som händer i (1) för ett allmänt polynom då x är
stort positivt eller stort negativt. Vad säger olikheten (1) om x är ett nollställe
till p0 (x)? Rita figur.
Fundera över förutsättningarna. Varför ska polynomet ha reella koefficienter?
Är det nödvändigt att polynomet endast har reella nollställen? Kan man någon
gång få likhet i (1)? Om man börjar tro på det givna påståendet, kan det vara
dags att börja försöka sy ihop ett bevis. Påståendet ovan kan attackeras på flera
sätt. Prova t ex med att använda faktorssatsen och induktion över polynomets
gradtal.
Slutligen kan man fundera över om påståendet kan skärpas eller generaliseras.
Kan man t ex bevisa något skarpare om polynomet endast har enkla nollställen?
21 oktober 2011
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
Inlämningsuppgift 2C
Problemen löses i grupper om tre personer (se lista). Man får gärna diskutera problemet med andra grupper, men varje grupp lämnar in en självständig
skriftlig redovisning. Lösningen ska inkludera en presentation av problemet,
observationer och tankar kring det, rimlighetskoll och slutligen i bästa fall ett
bevis av påståendet. Lösningen till inlämningsuppgiften ska skrivas i LATEX.
En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndagen
14 november för att ingå i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation med efterföljande frågestund, sammanlagt c:a 15+5 minuter per grupp.
Den slutgiltiga versionen lämnas i Matematisk kommunikations fack på 5
våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndagen 28 november.
Problem (a). Antag att funktionen f : R → R är n gånger kontinuerligt
deriverbar, där n är ett icke-negativt heltal. Visa att om
f (n) (x) > 0,
för alla x ∈ R,
så har f högst n stycken nollställen.
Det kan vara intressant att jämföra med nedanstående problem (b), som dock
inte behöver lösas:
Problem (b). Låt f : R → R vara n gånger kontinuerligt deriverbar, där n är
ett positivt heltal, och antag att
f (n) (x) ≥ 0,
för alla x ∈ R.
Då gäller ett av följande alternativ: Antingen har f högst n stycken nollställen eller också finns det ett slutet intervall I, ändligt eller oändligt och som
innehåller mer än en punkt, så att f (x) = 0 om och endast om x ∈ I.
Ledning. Betrakt problemet ur flera synvinklar. Undersök om påståendet är
rimligt genom att kolla de enkla fallen n = 1, 2 och 3. Hur ger man ett stringent bevis i fallet n = 1? Kan metoden användas i det allmänna fallet? Problem (b) kan vara svårt! Försök bevisa påståendet för åtminstone n = 1, 2, 3.
Fundera gärna över om påståendet ovan kastar nytt ljus över kända egenskaper
hos reella polynom, dvs. funktioner av formen f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0
där koefficienterna a0 , a1 , . . . , an ∈ R.
Ett nollställe x0 till f kalls dubbelt eller sägs ha multiplicitet två ifall f (x0 ) =
f 0 (x0 ) = 0. Nollställen av högre multiplicitet defineras på liknande sätt. Kan
resultatet generaliseras ifall vi väljer att räkna f :s nollställen med multiplicitet?
21 oktober 2011
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
Inlämningsuppgift 2D
Problemen löses i grupper om tre personer (se lista). Man får gärna diskutera problemet med andra grupper, men varje grupp lämnar in en självständig
skriftlig redovisning. Lösningen ska inkludera en presentation av problemet,
observationer och tankar kring det, rimlighetskoll och slutligen i bästa fall ett
bevis av påståendet. Lösningen till inlämningsuppgiften ska skrivas i LATEX.
En första version av lösningen ska vara klar och mejlas till NCO måndag 14
november för att ingå i kompisgranskningen, som är en muntlig presentation
med efterföljande frågestund, sammanlagt c:a 15+5 minuter per grupp.
Den slutgiltiga versionen lämnas i Matematisk kommunikations fack på 5
våningen i Mattehuset. Sista inlämningsdagen är måndag 28 november.
Problem. Antag att f : R → R är en två gånger kontinuerligt deriverbar
funktion. Låt a, b ∈ R, där a < b, och definera
(Lf )(x) = f (a)
x−a
b−x
+ f (b)
.
b−a
b−a
Då är funktionsvärdet Lf (x) det approximationsvärde till f (x) som man får
ifall man gör linjär interpolation mellans f :s funktionsvärden i punkerna x =
a och x = b. Visa att om a < x < b så är
1
f (x) = (Lf )(x) + f 00 (ξ)(x − a)(x − b),
2
för något tal ξ där a < ξ < b.
Ledning. Från analyskursen känner vi till medelvärdessatsen som säger att om
f är kontinuerligt deriverbar så är f (x) − f (a) = f 0 (ξ)(x − a) för något tal ξ
mellan a och x. Detta är motsvarigheten till påståendet ovan ifall vi istället för
en linjär interpolation använder det konstanta talet f (a) för att approximera
f (x). Hur bevisar man medelvärdessatsen?
Fundera gärna över följande tillämpning: Antag att f satisfierar f 00 (x) > 0 för
alla reella tal x. Visa att f högst kan ha två nollställen.
21 oktober 2011
Gruppindelning för inlämningsuppgift 2
Grupp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Efternamn
Förnamn
Efternamn2
Förnamn2
Efternamn3
Förnamn3
Thordin
Altvall
Andersson
Asp
Berggren
Brange
Cramsky
Drugge
Ehn
Ekholm
Ekstedt
Fagerberg
Fahlén
Davidson
Lovisa
Hampus
Tom
Yasmin
Jonatan
Elias
Eli
Rikard
Gustaf
Mikaela
Edward
Nils
Maja
Alexander
Flodin
Flood
Gerhardsson
Haglund
Hedblom
Hjälle
Juhlin
Lethonen
Loman
Lundegård
Lundgren
Månsson
Ndayikeza
Lavröd
Oscar
Gabriella
Linnéa
Susanna
Erik
Matilda
Karl
Henrik
Torkel
Simon
Kristoffer
Henrik
Noel
David
15
Andell
Oscar
Badenfors
Anders
16
Håkansson
Stefan
Magnusson
Tobias
Jonsson
Nilsson
Odenbrand
Olsson
Ripa
Sjöborg
Såmark
Wellmar
Viberg
Wiqvist
Yilmaz
Yip
Ågren
Waldén M.
Ågren
Blomberg
Möller
Broo
Petersson
Arvid
Johanna
Daniel
Johannes
Julia
Emma
Ulrica
Joakim
Pontus
Samuel
Nistiman
Karin
Fabian
Arvid
Marcus
Tom
Per
Viktor
Patrik
Uppgift
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
Presentation
Lokal
16-nov
16-nov
16-nov
16-nov
23-nov
23-nov
23-nov
23-nov
16-nov
16-nov
16-nov
16-nov
23-nov
MH:362C
MH:362C
MH:362C
MH:362C
MH:362D
MH:362D
MH:362D
MH:362D
MH:362D
MH:362D
MH:362D
MH:362D
MH:362C
23-nov
MH:362C
23-nov
MH:362C
23-nov
MH:362C
C
D
N.C. Overgaard 2011-10-21
