Lektion 11 - andragradsfunktioner

Matematik 3b, lektion 11 30 september [email protected] Olika typer av funktioner, Andragradsfunktioner Andragradsfunktioner När vi tittar på andragradsfunktioner finns det några ord som är bra att kunna; Parabel, nollställen, symmetrilinje och minimipunkt/maximipunkt är ord som vi kommer använda en hel del. Grafen till en andragradsfunktion kallas parabel. Kommer ni ihåg att en andragradsfunktion kan skrivas på formen 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐? För att hitta nollställen till en funktion, det vill säga de punkter då grafen skär x-­‐axeln, så sätter vi 𝑓 𝑥 = 0. I fallet med andragradsekvationer blir det alltså 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Denna typ av ekvationer har vi tränat på att lösa med tre olika metoder; kvadratrotsmetoden, nollproduktmetoden och pq-­‐formeln/lösningsformeln. Symmetrilinjen är den linje som delar parabeln mitt itu. Den ligger alltid mittemellan två punkter med samma y-­‐koordinat, den ligger alltså exempelvis mellan nollställena (de har ju y-­‐koordinaten 0). Om vi vill hitta symmetrilinjen kan vi börja lösa 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 med !
hjälp av pq-­‐formeln/lösningsformeln. Symmetrilinjen är då: 𝑥 = − !. Om 𝑎 < 0 (a är negativ) så ”blir grafen en ledsen mun” se bild till höger. Längst upp på grafen får vi en maxpunkt (maximipunkt) som i detta fall kan avläsas (1,6). Vi kan också räkna ut den genom att först ta reda på symmetrilinjen (i detta fall 𝑥 = 1) för då vet vi att vid detta x-­‐värde har vi maxpunkten. För att sedan hitta y-­‐värdet i denna punkt (som för övrigt är maxvärdet) sätter vi bara in 𝑥 = 1 i funktionen. Om 𝑎 > 0 (a är positiv) så ”blir grafen en glad mun”. Längst ner på grafen får vi en minpunkt (minimipunkt). Denna punkt kan vi räkna ut på motsvarande sätt som maxpunkten. Ex Beräkna nollställen symmetrilinje och max-­‐/minpunkt för 𝑦 = −2𝑥 ! + 4𝑥 + 4 Lösning Nollställen vi sätter 𝑦 = 0, det vill säga −2𝑥 ! + 4𝑥 + 4 = 0 och löser ekvationen med hjälp av pq-­‐formeln/lösningsformeln. Kom ihåg att koefficienten (siffran) framför 𝑥 ! -­‐termen måste vara 1. Så vi börjar med att dividera höger-­‐ och vänsterled med –2. −2𝑥 ! + 4𝑥 + 4 = 0 𝑥 ! − 2𝑥 − 2 = 0 Nu kan vi använda pq-­‐formeln/lösningsformeln! Matematik 3b, lektion 11 30 september [email protected] 𝑥 ! − 2𝑥 − 2 = 0 −2
2 !
𝑥=−
±
− (−2) 2
2
𝑥 = 1 ± 1! + 2 𝑥 = 1 ± 3 𝑥! = 1 + 3, 𝑥! = 1 − 3 Symmetrilinjen kan vi hitta genom att gå tillbaka till lösningen av ekvationen −2𝑥 ! + 4𝑥 + 4 = 0, eller kanske snarare lösningen av 𝑥 ! − 2𝑥 − 2 = 0 −2
𝑥=−
±
2
2
2
!
− (−2) Så symmetrilinjen är 𝑥 = 1. (Vi hade också kunnat hitta symmetrilinjen genom att beräkna avståndet mellan dem 1 + 3 − 1 − 3 = 1 + 3 − 1 + 3 = 2 3 Halva avståndet blir då 2 3
= 3 2
Så om vi tar nollstället längst till vänster och lägger till 3 så får vi punkten som ligger mitt emellan, 𝑥 = 1 − 3 + 3 = 1.) Nu vill vi hitta max-­‐/minpunkten. Först måste vi fundera om det är max-­‐eller minpunkt vi söker. Eftersom −2 (koefficienten framför 𝑥 ! -­‐termen) är ett negativt tal så har vi en ledsen mun och alltså en maxpunkt. Vi hittar punkten genom att konstatera att punkten ligger på symmetrilinjen och därmed har x-­‐koordinaten 1. Så vi kan räkna ut y-­‐värdet genom att stoppa in 𝑥 = 1 i 𝑦 = −2𝑥 ! + 4𝑥 + 4 𝑦 = −2 ∙ 1! + 4 ∙ 1 + 4 = −2 ∙ 1 + 4 + 4 = −2 + 4 + 4 = 6 Vi har alltså en maxpunkt då x-­‐koordinaten är 1 och y-­‐koordinaten är 6. Maxpunkten blir alltså (1,6). Matematik 3b, lektion 11 30 september [email protected] Nollställen Nollställen till en andragradsfunktion får vi genom att lösa en andragradsekvation. En andragradsekvation kan antingen ha två, en eller ingen lösning. På motsvarande sätt har andragradsfunktioner två, en eller inga nollställen. Vi har tidigare tittat på hur vi hittar nollställen till andragradsfunktioner både grafiskt och algebraiskt. Om vi tittar på grafen så kan vi hitta nollställena där kurvan skär 𝑥 −axeln (grafisk lösning). Om vi vill hitta nollställena algebraiskt så sätter vi funktionens värde till 0. Om vi har en funktion i faktorform så kan vi bestämmafunktionens nollställen (𝑓 𝑥 = 0). Omvänt kan vi direkt faktorisera ett funktionen om vi vet samtliga nollställen. Vi ska titta på ett exempel med funktionen 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 4 𝑥 + 2 . Från faktorform till nollställen Med hjälp av nollproduktmetoden kan vi snabbt se att lösningen till ekvationen 𝑓(𝑥) = 0, det vill säga lösningen till 3 𝑥 − 4 𝑥 + 2 = 0 är 𝑥! = 4, 𝑥! = −2. Det betyder ju att 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 4 𝑥 + 2 har nollställena 𝑥! = 4, 𝑥! = −2. Vilka nollställen 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 − 4 𝑥 + 2 och ℎ 𝑥 = 8 𝑥 − 4 𝑥 + 2 ? Just det, dessa funktioner har samma nollställen; 𝑥! = 4, 𝑥! = −2. Prova att rita upp dem för att kontrollera att det stämmer. Från nollställen till faktorform Omvänt kan vi faktorisera en funktion om vi har samtliga nollställen. Exempelvis om vi vet att 𝑓(𝑥) har nollställena 𝑥! = 4, 𝑥! = −2 får vi att 𝑓 𝑥 = 𝑘 𝑥 − 4 𝑥 − −2 = 𝑘 𝑥 − 4 𝑥 + 2 För att kunna räkna ut vad k är behöver vi veta någonting mer om funktioen, exempelvis att 𝑓 5 = 21 (funktionens värde är 21 då 𝑥 = 5). Om vi vet det får vi följande ekvation 𝑘 5 − 4 5 + 2 = 21 (Denna ekvation löser vi precis som vanligt med k som variabel) 𝑘 ∙ 1 ∙ 7 = 21 7𝑘 = 21 (Dividerar båda led med 7 så får vi värdet på k) 𝑘 = 3 Alltså kan vi notera att 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 4 𝑥 + 2 , precis som det vi hade från början. Anm 1: Blanda inte ihop detta k med det k vi använder i räta linjens ekvation (𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚). Anm 2: Om du ser en bild på ex en graf till ett andragradsfunktion så kan du med hjälp av ovanstående lista ut vad det är för funktion. Du behöver bara nollställen och en punkt till. Matematik 3b, lektion 11 30 september [email protected] 𝑦 = 𝑥 ! − 4𝑥 + 3 Ex Grafen ovan beskriver en funktion. Vilken? Lösning Eftersom nollställena är 𝑥! = 1, 𝑥! = 3 kan vi skriva att 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 1)(𝑥 − 3). För att bestämma k behöver jag en till punkt på grafen. Här väljer jag den punkt som är lättast att läsa av. Ex (0,3). Då vet vi att då 𝑥 = 0 är 𝑦 = 3. Vi sätter in dessa värden och löser ekvationen. 3 = 𝑘 0 − 1 0 − 3 3 = 𝑘(−1)(−3) 3 = 3𝑘 1 = 𝑘 Nu kan vi alltså konstatera att 𝑦 = 1(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) k=1 ger koefficienten 1 𝑦 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) framför 𝑥 ! -­‐termen 𝑦 = 𝑥 ! − 3𝑥 − 𝑥 + 3 𝑦 = 𝑥 ! − 4𝑥 + 3