Skolmatematiken och den
"verkliga matematiken"
BENGT ULIN
Under senare år har väl de flesta av oss lärare lagt märke till att allt fler elever,
åtminstone i de högre årskurserna, önskar sig en djupare motivation för sitt skolarbete än att nå en viss kompetens. Allt fler elever vill relatera skolarbetet till samhällssituationen och till egna existentiella frågor, som vi ibland bara kan ana oss
till.
I den här artikeln ställer Bengt Ulin skolmatematikens mål och inriktning i relation till den "verkliga matematiken".
" N y " och "gammal" skolmatematik
Den s k "nya matematiken", som började införas i vårt land omkring 1970, blev i stora drag en
misslyckad satsning. Ambitionen var att tidigt
bibringa eleverna mängdlära som ett "matematiskt språk" för att de senare skulle kunna dra
nytta av dessa kunskaper — i själva verket först
på ett stadium som i stort sett ligger ovanför
skolkurserna. En del av den kurslitteratur som
förmedlade mängdlära hade dessutom ambitionen att göra matematiken rolig.
Visst bör undervisningen vara intressant och
stimulerande, men för att väcka ett äkta engagemang måste motiven möta eleverna där de befinner sig i sin utveckling och väcka ett gensvar,
som kommer ur djupare skikt än en temporär
underhållning.
Eftersom den nya matematiken var alltför abstrakt och formell, svängde pendeln tillbaka till
inlärning av baskunskaper. "The new math"
hade dock det goda med sig att den gamla, starkt
rutinartade inlärningen blev ifrågasatt. Man var
inte frestad att återgå till den gamla folkskolans
monotona "tabeller" eller ofta orealistiska räkneuppgifter. När jag ser tillbaka på min egen
skoltid, konstaterar jag, att realskolan hade en
intresseväckande praktisk inriktning, medan
gymnasiets matematikproblem var mer schematiserade. Frågan är, om inte mycket av schabloner
lever kvar i dagens gymnasium. I varje fall finns
det en rad lärare, som gärna skulle se gymnasiematematiken mer problemorienterad, mindre receptmässig. I grundskolan råder en klar tendens
att behandla sådana räkneproblem som kan dyka
upp i vardagen: jämförelse mellan livsmedelspriser, granskning av tidningsartiklar, inredning av
en lägenhet m fl temata, som bör te sig verklighetsnära för eleverna.
I de s k temauppgifterna är konkretionen nu
större än i de gamla realskoleproblemen: eleverna
aktiveras att själva samla in det faktamaterial
som de behöver. Syftet är detsamma: eleverna
skall motiveras att tillämpa kunskaper och stimuleras att tillägna sig mer teori.
Vad är problemlösning?
Med allt gott följer risken att det blir för mycket
av det goda. Här är risken att matematiken i
skolan reduceras till en hjälpreda, som är bra att
tillgå i alla möjliga praktiska situationer. Verkligt
illa skulle det bli, om eleverna (risken är störst i
grundskolan) skulle lämna skolan med den uppfattningen att matematik är en tillämpning av de
fyra räknesätten.
Mot denna mer pragmatiska tendens står önskemålen om verklig problemlösning, där eleverna
måste aktivera sitt tänkande. I många av de
praktiska uppgifterna känner de genast igen frågeställningen. Det gäller helt enkelt att göra några
beräkningar. (I Västtyskland cirkulerade för ett
par år sedan en elak skildring av hur man med
tiden förenklat även dessa praktiska problem.
Nyligen dök en svensk översättning upp. Problemet handlade om potatispriset . . .1))
Skolan bör ju inte stå isolerad från de vuxnas
verksamhet. 1 alla ämnen måste vi associera till
och hämta inspiration ur det som kulturen i stort
kan erbjuda. Låt oss en stund blicka tillbaka på
tidigare kulturer. I Fornegypten var räknekonsten
förbehållen en verklig elit, de s k skrivarna. De
lärde sig räkna genom att härma efter det som
fanns nedtecknat i form av räknerecept av typ
"gör du så här, så blir det rätt" — därom vittnar
de berömda fynd som gjorts. Intressant nog
handlar fornegyptiernas räkneproblem nästan
uteslutande om praktiska frågor, att fördela
bröd, dimensionera spannmålsmagasin, gräva en
kanal osv. I den babyloniska kulturen finner man
åtskilliga "arrangerade" uppgifter för övning av
ekvationslösning, exempelvis "jag fann en sten,
men vägde den inte. Sedan jag adderat en sjundedel och därefter ökat vikten ytterligare med en
elftedel, vägde jag stenen och fann vikten: 1 mana. Vad vägde stenen i början?"
Först med grekerna kom beviset och vissheten
in som en kärnpunkt i matematiken. Men mer än
så: det omfattande bokverket Elementa visar oss
en storartad arkitektur i tänkandet. En vetenskap
byggs upp med axiom, postulat, satser och bevis.
Denna grekiska form blev som bekant norm1)
Se t ex Nämnaren nr 1 84/85.
givande för 2000 års matematikundervisning,
även på universitetsnivå.
Matematiken blev presenterad: efter introducerande definitioner och axiom kommer påståenden
och bevis. Samma mönster togs upp av Galilei
och efterföljande fysiker — "låt oss gå till demonstrationer, observationer och experiment".
Hur långt är steget från skolmatematik till "den vetenskapliga"
matematiken?
Ännu på Galileis tid var steget från skolmatematik (eller skolfysik) till "högre" matematik (fysik)
inte nämnvärt stort. Det som forskarna fann
kunde inom en förhållandevis kort tid flyta in i
undervisningen. Nu är förhållandena helt annorlunda. Det som toppmatematikerna presterar ligger högt över skolmatematik och grundläggande
universitetsutbildning; i fysiken behöver vi bara
besinna elektronikens utveckling för att förstå att
gymnasiet omöjligen kan täcka dagens, om ens
gårdagens forskning.
Vilket eller vilka mål vill vi då sätta upp i vår
matematikundervisning? Givetvis skall eleverna
kunna tillämpa räknesätt och använda matematiska verktyg i praktiska problem, naturligtvis vill
vi bibringa dem grunderna i klassisk analys, geometri och algebra. Vi skulle också vilja orientera
dem om något ur modern matematik och nog
önskade vi oss mer lektionstid, så att eleverna
kunde öva sig i verklig problemlösning!
Eftersom ramen för lektionstid är given, rör
det sig som bekant om en prioritering. Men denna
styrs av de prov, det utvärderingssystem, som
fastlagts. Så länge proven är mer eller mindre
schablonartade, kommer undervisningen att i
motsvarande grad vara dresserande. Av pedagogiska skäl kan vi inte bygga upp en undervisning i
demonstrerande grekisk stil med "förutsättning—påstående—bevis", men vi måste också
undvika en ensidig fornegyptisk receptstil.
Tidsramen nödgar oss att göra ett ekonomiskt
urval av undervisningsstoffet. Jag vill se skolmatematiken som ett övningsämne, där den främsta
målsättningen är att utveckla egna tankekrafter
hos eleven. Det är en målsättning som alls inte
skall vara hemlig för gymnasisterna; man kan
lugnt tala om den och motivera den — och den
vinner gehör! Inom ramen för detta syfte kan
matematikuppgifter av olika slag behandlas, från
"rena" uppgifter i talteori till de mest praktiska.
För att öka elevernas lust att brottas med problem har då och då en orientering om matematiker, naturföreteelser, idéhistoria m m en viktig
funktion att fylla.
Men orientering om modern matematik, då?
Skall vi fortfarande begränsa skolmatematikens
stoff till områden fram till 1800-talet? Jag skulle
inte vilja lägga så stor vikt vid attributet modern,
eftersom det främst avser innehållet i nutida
forskning. Oavsett om vi hämtar stoff (för orientering eller övning) ur modern eller äldre matematik, borde syftet vara att låta eleverna lära känna
begrepp och metoder, som varit och fortfarande
är grundläggande i matematisk forskning.
Skolmatematikens svarsfixering
Skolmatematiken (och jag inbegriper mig själv!)
är alltför fixerad vid problem av typ "gör en
uppställning/figur och räkna ut svaret!". Data är
givna, varken för få eller för många, ja, tillrättalagda. Uppgifterna går ut på att nå ett svar, i
regel en entydig kvantitet. Facit blir domare. En
verkligt stimulerande samtalsgrupp under LMFKkongressen i somras i Trondheim behandlade den
svarsfixering som frustrerar många elever.
Tänk, om vi med gott samvete (gentemot eleverna och deras föräldrar) kunde "ta in" betydligt fler problem, där eleverna måste börja från
gräsrotsnivå med att fråga sig: Hur skall vi angripa det här problemet? Den elit som klättrar upp
mot skololympiadnivå vet vad detta innebär. Men
visst är det möjligt att låta alla elever gå på jakt
efter ett spår i problemlösningen, om vi väljer ut
eller ännu bättre nyskapar lämpliga uppgifter.
Åtskilliga av de knepiga olympiadproblemen tilllåter förenklingar, som gör dem ägnade att ges åt
en bred elevgrupp.
Vilka är då de begrepp, metoder eller tankekategorier i den "verkliga matematiken" som eleverna borde få möta? Låt oss först erinra oss att
matematiken är mer än logik; den har en induktiv
fas av gissning, undersökning och upptäckt, lika
väl som en deduktiv fas av cementerande logisk
bevisföring. "Låt oss lära oss att gissa!" manar
den kände matematikern och pedagogen George
Pólya i en av sina mycket läs- och tänkvärda
böcker. I genialiteten hos de stora matematikerna
ingick en inte ringa förmåga att gissa sig till
sammanhang. Till de intressantaste exemplen på
detta hör Arkimedes' tillvägagångssätt, då han ur
en tänkt vägning med en tvåarmad hävstång
heuristiskt anar sig fram till formlerna för parabelsegmentets area och sfärens area. Han kommer till de riktiga formlerna, men hans sätt är så
vågat, att han väljer en annan väg, då han vill
bevisa att formlerna är sanna!
Till undersöknings- och upptäcktsfasen hör sådana moment som
systematisk undersökning av enkla exempel
jämförelse med kända resultat, sökande efter
analogi
variation av uppgiften, t ex
omformulering av problemet till en ekvivalent
uppgift
specialisering av frågeställningen
generalisering av frågan
baklängesanalys (främst vid geometrisk konstruktion)
gissning av sammanhang
Några exempel
Låt oss se på ett exempel taget ur Bolt, "Boken
om aktiviteter i matematik". (Se nästa sida.)
Eleverna får rita rektanglar på rutat papper, så
att hörnen ligger i gitterpunkter och sidorna faller
längs linjer i rutnätet. Vi låter a och b beteckna
längd resp bredd i rektangeln {a och b är naturliga
tal). Elevernas uppgift är att finna en formel för
det antal rutor som en av diagonalerna skär
igenom. Med andra ord, det gäller att finna en
antalsfunktion f (a, b) som beror av de två variablerna a och b.
Väl att märka: eleverna stimuleras att upprätta
en tabell över a, b och / och uppmanas att
försöka finna ett "trevligt", existerande samband.
Tyngdpunkten är här lagd på att upptäcka något.
Självfallet leder ett blint trial-and-error-sökande
inte så lätt till målet. I denna uppgift kan eleverna
söka efter ett intelligent sätt att bedriva själva
undersökningen, i det de väljer representativa
kombinationer av längd och bredd. Givetvis blir
det mer spännande att pröva ett resultat som man
själv gissat sig till än att få sig en formel förelagd.
Och har eleverna väl prövat en funnen teori i
några extraexempel, så är deras intresse ofta även
väckt för en bevisföring, som säkerställer teorin.
Det är fullt möjligt att formulera en rad problem av denna undersökande typ inom vitt skilda
områden av skolmatematik. Om bara proven
kunde innehålla sådana uppgifter skulle mer plats
kunna beredas i undervisningen för ett kreativt
övande.
Även på den deduktivt—logiska sidan av matematiken finns moment, som eleverna borde få
möta på ett mer medvetet sätt, dvs genom övning.
Till dessa moment vill jag räkna
och lärorikt för eleven, som ju åtminstone i en
viss ålder har en stor benägenhet att generalisera
till svart eller vitt.
Ett intressant och tacksamt exempel av den
typen är Leo Mosers cirkeldelningsproblem (som
läsaren kan finna i NÄMNAREN nr 2 82/83 sid
78 under rubriken "Problem med problem").
— undersökning av nödvändighet och tillräcklighet hos villkor
I en mycket läsvärd uppsats i Elementa,
nr 3/83, ger professor Jan-Erik Roos en orientering "Om matematikens våldsamma utveckling
1950—1983". I slutordet heter det bl a: "Svårigheten ligger ofta i att identifiera praktiska problem med matematiska problem, att konstruera
realistiska matematiska modeller, som återspeglar verkligheten; att inse vad som är rimligt
och orimligt att åstadkomma med matematiska
metoder". Det vore därför "klart olämpligt att
stryka väsentliga delar av integral- och differentialkalkylen i skolorna", framhåller författaren
(med all rätt), samtidigt som han indirekt riktar
en vädjan till dem som dikterar gymnasiekurserna
att möjliggöra viss presentation av matematik
efter Newton och Leibniz.
Att skärskåda en och annan matematisk modell, såväl av klassisk art som av nyare slag,
borde betraktas som viktigt i gymnasiet. Här
finns fina möjligheter till fruktbar samverkan
med fysik, kemi, biologi och samhällsvetenskap.
Men finns det tid, dvs vågar vi anslå tid, så som
proven ännu är utformade?
I en serie lördagsträffar (med en dryg månads
mellanrum) har en grupp matematiker vid Tekniska högskolan i Stockholm givit intresserade
gymnasister stimulerande orienteringar inom en
rad områden, som inte ingår i skolkurserna,
bland annat i problemlösning, topologi och
projektiv geometri. (Helt säkert finns liknande
behjärtansvärda initiativ vid andra institutioner
och i en del gymnasier. Biennalerna har uppvisat
många friska grepp.)
Det finns en rad idébärare, som skulle kunna
medverka till att mer liv kunde komma in i
skolmatematiken. Varför inte exempelvis ta steget fullt ut, nu när geometrin ånyo kommit till
heders, och pröva projektiv geometri? Just konstruktiv (syntetisk) projektiv geometri ger rika
möjligheter att sätta både svagare och duktigare
elever i kreativt arbete och erbjuder dessutom
möjligheter att betrakta övergripande geometriska sammanhang och modeller.
Låt oss hoppas på en mer flexibel skolkurs
framöver. Inte för att ge den någon status av
akademisk nivå eller för att enbart roa eleverna
utan helt enkelt för att göra matematiken mer
verklig. Vi behöver en del rutiner och recept, men
även äkta matematisk övning.
— kontinuitet
— existens och entydighet
— valsituation inför frågan: "skall jag tro på
den här teorin och satsa på ett bevis — eller
skall jag söka efter ett motexempel?" (Ett
mycket vanligt vägskäl för matematikern!)
Att finna motexempel, som omintetgör en förhastad teori, är både typiskt för matematikutövandet
Matematikens våldsamma utveckling
