Grundskolans matematiktävling
Finaltävling fredagen den 29 januari 2010
DEL 1
Tid 30 min
Poängantal 20
I den här delen används inte räknare.
Motivera alltid din slutsats med matematiska uttryck, figurer, förklaring el.dyl.
1.
Vilket är det största heltalet, som uppfyller följande villkor?
Talet är större än 100.
Talet är mindre än 200.
Då talet avrundas till närmaste hundratal är det 20 större än om det
avrundas till närmaste tiotal.
2.
Ersätt bokstäverna med tal så, att de olika
bokstäverna motsvarar olika tal.
3.
Trianglarna ABC och DBC är likbenta.
Hur lång är sidan BD?
4.
Hur stor är den på kuben ritade vinkeln ABC?
5.
Vilken siffra står på entalens plats då talet 2
2010
uttrycks med hjälp av
tiosystemet?
6.
Är det möjligt att kvadraten av ett positivt tal är lika stor som två gånger
samma tal i kubik? Ifall det är möjligt, ge ett exempel. Ifall det inte är möjligt,
motivera varför inte.
7.
Vilket är det minsta värdet som produkten av fyra heltal kan få, då talen är
påvarandraföljande tal med differensen två?
8.
Parallellogrammen ABCD är indelad i
nio
mindre
parallellogrammer.
Parallellogrammen ABCD:s omkrets
är 25 cm och omkretsen för fyra
mindre
parallellogrammer
ses
i
figuren. Hur lång är omkretsen av
den mittersta mörka parallellogrammen?
9.
Årtalen 2009 och 2010 kan enkelt ändras till talen 200
9
och 20
10
. Vilket av
dessa tal är större och hur många gånger större är det i förhållande till det
mindre av talen?
10.
Är det möjligt att rita nio sträckor i ett plan så, att varje sträcka skär exakt tre
andra sträckor?
Grundskolans matematiktävling
Finaltävling fredagen den 29 januari 2010
DEL 2
Tid 45 min
Poängantal 20
I den här delen används ett geobräde med 11·11 piggar, ifall annat inte
nämns, samt rutpapper. Figurerna kan även ritas på ett skilt punktpapper.
1. Den minsta kvadraten som kan formas på geobrädet
är den som har 2 ∙ 2 piggar. Den kan med en uttöjd
gummisnodd delas i två likformiga delar endast på ett
sätt då gummisnodden inte får fästas utanför kvadraten. Lösningar, som fås
genom vridning eller spegling är inte olika.
På hur många olika motsvarande sätt kan du dela följande fyrhörningar i
två likformiga delar, då fyrhörningarnas sidor är parallella med brädets kanter?
a) 4 ∙ 4 piggar
b) 5 ∙ 5 piggar
c) n ∙ n piggar
d) m ∙ n piggar (m ≠ n)
Rita dina lösningar eller motivera med förklaringar.
(7 poäng)
2. Bilda en kvadrat vars sidor är parallella med brädets kanter. Dela in den i två
likformiga delar med en gummisnodd som bildar en bruten linje och inte går
utanför kvadraten. Över hur många piggar måste gummisnodden tänjas för att
delarna skulle få möjligast många hörn, då kvadraten har
a) 4 ∙ 4 piggar
b) 5 ∙ 5 piggar?
Rita dina lösningar.
(4 poäng)
3. Bilda en konvex månghörning med en så stor area som möjligt på geobrädet
med 11∙11 piggar. Dela sedan månghörningen med en till en sträcka uttänjd
gummisnodd så, att snodden inte går utanför månghörningen. Dela den andra
av delarna på liknande sätt i två delar.
Hur många hörn kan de tre bildade månghörningarna totalt ha ifall den
ursprungliga figuren är
a) en fyrhörning
b) en femhörning?
Rita dina lösningar.
Hur många hörn kan de bildade månghörningarna totalt högst ha, då den
ursprungliga månghörningen är
c) en sjuhörning
d) en n-hörning?
Rita dina lösningar eller motivera med förklaring.
(7 poäng)
4. Bilda en konvex månghörning med så många hörn som möjligt på geobrädet
med 11∙11 piggar. Rita din lösning och ange månghörningens area så att
areaenheten är brädets minsta kvadrat.
(2 poäng)
Grundskolans matematiktävling
Finaltävling fredagen den 29 januari 2010
DEL 3
Tid 60 min
Poängantal 30
Motivera dina svar och förklara dina slutsatser.
1. Bestäm alla positiva heltal n, för vilka även
1 1
2. 1 2
1 2
2
3
... 1
z
198 är ett positivt heltal.
4n 3
1
x
2 2 2010
2010
Vilket tal är x?
3. Med hjälp av sådana plan, som skär kanternas mittpunkter i en symmetrisk
tetraeder, skärs bort fyra små tetraedrar, en från varje spets av tetraedern.
a) Hur många kanter finns i den kvarblivna mittdelen av tetraedern?
b) Hur många sidor har den kvarblivna delen?
c) Hur stor är den kvarblivna delens volym i förhållande till den ursprungliga
tetraederns volym?
4. I Rädda världen –datorspelet beskrivs världen med ett tredimensionellt
koordinatsystem där iakttagaren står i origo på planetens yta. Koordinatsystemets x-axel är riktad mot norr, y-axel mot väster och z-axeln är riktad
lodrätt uppåt. Vid begynnelsesituationen fäller en obekant rymdfarkost en
giftbomb från ett ställe som har koordinaterna x = 15 000 m, y = 20 000 m,
z = 10 000 m. Bombens läge som funktion av tiden beskrivs av
x = 15 000 – 200t
y = 20 000 + 200t
z = 10 000 – 100t,
där t är tiden i sekunder och koordinaterna är uttryckta i meter.
a) Hur mycket tid har spelaren innan bomben träffar planetens yta?
b) I vilken riktning (väderstreck) rör sig bomben?
c) På vilket avstånd från iakttagaren träffar bomben planetens yta?
5. Swahili talas allmänt i Öst-Afrika, där ca 50 miljoner människor talar det som
andra språk. Cirka fem miljoner människor talar swahili som modersmål.
De swahiliska orden mtu, mbuzi, mgeni, jito, jitu och kibuzi motsvaras av
jätte, killing (liten get), obekant, get, människa och stor flod, men inte i
samma ordning. Resonera dig fram till vad orden betyder.
