Logaritmer - freeLeaks

freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
1(17)
Innehåll
Förord
1
Funktioner och inverser
Multiplikation och division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kvadrera och kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentialfunktion och logaritmfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
Historia
Länkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
Exponentialekvationen
6
Diagram och logaritmiska skalor
Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logaritmiska skalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
Räkneregler för exponenter och logaritmer
12
Logaritmer och multiplikation, division
12
Logaritmtabell
100 – 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550 – 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
17
Förord
Denna PDF är avsedd att vara en utvidgning och ett förtydligande till
lärobokens avsnitt om logaritmer. Logaritmer är nödvändiga för att lösa
den viktiga exponentialekvationen. För Kursen Ma2b ingår sidan 1 till 11.
Ma2c bör läsa hela stencilen.
Denna text kan fritt kopieras och spridas i stencilform för undervisningsbruk. /GRob
© G Robertsson 2016
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
2(17)
Funktioner och inverser
Dessa sidor är skrivna med fokus på exponentialfunktionen och dess invers
logaritmfunktionen. Logaritmfunktionen är nödvändig för att lösa den
viktiga exponentialekvationen. För att få ett bra matematiskt perspektiv så
inleds avsnittet med en presentation av två andra funktioner och deras
inverser, multiplikation-division och kvadrering-kvadratrot.
Multiplikation och division
1,25 ⋅ x → y
multiplikation
80
definitionsmängd
100 160 200 400. . .
värdemängd
100
värdemängd
125 200 250 500. . .
definitionsmängd
y
1, 25
division
x←
x=
y = 1, 25 x
x
y
1,25
y
När funktionen är multiplikation blir inversfunktion division. Omvänt om
funktionen är division blir inversfunktionen multiplikation.
Exempel
För att beräkna pris med moms från ett givet pris utan moms multipliceras
det momsfria priset med 1,25. För att beräkna priset utan moms från ett
givet pris med moms divideras priset med 1,25. Både multiplikation och
division går att beräkna utan räknehjälpmedel.
© G Robertsson 2016
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
3(17)
Kvadrera och kvadratrot
x2 → y
kvadrering
0
definitionsmängd
1 2 3 4 5 ...
värdemängd
0
värdemängd
1 4 9 16 25 . . .
definitionsmängd
√
x← y
kvadratrrot
x=
y = x2
x
√
y
y
När funktionen är kvadreing blir inversfunktion kvadratrot. Omvänt om
funktionen är kvadratrot blir inversfunktionen kvadrering.
Exempel
Ytan av en kvadrat beräknas genom att kvadrera sidan. Omvänt används
kvadratroten för att beräkna sidan på en kvadrat när ytan är given. Att
kvadrera är en operation som enkelt kan utföras utan räknehjälpmedel.
Kvadratroten är en operation som ofta kräver räknehjälpmedel.
Kvadratroten ur talen 1, 4, 9, . . . och ytterligara några tal behöver inga
räknehjälpmedel. Kvadratroten ur talen 2, 5, 10, . . . och nästan alla andra
tal kräver räknehjälpmedel eller historiskt en tabell.
© G Robertsson 2016
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
4(17)
Exponentialfunktion och logaritmfunktion
10x → y
exponent
definitionsmängd
-2 -1 0 1 2 . . .
värdemängd
0,01
värdemängd
0,1 1 10 100 . . .
definitionsmängd
x ← lg y
logaritm
y = 10x
x = lg y
x
y
När funktionen är exponentialfunktionen blir inversfunktion
logaritmfunktionen. Omvänt om funktionen är logaritmfunktionen blir
inversfunktionen exponentialfunktionen.
Bas och exponent
I uttrycket 10x är 10 bas och x exponent. I likheten 10x = y är x det
tal som 10 ska upphöjas till för att få y. Talet x kallas logaritmen för y. Mer
precis är x logaritmen med basen 10 för y. Talet x kan vara vilket som helst
positivt eller negativt tal. Talet y blir alltid positivt. Vi skriver x = lg y,
vanligt i böcker, eller x = log y vanligt på räknaren.
Exempel
Exponentialfunktionen används för att beskriva tillväxt i olika
sammanhang. En befolkning på 50 000 som ökar 2% varje år har
förändringsfaktorn 1,02. Efter ett år är befolkningen 50 000 ⋅ 1,02 = 51 000,
efter två år 50 000 ⋅ 1,022 = 52 020 och efter n år är befolkningen
50 000 ⋅ 1,02n . Om befolkningen minskar med 2% blir förändringsfaktorn
0,98. Exponentialfunktionen kan beskriva både ökning och minskning.
Förändringsfaktorn är alltid positiv. Exponentialfunktionen kräver nästan
alltid räknehjälpmedel.
© G Robertsson 2016
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
5(17)
En rimlig fråga att ställa är hur lång tid det tar för en befolkning att
fördubblas, minska till hälften eller någon annan nivå. För att kunna svara
på frågor av denna typ behövs logaritmfunktionen som är inversen till
exponentialfunktionen. Logaritmfunktionen kräver också nästan alltid
räknehjälpmedel.
Historia
Historiskt infördes logaritmer av John Napier, skotsk matematiker (1550 –
1617). Upptäckten av logaritmer räknas som en av vår kulturs största
vetenskapliga bedrifter. Napier ville förenkla arbetskrävande multiplikation,
division och lyckades med hjälp av tabeller omvandla räknearbetet till
addition och subtraktion.
Senare införde Henry Briggs, engelsk matematiker(1556–1630), logaritmer
med basen 10. Tio-logaritmer var fram till moderna datorer vanliga för
numeriska beräkningar. Logaritmer med basen 10 brukar betecknas med lg
eller log. Förutom logaritmer med basen 10, som ingår i gymnasiets kurs
Ma2, förekommer logaritmer med basen e (e ≈ 2.71828 . . . ) och 2.
Logaritmer har haft en stor historisk betydelse då arbetskrävande
multiplikationer eller divisioner med hjälp av en tabell över logaritmer
kunde omvandlas till enkla additioner och subtraktioner. Billiga
elektroniska miniräknare har gjort logaritmer överflödiga vid beräkning av
multiplikation och division. Idag ingår logaritmer i matematikundervisning
som en nödvändig ingrediens för att lösa exponentialekvationer.
Länkar
Universitetslektor Lars Nystedt har skrivit en trevlig artikel om
logaritmernas stora historiska betydelse. Artikel i SvD
Kaiandes Sempler har skrivit om Napier, Briggs och logaritmer i tidskriften
Ny Teknik.
På siten NumberPhile finns två inslag om logaritmer, multiplikation med
logaritmer och beräkning av logaritmtabeller.
© G Robertsson 2016
2016-04-02
Algebra
Regler
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
( a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
( a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
a 3  b 3  ( a  b)( a 2  ab  b 2 )
a 3  b 3  ( a  b)( a 2  ab  b 2 )
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
Exponentialekvationen
Exempel 1
Lös
ax 2  bx  c  0
x 2  px  q  0
Andragradsekvationer
6(17)
2
p
 p
   q
2
exponentialekvationen
2
x
x
b
b 2  4ac

2a
2a
7 = 3x .
Ekvationen har lösning med x någonstans mellan x = 1 och x = 2.
Aritmetik
Prefix
T
G
M
tera
giga
mega
12
9
10
Potenser
10
10
k
x
1kilo
3
x10
2
6
a xa y  a x y
ax
h
3x
3hekto
2
7 10
9
 a x y
d
c
m

n
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
-1
-2
-3
-9
10-12
10
10
10
(a x ) y  a xy
10
-6
10
ax 
1
x
y
Det sökta x är opraktiskt placerat asom
exponent. För att kunna lösa adenna
ekvation måste vi använda inversfunktionen till exponentialekvationen. Tag
x
1
a x Vi afår

logaritmen för vänster
och högerled.
 
x x
x
n
a0  1
n
a b  (ab)
bx
b
a  a
log 7 = log 3x .
Här sitter x fortfarande opraktiskt placerat.
Använd FORMELSAMLINGEN,
a ( k n  1)
Geometrisk
n 1
a  ak räkneregel
ak 2  ...  akför
logaritmer.
där k  1
därsumma
finns en användbar
k 1
Logaritmer
Absolutbelopp
log 7 =
y  10 x  x  lg y
y  e x  x  ln y
lg x  lg y  lg xy
lg x  lg y  lg
x
y
lg x p  p  lg x
om a  0
a
a 
log 3x a om a  0
Det sökta x hoppar ut från logaritmfunktionen och landar på raden framför
logaritmfunktionen.
log 7 = x ⋅ log 3
Nu är problemet enkelt. Dela bägge sidor med log 3. Exakt svar är
15-09-07
log 7
.
x =
log 3
För numeriskt svar måste logaritmerna beräknas med miniräknare.
Numeriskt svar är
0,8441 . . .
x =
≈ 1,771
0,4771 . . .
Svar exempel 1.
Exakt svar x =
© Skolverket
log 7
och numeriskt är x ≈ 1,771 vilket
log 3
ligger mellan förväntade 1 och 2.
© G Robertsson 2016
2016-04-02
Regler
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
( a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
( a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
a 3  b 3  ( a  b)( a 2  ab  b 2 )
a 3  b 3  ( a  b)( a 2  ab  b 2 )
freeLeaks
Funktioner,
inverser och logaritmer
2
2
Andragradsekvationer
ax  bx  c  0
x  px  q  0
7(17)
2
b
b  4ac
p
 p
Exempel 2 Bakterier växer
antalet
bakterier
 
x   snabbt.
   Varje
 q timmex ökar
2a
2a
2
2


med 30%. Hur lång tid tar det för 100 bakterier att växa till 100 000
bakterier?
Aritmetik
Lösning Förändringsfaktorn är 1,3. Efter x timmar har 100 bakterier
Prefix
T
G
M
k
h
d
c
m
n
p

ökat
till
2
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
100 ⋅ 1,39x
1012
10
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
När är antalet bakterier 100 000? Lös exponentialekvationen
100 000 = 100
⋅ 1,3x x .y
1
ax
x
y
ax  x
 a x y
Potenser
(a x ) y  a xy
a a a
y
a
a
Förenkla ekvationen till
x
1 000 = 1,3 .
x
1
ax  a 

x x
x


a0  1
Logaritmera ekvationen
n n a
x
a
a b  (ab)
b
b
x
log 1000 = log 1,3 .
Använd FORMELSAMLINGEN, där finnsa (en
användbar räkneregel för
k n  1)
Geometrisk
2
n 1
a

ak

ak


ak

...
där k  1
logaritmer.
summa
k 1
Logaritmer
y  10 x  x  lg y
y  e x  x  ln y
lg x  lg y  lg xy
lg x  lg y  lg
x
y
piko
10-12
lg x p  p  lg x
om a  0
a
om a  0

a

Exponenten
x hoppar
a ner
Absolutbelopp
 på raden framför logaritmfunktionen.
log 1000 =
log 1,3x
log 1000 = x ⋅ log 1,3
som har exakta lösningen
log 1000
= x
log 1,3
15-09-07
Numeriskt får vi
3
x =
= 26,33
0,1139
Svar exempel 2.
© G Robertsson 2016
© Skolverket
Det tar 26 timmar.
2016-04-02
( a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
a 3  b 3  ( a  b)( a 2  ab  b 2 )
a 3  b 3  ( a  b)( a 2  ab  b 2 )
freeLeaks
ax 2  bx  c  0
x 2  px  q  0
Andragradsekvationer
Funktioner, inverser2 och logaritmer
8(17)
b
b 2  4ac
x 
2a
2a
p
 p
x     q
2
2
Exempel 3 En dator minskar i värde med 20% varje år. Hur lång tid tar
detAritmetik
för en dator som kostar 8 000 kronor att minska till halva värdet?
Prefix
Lösning
T
G
Mär 0,8.
k Efter
h x dår är cvärdet
m
Förändringsfaktorn
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli

n
p
mikro
nano
piko
8 000
⋅ 0,8x9
1012
10
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
När är värdet 4 000 kronor? Lös exponentialekvationen
4000 = 8000
⋅ 0,8xx . y
1
ax
x
y
ax  x
 a x y
Potenser
(a x ) y  a xy
a a a
y
a
a
Förenkla ekvationen till
0,5 = 0,8x .
x
1
ax  a 

x x
x


a0  1
Logaritmera ekvationen
an  n a
a b  (ab)
bx  b 
x
log 0,5 = log 0,8 .
Använd FORMELSAMLINGEN, där finnsa (en
användbar räkneregel för
k n  1)
Geometrisk
2
n 1
a

ak

ak


ak

...
där k  1
logaritmer.
summa
k 1
Logaritmer
y  10 x  x  lg y
y  e x  x  ln y
lg x  lg y  lg xy
lg x  lg y  lg
x
y
10-12
lg x p  p  lg x
om a  0
a
 a om a  0
Exponenten
x hoppar
a ner
Absolutbelopp
 på raden framför logaritmfunktionen och vi får
log 0,5 =
log 0,8x
log 0,5 = x ⋅ log 0,8
´¹¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¶
−0.3010
−0.09691
som har lösningen
15-09-07
x = 3,11.
Svar exempel 3.
© G Robertsson 2016
© Skolverket
Det tar drygt 3 år.
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
9(17)
Diagram och logaritmiska skalor
Diagram
Om man i diagram vill presentera data där storleken varierar från mycket
litet till mycket stort är logaritmisk skala lämpligare än vanlig linjär skala.
Exemplet nedan illustrerar.
dvärgnäbbmus 2,6 – 5,9
g
åkersork
40 – 70
g
brun råtta
350 – 550
g
röd räv
6,5 – 8 kg
rådjur
20 – 28 kg
älg
270 – 540 kg
500 kg
500 kg
400 kg
50 kg
5 kg
300 kg
500 g
200 kg
50 g
100 kg
5g
älg
rådjur
röd räv
brun råtta
åkersork
dvärgnäbbmus
älg
rådjur
röd räv
brun råtta
åkersork
dvärgnäbbmus
Med en linjär skala märks nästan ingen skillnad mellan den lilla
dvärgnäbbmusen och den mer än 1000 gånger tyngre rödräven. För exempel
av denna typ är logaritmisk skala lämpligare.
© G Robertsson 2016
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
10(17)
Logaritmiska skalor
Det finns många fenomen där logaritmiska skalor är lämpliga.
Ljud och decibel
Bell [B] och vanligare decibel [dB] är ett logaritmiskt mått. Det används för
att ange ett förhållande till ett referensvärde och definieras enligt
effekt
).
referensvärde
Prefixet d (deci) betyder tiondel
effekt
dB = 10 ⋅ log (
).
referensvärde
B =
log (
Decibel används ofta för att beskriva ljudnivå och nivå på andra signaler.
En ökning med 10 dB (1 Bell) innebär en ökning med en faktor 10 av
effekten.
En ökning med 20 dB (2 Bell) innebär en ökning med en faktor
10 × 10 = 100 av effekten.
En ökning med 30 dB (3 Bell) innebär en ökning med en faktor
10 × 10 × 10 = 1000 av effekten.
Jordbävningar och Richterskalan
Richterskalan är en skala som används för att ange styrkan hos
jordbävningar. Skalan är en logaritmisk skala där varje steg motsvarar en
ökning av magnituden (skakningen) med 10 gånger.
Vätejonkoncentration och pH
pH är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på koncentrationen
(aktiviteten) av vätejoner (H+) i en lösning. Lösningar med låga pH-värden
är sura, och de med höga kallas basiska. Lösningar som har pH 7 kallas
neutrala. Vatten har vätejonkoncentration 10−7 mol/dm3 . pH-värdet är
logaritmen för vätejonkoncentrationen med omvänt tecken.
Astronomi och magnitudskalan
Magnitudskalan som används i astronomi är en logaritmisk skala och ett
kvantitativt mått på ljusflödet som kommer från en stjärna. Skalan
skapades för 2500 år sedan av den grekiska astronomen Hipparkos och
används fortfarande. Himlens ljusstarkaste stjärna har magnituden 1 och
© G Robertsson 2016
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
11(17)
den svagaste som går att se med blotta ögat har magnituden 6. En stjärna
av 6:e magnituden är 100 gånger svagare än en av 1:a magnituden. Skalan
är logaritmisk och överensstämmer med hur ögat uppfattar skillnader i
ljusstyrka.
Basen i astronomiska magnitudskalan är
mot faktorn 100.
© G Robertsson 2016
√
5
100 (≈ 2,512) då 5 steg svarar
2016-04-02
Aritmetik
Algebra
Prefix
Regler
T
G
2
M
k
2
2
2
2
(10
a  b) 10
 a 10
2ab  b10
9
6
d
c

m
n
3
3
2
2
3
-23
2
-3
-6 2
p
3
 b) 
a  3milli
a b  mikro
3ab  bnano
hekto ( adeci
centi
(tera
a  b) giga
 a mega
2ab  bkilo
12
freePotenser
Leaks
h
2
3
10
2
3-9
( a10
 b) 10a  310
a b  310ab  10
b
-1
piko
10-12
(a  b)(a  b)  a 2  b 2
a 3  b 3 x y( a  bxy)( a 2  ab bx2 ) 1
ax
x och
y
inverser
logaritmer
a 12(17)

a
(a )  a
a xFunktioner,
a y  a x y
a 3  b 3  ( a  b)( a 2  ab  b 2 ) a x
ay
x
x
1
a
a
0
2
2 logaritmer
Räkneregler
för exponenter
och
Andragradsekvationer

a n ax
 n a bx  c  0 a  1
a xb x  (ab)xx  px  q x 0  b 
 
b
I FORMELSAMLINGEN finns räkneregler
2 för både potenser
b och
b 2 logaritmer.
4ac
p
 p
n



x
x




q
a
k

(
1
)


Geometrisk liknar varandra.
2
n 1
Räknereglerna
2
a
2
a
a  ak  ak  ... 
där k  1
2 ak 2

summa
Aritmetik
Logaritmer
Prefix
y  10 x  x  lg y
tera
giga
12
9
Potenser
10
k
mega
10
h
d
xc
lg x  lg y  lg
hekto deci ycenti
kilo
6
10
3
10
om a  0
a
a 
om a  0 x

a

a
x y
x y
 a x y
a a a
ay
a b  (ab)
x x
x
ax
a
 
x
b
b
15-09-07
Geometrisk
summa
k 1
y  e x  x  ln y
T
G
M
lg x  lg y  lg xy
10
Absolutbelopp

2
a  ak  ak  ...  ak
n 1
2
10
x
-1
10
-2
m
n

lg x p  p  lg x
milli
10
-3
mikro
10
-6
nano
piko
-9
10-12
10
(a x ) y  a xy
ax 
1
an
a0  1
na
p
1
ax
© Skolverket
a ( k n  1)

där k  1
k 1
Logaritmer och multiplikation, division
y  e x  x  ln y
y  10 x  x  lg y
HärLogaritmer
följer 5 exempel
på hur logaritmer kan
användas vid multiplikation av
tal.
x
lg x  lg y  lg
lg x  lg y  lg xy
lg x p  p  lg x
y
Exempel 1. Beräkna 10 × 100 med hjälp av logaritmer. För exemplet
om a  0
a 10-logaritmer.
behövs följande tabell
med
a 
Absolutbelopp
tal decimalform
tal potensform
logaritm

 a om a  0
0,0001
10−4
−4
0,001 0,01
10−3 10−2
−3
−2
0,1
10−1
−1
1
100
0
10
101
1
Diagrammet
sammanfattar hur beräkningen utförs.
15-09-07
10
×
100
=
1000
101
×
102
=
103
↓
↓
© G Robertsson 2016
+
2
1000
103
3
10000
104
4
© Skolverket
↑
log 10 + log 100 =
1
100
102
2
=
log(10 ⋅ 100)
3
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
13(17)
Steg Utför
1
bestäm logaritmen för 10 och 100 från tabellen
log 10 = 1 och log 100 = 2
2
addera logaritmerna
logaritmen för produkten är 1 + 2 = 3
3
kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen
logaritmen 3 svarar mot 1 000
Svar exempel 1
10 × 100 = 1000
Exempel 2. Beräkna 2 × 3 med hjälp av logaritmer. För exemplet
behövs en tabell med 10-logaritmer.
tal
potens
logaritm
1
100,0000
0,0000
2
100,3010
0,3010
3
100,4771
0,4771
4
100,6021
0,6021
5
100,6990
0,6990
6
100,7782
0,7782
7
100,8451
0,8451
8
100,9031
0,9031
Diagrammet sammanfattar hur beräkningen utförs.
2
100,3010
×
3
× 100,4771
↓
=
6
=
100,7781
↓
log 2
+
log 3
0,3010
+
0,4771
↑
= log(2 ⋅ 3)
=
0,7781
Steg Utför
1
bestäm logaritmen för 2 och 3 från tabellen
log 2 = 0,3010 och log 3 = 0,4771
2
addera logaritmerna
logaritmen för produkten är 0,3010 + 0,4771 = 0,7781
3
kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen
logaritmen 0,7781 svarar mot nästan exakt mot 6.
Svar exempel 2
© G Robertsson 2016
2×3=6
2016-04-02
9
100,9542
0,9542
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
Exempel 3.
14(17)
Beräkna 4 × 5 med hjälp av logaritmer.
Steg Utför
1
bestäm logaritmen för 4 och 5 från tabellen
log 4 = 0,6021 och log 5 = 0,6990
2
addera logaritmerna
logaritmen för produkten är 0,6021 + 0,6990 = 1,3011
1,3011 = 1 + 0,3011
3
kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmerna
logaritmen 1 svarar exakt mot 10 och 0,3011 svarar nästan exakt mot 2.
resultatet blir 10 × 2 = 20.
Svar exempel 3
4 × 5 = 20
6
Exempel 4. Beräkna med hjälp av logaritmer. För exemplet behövs
2
en tabell med 10-logaritmer.
tal
potens
logaritm
1
100,0000
0,0000
2
100,3010
0,3010
3
100,4771
0,4771
4
100,6021
0,6021
5
100,6990
0,6990
6
100,7782
0,7782
7
100,8451
0,8451
8
100,9031
0,9031
Diagrammet sammanfattar hur beräkningen utförs.
6
÷
2
=
3
100,7782
−
100,3010
=
100,4771
↓
↓
↑
log 6
−
log 2
=
log(6 ÷ 2)
0,7782
−
0,3010
=
0,4772
Steg Utför
1
bestäm logaritmen för 6 och 2 från tabellen
log 6 = 0,7782 och log 2 = 0,3010
2
beräkna skillnaden av logaritmerna
logaritmen för kvoten är 0,7782 − 0,3010 = 0,4772
3
kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen
logaritmen 0,4772 svarar nästan exakt mot 3.
Svar exempel 4.
© G Robertsson 2016
6
=3
2
2016-04-02
9
100,9542
0,9542
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
Exempel 5.
15(17)
Beräkna
3,14 × 23,4 × 187
34,5 × 9,34
med hjälp av logaritmer. Denna begreppsmässigt enkla beräkning är
arbetskrävande att utföra för hand. Med logaritmer är det enkelt att
beräkna ett approximativt värde.
Diagrammet sammanfattar hur beräkningen utförs.
3,14
×
↓
23,4
×
↓
187
÷
↓
0,4969 + 1,3692 +
2,2718
34,5
↓
-
÷
9,34
=
↓
1,5378 − 0,9703
42,6
↑
=
1,6298
Steg Utför
1
bestäm logaritmen för talen med hjälp av tabellen på sidorna 16–17
2
addera och subtrahera logaritmerna
logaritmen för resultatet blir 1,6298
3
kontrollera vilket tal som svarar mot logaritmen
logaritmen 1,6298 uppfattas som 1 + 0,6298
0,6298 svarar nästan exakt mot 4,26 och 1 svarar mot en faktor 10.
Svar exempel 5.
3,14 × 23,4 × 187
≈ 42,6
34,5 × 9,34
Kommentar Tabellen på sidorna 16–17 är 4-ställiga. Detta betyder att
logaritmerna är beräknade med 4 siffror. För bättre noggrannhet fanns
tabeller med fler siffror Vid mitten av 70-talet hade billiga elektroniska
minräknare gjort logaritmtabeller överflödiga. Multiplikation och division
med hjälp av logaritmtabell är idag överflödig men logaritmer har
fortfarande en viktig roll i matematik och vetenskap.
Logaritmtabell
På sidorna 16 och 17 visas en logaritmtabell av den typ som tidigare var
vanlig i gymnasieundervisning.
© G Robertsson 2016
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
16(17)
100 – 549
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
0
0000
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
3010
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5563
5682
5798
5911
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6902
6990
7076
7160
7243
7324
0
© G Robertsson 2016
1
0043
0453
0828
1173
1492
1790
2068
2330
2577
2810
3032
3243
3444
3636
3820
3997
4166
4330
4487
4639
4786
4928
5065
5198
5328
5453
5575
5694
5809
5922
6031
6138
6243
6345
6444
6542
6637
6730
6821
6911
6998
7084
7168
7251
7332
1
2
0086
0492
0864
1206
1523
1818
2095
2355
2601
2833
3054
3263
3464
3655
3838
4014
4183
4346
4502
4654
4800
4942
5079
5211
5340
5465
5587
5705
5821
5933
6042
6149
6253
6355
6454
6551
6646
6739
6830
6920
7007
7093
7177
7259
7340
2
3
0128
0531
0899
1239
1553
1847
2122
2380
2625
2856
3075
3284
3483
3674
3856
4031
4200
4362
4518
4669
4814
4955
5092
5224
5353
5478
5599
5717
5832
5944
6053
6160
6263
6365
6464
6561
6656
6749
6839
6928
7016
7101
7185
7267
7348
3
4
0170
0569
0934
1271
1584
1875
2148
2405
2648
2878
3096
3304
3502
3692
3874
4048
4216
4378
4533
4683
4829
4969
5105
5237
5366
5490
5611
5729
5843
5955
6064
6170
6274
6375
6474
6571
6665
6758
6848
6937
7024
7110
7193
7275
7356
4
5
0212
0607
0969
1303
1614
1903
2175
2430
2672
2900
3118
3324
3522
3711
3892
4065
4232
4393
4548
4698
4843
4983
5119
5250
5378
5502
5623
5740
5855
5966
6075
6180
6284
6385
6484
6580
6675
6767
6857
6946
7033
7118
7202
7284
7364
5
6
0253
0645
1004
1335
1644
1931
2201
2455
2695
2923
3139
3345
3541
3729
3909
4082
4249
4409
4564
4713
4857
4997
5132
5263
5391
5514
5635
5752
5866
5977
6085
6191
6294
6395
6493
6590
6684
6776
6866
6955
7042
7126
7210
7292
7372
6
7
0294
0682
1038
1367
1673
1959
2227
2480
2718
2945
3160
3365
3560
3747
3927
4099
4265
4425
4579
4728
4871
5011
5145
5276
5403
5527
5647
5763
5877
5988
6096
6201
6304
6405
6503
6599
6693
6785
6875
6964
7050
7135
7218
7300
7380
7
8
0334
0719
1072
1399
1703
1987
2253
2504
2742
2967
3181
3385
3579
3766
3945
4116
4281
4440
4594
4742
4886
5024
5159
5289
5416
5539
5658
5775
5888
5999
6107
6212
6314
6415
6513
6609
6702
6794
6884
6972
7059
7143
7226
7308
7388
8
9
0374
0755
1106
1430
1732
2014
2279
2529
2765
2989
3201
3404
3598
3784
3962
4133
4298
4456
4609
4757
4900
5038
5172
5302
5428
5551
5670
5786
5899
6010
6117
6222
6325
6425
6522
6618
6712
6803
6893
6981
7067
7152
7235
7316
7396
9
2016-04-02
freeLeaks
Funktioner, inverser och logaritmer
17(17)
550 – 999
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
0
7404
7482
7559
7634
7709
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
8451
8513
8573
8633
8692
8751
8808
8865
8921
8976
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
0
© G Robertsson 2016
1
7412
7490
7566
7642
7716
7789
7860
7931
8000
8069
8136
8202
8267
8331
8395
8457
8519
8579
8639
8698
8756
8814
8871
8927
8982
9036
9090
9143
9196
9248
9299
9350
9400
9450
9499
9547
9595
9643
9689
9736
9782
9827
9872
9917
9961
1
2
7419
7497
7574
7649
7723
7796
7868
7938
8007
8075
8142
8209
8274
8338
8401
8463
8525
8585
8645
8704
8762
8820
8876
8932
8987
9042
9096
9149
9201
9253
9304
9355
9405
9455
9504
9552
9600
9647
9694
9741
9786
9832
9877
9921
9965
2
3
7427
7505
7582
7657
7731
7803
7875
7945
8014
8082
8149
8215
8280
8344
8407
8470
8531
8591
8651
8710
8768
8825
8882
8938
8993
9047
9101
9154
9206
9258
9309
9360
9410
9460
9509
9557
9605
9652
9699
9745
9791
9836
9881
9926
9969
3
4
7435
7513
7589
7664
7738
7810
7882
7952
8021
8089
8156
8222
8287
8351
8414
8476
8537
8597
8657
8716
8774
8831
8887
8943
8998
9053
9106
9159
9212
9263
9315
9365
9415
9465
9513
9562
9609
9657
9703
9750
9795
9841
9886
9930
9974
4
5
7443
7520
7597
7672
7745
7818
7889
7959
8028
8096
8162
8228
8293
8357
8420
8482
8543
8603
8663
8722
8779
8837
8893
8949
9004
9058
9112
9165
9217
9269
9320
9370
9420
9469
9518
9566
9614
9661
9708
9754
9800
9845
9890
9934
9978
5
6
7451
7528
7604
7679
7752
7825
7896
7966
8035
8102
8169
8235
8299
8363
8426
8488
8549
8609
8669
8727
8785
8842
8899
8954
9009
9063
9117
9170
9222
9274
9325
9375
9425
9474
9523
9571
9619
9666
9713
9759
9805
9850
9894
9939
9983
6
7
7459
7536
7612
7686
7760
7832
7903
7973
8041
8109
8176
8241
8306
8370
8432
8494
8555
8615
8675
8733
8791
8848
8904
8960
9015
9069
9122
9175
9227
9279
9330
9380
9430
9479
9528
9576
9624
9671
9717
9763
9809
9854
9899
9943
9987
7
8
7466
7543
7619
7694
7767
7839
7910
7980
8048
8116
8182
8248
8312
8376
8439
8500
8561
8621
8681
8739
8797
8854
8910
8965
9020
9074
9128
9180
9232
9284
9335
9385
9435
9484
9533
9581
9628
9675
9722
9768
9814
9859
9903
9948
9991
8
9
7474
7551
7627
7701
7774
7846
7917
7987
8055
8122
8189
8254
8319
8382
8445
8506
8567
8627
8686
8745
8802
8859
8915
8971
9025
9079
9133
9186
9238
9289
9340
9390
9440
9489
9538
9586
9633
9680
9727
9773
9818
9863
9908
9952
9996
9
2016-04-02