Polynom
Ett matematiskt uttryck där variabelns exponenter är naturliga tal (0, 1, 2, 3, 4, ...) kallas för ett
polynom. Termen med den högsta exponenten anger polynomets grad.
Vad som menas med ett polynoms grad finns beskrivet på sid 103 i boken. I ett polynom skriver man
vanligen termerna efter fallande grad och skriver därför hellre
x 2 + x + 1 än t.ex. 1 + x + x 2
Parenteser
De grundläggande parentesreglerna bör du vara bekant med från tidigare mattekurser.
Med hjälp av distributiva lagen kan vi ”multiplicera in” i en parentes och skriva
2 x( x + 5) som
2 x + 10 x . Omvändningen, dvs att skriva 2 x + 10 x som 2 x( x + 5) kallas för att faktorisera eller
faktoruppdela. Att faktorisera upplever de flesta i allmänhet som svårare än att ”multiplicera in”.
När man skall faktorisera gäller det att hitta någon eller några gemensamma faktorer i uttryckets
2
2
termer. Eftersom 2 x = 2 ⋅ x ⋅ x , och 10 x = 2 ⋅ 5 ⋅ x kan vi skriva uttrycket 2 ⋅ x ⋅ x + 2 ⋅ 5 ⋅ x . Båda
termerna innehåller faktorerna 2 och x , och dessa gemensamma faktorer kan brytas ut. Vi kan
skriva uttrycket 2 ⋅ x ⋅ ( x + 5)
= 2 x( x + 5) . Uttrycket är nu faktoriserat, eftersom det består av de båda
2
faktorerna
2x och ( x + 5) .
4
faktoriserar man enligt följande:
8 x + 12
4
4
4
1
=
= =
8 x + 12 4 ⋅ 2 x + 4 ⋅ 3 4(2 x + 3) 2 x + 3
För att förenkla det rationella uttrycket
Andragradsekvationer
Andragradsekvationer förutsätts du vara bekant med. Lägg märke till att det finns tre olika typer av
andragradsekvationer – två ofullständiga, och den fullständiga typen, som man löser med hjälp av
formeln som du hittar i formelsamlingen.
Förenkla ett uttryck jämfört med att lösa en ekvation
Det är viktigt att skilja mellan att förenkla ett uttryck och att lösa en ekvation.
Jämför följande uppgifter.
1. Förenkla uttrycket: 3 x − 6 + 1 − x
2. Lös ekvationen: 3 x − 6 + 1 − x =
9
Uttrycket kan förenklas, eftersom det kortare kan skrivas 2 x − 5
Ekvationen kan lösas, genom att man bestämmer det värde på x som ger uttrycket 2 x − 5 värdet 9 .
Eftrsom x-värdet 7 uppfyller detta villkor har ekvationen lösningen x = 7
Andragradsfunktionen
En linjär funktion är en polynomfunktion av grad 1, medan andragradsfunktion är en
polynomfunktion av grad 2.
f ( x) = ax 2 + bx + c , där a, b och c är konstanter.
För att det ska vara en andragradsfunktion får inte a vara noll, vilket skrivs a ≠ 0
Alla andragradsfunktioner kan skrivas på formen
1
Bilden visar några karakteristiska egenskaper för andragradsfunktionen. En andragradsfunktion har
antingen en minimi- eller maximipunkt.
Lägg märke till begreppen
Nollställen
Maximi- och minimipunkt
Symmetrilinje
Funktionens graf är alltid symmetrisk kring en vertikal linje genom maximi- eller minimipunkten.
Ordet symmetrilinje nämns inte i läroboken, men du bör känna till innebörden av ordet.
Andragradsfunktionens graf har s.k. parabelform. Genom att ändra värdena på konstanterna
i
a, b , c
f ( x) = ax + bx + c kan man förskjuta grafen i höjd- och sidled.
2
Lägg märke till att det är tecknet på konstanten
maximipunkt.
a som bestämmer om funktionen har minimi- eller
Beroende på var i koordinatsystemet funktionens graf ligger, kommer den antingen att
a) skära x-axeln (på ett eller två ställen)
b) inte skära x-axeln
De eventuella skärningspunkterna med x-axeln kallas funktionens nollställen, eftersom
funktionsvärdet är noll i dessa punkter. Om funktionen har två nollställen ligger dessa lika långt från
symmetrilinjen.
Funktionens nollställen kan bestämmas grafiskt, genom avläsning i koordinatsystemet. Man kan också
bestämma nollställena algebraiskt, dvs ”räkna fram” dem. Det gör man genom att sätta
funktionsuttrycket lika med noll, dvs sätt
Kommentar: Om i funktionsuttrycket
ax 2 + bx + c =
0 , och lös andragradsekvationen.
f ( x) = ax 2 + bx + c konstanten a har värdet noll, får man
f ( x=
) bx + c som, bortsett från beteckningen på konstanterna, är samma funktion som
f ( x=
) kx + m dvs. en linjär funktion.
För den linjära funktion gäller f (0) = m , dvs linjen skär y-axeln i punkten med koordinaterna
(0, m) . För andragradsfunktionen erhålls på samma sätt f (0) = c Med andra ord, funktionen skär yaxeln i punkten (0, c ) .
funktionen
2
Sambandet mellan en cirkels radie och area
Koordinatsystemet visar cirkelns area som funktion av radien. Eftersom formeln för cirkelns area är
A = π r 2 blir funktionens graf en andragradskurva.
f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0 har gradtalet tre, funktionen
f ( x) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e , a ≠ 0 gradtalet fyra osv. För varje ökning av en polynomfunktions
Polynomfunktionen
gradtal ökar det möjliga antalet nollställen och max/min-punkter med 1.
Faktorsatsen
Den s.k. faktorsatsen har du förmodligen inte stött på i samband med andragradsfunktioner tidigare?
Om man känner andragradsfunktionens nollställen, x1 och x2 , och ytterligare en punkt på grafen kan
man med hjälp av faktorsatsen skriva en andragradsfunktion på formen
stället för
f ( x) =a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) i
f ( x) = ax + bx + c som vi använt ovan.
2
Variabelsubstitution
Formeln för cirkelns omkrets O= π ⋅ d känner du sen tidigare. Om vi av någon anledning skulle vilja
att formeln innehåller radien r i stället för diametern d kan vi göra en s.k. variabelsubstitution.
För en cirkel gäller: d = 2 ⋅ r Om vi substituerar (byter ut) d mot 2 ⋅ r kan formeln för omkretsen
skrivas O = π ⋅ 2 ⋅ r eller O = 2π r som man vanligen skriver.
3
