freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) Innehåll Förord 1 Funktioner och inverser Multiplikation och division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadrera och kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialfunktion och logaritmfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 Historia Länkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 Exponentialekvationen 6 Diagram och logaritmiska skalor Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmiska skalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 Räkneregler för exponenter och logaritmer 12 Logaritmer och multiplikation, division 12 Logaritmtabell 100 – 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 – 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 17 Förord Denna PDF är avsedd att vara en utvidgning och ett förtydligande till lärobokens avsnitt om logaritmer. Logaritmer är nödvändiga för att lösa den viktiga exponentialekvationen. För Kursen Ma2b ingår sidan 1 till 11. Ma2c bör läsa hela stencilen. Denna text kan fritt kopieras och spridas i stencilform för undervisningsbruk. /GRob © G Robertsson 2016 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 2(17) Funktioner och inverser Dessa sidor är skrivna med fokus på exponentialfunktionen och dess invers logaritmfunktionen. Logaritmfunktionen är nödvändig för att lösa den viktiga exponentialekvationen. För att få ett bra matematiskt perspektiv så inleds avsnittet med en presentation av två andra funktioner och deras inverser, multiplikation-division och kvadrering-kvadratrot. Multiplikation och division 1,25 ⋅ x → y multiplikation 80 definitionsmängd 100 160 200 400. . . värdemängd 100 värdemängd 125 200 250 500. . . definitionsmängd y 1, 25 division x← x= y = 1, 25 x x y 1,25 y När funktionen är multiplikation blir inversfunktion division. Omvänt om funktionen är division blir inversfunktionen multiplikation. Exempel För att beräkna pris med moms från ett givet pris utan moms multipliceras det momsfria priset med 1,25. För att beräkna priset utan moms från ett givet pris med moms divideras priset med 1,25. Både multiplikation och division går att beräkna utan räknehjälpmedel. © G Robertsson 2016 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 3(17) Kvadrera och kvadratrot x2 → y kvadrering 0 definitionsmängd 1 2 3 4 5 ... värdemängd 0 värdemängd 1 4 9 16 25 . . . definitionsmängd √ x← y kvadratrrot x= y = x2 x √ y y När funktionen är kvadreing blir inversfunktion kvadratrot. Omvänt om funktionen är kvadratrot blir inversfunktionen kvadrering. Exempel Ytan av en kvadrat beräknas genom att kvadrera sidan. Omvänt används kvadratroten för att beräkna sidan på en kvadrat när ytan är given. Att kvadrera är en operation som enkelt kan utföras utan räknehjälpmedel. Kvadratroten är en operation som ofta kräver räknehjälpmedel. Kvadratroten ur talen 1, 4, 9, . . . och ytterligara några tal behöver inga räknehjälpmedel. Kvadratroten ur talen 2, 5, 10, . . . och nästan alla andra tal kräver räknehjälpmedel eller historiskt en tabell. © G Robertsson 2016 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 4(17) Exponentialfunktion och logaritmfunktion 10x → y exponent definitionsmängd -2 -1 0 1 2 . . . värdemängd 0,01 värdemängd 0,1 1 10 100 . . . definitionsmängd x ← lg y logaritm y = 10x x = lg y x y När funktionen är exponentialfunktionen blir inversfunktion logaritmfunktionen. Omvänt om funktionen är logaritmfunktionen blir inversfunktionen exponentialfunktionen. Bas och exponent I uttrycket 10x är 10 bas och x exponent. I likheten 10x = y är x det tal som 10 ska upphöjas till för att få y. Talet x kallas logaritmen för y. Mer precis är x logaritmen med basen 10 för y. Talet x kan vara vilket som helst positivt eller negativt tal. Talet y blir alltid positivt. Vi skriver x = lg y, vanligt i böcker, eller x = log y vanligt på räknaren. Exempel Exponentialfunktionen används för att beskriva tillväxt i olika sammanhang. En befolkning på 50 000 som ökar 2% varje år har förändringsfaktorn 1,02. Efter ett år är befolkningen 50 000 ⋅ 1,02 = 51 000, efter två år 50 000 ⋅ 1,022 = 52 020 och efter n år är befolkningen 50 000 ⋅ 1,02n . Om befolkningen minskar med 2% blir förändringsfaktorn 0,98. Exponentialfunktionen kan beskriva både ökning och minskning. Förändringsfaktorn är alltid positiv. Exponentialfunktionen kräver nästan alltid räknehjälpmedel. © G Robertsson 2016 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 5(17) En rimlig fråga att ställa är hur lång tid det tar för en befolkning att fördubblas, minska till hälften eller någon annan nivå. För att kunna svara på frågor av denna typ behövs logaritmfunktionen som är inversen till exponentialfunktionen. Logaritmfunktionen kräver också nästan alltid räknehjälpmedel. Historia Historiskt infördes logaritmer av John Napier, skotsk matematiker (1550 – 1617). Upptäckten av logaritmer räknas som en av vår kulturs största vetenskapliga bedrifter. Napier ville förenkla arbetskrävande multiplikation, division och lyckades med hjälp av tabeller omvandla räknearbetet till addition och subtraktion. Senare införde Henry Briggs, engelsk matematiker(1556–1630), logaritmer med basen 10. Tio-logaritmer var fram till moderna datorer vanliga för numeriska beräkningar. Logaritmer med basen 10 brukar betecknas med lg eller log. Förutom logaritmer med basen 10, som ingår i gymnasiets kurs Ma2, förekommer logaritmer med basen e (e ≈ 2.71828 . . . ) och 2. Logaritmer har haft en stor historisk betydelse då arbetskrävande multiplikationer eller divisioner med hjälp av en tabell över logaritmer kunde omvandlas till enkla additioner och subtraktioner. Billiga elektroniska miniräknare har gjort logaritmer överflödiga vid beräkning av multiplikation och division. Idag ingår logaritmer i matematikundervisning som en nödvändig ingrediens för att lösa exponentialekvationer. Länkar Universitetslektor Lars Nystedt har skrivit en trevlig artikel om logaritmernas stora historiska betydelse. Artikel i SvD Kaiandes Sempler har skrivit om Napier, Briggs och logaritmer i tidskriften Ny Teknik. På siten NumberPhile finns två inslag om logaritmer, multiplikation med logaritmer och beräkning av logaritmtabeller. © G Robertsson 2016 2016-04-02 Algebra Regler (a b) 2 a 2 2ab b 2 ( a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 2 a 2 2ab b 2 ( a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b)(a b) a 2 b 2 a 3 b 3 ( a b)( a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 ( a b)( a 2 ab b 2 ) freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer Exponentialekvationen Exempel 1 Lös ax 2 bx c 0 x 2 px q 0 Andragradsekvationer 6(17) 2 p p q 2 exponentialekvationen 2 x x b b 2 4ac 2a 2a 7 = 3x . Ekvationen har lösning med x någonstans mellan x = 1 och x = 2. Aritmetik Prefix T G M tera giga mega 12 9 10 Potenser 10 10 k x 1kilo 3 x10 2 6 a xa y a x y ax h 3x 3hekto 2 7 10 9 a x y d c m n p deci centi milli mikro nano piko -1 -2 -3 -9 10-12 10 10 10 (a x ) y a xy 10 -6 10 ax 1 x y Det sökta x är opraktiskt placerat asom exponent. För att kunna lösa adenna ekvation måste vi använda inversfunktionen till exponentialekvationen. Tag x 1 a x Vi afår logaritmen för vänster och högerled. x x x n a0 1 n a b (ab) bx b a a log 7 = log 3x . Här sitter x fortfarande opraktiskt placerat. Använd FORMELSAMLINGEN, a ( k n 1) Geometrisk n 1 a ak räkneregel ak 2 ... akför logaritmer. där k 1 därsumma finns en användbar k 1 Logaritmer Absolutbelopp log 7 = y 10 x x lg y y e x x ln y lg x lg y lg xy lg x lg y lg x y lg x p p lg x om a 0 a a log 3x a om a 0 Det sökta x hoppar ut från logaritmfunktionen och landar på raden framför logaritmfunktionen. log 7 = x ⋅ log 3 Nu är problemet enkelt. Dela bägge sidor med log 3. Exakt svar är 15-09-07 log 7 . x = log 3 För numeriskt svar måste logaritmerna beräknas med miniräknare. Numeriskt svar är 0,8441 . . . x = ≈ 1,771 0,4771 . . . Svar exempel 1. Exakt svar x = © Skolverket log 7 och numeriskt är x ≈ 1,771 vilket log 3 ligger mellan förväntade 1 och 2. © G Robertsson 2016 2016-04-02 Regler (a b) 2 a 2 2ab b 2 ( a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 2 a 2 2ab b 2 ( a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b)(a b) a 2 b 2 a 3 b 3 ( a b)( a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 ( a b)( a 2 ab b 2 ) freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 2 2 Andragradsekvationer ax bx c 0 x px q 0 7(17) 2 b b 4ac p p Exempel 2 Bakterier växer antalet bakterier x snabbt. Varje q timmex ökar 2a 2a 2 2 med 30%. Hur lång tid tar det för 100 bakterier att växa till 100 000 bakterier? Aritmetik Lösning Förändringsfaktorn är 1,3. Efter x timmar har 100 bakterier Prefix T G M k h d c m n p ökat till 2 tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano 100 ⋅ 1,39x 1012 10 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 När är antalet bakterier 100 000? Lös exponentialekvationen 100 000 = 100 ⋅ 1,3x x .y 1 ax x y ax x a x y Potenser (a x ) y a xy a a a y a a Förenkla ekvationen till x 1 000 = 1,3 . x 1 ax a x x x a0 1 Logaritmera ekvationen n n a x a a b (ab) b b x log 1000 = log 1,3 . Använd FORMELSAMLINGEN, där finnsa (en användbar räkneregel för k n 1) Geometrisk 2 n 1 a ak ak ak ... där k 1 logaritmer. summa k 1 Logaritmer y 10 x x lg y y e x x ln y lg x lg y lg xy lg x lg y lg x y piko 10-12 lg x p p lg x om a 0 a om a 0 a Exponenten x hoppar a ner Absolutbelopp på raden framför logaritmfunktionen. log 1000 = log 1,3x log 1000 = x ⋅ log 1,3 som har exakta lösningen log 1000 = x log 1,3 15-09-07 Numeriskt får vi 3 x = = 26,33 0,1139 Svar exempel 2. © G Robertsson 2016 © Skolverket Det tar 26 timmar. 2016-04-02 ( a b) 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 2 a 2 2ab b 2 (a b)(a b) a 2 b 2 a 3 b 3 ( a b)( a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 ( a b)( a 2 ab b 2 ) freeLeaks ax 2 bx c 0 x 2 px q 0 Andragradsekvationer Funktioner, inverser2 och logaritmer 8(17) b b 2 4ac x 2a 2a p p x q 2 2 Exempel 3 En dator minskar i värde med 20% varje år. Hur lång tid tar detAritmetik för en dator som kostar 8 000 kronor att minska till halva värdet? Prefix Lösning T G Mär 0,8. k Efter h x dår är cvärdet m Förändringsfaktorn tera giga mega kilo hekto deci centi milli n p mikro nano piko 8 000 ⋅ 0,8x9 1012 10 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 När är värdet 4 000 kronor? Lös exponentialekvationen 4000 = 8000 ⋅ 0,8xx . y 1 ax x y ax x a x y Potenser (a x ) y a xy a a a y a a Förenkla ekvationen till 0,5 = 0,8x . x 1 ax a x x x a0 1 Logaritmera ekvationen an n a a b (ab) bx b x log 0,5 = log 0,8 . Använd FORMELSAMLINGEN, där finnsa (en användbar räkneregel för k n 1) Geometrisk 2 n 1 a ak ak ak ... där k 1 logaritmer. summa k 1 Logaritmer y 10 x x lg y y e x x ln y lg x lg y lg xy lg x lg y lg x y 10-12 lg x p p lg x om a 0 a a om a 0 Exponenten x hoppar a ner Absolutbelopp på raden framför logaritmfunktionen och vi får log 0,5 = log 0,8x log 0,5 = x ⋅ log 0,8 ´¹¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¶ −0.3010 −0.09691 som har lösningen 15-09-07 x = 3,11. Svar exempel 3. © G Robertsson 2016 © Skolverket Det tar drygt 3 år. 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 9(17) Diagram och logaritmiska skalor Diagram Om man i diagram vill presentera data där storleken varierar från mycket litet till mycket stort är logaritmisk skala lämpligare än vanlig linjär skala. Exemplet nedan illustrerar. dvärgnäbbmus 2,6 – 5,9 g åkersork 40 – 70 g brun råtta 350 – 550 g röd räv 6,5 – 8 kg rådjur 20 – 28 kg älg 270 – 540 kg 500 kg 500 kg 400 kg 50 kg 5 kg 300 kg 500 g 200 kg 50 g 100 kg 5g älg rådjur röd räv brun råtta åkersork dvärgnäbbmus älg rådjur röd räv brun råtta åkersork dvärgnäbbmus Med en linjär skala märks nästan ingen skillnad mellan den lilla dvärgnäbbmusen och den mer än 1000 gånger tyngre rödräven. För exempel av denna typ är logaritmisk skala lämpligare. © G Robertsson 2016 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 10(17) Logaritmiska skalor Det finns många fenomen där logaritmiska skalor är lämpliga. Ljud och decibel Bell [B] och vanligare decibel [dB] är ett logaritmiskt mått. Det används för att ange ett förhållande till ett referensvärde och definieras enligt effekt ). referensvärde Prefixet d (deci) betyder tiondel effekt dB = 10 ⋅ log ( ). referensvärde B = log ( Decibel används ofta för att beskriva ljudnivå och nivå på andra signaler. En ökning med 10 dB (1 Bell) innebär en ökning med en faktor 10 av effekten. En ökning med 20 dB (2 Bell) innebär en ökning med en faktor 10 × 10 = 100 av effekten. En ökning med 30 dB (3 Bell) innebär en ökning med en faktor 10 × 10 × 10 = 1000 av effekten. Jordbävningar och Richterskalan Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en ökning av magnituden (skakningen) med 10 gånger. Vätejonkoncentration och pH pH är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på koncentrationen (aktiviteten) av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga pH-värden är sura, och de med höga kallas basiska. Lösningar som har pH 7 kallas neutrala. Vatten har vätejonkoncentration 10−7 mol/dm3 . pH-värdet är logaritmen för vätejonkoncentrationen med omvänt tecken. Astronomi och magnitudskalan Magnitudskalan som används i astronomi är en logaritmisk skala och ett kvantitativt mått på ljusflödet som kommer från en stjärna. Skalan skapades för 2500 år sedan av den grekiska astronomen Hipparkos och används fortfarande. Himlens ljusstarkaste stjärna har magnituden 1 och © G Robertsson 2016 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 11(17) den svagaste som går att se med blotta ögat har magnituden 6. En stjärna av 6:e magnituden är 100 gånger svagare än en av 1:a magnituden. Skalan är logaritmisk och överensstämmer med hur ögat uppfattar skillnader i ljusstyrka. Basen i astronomiska magnitudskalan är mot faktorn 100. © G Robertsson 2016 √ 5 100 (≈ 2,512) då 5 steg svarar 2016-04-02 Aritmetik Algebra Prefix Regler T G 2 M k 2 2 2 2 (10 a b) 10 a 10 2ab b10 9 6 d c m n 3 3 2 2 3 -23 2 -3 -6 2 p 3 b) a 3milli a b mikro 3ab bnano hekto ( adeci centi (tera a b) giga a mega 2ab bkilo 12 freePotenser Leaks h 2 3 10 2 3-9 ( a10 b) 10a 310 a b 310ab 10 b -1 piko 10-12 (a b)(a b) a 2 b 2 a 3 b 3 x y( a bxy)( a 2 ab bx2 ) 1 ax x och y inverser logaritmer a 12(17) a (a ) a a xFunktioner, a y a x y a 3 b 3 ( a b)( a 2 ab b 2 ) a x ay x x 1 a a 0 2 2 logaritmer Räkneregler för exponenter och Andragradsekvationer a n ax n a bx c 0 a 1 a xb x (ab)xx px q x 0 b b I FORMELSAMLINGEN finns räkneregler 2 för både potenser b och b 2 logaritmer. 4ac p p n x x q a k ( 1 ) Geometrisk liknar varandra. 2 n 1 Räknereglerna 2 a 2 a a ak ak ... där k 1 2 ak 2 summa Aritmetik Logaritmer Prefix y 10 x x lg y tera giga 12 9 Potenser 10 k mega 10 h d xc lg x lg y lg hekto deci ycenti kilo 6 10 3 10 om a 0 a a om a 0 x a a x y x y a x y a a a ay a b (ab) x x x ax a x b b 15-09-07 Geometrisk summa k 1 y e x x ln y T G M lg x lg y lg xy 10 Absolutbelopp 2 a ak ak ... ak n 1 2 10 x -1 10 -2 m n lg x p p lg x milli 10 -3 mikro 10 -6 nano piko -9 10-12 10 (a x ) y a xy ax 1 an a0 1 na p 1 ax © Skolverket a ( k n 1) där k 1 k 1 Logaritmer och multiplikation, division y e x x ln y y 10 x x lg y HärLogaritmer följer 5 exempel på hur logaritmer kan användas vid multiplikation av tal. x lg x lg y lg lg x lg y lg xy lg x p p lg x y Exempel 1. Beräkna 10 × 100 med hjälp av logaritmer. För exemplet om a 0 a 10-logaritmer. behövs följande tabell med a Absolutbelopp tal decimalform tal potensform logaritm a om a 0 0,0001 10−4 −4 0,001 0,01 10−3 10−2 −3 −2 0,1 10−1 −1 1 100 0 10 101 1 Diagrammet sammanfattar hur beräkningen utförs. 15-09-07 10 × 100 = 1000 101 × 102 = 103 ↓ ↓ © G Robertsson 2016 + 2 1000 103 3 10000 104 4 © Skolverket ↑ log 10 + log 100 = 1 100 102 2 = log(10 ⋅ 100) 3 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 13(17) Steg Utför 1 bestäm logaritmen för 10 och 100 från tabellen log 10 = 1 och log 100 = 2 2 addera logaritmerna logaritmen för produkten är 1 + 2 = 3 3 kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen logaritmen 3 svarar mot 1 000 Svar exempel 1 10 × 100 = 1000 Exempel 2. Beräkna 2 × 3 med hjälp av logaritmer. För exemplet behövs en tabell med 10-logaritmer. tal potens logaritm 1 100,0000 0,0000 2 100,3010 0,3010 3 100,4771 0,4771 4 100,6021 0,6021 5 100,6990 0,6990 6 100,7782 0,7782 7 100,8451 0,8451 8 100,9031 0,9031 Diagrammet sammanfattar hur beräkningen utförs. 2 100,3010 × 3 × 100,4771 ↓ = 6 = 100,7781 ↓ log 2 + log 3 0,3010 + 0,4771 ↑ = log(2 ⋅ 3) = 0,7781 Steg Utför 1 bestäm logaritmen för 2 och 3 från tabellen log 2 = 0,3010 och log 3 = 0,4771 2 addera logaritmerna logaritmen för produkten är 0,3010 + 0,4771 = 0,7781 3 kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen logaritmen 0,7781 svarar mot nästan exakt mot 6. Svar exempel 2 © G Robertsson 2016 2×3=6 2016-04-02 9 100,9542 0,9542 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer Exempel 3. 14(17) Beräkna 4 × 5 med hjälp av logaritmer. Steg Utför 1 bestäm logaritmen för 4 och 5 från tabellen log 4 = 0,6021 och log 5 = 0,6990 2 addera logaritmerna logaritmen för produkten är 0,6021 + 0,6990 = 1,3011 1,3011 = 1 + 0,3011 3 kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmerna logaritmen 1 svarar exakt mot 10 och 0,3011 svarar nästan exakt mot 2. resultatet blir 10 × 2 = 20. Svar exempel 3 4 × 5 = 20 6 Exempel 4. Beräkna med hjälp av logaritmer. För exemplet behövs 2 en tabell med 10-logaritmer. tal potens logaritm 1 100,0000 0,0000 2 100,3010 0,3010 3 100,4771 0,4771 4 100,6021 0,6021 5 100,6990 0,6990 6 100,7782 0,7782 7 100,8451 0,8451 8 100,9031 0,9031 Diagrammet sammanfattar hur beräkningen utförs. 6 ÷ 2 = 3 100,7782 − 100,3010 = 100,4771 ↓ ↓ ↑ log 6 − log 2 = log(6 ÷ 2) 0,7782 − 0,3010 = 0,4772 Steg Utför 1 bestäm logaritmen för 6 och 2 från tabellen log 6 = 0,7782 och log 2 = 0,3010 2 beräkna skillnaden av logaritmerna logaritmen för kvoten är 0,7782 − 0,3010 = 0,4772 3 kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen logaritmen 0,4772 svarar nästan exakt mot 3. Svar exempel 4. © G Robertsson 2016 6 =3 2 2016-04-02 9 100,9542 0,9542 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer Exempel 5. 15(17) Beräkna 3,14 × 23,4 × 187 34,5 × 9,34 med hjälp av logaritmer. Denna begreppsmässigt enkla beräkning är arbetskrävande att utföra för hand. Med logaritmer är det enkelt att beräkna ett approximativt värde. Diagrammet sammanfattar hur beräkningen utförs. 3,14 × ↓ 23,4 × ↓ 187 ÷ ↓ 0,4969 + 1,3692 + 2,2718 34,5 ↓ - ÷ 9,34 = ↓ 1,5378 − 0,9703 42,6 ↑ = 1,6298 Steg Utför 1 bestäm logaritmen för talen med hjälp av tabellen på sidorna 16–17 2 addera och subtrahera logaritmerna logaritmen för resultatet blir 1,6298 3 kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen logaritmen 1,6298 uppfattas som 1 + 0,6298 0,6298 svarar nästan exakt mot 4,26 och 1 svarar mot en faktor 10. Svar exempel 5. 3,14 × 23,4 × 187 ≈ 42,6 34,5 × 9,34 Kommentar Tabellen på sidorna 16–17 är 4-ställiga. Detta betyder att logaritmerna är beräknade med 4 siffror. För bättre noggrannhet fanns tabeller med fler siffror Vid mitten av 70-talet hade billiga elektroniska minräknare gjort logaritmtabeller överflödiga. Multiplikation och division med hjälp av logaritmtabell är idag överflödig men logaritmer har fortfarande en viktig roll i matematik och vetenskap. Logaritmtabell På sidorna 16 och 17 visas en logaritmtabell av den typ som tidigare var vanlig i gymnasieundervisning. © G Robertsson 2016 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 16(17) 100 – 549 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 0 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 0 © G Robertsson 2016 1 0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 1 2 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 2 3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 3 4 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 4 5 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 5 6 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955 7042 7126 7210 7292 7372 6 7 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964 7050 7135 7218 7300 7380 7 8 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972 7059 7143 7226 7308 7388 8 9 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396 9 2016-04-02 freeLeaks Funktioner, inverser och logaritmer 17(17) 550 – 999 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 0 © G Robertsson 2016 1 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 1 2 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 2 3 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 3 4 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 4 5 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 5 6 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 6 7 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 7 8 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 8 9 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 9 2016-04-02