Andragradsfunktioner

MaB: Andragradsfunktioner
Allmänt
En andragradsfunktion kan skrivas y = ax2 + bx + c
där a, b och är konstanter, ex. y = 4x2 – 2x + 1
(a = 4, b = -2, c = 1)
Ritar vi upp y = x2 i ett koordinatsystem får vi:
Några punkter ur värdetabell:
x
y (= x2)
- 2 ( -2 )2 = 4
- 1 ( -1 )2 = 1
0
02 = 0
1
12 = 1
Vi kan se att kurvan är symmetrisk. 2 22 = 2
Det finns två olika x-värden (utom x = 0) som ger
samma y-värde, t.ex. -1 och 1, -2 och 2!
MaB: Andragradsfunktioner
Ritar vi upp fler andragradsfunktioner kan vi se att alla har
samma symmetri och typiska utseende.
y = x2 + 4x
y = -0,5x2 +3x – 2
Studerar vi ännu fler ser vi att för y = ax2 + bx + c gäller:
1. a > 0 ger att kurvan har ett minsta värde (positiv = glad mun)
2. a < 0 ger att kurvan har ett största värde (negativ = sur mun)
3. max eller min finns på kurvans symmetrilinje
4. värdet på c ger skärning med y-axel
Kurvans form kallas parabel
MaB: Andragradsfunktioner
Nollställen
Vill vi bestämma när kurvan har (y-)värdet noll kan vi ställa
upp och lösa en andragradsekvation.
ex. y = x2 – 2x – 3, löser vi x2 – 2x – 3 = 0 finner vi
lösningarna x1 = -1 och x2 = 3 vilket är funktionens nollställen
Nollställen hittar vi på x-axeln
Mitt i mellan nollställen finns
symmetrilinjen och min-värde
Om kurvan ligger ovan eller under xaxeln så saknas nollställen och
ekvationen y = 0 saknar lösning!
(tangerar kurvan x-axeln så har ekvationen y=0
en s.k. dubbelrot, dvs. en lösning)
MaB: Andragradsfunktioner
Exempel
Bestäm största eller minsta värde för y = x2 + x – 2
1. Konstaterar att funktionen har ett minsta värde.
(x2 = + x2 , positiv x2-term = glad mun, dvs min. finns)
2. Bestämmer nollställen, sätter x2 + x – 2 = 0 och finner
x1 = -2 och x2 = 1
3. Mitt i mellan -2 och 1 finns x = -0,5 som är symmetrilinjen!
4. Minimum finns på symmetrilinjen, dvs vi räknar ut minsta
värdet genom att sätta in x = -0,5 i y = x2 + x – 2
vilket ger y = -2,25
MaB: Andragradsfunktioner
Exempel
Hur hittar vi största eller minsta värde om nollställen saknas?
I förra exemplet, y = x2 + x – 2, fann vi med hjälp av
nollställena funktionens symmetrilinje x = - 0,5
Löser vi x2 + x – 2 = 0 med hjälp av lösningsformeln får vi:
2
1
1
x     2
2
2
Redan här kan vi identifiera symmetrilinjens ekvation. (x=-0,5)
Detta värde ligger alltid mitt i mellan ev. nollställen då vi tar +
och – med samma värde för att beräkna de två nollställena.
Saknas nollställen så kan vi ändå beräkna detta värde som ger
symmetrilinjen och sedan gå vidare på samma sätt som tidigare!!
MaB: Andragradsfunktioner
Tillämpning
En sten kastas uppåt och fångas i handen igen.
Höjden hos stenen varierar enligt: h(t) = 10t -5t2
h = höjd i meter mätt från handen som kastar den
t = tiden i sekunder från uppkastet
Beräkna hur länge stenen är i luften och hur högt den kommer.
1.
Bestämmer funktionens nollställen med ekvationen
10t -5t2 = 0
5t( 2-t) = 0 som har lösningarna t1 = 0 och t1 = 2
Tolkar svaret som att den efter 2,0 sekunder är tillbaka.
2.
Symmetrilinjen ligger då på t = 1,0 varför vi kan beräkna
största värdet h(1) = 10·1,0 - 5 ·(1,0)2 = 5,0 meter, dvs
stenen är som högst 5,0 meter över handen.
(-5t2 betyder att vi på symmetrilinjen har ett största värde! (sur mun) )