En ny karakterisering av primtal och alternerande
multimängder
Selma Logo
Det här arbetet är uppdelat i två avsnitt. I det första avsnittet finner vi en
ny karakterisering av primtal. Ett primtal är ett heltal större än eller lika
med två vars enda positiva delare är 1 och talet självt.
Vi börjar med att låta en kung bjuda in n par till en middag kring sitt
runda bord med 2n+1 platser. De inbjudna paren får som högst vara inne på
sitt n:te äktenskapsår. Utöver detta kräver vi även att de inbjudna gästerna
placeras på ett visst sätt kring kungens bord: om de två makarna i ett par är
inne på sitt d:te äktenskapsår så måste deras sittplatser vid bordet åtskiljas
med exakt d − 1 andra sittplatser.
Genom att använda oss av kombinatoriska resonemang visar vi i den
första delen av detta arbete att det finns en lösning till kungens problem
för alla avstånd mellan 1 och n om och endast om antalet sittplatser kring
bordet är ett udda primtal. Detta resultat kan ses som en ny karakterisering
av primtal.
Ett reellt polynom p(x) är (i det här arbetet) ett uttryck, som man
har bildat med hjälp av givna reella konstanter a0 , a1 , . . . , an och en given
variabel x, av formen:
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,
där konstanterna a0 , a1 , . . . , an kallas polynomets koefficienter. Ett tal α kallas för nollställe till polynomet p om p(α) = 0. Descartes teckenregel formulerades 1637 av filosofen och matematikern René Descartes (1596 - 1650)
och säger att antalet positiva nollställen till ett polynom är högst lika med
antalet teckenändringar för koefficienterna för polynomet.
En mängd är en samling objekt, där de objekt som ingår i mängden kallas för element. I detta arbete studerar vi något som kallas multimängder.
En multimängd skiljer sig från en mängd på så sätt att den tillåts ha fler
förekomster av ett och samma element. Om vi låter ett tal µ vara medelvärdet för en multimängd
M = {m1 , m2 , . . . , mn } med n element så kallar vi
1 Pn
summan n i=1 (mi − µ)j det j:te centralmomentet.
I det andra avsnittet visar vi med hjälp av en generalisering av Descartes
teckenregel att det finns en avtagande följd av tal bestående av k +1 element
som alternerar mellan två multimängder om de två multimängderna har
samma medelvärde samt samma k − 1 första centralmoment. Vi avslutar
den andra delen med en tillämpning av det ovan nämnda på nollställen till
polynom.
Handledare: Arne Meurman
Examensarbete i matematik, 15 hp, HT 2010
Naturvetenskapliga fakulteten, Matematikcentrum, Matematik NF
Lunds universitet
