Varierat arbetssätt i matematik
- En studie genomförd i år 9.
Pia Forsberg Lundmark
VT 2007
Sammanfattning
Syftet med detta arbete är att skapa ett arbetssätt på min arbetsplats som gör att vi bättre
kan nå styrdokumentens mål på en mer kommunikativ, praktisk och laborativ
matematikundervisning. Jag har också studerat om eleverna gynnats av detta arbetssätt.
Lärarnas utvecklingsarbete vilar på grunderna av aktionslärande och är inspirerad av
modellen för lesson study. En jämförande studie har gjorts av elevernas attityder och
kunskaper inom två områden, ett där de arbetat med enskilt tyst räkning i boken och ett
där de arbetat med mer laborativ matematik.
Lärarna upptäckte många fördelar med den arbetsmodell som användes. De upplevde att
de fick ett bättre samarbete mellan varandra och att modellen inbjöd till en utveckling av
deras professionalism.
Eleverna var positiva till praktisk matematik i högre utsträckning innan de provat på det i
jämförelse med efter. Elevernas kunskaper verkade vara mer bestående när de arbetat med
praktiska uppgifter inom ett område.
Nyckel ord: aktionslärande, laborativ matematik, lesson study, praktisk matematik
2
Innehållsförteckning
Inledning…………………………………………………………………
Matematikutveckling…...…………………………………………………
Skolutveckling…………………………………………………………….
Lokal skolutveckling………………………………………………………
Syfte och frågeställning……………………………………………………
2
2
3
4
4
Metod……………………………………………………………………..
5
5
6
6
Urval……………………………………………………………………….
Datainsamlingsmetoder……………………………………………………
Genomförande……………………………………………………………..
Resultat……………………………………………………………………
Vilken är elevernas attityd till matematik och förändras den över tid?…...
Förändras elevernas kunskaper om de får arbeta mer med praktisk
matematik? ………………………………………………………………..
Blir kunskapen mer beständig om man arbetar mer med praktisk
matematik?…………………………………………………………………
7
7
Diskussion………………………………………………………………..
Fortsatta studier……………………………………………………………
11
17
Litteraturlista……………………………………………………………
18
9
10
Bilaga 1, Enkät/utvärdering………………………………………………… 19
Bilaga 2, Självskattning i matematik……………………………………….. 20
Bilaga 3, Planering av geometrikapitlet……………………………………. 21
Inledning
Jag har arbetat som högstadielärare i matematik och naturorienterande ämnen i sju år och har
under denna tid uppmärksammat att det finns många elever som upplever matematiken i
skolan som ett svårt ämne. Jag har genom åren haft elever som ifrågasätter vad de ska ha
matematiken till när de lämnat skolans värd. De förstår vikten av den allra mest
grundläggande matematiken för att kunna klara ett liv i det samhälle vi har idag men vartefter
matematiken blir mer och mer komplex verkar också eleverna tappa sin förståelse för det
syfte matematiken har. Detta i kombination med att matematiken är ett basämne blir en svår
ekvation. Eleverna vet att matematiken är ett viktigt ämne men de förstår inte varför. Jag tror
att ett sätt att göra matematikens syfte klarare är att så ofta det är möjligt knyta den till
vardagen och den verklighet vi lever i. En förutsättning för att kunna göra det är att de lärare
som planerar och genomför undervisningen vågar släppa tagen om läroboken oftare. På min
arbetsplats har trenden varit mestadels tyst enskild räkning i en lärobok något som jag tror har
bidragit till elevernas oklara syn på dess syfte. Jag har också upplevt
matematikundervisningen som mindre stimulerande för mig som lärare jämfört med den
stimulans jag funnit i att undervisa i de naturorienterande ämnena. Jag har inte upplevt samma
utveckling hos mig som pedagog när jag undervisat i matematik. Detta har inte med ointresse
att göra utan snarare bristen på kreativitet och pedagogisk diskussion. Att arbeta
läromedelsstyrt kräver inte kreativitet och utveckling på samma sätt.
Detta arbete handlar om hur man kan arbeta med matematik i skolan på ett sätt som
främjar arbetsglädjen och utvecklingen hos både elever och pedagoger och på samma sätt
få syftet med matematiken klarare för eleverna.
Matematikutveckling
I januari 2003 beslutar regeringen att tillsätta en delegation med uppdrag att utarbeta en
handlingsplan med förslag till åtgärder för att öka intresset för matematik, utveckla
undervisningen samt förbättra attityden till ämnet. Bakgrunden till detta var framför allt
rapporter om de svenska elevernas bristande intresse för och kunnande i matematik.
Studier som TIMMS1 och PISA2 har under flera år visat att svenska elever tappar mark i
förhållande till andra länder och att svenska elevers intresse för matematik ligger klart
under genomsnittet (Skolverket, 2001). Delegationens betänkande presenterar bl.a. att det
behövs fler utvecklingsprojekt för lärargrupper och att ett regionalt nätverk av
resurspersoner bör byggas upp (SOU 2004:97). Delegationen presenterar också ett tydligt
ställningstagande mot enskild tyst räkning:
”Vi tar avstånd från den växande trenden av enskild räkning i svensk skola, allt talar för att
denna trend är skadlig. För att de lärande ska få lust och vilja till att lära sig meningsfull
matematik krävs att lärarens kompetens och tiden för matematikundervisningen utnyttjas bättre.
Diskussioner och samtal i och om matematik ska vara en naturlig del av
matematikundervisningen” (s. 89)
Kursplanerna i matematik (Utbildningsdepartementet, 1998) belyser vikten av att variera
arbetssättet mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och matematiska begrepp,
metoder och uttrycksformer för att framgångsrikt kunna utöva matematik. Dessutom
1
TIMMS står för ”Trends in International Matematics and Sciense Study”. Studiens målsättning är att beskriva
och jämföra trender inom elevprestationer både nationellt och internationellt.
2
PISA- Programme for International Student Assessment.
2
betonar man att elever ska ges möjlighet att kommunicera matematik. Skolverket (2003)
menar att en mer varierad undervisning ökar engagemanget och lusten att lära hos
eleverna:
”Ett varierat arbetssätt med inslag av laborativt arbete och arbete både individuellt och i olika
gruppkonstellationer måste införas där lärobokens närmast totala dominans minskas till förmån
för olika läromedel och undervisningsmateriel för att nå målen” (s 1).
Undervisningen i matematik har blivit allt tystare och mer isolerad till den enskilde
eleven. Trots kursplanens fokus på kommunikation visar den att interaktionen mellan
eleverna minskat snarare än ökat de senaste tio åren (NU3-03).
Ovan nämnda styrdokument talar tydligt om för oss att vi bör arbeta med ett arbetssätt
som är varierat, laborativt, kommunikativt och problemlösande inom matematiken och att
lärobokens dominans ska minskas. Att hitta metoder för detta arbetssätt förefaller svårt då
det fortfarande inte används i någon större utsträckning, trots att detta är vårt uppdrag i
skolan. Kursplanerna har, under de senaste åren, utvecklats till att innehålla allt fler
processmål som t.ex. begreppsförståelse, kommunikation och problemlösning
(Utbildningsdepartementet, 1998). Dessutom betonar kursplanerna att matematiken är ett
laborativt och kommunikativt ämne.
Uttrycket praktisk matematik används hädanefter i rapporten som ett sammanfattande ord
för ett arbetssätt som fokuserar på kommunikation, variation i arbetssätt, laborativa inslag
och problemlösning.
Skolutveckling
Scherp (2003) menar att lärande alltid pågår i olika former men att kvalitén på lärandet
avgörs av den planering som kommer före lärprocessen. Han pratar om en skillnad mellan
görandeinriktat lärande och förståelseinriktat lärande där det förstnämnda innebär en
fokusering på resultat medan man i det senare fokuserar mer på processen och på att
försöka förstå varför vissa lösningar är mer framgångsrika än andra. Det finns alltså inget
likhetstecken mellan ett gott resultat och en god lärprocess hos de inblandade. För att en
lärprocess ska påbörjas måste man fundera över varför resultaten var goda. Sarv (1997)
beskriver detta med en metafor:
”Det är livsviktigt att följa upp resultatet, men en fotbollstränare som bara sitter och tittar på
resultattavlan har inte mycket att tillföra laget. Han måste också titta på spelet på planen. Han
måste också kunna bidra till analysen av vad som åstadkommer resultaten” (s.55)
En förutsättning för skolutveckling är enlig Scherp att det förekommer en lärandeprocess
hos de inblandade.
Skolutveckling är problembaserad och består av olika faser (Scherp, 2003). Den första
fasen är den problemskapande fasen där man upptäcker och definierar problemet. I den
andra fasen, den förståelsefördjupande, startar själva skolutvecklingen. Genom att
verkligen förstå problemet kan man komma fram till bättre lösningar på det. En förändring
kan bara ske när det finns en förståelse för uppdraget och det är en av skolledarnas
viktigaste uppgifter att se till att alla har förstått vad uppdraget går ut på. Dialogen är ett
3
NU står för ”Nationella Utvärderingen” som initierats av Skolverket för att ge en bild av grundskolans
utveckling. Genomfördes 1992 och 2003.
3
viktigt verktyg för att förståelseprocessen ska starta. Att ta del av andra människors
perspektiv leder till att man vidgar sina egna och därigenom startar ett lärande. Att samtala
med andra mer om lärdomar och mindre om vad man gjort och ska göra fördjupar
lärprocessen. Fas tre innebär att man utifrån den ökade förståelsen arbetar fram olika
lösningsförslag tillsammans som sedan kan provas och utvärderas.
Lokal skolutveckling
Min arbetsplats är en 0-9 skola med ca 400 elever i en mindre kommun i norra Sverige
med knappt 9000 innevånare. Skolans personal arbetar i arbetslag med 4-10 personer i
varje och har två rektorer, en för de lägre åldrarna (år 1-6) och en för de högre (år 7-9).
Delegationens betänkande (SOU 2004:97) satte sina spår ute i landet och redan våren
2005 fattades ett beslut i barn- och utbildningsnämnden i kommunen att man skulle
avsätta medel för en framtida satsning inom matematiken. Detta innebar att ett
matematikprojekt startade i kommunen. En projektledare tillsattes på halvtid som
tillsammans med ett antal intresserade matematiklärare/fritidsledare från förskolan upp till
skolår 9 utgjorde den s.k. ”MATTE-gruppen”. Deltagarna i gruppen kallades för lärledare
och hade till uppgift att bilda ett eget nätverk av matematikintresserad personal på den
egna arbetsplatsen för att där starta upp ett långsiktigt skolutvecklingsarbete inom ett för
dem relevant område.
Min nätverksgrupp bildades av fyra matematiklärare verksamma på högstadiet samt en
specialpedagog. Eftersom framgångsrik skolutveckling handlar om att hitta lösningar på
de problem man möter i undervisningssituationer (Scherp, 2003) var det viktigt för oss att
vi utgick ifrån ett problemområde som vi kände var tydligt och angeläget för oss att
utveckla. Många problemområden diskuterades i gruppen och till slut enades vi om att ett
stort problem var att undervisningen vid våra lektioner var allt för läroboksstyrd. Lärarna
tyckte att det låg ett allt för stort fokus på enskild räkning ur boken och detta upplevde vi
alla som hämmande av kreativitet och förståelse. Vår hypotes var att ge eleverna fler
referenspunkter av ett arbete med mer praktisk matematik och på så sätt göra kunskapen
djupare och mer bestående. Begrepp utan koppling till erfarenhet och observation blir lätt
kraftlösa och tomma (Tiller, 2002). Gruppen matematiklärare delades in i två mindre
grupper och detta arbete beskriver samarbetet mellan två av dessa samt en
specialpedagog.
Syfte och frågeställning
Huvudsyftet med detta arbete är att skapa ett nytt arbetssätt för matematikundervisningen
vid min skola så att vi bättre kan nå målen i våra styrdokument. Jag ska också studera om
eleverna gynnas av en undervisning som är mer praktisk.
-
Vilken är elevernas attityd till praktisk matematik och förändras den genom
att de arbetar mer praktiskt?
Förändras elevernas kunskaper om de får arbeta mer praktiskt inom området
geometri?
Blir kunskapen mer beständig om man arbetar mer med praktisk matematik?
4
Metod
Hela arbetet vilar på grunderna av ett aktionslärande. Tiller (2002) definierar begreppet
aktionslärande på följande sätt:
”Aktionslärande kan definieras som en kontinuerlig lärande- och reflektionsprocess, som är
stöttad av kollegor och där intentionen är att uträtta något” (s.63)
Tiller understryker också vikten av reflektion som en viktig faktor för att kunna koppla
ihop tidigare erfarenheter med våra framtida handlingar. Därför har de lärare som varit
involverade i arbetet i år 9 löpande skrivit loggbok enligt den modell som finns beskriven
av Tiller (2002). Arbetet beskrivs som en fallstudie av hur utvecklingsarbetet har fortlöpt.
I en fallstudie använder man sig av en mångfald av metoder för på djupet studera fallet,
som t.ex. intervju, observation, prov och enkäter (Johansson m.fl. 2004).
Arbetssättet i utvecklingsarbetet har varit inspirerat av s.k. ”lesson study”. Lesson study
innebär enligt Marton (2003) att en grupp lärare tillsammans utvecklar, utvärderar och
omarbetar lektioner flera gånger och sedan delger andra med de resultat man kommer
fram till. Marton menar att det inte enbart är själva lektionen som är målet utan också att
de engagerade lärarna ska utveckla en förståelse kring hur en lektion fungerar och varför.
Arbetet ska följa en 8-stegs modell enligt följande:
• Definiera problemet
• Planera lektionen
• En lärare genomför lektionen, de andra observerar
• Utvärdera och reflektera
• Omarbeta lektionen efter gjorda erfarenheter
• En annan lärare genomför den omarbetade lektionen
• Utvärdera och reflektera
• Delge andra resultat och insikter.
De undervisande lärarna i år 9 planerat, reflekterat och utvärderat gemensamt och sedan
gjort om planeringen efter gjorda erfarenheter för att de ska kunna provas igen nästa år
och då, efter gjorda erfarenheter, omarbetas ytterligare. Lektionsbesök hos varandra har
inte gjorts.
Urval
Studien har genomförts i år nio på min arbetsplats, en 0-9 skola i en mindre kommun i
Norrland. Utvecklingsarbetet vid skolan har pågått sedan 2005 i många olika former men
denna studie begränsar sig till det arbete som skett i år 9 inom området geometri. Studien
omfattar 65 elever som är fördelade på tre klasser. Två matematiklärare och en
specialpedagog arbetar i de klasser som deltagit i studien. Dessa klasser har valts ut
eftersom de ingår i det arbetslag jag arbetar i och jag undervisar också en av de tre
klasserna i matematik. Alla elever som går i åk nio har deltagit i studien med undantag för
bortfall genom sjukdom eller ledighet.
5
Datainsamlingsmetoder
För att ta reda på elevernas attityd till matematikämnet och se om den förändras över tid
har enkät använts vid två tillfällen (se fråga nummer 1 i bilaga 1). Enkäterna bygger till
viss del på de som finns i skolverkets diagnostiska prov för åk 6-9. Den första enkäten
gjordes innan geometriområdet startades och den andra när området var avslutat.
För att ta reda på om elevernas kunskaper i matematik förändras om de får arbeta mer
praktiskt och kommunikativt inom geometriområdet har jag valt tre metoder. En metod är
att jämföra resultatet på provet i geometri med tidigare resultat från samma elevgrupp. Ett
annat sätt har varit att jämföra provresultat med tidigare års nior som gjort samma prov
men inte arbetat laborativt och kommunikativt. Slutligen har eleverna också gjort
självskattningar av sin kunskap (se bilaga 2).
För att se om kunskapen blir mer beständig av att arbeta mer praktiskt i matematiken har
jag valt att låta eleverna göra om geometriprovet ca fem månader efter de gjorde det första
gången. På samma sätt har eleverna fått göra om ett prov från ett avsnitt (mer om tal) där
de inte arbetat kommunikativt och praktiskt för att få en referens.
Genomförande
För att undersöka hur vi som arbetar med matematiken i år 9 på min arbetsplats kan
förändra arbetssätt och metodik för att uppnå kursplanernas krav insåg vi att vi behövde
lämna läroboken oftare för att diskutera mer matematik och lösa mer praktiska problem.
Genom att arbeta på detta sätt hoppades vi få eleverna mer motiverade och att förankra
matematiken mer i vardagslivet för att göra den mer konkret och meningsfull (Tiller,
2002). Vi ville med detta arbete också skapa förutsättningar för att arbetssättet skulle
kunna fortsätta även under andra arbetsområden inom matematiken för att så småningom
ha en bank av lättillgängliga uppgifter som är testade och utvärderade av lärare och elever
och dessutom hitta ett enkelt och naturligt sätt att fylla på denna bank med uppgifter
kontinuerligt.
Den planering (se bilaga 3) de undervisande lärarna arbetat fram innehåller kommentarer
och tips till de som ska använda den nästa gång och vår förhoppning är att den fortsätter
att utvecklas enligt modellen för aktionslärande när fler lärare provat och utvärderat den.
För att göra undervisningen mer kommunikativ gjordes elevernas arbete i mindre grupper.
Vi valde att låta eleverna arbeta i par och detta innebar rent praktiskt att eleverna i paret
hade terminen innan fått liknande betyg i matematik. Grupperna behöll man genom hela
arbetsområdet och dessa ändrades bara om någon var frånvarande för att säkerställa att
alla hela tiden hade någon att arbeta med. Arbetet på lektionerna var ofta upplagt enligt
följande:
•
•
•
En kortare genomgång
Arbete i paren med uppgifter
Gemensam genomgång i klassen
Arbetsuppgifternas innehåll har haft ett fokus på upptäckande och kommunikation (se
bilaga 3). Innan arbetet med eleverna startade informerades elever och föräldrar om
projektet och dess syfte.
6
När enkäter och självskattningar till eleverna använts har dessa delats ut av mig och fyllts
i av alla elever i en klass samtidigt. Eleverna har informerats om att enkäten används i en
studie som handlar om praktisk matematik i skolan. Alla elever som varit på skolan den
dag enkäterna delades ut har svarat på dem. Enkäterna genomfördes på samma dag i alla
klasser.
När eleverna gjort proven har de haft samma förutsättningar som de brukar ha vid
provtillfällen. Proven kommer ur Matte Direkts lärarhandledning (Carlsson m.fl. 2003)
och har använts utan ändringar. Proven har en A och en B-del och under B-delen har
eleverna fått använda miniräknare enligt läromedelsförfattarnas rekommendationer. De
har också rättats enligt den rättningsmall som följer med handledningen. Prov ur denna
handledning har eleverna använt tidigare vid avslutat kapitel och modellen är således
bekant för dem. Eleverna gjorde provet till avsnittet ”geometri” gemensamt på ett
förbestämt datum efter området avslutats. De blev inte informerade om att samma prov
skulle göras igen fem månader senare och hade därför inte möjlighet att förbereda sig
inför detta. När provet sedan gjordes blev eleverna informerade om att syftet med detta
var att studera hur mycket av inlärd kunskap som fanns kvar jämfört med det första
provtillfället. Som referens till detta prov gjordes samma procedur med ordinarie prov och
ett jämförande prov fem månader efter det första inom området ”mer om tal” där eleverna
endast arbetat med genomgångar och enskilt arbete i boken. Efter det första provet i varje
område rättats fick eleverna en genomgång av provuppgifterna i samband med
provutlämningen.
Dokumentationen av lärarnas löpande upplevelser av arbetet skrevs ned i loggboksform
när läraren ansåg sig ha något att anteckna. Lärarna uppmanades följa G-L-L-metoden
som Tiller (2002) beskriver, dvs. gjort, lärt och listat ut, med fokus på vad man lärt och
vad man listat ut, alltså vilka lärdomar och erfarenheter man gjort. Vid träffar varje vecka
diskuterade sedan lärarna sina upplevelser och gjorde eventuella ändringar i den
gemensamma planeringen om det ansågs nödvändigt.
Resultat
Resultaten presenteras utifrån de frågeställningar jag hade i undersökningen. De beskrivs
löpande i samma ordning som de förekom i frågeställningen.
Vilken är elevernas attityd till praktisk matematik och förändras den
genom att de arbetar mer praktiskt?
I enkätundersökningen (se bilaga 1) kan vi se att ungefär hälften av eleverna svarar att de
känner sig nöjda i matematik när de förstått eller lärt sig något. Svaren är lika i den enkät
som gjorts innan geometriavsnittet och i den som gjorts efteråt (se fråga 2 i bilaga 1). I
enkäten gjord innan geometriområdet svarar 44 % av eleverna att de känner sig nöjda när
de fått bra betyg eller bra resultat på provet. I enkäten efter geometriområdet är
motsvarande siffra bara 27 %. Efter geometriområdet förekommer oftare svar som ”när
jag använder matematik i verkliga livet” eller ”när jag förklarat för någon”. 10 % av
eleverna svarar att de aldrig känner sig nöjda i matematik, resultatet är detsamma i både
före och efter geometriområdet där eleverna arbetat med praktisk matematik. ”Innan jag
började räkna” svarar en elev på samma fråga.
7
Innan eleverna arbetade med geometriavsnittet svarade 28 % av eleverna att de lär sig
matematik bäst när de samarbetar i grupp och när de får arbeta med praktiska uppgifter.
Motsvarande siffra efter geometrin är 25 %. Andelen elever som tycker att de lär sig bäst
genom tyst räkning i boken ökade från 14 % före till 31 % efter geometriavsnittet. Detta
innebär att eleverna tyckte att praktisk matematik var bra för deras inlärning i högre
utsträckning innan de fick jobba så mycket med det och att de tyckte att böckerna var
bättre efter de hade jobbat mer praktiskt. En elev uttryckte sig så här om hur man lär sig
matematik bäst ”när jag vet svaret på en fråga och sedan försöker räkna ut så att det blir
rätt.”
Tabell 1. Elevernas attityd till praktisk matematik i år 9.
Positiva
Negativa
Varken eller
Före geometriavsnittet
Efter geometriavsnittet
76 %
10 %
14 %
56 %
16 %
28 %
Andelen elever som är positiva till praktisk matematik har minskat efter att eleverna fått
arbeta med praktisk matematik (se tabell 1). Detta kan jämföras med deras syn på
matematik generellt (se tabell 2).
Tabell 2. Elevernas attityd till matematik i år 9
Positiva
Negativa
Varken eller
Innan geometriavsnittet
Efter geometriavsnittet
46 %
40 %
14 %
55 %
31 %
14 %
Andelen elever som är positiva till matematiken har ökat efter arbetsområdet där praktisk
matematik använts.
Elevernas syn på samarbetet med sina kamrater ser väldigt lika ut före och efter
geometrin. Ungefär 80 % har positiva erfarenheter, 10 % negativa och 10 % tycker att det
varit varken bra eller dåligt enligt svar på fråga 6 i bilaga 1.
I enkäten som gjordes efter det mer praktiska området om geometri framkom
kommentarer som var både positiva och negativa till det praktiska arbetssättet, några
exempel på dessa är:
”Roligt med praktisk matematik men jag lär mig mer ur böckerna”
” Det är dåligt med praktisk matematik, ingen tar ansvar och man lär sig inget”
”Kul men jag vet inte om man lär sig nåt”
”Det tar längre tid och känns onödigt då jag lät mig lätt”
”Om vi jobbat i boken hade jag inte klarat provet så bra”
”Man lär sig djupare in i uppgiften, det blir lättare att förstå”
”Jag har hjälpt och hjälpts”
”Roligare och mer lärorikt med mer praktiskt”
”Matte är onödigt komplicerat”
8
Förändras elevernas kunskaper om de får arbeta mer praktiskt inom
området geometri?
När geometriavsnittet avslutats ombads eleverna att fylla i en enkät (se bilaga 1). Vid
denna tidpunkt upplevde 31 % av eleverna att de lär sig matematik bäst genom att arbeta
enskilt i boken och 25 % ansåg att de lärde sig bäst av att arbeta mer praktiskt (enligt fråga
3 i bilaga 1). I självskattningen (se bilaga 2) ombads eleverna sedan beskriva vad de lärt
sig under en lektion som handlat om multiplikation och division med tiopotenser som vi
haft under området ”mer om tal” där vi arbetade enskilt i boken (se bilaga 2, fråga 2). 37
% av eleverna kommer inte ihåg att vi haft någon lektion som berörde det omnämnda
ämnet. När eleverna på samma sätt ombads beskriva vad de lärt under en specifik lektion
där vi arbetat praktiskt inom området geometri (se bilaga 2, fråga 1) var motsvarande
siffra 10 %. När eleverna beskriver vad de lärt sig på geometrilektionen är det vanligt att
eleverna beskriver hur de löst uppgifterna, t.ex. vi klippte ut en kub och en pyramid och
såg att det rymdes tre pyramider i en kub. Eleverna beskriver oftare som svar på frågan
vad de lärt sig om tiopotenser själva svaret på uppgiften, dvs. att 104•103= 107
I självskattningen (bilaga 2) ingick också att bedöma hur säker man kände sig när man
skulle lösa vissa typer uppgifter. Säkrast kände sig eleverna när de skulle räkna ut
volymen av en låda, över 90 % av eleverna svarade att de kände sig säker eller ganska
säker på uppgiften. Detta var också en uppgift som de flesta också löst på ett
tillfredställande sätt vid de båda provtillfällena. 73 % av eleverna kände sig säkra eller
ganska säkra på hur man löser uppgiften med multiplikation och division av tiopotenser
(uppgift 3 i bilaga 2), en uppgift som löstes av ungefär motsvarande andel på provet som
gjordes direkt efter avsnittet. När provet sedan gjordes igen fem månader senare löstes
uppgiften av knappt 40% av eleverna.
100%
Andelen elever i procent
90%
80%
70%
MVG
60%
VG
50%
G
40%
IG
30%
20%
10%
0%
Mer om tal
år 9 2006
Mer om tal
år 9 2003
Geometri år Geometri år
9 2006
9 2003
Område
Diagram 1. Betyg på två prov i två årgångar år 9.
Vid jämförande mellan årskurs 9 år 2003 och 2006 kan man se att området om Geometri
verkar ge högre betyg i båda årgångarna generellt. Det är färre elever som ej når målen för
9
godkänt inom området geometri jämfört med området mer om tal. Geometriavsnittet kan
därför ses som något enklare än avsnittet ”mer om tal”.
Blir kunskapen mer beständig om man arbetar mer med praktisk
matematik?
Andelen elever i %
Eleverna fick efter avslutat arbete inom området geometri göra provet första gången. 5
månader senare gjordes samma prov igen för att se hur mycket av inhämtad kunskap som
fortfarande fanns kvar efter denna tid då eleverna arbetat mer laborativt. Resultatet
jämförs med ett område ”mer om tal” där eleverna inte arbetat laborativt på lektionerna
där också två prov gjordes med fem månaders mellanrum. Resultatet syns i diagram 2.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
MVG
VG
G
IG
Mer om tal Mer om tal 5 Geometri
Geometri 5
efter avslutat
månader efter avslutat månader
kapitel
senare
kapitel
senare
Område
Diagram 2. Betygsfördelning vid två tidpunkter efter prov inom området ”Mer om tal”
och ”Geometri”.
Andelen underkända elever var efter avslutat kapitel om ”Mer om tal” 16 %. När eleverna
arbetat laborativt inom området ”Geometri” var andelen underkända 10 %.
När provet i ”Mer om tal” gjordes igen fem månader efter det första provtillfället ökade
antalet underkända från 16 % till 59 %. En stor del av eleverna har inte med sig tillräcklig
kunskap om området fem månader efter examinationstillfället. Medelvärdet på
provresultatet första gången var 29 av 40 möjliga (G=17p, VG=27p, MVG=37p enligt
rättningsmallens rekommendationer) och vid det andra provtillfället var medelvärdet i 19
poäng. I genomsnitt tappade eleverna en tredjedel av sina poäng under de fem månader
som skilde provtillfällena åt och mer än hälften når alltså inte målen för godkänt inom
området ”mer om tal” vid andra provtillfället.
När provet i geometri gjordes igen efter fem månader minskade istället antalet elever som
ej nått målen för godkänt. Vid första provtillfället var 10 % inte godkända och vid andra
tillfället, fem månader senare, var det 5 % som inte nått målen för G. Andelen elever med
godkänt betyg eller mer ökade alltså trots att ingen undervisning inom området skett under
10
den här perioden. Medelpoängen minskade något från 28p vid första tillfället till 26p vid
andra tillfället.
Vidare kan man se att en del av eleverna har förbättrat sitt resultat från det första till det
andra provtillfället. Andelen elever som lyckas lika bra eller bättre andra gången provet
gjordes var 12 % på avsnittet ”mer om tal” och 41 % efter den mer laborativa geometrin.
Diskussion
Under tiden vi genomförde geometriavsnittet förde de undervisande lärarna löpande
anteckningar enligt den metod som Tiller (2002) beskriver. Anteckningarna diskuterades
varje vecka när de undervisande lärarna träffades för att utbyta erfarenheter. Vid varje
träff fördes anteckningar över de reflektioner som gjorts under veckan. Dessa
anteckningar sammanställdes och man kan se att lärarna ofta reflekterat över elevernas
engagemang. Det förekom många uttryck som ”eleverna verkade engagerade”, ”alla
arbetade hela timmen” och ”positiv atmosfär i klassrummet”. Vid ett av mötena mellan de
undervisande lärarna diskuterade man hur man tyckte sig se att eleverna lärde sig mer än
det som fanns med som mål för lektionen. Man hade t.ex. noterat att elever som arbetat
med att tillverka en kub med en förutbestämd volym diskuterat hur sidornas area påverkar
volymen och hur detta tycktes ha ett visst samband. Lärarna tyckte också att elevernas
engagemang var större och att de tvingades prata mer med varandra. Man hade också
noterat att eleverna tycktes hjälpa varandra i större utsträckning. Vid ett tillfälle reflekterar
en av lärarna över sin roll i klassrummet under dessa lektioner i praktisk matematik och
detta beskrivs som ganska passivt. ”Jag kunde gå runt och lyssna i grupperna, iaktta”
säger läraren. Lärarna hade också uppmärksammat att den mer observerande rollen i
klassrummet gav dem mer tid att fördjupa sig i hur eleverna tänker när de löser olika
uppgifter. Lärarna var eniga om att de upptäckte många briser i elevernas förståelse med
detta arbetssätt. En lärare beskriver i sin loggbok hur hon iakttagit en elev som skulle
tillverka en kub av papper. Eleven ifråga hade stora svårigheter att genomföra sin uppgift
tills en av kamraterna i gruppen talade om vad en kub var för något.
Vanligt förekommande i lärarnas loggböcker var också kommentarer kring praktiska
detaljer som tidsåtgång, material och uppgifternas kvalitet. Bland de svårigheter som
lärarna upplevde under arbetet nämns bland annat att ett visst motstånd hos vissa elever
till arbetssättet växte fram vartefter. Detta motstånd upplevdes som starkast hos några av
de elever som redan innan hade vissa svårigheter med matematiken men fanns också hos
några av dem som upplevdes som duktigast i matematik. I elevernas enkätsvar kan man se
några kommentarer från dess elever: ”Det är dåligt att jobba praktiskt, när man börjar i
boken sedan fattar man inte”, ”Det blir så mycket onödigt vi lär oss, när ska vi ha nytta av
det?”.
Lärarna upplevde att det tog mera tid att planera upp avsnittet och framförallt krävdes
strukturering eftersom den planeringen skulle göras tillsammans. Det mesta av
planeringstiden lades innan området om geometri startade vilket innebar att det inte
krävdes så mycket planering under tiden det genomfördes. Planeringstiden upplevdes ändå
som positiv eftersom den blev ett tillfälle för pedagogisk diskussion och utveckling något
som lärarna saknat.
När proven skulle göras igen fem månader senare upplevs detta som stressigt av lärarna
och relevansen ifrågasätts till en början. När proven gjorts och börjar rättas ändras
11
inställningen och det blir en viktig väckarklocka hos både elever och lärare hur mycket
man faktiskt glömt på fem månader. Vissa elever verkar glömma mycket mer än andra
och diskussionen startar om vad detta kan bero på. Eleverna som har ett nationellt
matematikprov inom en snar framtid uttrycker oro inför detta och många diskussioner
omkring inlärningsstrategier startar bland eleverna.
Utifrån loggböckerna kan man se tendenser att lärarna i områdets början beskriver
elevernas engagemang på lektionerna i sina kommentarer. Senare växlar dessa över till
kommentarer som mer fokuserar på det matematiska innehållet i det arbete som eleverna
utför och om läraren och hennes roll i klassrummet. Diskussionerna i loggböckerna kom
slutligen att hamna mest i funderingar kring hur man skapar kunskap som är beständig hos
eleverna.
En grundförutsättning för att skolutveckling ska kunna ske är att det finns ett engagemang
och en vilja att förändra samt att problemet känns relevant för de inblandade (Scherp,
2003). Därför var det viktigt för oss att alla inblandade i detta projekt skulle känna ett
engagemang i frågan varför också deltagandet i detta projekt varit helt frivilligt. Valet av
utvecklingsområde, att komma bort ifrån den läromedelsstyrda undervisningen, är något
som vi ansåg vara verklighetsnära för oss och vi ville utföra ett arbete som på sikt skulle
hjälpa oss att få en mindre arbetsbelastning samtidigt som vår undervisning skulle hålla
hög kvalité.
De undervisande lärarna planerade tillsammans upp området om geometri och vi började
med att gå igenom våra styrdokument och våra lokala kursplaner. Utifrån dessa
formulerade vi de kunskapsmål som vi ville att eleverna skulle nå under avsnittet. Vi
diskuterade också de processmål som vi tyckte var viktiga. Vår tanke var att använda så
mycket som möjligt av redan konstruerat material och att vi skulle plocka ut det vi tyckte
passade in i vår idé om praktisk matematik. Det visade sig dock att vi inte kunde hitta rätt
material för alla ändamål utan vi fick också sammanställa en del eget material.
Planeringen (se bilaga 3) utformades med en angivelse om beräknad tidsåtgång och
materialförteckning samt med ett förtydligande om kunskapsmålen för varje lektion. Efter
genomförandet av en lektion diskuterades den och omformades eventuellt innan den
provades i ytterligare en klass. Alla lektioner har genomförts i tre klasser.
De undervisande lärarna i år 9 avsatte en särskilt planeringstid för detta ändamål innan
området inleddes och planeringen utbyttes sedan till tid för utvärdering och reflektion när
området startat. Denna tid för pedagogiskdiskussion var mycket uppskattad av de
inblandade och det uttrycktes vid flertalet tillfällen en önskan om ett sådant arbetssätt
inom fler områden. När området var genomfört avslutades det med att lärarna ännu en
gång utvärderade och diskuterade sina erfarenheter. Vissa mindre justeringar gjordes i
planeringen och i de uppgifter som hörde till den (se bilaga 4). Slutligen sparades allt i en
pärm som placerats på en central plats i vårt arbetsrum, lättillgängligt för alla som vill
prova på att använda det igen och ett arbetsmaterial att utveckla vidare för oss nästa gång
vi arbetar med geometri.
Elevernas attityd till matematiken förändrades under tiden de arbetade med praktisk
matematik. Innan de arbetat med praktisk matematik var 46 % positiva till ämnet och
efteråt var motsvarande siffra 55 %. Eleverna verkade dessutom gå från en summativ
bedömning av sina prestationer till en mer formativ efter arbetet med praktisk matematik.
De verkade bedöma verklighetsförankring, förståelse och kommunikation i högre
12
utsträckning än tidigare i de självskattningar som gjordes. Intressant att notera är också att
10 % av eleverna aldrig känner sig nöjda i matematik. En siffra att beakta och att ta på
stort allvar. Den befäster den farhåga som finns om att den svenska skolan idag befinner
sig i en djup kris (Tiller, 2002) också vad gäller matematiken. Denna siffra känns nog igen
av alla som arbetar inom skolan. Det finns ett antal elever som av en eller annan anledning
gett upp hoppet om att passa in i skolans mall. LPO –94 poängterar vikten av att eleverna
får tilltro till sitt eget tänkande. Hur ska vi i skolan klara av det uppdraget? Vi har ett antal
elever i skolan idag som är matematikskadade (Berggren, 1998) och för att bemöta dessa
elever måste vi hitta ett sätt som gör matematiken rolig istället för skrämmande. Vidare
beskriver han undervisningen för dessa elever som en form av rehabilitering där det gäller
att hitta eleven på den nivå den befinner sig. Min uppfattning är att det kanske är dess
”matematikskadade” elever som allra bäst gynnas av den typen av praktisk matematik vi
ägnat oss åt i vårt utvecklingsarbete, men det var också där motståndet var som störst.
Däri ligger pedagogernas kanske största utmaning, att motivera där skadan är som störst
och motivationen som minst.
Eleverna var positiva till att arbeta med praktisk matematik… tills de fick prova på det.
Resultatet visar att 76 % var positiva innan de provat arbetssättet och 56 % var negativa.
Denna skillnad styrker också lärarnas uppfattning om att en del av eleverna verkade
ledsna på det nya arbetssättet vartefter. Andelen som tyckte att man lärde sig matematik
bäst genom tyst, enskild räkning i boken ökade från 14 % före till 31 % efter de arbetat
med praktisk matematik inom området geometri vilket är intressant. Eleverna verkar tycka
bättre om den metod de för närvarande inte använder. Den gamla klyschan ”gräset är alltid
grönare på andra sidan” känns relevant i detta sammanhang.
I den självskattning (se bilaga 2) som gjordes efter geometriavsnittet var avslutat ombads
eleverna beskriva vad de lärt sig under två lektioner de haft, den ena under området ”mer
om tal” och den andra under området geometri. Intressant att notera var där hur 37 % av
eleverna inte kommer ihåg att de haft den beskrivna lektionen inom området mer om tal.
En lektion där vi gått igenom på tavlan hur man multiplicerar och dividerar tal i
potensform och där genomgången följts av enskild räkning på liknande uppgifter. De som
kom ihåg lektionen beskrev den oftast genom att skriva ned ett svar till den
exempeluppgift som fanns med. Eleverna verkade komma ihåg motsvarande lektion inom
området geometri bättre, där var det 10 % av eleverna som inte kom ihåg den. Under
denna lektion hade eleverna fått klippa och klistra ihop olika geometriska figurer och
beräkna dess volym i grupper. När eleverna ombads beskriva denna lektion kunde man i
högre utsträckning se att de valde att beskriva hur de löst uppgiften i högre utsträckning.
Några elever beskrev i detalj hur de klippt och mätt i sina figurer och att det rymdes tre
pyramider i en kub. Detta stödjer Tiller teori om upplevelsebaserad inlärning. Observera
också att det återigen är 10 % av eleverna som inte kommer ihåg lektionen, kanske är det
de 10 % av eleverna som aldrig känner sig nöjda i matematik? Det finns ingen statistik på
hur många elever som faktiskt var frånvarande under de två lektionstillfällena och således
inte på något rimligt sätt kan komma ihåg dessa lektioner.
Den jämförande undersökningen mellan år 9 2003 och år 9 2006 visar möjligen en
tendens till att geometriavsnittet kan vara lite lättare än avsnittet om geometri. Det verkar
som om båda årgångarna har haft en större andel icke godkända elever efter
examinationen på ”mer om tal”.
13
”Praktisk matematik är väl bra, men man lär sig inget” var en förhållandevis vanlig
kommentar på elevernas utvärderingar. Min undersökning visar på motsatsen, åtminstone
när det gäller kunskapens beständighet. Andelen underkända elever minskade efter arbetet
med praktisk matematik men andelen med högsta betyg efter de första proven verkade
också minska när eleverna har arbetat laborativt. Man kan också se att de inhämtade
kunskaperna verkar vara mer bestående efter geometriavsnittet där det arbetats mer
praktiskt jämfört med den kunskap som finns kvar efter fem månader om man arbetat
enskilt i boken. Sammanfattningsvis kan man säga att många elever uttryckt att de inte
känner att de lär sig något av arbetssättet med praktisk matematik. Studien tyder dock på
att arbetssättet gynnar eleverna utom möjligen de som har allra högsta betyg. Den del av
kunskapen som fanns kvar efter fem månader var betydligt större efter området i geometri
där eleverna arbetet praktiskt i större utsträckning. Andelen underkända elever vid andra
provtillfället i geometri va 5 % alltså bara hälften av dem som var underkända vid första
provtillfället. Motsvarande resultat för området ”mer om tal” visar att andelen underkända
elever var nästan 60 % andra gången provet gjordes jämfört med 16 % första gången.
Det fanns också ett antal elever som från första geometriprovet till andra lyckats förbättra
sina resultat trots att ingen undervisning skett inom området under tiden mellan
provtillfällena. Detta kan ha flera tänkbara orsaker. En skulle kunna vara att eleverna sett
provet en gång och fått en genomgång av de rätta svaren och att de till andra tillfället kom
ihåg en del av detta. Detta kan dock inte vara hela sanningen eftersom samma procedur
också gjordes med provet i ”mer om tal”. Vi har tidigare konstaterat att det är möjligt att
geometriavsnittet upplevs som aningen enklare vilket skulle kunna förklara resultatet. En
annan tänkbar orsak är att eleverna helt enkelt befäst sin kunskap så bra att den till och
med utvecklats utan ytterligare undervisning. Undervisning är ju som bekant inte likställt
med inlärning. Tidpunkten för de olika provens genomförande kan också ha spelat en roll
för resultatet. Kanske gjordes geometriprovet den andra gången vid ett tillfälle då eleverna
var mer motiverade att försöka. Det kan vara möjligt att vissa elever inte sett det andra
provtillfället som viktigt och därför inte lyckats prestera lika bra då motivationen varit låg.
Det skulle också kunna vara så att den praktiska metodiken visat sig ha ett genomslag. Att
eleverna genom att hänga upp kunskapen på upplevelser och erfarenheter kunnat göra den
mer levande och på så sätt har utvecklingen kunnat fortgå även efter avslutad
undervisning. Om så vore fallet vore detta lösningen! Jag tror dock att det sannolikt är en
blandning av de olika faktorerna som förklarar resultatet. Vidare studier skulle behövas
för att få något signifikant resultat på den frågan men vi kan i alla fall se tendenserna i
denna undersökning.
Vi valde prov som mätmetod för elevernas kunskaper i matematik. Detta är ett
traditionellt sätt att examinera elever men inte alltid rättvisande. Fanns det tillägnade
kunskaper som inte kunde mätas med proven? Lärarna upplevde det som att eleverna lärde
sig mer än det som var målet med lektionen och hur mäter man det när ett prov endast är
isolerat till delar av ett område? För att överbrygga denna olikhet mellan den praktiska
matematiken under området och den mer teoretiska examinationsformen valde vi att med
praktiska övningar försöka täcka in det som togs upp i boken kapitel om geometri. Vi
hade förståss kunnat hitta en annan lämpligare examinationsform men för att resultaten
enklare skulle vara jämförbara mellan de båda avsnittet ”mer om tal” och geometri valde
vi det traditionella provet. Eleverna hade också möjlighet att räkna i sina böcker hemma
eftersom de fortfarande hade sina böcker att tillgå. I vilken utsträckning detta gjordes har
jag inte undersökt. Jag har sett positiva sidor med den kritiserade läroboksstyrda
undervisningen också. Det finns elever som verkar finna en trygghet i att veta vad som ska
14
hända på lektionerna, de vet vad de ska göra när de kommer och de uppskattar också de
lugna klimatet som blir under en matematiklektion där alla ägnar sig år enskild tyst
räkning. För vissa elever kanske det är den enda lektionen där ljudnivån är låg. Andra
elever verkar finna en tillfredsställelse i att producera genom att räkna många uppgifter,
skriva prydligt i sina böcker samt mäta kvaliteten i dagens arbete genom att rätta mot ett
facit i slutet av lektionen. Vissa elever som är i behov av ren färdighetsträning behöver
kanske räkna många uppgifter av samma sort för att på det sättet lära sig hur man gör.
Praktisk matematik kanske inte förmår att bistå eleverna med all den kunskap de behöver?
Min erfarenhet efter denna studie är att om elevernas kunskaper ska fortsätta att utvärderas
med hjälp av traditionella prov bör vi blanda praktisk matematik med färdighetsträning
t.ex. ur en lärobok. Läroboken är, enligt mitt sätt att se, inte en styggelse. För att behålla
motivationen hos eleverna är det viktigt med variation i arbetssätt och innehåll.
Den undersökta gruppen av elever i år 9 är alla elever som jag mer eller mindre undervisar
vilket innebär att de alla känner mig. Detta kan vara ett problem vad gäller studiens
generaliserbarhet. Jag tror att eleverna ibland kan svara som de tror att de ”borde” svara
även om jag tydligt informerat om vikten av relevans i deras svar samt om
avidentifieringen som gjorts. Ibland kan det nog också bli tvärt om att man får ett mer
negativt svar då eleven ifråga kanske haft en konflikt med mig på rasten innan. Jag har
dock undanbett mig sådant och vädjat till dem att svara ärligt vilket jag också upplever att
de flesta har gjort.
Urvalet av elever har varit ganska litet (65 elever) och eftersom prov, utvärderingar och
självskattningar gjorts på givna dagar finns det alltid ett visst bortfall på grund av sjukdom
och ledighet som påverkar reliabiliteten.
Eleverna indelades två och två i grupper inför arbetsområdet geometri. Vi valde att låta
eleverna arbeta tillsammans med någon med ungefär samma betyg som de själva hade.
Gruppindelning efter nivå är ett debatterat område där åsikterna går isär. Många anser att
nivågruppering är en självklar och enkel lösning för att kunna tillgodose elevernas behov
medan andra ser stora problem i detta. Troligen bottnar detta i frågans ideologiska grund.
Några belägg för prestationsvinster med nivågrupperingar har ännu inte gjorts med
forskningen men motsatsen har heller inte kunnat befästas (Wallby m.fl., 2001).
Gruppindelningen gjordes därför inte med stöd i forskningen utan baserades på de
undervisande lärarnas uppfattning om vad som ansågs lämpligt i grupperna. Denna typ av
gruppindelning hade också använts tidigare i grupperna i andra ämnen och hade
välkomnats av eleverna. Vi kunde inte se några specifika nackdelar med gruppindelningen
i vår utvärdering efteråt.
Vi ville med detta arbete förändra vår undervisning så att våra elever i högre utsträckning
skulle nå kursplanernas mål på mer kommunikation och mer kreativa och problemlösande
aktiviteter. Vi ville också utveckla vårt sätt att planera och genomföra undervisning inom
området geometri. Min upplevelse är att dessa mål är på väg att nås. Ett förändringsarbete
av den storleksordningen är inte genomfört bara för att man lyckats göra det inom ett
område i matematiken utan vi måste ha större målsättningar än så. Detta utvecklingsarbete
har bara kommit igång. De undervisande lärarna i år 9 på min arbetsplats ställdes inför ett
helt nytt arbetssätt, lesson study och aktionslärande, något ingen av oss kommit i kontakt
med tidigare. Detta arbetssätt var nytt för oss på många sätt, inte minst då det krävde ett
samarbete mellan flera lärare och en viss insyn i varandras verksamheter. Läraryrket har
ju en lång tradition av att vara ett ensamarbete (Colnerud, 2002). Denna gång valde vi att
inte göra lektionsbesök hos varandra men nästa gång kanske vi är mogna för det. De
15
inblandade lärarna uttryckte i sina loggböcker den gemensamma planeringen som ett lyft
för deras egen utveckling. Vi har sett en rad positiva konsekvenser av detta arbetssätt, inte
minst som utveckling och fortbildning av det egna lärandet. Det har varit ett sätt för oss
lärare att lära. Det finns inget likhetstecken mellan ett gott resultat och en god lärprocess.
En god lärprocess kräver att man funderar över varför resultaten var goda. Att samtala om
lärdomar är viktigare än att samtal om vad man har gjort. Detta leder till en fördjupad
lärprocess. (Scherp, 2003)
En iakttagelse i lärarnas loggböcker var att lärarrollen förändrades under tiden eleverna
arbetade med praktisk matematik. Läraren upplevde sin egen roll som mer passiv och
observerande. Vid det tillfället upplevde läraren detta som något negativt, hon fick ju inte
undervisa. Vid senare diskussion kom vi fram till att detta kanske var något positivt. Det
kan finnas en risk att vi som ambitiösa lärare undervisar för mycket istället för att ge
utrymme för processen att ta form hos eleverna.
Arbetet med den praktiska matematiken enligt modellen för aktionslärande och lesson
study har varit ett lyft på vår skola, inte minst eftersom det bidragit till en pedagogisk
diskussion och ett bättre samarbete mellan de inblandade lärarna. Eleverna verkar också
ha gynnats av en varierad arbetsmodell. Det finns också mycket forskning som tyder på
detta och kursplanerna betonar processmål och kommunikation inom matematiken. Trots
all denna vetskap verkar den läroboksstyrda undervisningen ha fångat den svenska skolan
i ett fast grepp. Varför tillämpas inte den praktiska matematiken mer? Jag tror att det finns
många faktorer som spelar in. En förklaring kan vara att det finns en vedertagen tradition
av vad matematikundervisning är, ett arv eller en kultur med förutfattade meningar om hur
man bäst lär matematik (Malmer, 1999). Denna tradition finns förankrad såväl hos
föräldrarna som hos eleverna. Denna uppfattning syns också hos de elever jag studerat i
detta arbete. Många elever ansåg att det är roligt med praktisk matematik men att de inte
lär sig så mycket. Vidare tyckte eleverna att praktisk matematik var kul och bra för deras
inlärning i högre grad före de fick arbeta med det jämfört med efter! En elev
sammanfattade det hela så här ”Det är dåligt med praktisk matematik för man lär sig inte
hur det ser ut teoretiskt”. Och jag tror att många delar hennes uppfattning. Den gamla
traditionen av tyst enskild räkning är befäst på många håll och många elever tycker inte att
de arbetar eller lär sig något om de inte arbetat ett antal tal i sin mattebok. Så var också
fallet hos oss.
En annan orsak till motviljan att arbeta mindre läroboksstyrt kan vara att lärarna känner
sig osäkra. Ett av motiven till att använda läroböckerna är att dessa är framtagna av
experter och väl genomarbetade (Malmer, 1999). Jag har stött på lärare som tycker att det
är onödigt att ”uppfinna hjulet två gånger”. Jag skulle vilja påstå att vi lärare som arbetar
med eleverna varje dag besitter samma expertis om vad som är bra material för de elever
vi undervisar. Vi måste våga lita på vår professionalitet! En bakomliggande orsak till
denna bristande professionalism är att läraren ofta tvingas utveckla sin yrkesroll i
ensamhet (Colnerud, 2002). Här behöver skolledarna kliva fram och verka för en
fortbildningsplan som stärker professionaliteten. Ett arbetssätt som baseras på ”Lessonstudy” eller aktionslärande gynnar också samarbetet, något som arbetslagen kan ta i
beaktning.
Tidsbrist är tyvärr en verklighet för de flesta lärare idag. Vi åläggs allt fler uppgifter och
det är sällan några gamla arbetsuppgifter plockas bort. Många gånger kan nog detta vara
den största orsaken till att läroboken används i så stor utsträckning. Den finns till hands,
16
kräver inte så mycket planering och eleverna arbetar självständigt. Detta var åtminstone en
av förklaringen på min arbetsplats. Därför var det viktigt för oss att det arbetssätt vi valde
på sikt skulle spara tid samtidigt som det höjde kvaliteten. När detta arbetssätt fortsätter
kommer vi att ha en bank av lättillgängliga uppgifter som är väl genomarbetade av alla
matematiklärare på min arbetsplats och ett stort erfarenhetsutbyte kommer att var gjort.
Den skolutveckling som beskrivs i denna rapport omfattar ett område, geometri, inom
matematiken. Detta tillsynes lilla område har ändå varit av stor betydelse för de
inblandade och har också lett till ringar på vattnet inom andra områden och ämnen.
Fortsatta studier
Det skulle vara intressant att fortsättningsvis göra om samma studie men ändra om
ämnesområdena så att man genomför området ”mer om tal” med hjälp av praktisk
matematik och geometrin enbart teoretisk. På så sätt skulle eventuella skillnader i
svårighetsgrad kunna uteslutas och studien skulle bli mer heltäckande.
Det behövs också mer studier kring vilka examinationsmetoder som är lämpliga att
använda när man arbetar med praktisk matematik.
17
Litteraturlista
Berggren, P. & Lindroth, M. (1998) Kul matematik för alla. Ekelunds förlag. Solna
Carlsson, S m.fl. (2003) Matte Direkt år 9. Bonnier utbildning AB. Stockholm
Colnerud, G & Granström K. (2006) Respekt för läraryrket. HLS Förlag. Stockholm
Johansson, B. & Svedner P-O (2004) Examensarbetet i lärarutbildningen –
Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala. Kunskapsföretaget
Malmer, G. (1999) Bra matematik för alla. Lund. Student litteratur
Marton, F. (2003) Learning Study –pedagogisk utveckling direkt i klassrummet.
Forskning av denna världen –praxisnära forskning inom utbildningsvetenskap.
Vetenskapliga rådets rapportserie. 2003:2
Sarv, H. (1997) Kompetens att utveckla. Stockholm. Liber
Scherp, H-Å. (2003) Förståelseorienterad och problembaserad skolutveckling.
Skolutvecklingens många ansikten. Stockholm. Liber
Skolverket (2003) Diagnostiska prov matematik för år 6-9.Stockholm. Skolverket/Fritzes
Skolverket (2005) Nationella utvärderingen av grundskolan 2003 - Matematik årskurs 9.
Rapport nr 251. Stockholm. Skolverket/Fritzes
Skolverket (2001) PISA, 2000 -Svenska femtonåringars läsförmåga och kunnande i
matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Rapport nr 209.
Stockholm. Skolverket/Fritzes
Skolverket (2003) Pressmeddelande. Matematikundervisningen måste förändras! [www
dokument]. URL http://www.skolverket.se/sb/d/246/a/1589 2006-05-10
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken –intresse, lärande, kompetens.
Tiller, T. (2002) Aktionslärande –Forskande partnerskap i skolan. Stockholm. Runa
förlag
Utbildningsdepartementet (1998) Kursplaner för grundskolan. Stockholm.
Skolverket/Fritzes
Wallby, K., Carlsson, S. & Nyström, P. (2001) Elevgrupperingar –en kunskapsöversikt
…med fokus på matematikundervisning. Stockholm. Skolverket/Liber
18
Bilaga 1
Utvärdering
Jag är:
Pojke
Flicka
och går i klass
1. Vad tycker du om matematik?
2. När känner du dig nöjd med matematik?
3. När tycker du att du lär dig matematik bäst?
4. Hur kände du dig inför provet?
Säker
Ganska säker
Osäker
Mycket osäker
5. Hur har du upplevt arbetet under detta avsnitt?
6. Beskriv hur ditt samarbete varit med dina kamrater under detta kapitel.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
19
Bilaga 2
Självskattning i matematik
1. När vi arbetade med geometri fick ni klippa ut olika figurer (kub och pyramid t.ex.)
samt uppskatta och beräkna deras volymer. Vad tyckte du att du lärde dig under den
lektionen?
________________________________________________________________________
2. När vi arbetade med området ”mer om tal” arbetade vi med hur man multiplicerar och
dividerar med tiopotenser. Ni fick t.ex. lösa uppgifter av typen 104•103 Vad tyckte du
att du lärde dig under den lektionen?
________________________________________________________________________
3. Kryssa för de alternativ som stämmer bäst för dig:
När jag ska lösa uppgifter av den här typen känner jag mig:
a) 104•103
Säker
Ganska säker
b) 109
106
Osäker
Mycket osäker
b) Räkna ut volymen på en pyramid med basytan 45 cm2 och höjden 10 cm.
Säker
Ganska säker
Osäker
Mycket osäker
c) Hur många tusenlappar är en miljon?
Säker
Ganska säker
Osäker
Mycket osäker
d) Räkna ut lådans volym
2 cm
5 cm
6 cm
Säker
Ganska säker
Osäker
20
Mycket osäker
Bilaga 3
Planering av kapitel 2 ”Geometri”
Mål:
-
förstå vad volym är för något.
Kunna ge namn på och känna igen olika geometriska former, t.ex. rätblock, kub, cylinder,
prisma, klot, kon och pyramid.
Kunna använda olika enheter för volym.
Kunna räkna ut volymen av rätblock, cylinder, prisma, kon och pyramid.
Lektion 1 Vad kallas figurerna?
Material: Memory med geometriska figurer
Tid: 1 lektion
Mål: Att eleverna lär sig de olika geometriska figurernas namn.
Lektion 2 Vilka kan vikas till en kub?
Material: Arbetsblad 2:2 ur Ma-direkts
lärarhandledning för år 9.
Tid: 1 lektion
Genomgång av: kub, sida och hörn. Under genomgången tas upp bl.a. Hur många hörn har en kub? Hur många
sidor har en kub? Varför använder man enheten kubik? (=kub, tredimensionellt)
Gemensam genomgång av resultatet i slutat av lektionen.
Mål: Att eleverna blir bekanta med kuben. Kommunikation och samarbete.
Lektion 3 Volymenheter
Material: 10-bassattser, Arbetsblad
Tid: 1-2 lektioner
Visa 10-bassatserna. Arbeta med stencilen ”uppgifter att lösa med hjälp av 10-bas”
Mål: Att eleverna ska se samband mellan ml och cm2 t.ex. Utveckla en större förståelse kring volymbegreppet.
Kommunikation och samarbete.
……………………………………………………………………………………………………………………….
Uppgifter att lösa i grupp med hjälp av 10-bassatser:
Hjälpmedel: linjal, miniräknare
1. Vilken form har de röda figurerna?
_______________________________
2. Beräkna volymen av de röda figurerna?
_______________________________
3. Vilken form har de gula figurerna?
_______________________________
4. Beräkna volymen av de gula figurerna?
_______________________________
5. Vilken form har de gröna figurerna?
_______________________________
6. Beräkna volymen av de gröna figurerna?
_______________________________
7. Vilken form har de blåa figurerna?
_______________________________
8. Beräkna volymen av de blåa figurerna?
_______________________________
Hjälpmedel: Olika måttsatser och din egen klurighet…☺
9. Hur många ml ryms det i en röd figur?
_______________________________
10. Hur många cl ryms det i en gul figur?
_______________________________
11. Hur många dl ryms det i en grön figur?
_______________________________
21
12. Hur många l ryms det i en blå figur?
_______________________________
13. Rita en tabell i din bok där ni förklarar de slutsatser du kan dra av ovanstående försök.
……………………………………………………………………………………………………………………….
Lektion 4 Introduktion till volym av rätblock
Material: Papper, penna, linjal, sax, tejp, ris och
mätglas. Arbetsblad.
Genomför uppgiften ”Hur mycket rymmer en dm2”? Sid. 26 på G i matematik.
Mål: Att eleverna utvecklar sin förståelse kring de olika sätten att beskriva volym. Enhetsomvandlingar och
kommunikation.
Lektion 5-6 Arbetsblad ”Hur mycket rymmer det?”
Material: Papper, tejp, sax, linjal, miniräknare
Tid: 2 lektioner
OBS att eleverna ser sambandet mellan rätblock och pyramid osv.
Mål: Träna volymberäkning, kommunikation och samarbete. Se samband inom volymberäkningen på ett
praktiskt sätt samt kunna koppla till teori.
……………………………………………………………………………………………………………………….
Arbetsblad: Hur mycket rymmer det?
1. Tillverka en kub med basytan t.ex.5 cm2 och en pyramid med samma basyta och höjd.
2. Tillverka en cylinder med basytan 12 cm2 och en kon med samma basyta och höjd.
3. Beräkna volymen av kuben. Visa med uträkning hur ni räknat ut.
4. Titta på pyramiden. Hur stor tror du att dess volym är jämfört med kuben? Motivera!
5. Ta reda på hur man beräknar volymen av en pyramid. Visa med uträkning hur du räknat ut.
6. Det finns ett samband mellan volymen av en kub och volymen av en pyramid. Fundera ut vilket
samband det skulle kunna vara. Tips! Jämför resultatet i uppg 2 och 4.
7. Beräkna volymen av cylindern. Visa med uträkning.
8. Vilken volym tror du att konen kommer att ha jämfört med cylindern?
9. Ta reda på hur man beräknar volymen av en cylinder och en kon med samma basyta och höjd. Vilket
samband finns melln volymerna? Motivera!
10. Beskriv för varandra så utförligt ni kan hur man kan tänka när man beräknar volymen av en kub,
pyramid, cylinder och kon.
…………………………………………………………………………………………………………………..
Lektion 7 Mäta volymen av olika figurer
Material: volymsatserna av plast
Tid: Minst 60 minuter
Beräkna först, mät sedan med t.ex. dl-mått. Redovisa skriftligt och muntligt. Arbetsblad 2 görs sedan.
Mål. Att utveckla sin förståelse av volym. Samarbete och kommunikation.
Lektion 8 Gör ditt eget mätglas
Material: Olika glasburkar (cylinderformade)
Markeringspennor el.tejp, mätglas och
lab.rapport ur på G med matematik (s.27)
Tid: Minst en 60 minuters lektion.
Frågeställningen och precisionen på densamma kan varieras beroende på svårighetsgraden.
Mål: Träna på öppnauppgifter, kommunikation och samarbete. Utveckla känslan för volym.
Lektion 9
Hjälpmedel:linjal, måttband, miniräknare, olika
förpackningar.
Tid: Beräkna 60 minuters lektion.
Får du det du betalar för eller luras företagen?
Beräkna volym av olika förpackningar (de flesta elever bör kunna beräkna volymen av en flaska). Eleverna
arbetar i grupp, varje grupp får en förpackning . Uppgiften är att beräkna volymen av förpackningen så noggrant
som möjligt. Det tillgängliga hjälpmedlen är: linjal, måttband, miniräknare.
Efter uträkningen ges eleverna möjlighet att kontrollera sina uträkningar med hjälp av mätglas. Uppgiften ska
redovisas muntligt som skriftligt.
Lektion 10
Repetition
22
Lektion 11-15 Extrauppgifter eller eget arbetet med blå/röd kurs
Lektion 16 Prov på kapitlet 2.
23
