Studiehandledning

Studiehandledning
Matematik 3
1
Tal och talområden
Detta, det första avsnittet i boken kan du behandla ganska översiktligt. Det viktigaste är att du känner till
att det finns olika talområden, och att de betecknas med olika bokstavssymboler.
N De naturliga talen 0,1,2,3...........
Z De hela talen .........-3,-2,-1,0,1,2,3......
Q De rationella talen Tal som kan skrivas som en kvot, t.ex. 2/3
R De reella talen Ex 5 , π
Det finns ytterligare ett talområde – C de komplexa talen – med det ligger utanför ramen för denna kurs.
Grundläggande definitioner
Begreppen konstant, variabel och koefficient är viktiga.
• En konstant har alltid samma värde. Talet 5 t.ex. är en konstant.
• En variabel är, som namnet anger, en storhet som kan variera. Variabler betecknas med
bokstäver. Det är vanligt att man använder bokstäverna x, y, z , men i princip kan man använda
vilken bokstav som helst. Det som kan vara lite förvirrande till att börja med, är att även en
bokstav ibland kan vara en konstant, t.ex. konstanten K . Om en bokstav är en variabel eller en
konstant avgörs av sammanhanget.
• En konstant som står framför en variabel kallas koefficient. I uttrycket 3 x + 2 y kallas 3
koefficienten för x, och 2 koefficienten för y.
Potenser
De grundläggande potenslagarna bör du vara bekant med sen tidigare. Alla potenslagar hittar du i
formelsamlingen..
Potenslagarna kan tillämpas på både tal och variabler. Det är viktigt att hålla i minnet att lagarna är
desamma, men att tillämpa dem på variabler är förmodligen svårare än att tillämpa dem på tal.
När det gäller division av potenser kan man göra på två sätt – förkorta eller använda divisionsregeln.
Potensekvationer
I detta avsnitt tas bara upp exempel som har en positiv lösning.
Följande exempel leder till en s.k. potensekvation.
Vilken förändringsfaktor x krävs för att ett kapital på 5000 kronor ska fördubblas under 10 år?
5000 ⋅ x10 =
10000
Division av båda leden med 5000 ger
x10 = 2
För att lösa potensekvationen används tekniken som visas på sid. 28.
1
Potensekvationen
x n = b har lösningen x = b n
2
Tillämpat på detta exempel innebär det att båda leden upphöjs till
1
1
, vilket ger
10
1
( x10 )10 = 210
1
x = 210
1
Värdet av
(
210 slår du på miniräknaren. Glöm inte att sätta parentes kring exponenten
1
, dvs du matar
10
1
)
10
in 2
i räknaren. Resultatet blir ≈ 1, 07 .
Förändringsfaktorn 1,07, säger oss att ökningen måste vara 7 % per år.
Om man vet vad man gör kan man få samma resultat lite smidigare genom att på räknaren slå
−1
210 Det finns en tangent på miniräknaren med beteckningen x −1 , som används för att mata in en
potens med negativ exponent. (Ev. betecknas tangenten 1/ x )
1
1
−1
. Kontrollera att det stämmer!
Svaret blir detsamma som ovan, eftersom 10= =
1
10 10
1
Om du har en grafräknare kan du beräkna
210 på ytterligare ett sätt.
1
210 kan även skrivas
x
10
2 (”Tionde roten ur 2”)
under ”MATH” används för att beräkna ” x :te roten ur”
Du matar först in 10, väljer därefter ”MATH” , sedan alternativet
resultatet blir detsamma som tidigare.
x
, och matar sen in 2:an. Kolla att
Kvadratrötter
”Kvadratroten”,
, ur ett tal är underförstått ”andra roten” ur talet, dvs.
=
2
Kvadratrot definieras enligt följande:
a⋅ a =
a , eller om man så vill
1
Enligt en potenslag gäller
2
a⋅2 a =
a (a ≥ 0)
1
a 2 ⋅ a 2 = a1 = a .
1
Det finns alltså ett samband mellan kvadratrötter och potenser, eftersom detta visar att
a2 = a
Ytterligare samband mellan kvadratrötter och potenser hittar du i rutan ”Räkneregler för kvadratrötter”
på sid 25.
I ex 13 visas att
45 = 3 ⋅ 5 . I allmänhet vill man ha ett så litet tal som möjligt under rottecknet, och
skriver därför hellre
3 ⋅ 5 än
45
Titta även på exempel 15: Man undviker oftast att ha kvadratrot i nämnaren.
3
Logaritmer
Tiopotenser har du stött på tidigare. T.ex. kan talet 1000000 kortare skrivas
106 .
1
1
= =
10−3
3
1000 10
0
Observera att 1 kan skrivas 10
Ett annat exempel:
I tiopotensen
0, 001
=
103 , kallas talet 10 bas, och talet 3 exponent.
Med (tio)logaritmen för ett tal menas exponenten, när man skriver talet som en tiopotens.
(Man kan använda logaritmer med andra baser än 10, men när man säger logaritmen menas
underförstått tiologaritmen.)
Ex: Talet 1000 kan skrivas
lg1000 = 3
Ex: Talet
103 . ”Logaritmen för 1000 är 3”, vilket med matematiska symboler skrivs
0, 001 kan skrivas 10−3 . ”Logaritmen för 0,001 är -3”, eller med symboler; lg 0, 001 = −3 .
Att skriva t.ex. talet 50 som en tiopotens blir lite knepigare. Hur mycket ska man upphöja 10 till för att
det ska bli 50. Eftersom 10 = 10 , och 10 = 100 , inses att man måste upphöja tio till ”nånting mellan 1
och 2” för att det ska bli 50. Man kan givetvis pröva sig fram, men enklare får man svaret genom att
använda tangenten LOG på räknaren som ger resultatet 1, 69897... Man skriver: lg 50 = 1, 69897....
1
2
Anm: Logaritm skrivs “ lg ”, men knappen på räknaren har beteckningen LOG .
Den definition av logaritm som finns på sidan 34 i boken kan kompletteras och göras ”mer
matematisk”. På sikt tror jag det ökar förståelsen för vad ”logaritmer är”.
Varje tal a > 0 kan skrivas som en tiopotens, 10 , dvs
skrivs lg a . Sambandet kan då skrivas lg a = b .
b
Dessa två samband
a = 10b . Talet b kallas logaritmen för a , vilket
a = 10b (1)
lg a = b (2)
kan också formuleras på ett annat sätt.
Om vi i första sambandet ersätter
b med lg a kan vi skriva a = 10lg a (3) (Bokens definition)
I det andra sambandet ersätter vi a med 10 och skriver lg10 = b (4)
De två första sambanden är själva definitionen av logaritm, och de två andra är en direkt följd av
definitionen.
b
b
4