Trigonometriska kurvor

Matematik 4
Kap. 2 Trigonometri och grafer
Innehåll
2.1 Trigonometriska kurvor
2.2 Radianbegreppet
2.3 De trigonometriska funktionernas derivator
2.4 Tillämningar och problemlösning
2.1 Trigonometriska kurvor
3
TRIGONOMETRI OCH DERIVATOR
4
TRIGONOMETRISKA KURVOR
y = cos x
y = sin x
Vilken av dessa kurvor är y = sin x resp.
y = cos x ?
5
AMPLITUD
y = sin x
y = 2sin x
y = 3sin x
Vilken kurva är vilken?
6
PERIOD
Vad menas med period?
Den blå kurvans period
y  sin x
y  sin 2 x
Den röda kurvans period
Vad händer med perioden när man ändrar en
kurva från sin x till sin 2x?
Vad tror du händer med perioden när man ändrar en
kurva från sin x till sin 0,5x?
7
PERIOD
y  sin x
y  sin 2 x
x
y  sin
2
Vilken av dessa kurvor är y = sin (x), y = sin (2x) resp.
y = sin (x/2) ?
Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (2x)?
Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (x/2)?
8
FÖRSKJUTNING AV KURVOR
y = sin (x)
y = sin(x - 40°)
40°
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 40° åt höger.
9
FÖRSKJUTNING AV KURVOR
y = sin (x)
y = sin(x + 50°)
50°
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 50° åt vänster.
10
EN KURVA AV TYPEN y = a sin bx
y = sin (x)
y = 2 sin(2x)
y = a sin (bx)  y = 2 sin(2x)  a = 2 & b = 2
(Perioden är halverad och amplituden är dubblerad)
11
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
y = sin (x)
y = 2 sin3(x – 20°)
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 20° åt höger. Den
har perioden 120° (360/3) och amplituden 2.
12
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
Är dessa två funktioner samma sak?
y  2sin 3  x – 20 
z  2sin  3 x  60° 
y
y
f(x)=2sin(3(x-20))
3
3
2
2
1
1
f(x)=2sin(3x-60)
x
-π/2
π/2
x
-π/2
π/2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
13
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
14
KURVAN y = sin x - 2
y = sin (x)
-2
y = sin(x) - 2
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 2 enheter nedåt.
15
KURVAN y = tan(x)
Tangens period = 180°
sin x
tan x 
cos x
-90°
90°
asymptot
16
Asymptot
17
KURVAN y = a sin x + b cos x
Uppgift 2162 a) (Sid. 89)
Skriv om uttrycket y  6 sin x  8 cos x på formen y  m sin( x  v).
m  6 2  82  36  64  100  10
8 4
tan v  
6 3
4
v  tan    53,1301023542...
3
1
Svar:
y  10 sin( x  53,1)
18
KURVAN y = a sin x + b cos x
y  6sin x  8cos x  y  10sin( x  53,1)
y
10
10
9
10?
+53,1°?
8
7
6
5
f(x)=6sin(x)+8cos(x)
4
3
2
1
-270
-180
-90
-1
x
90
180
270
53,1°
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
19
KURVAN y = a sin x + b cos x
20
2.2 Radianbegreppet
21
RADIANBEGREPPET
22
RADIANBEGREPPET
Radianer är definierade som den sträcka utmed
enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln.
23
RADIANBEGREPPET
Eftersom enhetscirkeln har radien 1 så blir dess omkrets 2π.
Ett helt varv, 360 grader, motsvarar alltså 2π rad.
Annorlunda uttryckt, 1 rad ≈ 57,295°.
[ Cirkelns omkrets = diameter × π  I enhetscirkeln: 2 × π ]
24
GRADER  RADIANER
360

2
180

90



60
45


Bra att kunna
utantill.
2

3

4
25
GRADER  RADIANER
RAD
DEG 
 360
2
DEG
RAD 
 2
360
ETT HELT VARV
Grader:
360
Radianer:
2
DEG = Degrees (grader)
RAD = Radianer
Gon (tidigare benämnd nygrad)
Ett vinkelmått avpassat efter
decimal systemet är nygrader (gon,
grade). Systemet kallas
centesimalsystemet.
1 rätt vinkel (90º) indelas i 100
nygrader (100g, grade)
1g indelas i 100 nyminuter (100c,
centesimal minute)
1c indelas i 100 nysekunder (100cc,
centesimal secunde)
I lantmäteri anges vinkel i gon.
På miniräknare beteckningen ”DEG"
för grader och ”GRA" eller ”GON" för
nygrader.
Källa:
http://matmin.kevius.com/vinkel.php
26
GRADER  RADIANER
Ett exempel:
27
Deriveringsregler för potens- och
exponentialfunktioner
jämför
OBS!
ln e  1
28
CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA
Cirkelbågens längd
Vinkeln mäts i grader
b
v
 2 r
360
Vinkeln mäts i radianer
b
v
 2r  v  r
2
Cirkelsektorns area
Vinkeln mäts i grader
v
v
r
A
 r 2 
 2 r 
360
360
2
A
v
r br
 2 r  
360
2
2
Vinkeln mäts i radianer
v
vr2
2
A
 r 
2
2
vr2 vr r br
A


2
2
2
29
2.3 De trigonometriska funktionernas derivator
Hur kan man se detta i DESMOS?
30
Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska
funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?
Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först
ställts in på radianer och sedan på grader (degree).
OBS! 1 RAD  57,2957795130823°
Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska
funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?
OBS! /4 RAD = 45°
Derivatan av trigonometriska funktioner
En liten film som visar varför man skall använda radianer
när man använder derivatan till trigonometriska formler.
http://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner
Derivatan av sammansatta funktioner
Kedjeregeln
Kedjeregeln
px
5
p '  5x
4
z  x3  4
z '  3x 2
y   x  4
3
5
y '  5  x  4   3 x  15 x  ( x  4)
3
4
2
2
3
4
Kedjeregeln
Jag har matat in en funktion på Y1 och en på Y2 i min
räknare. Sedan slog jag följande:
Vad kan man säga om relationerna mellan funktionerna Y1
och en på Y2 ?
Y2 är derivatan till Y1. Varför ger beräkningarna inte exakt
samma resultat?
Kedjeregeln
p  4 cos x
z

2
x 3
p '  4sin x
z'

2


y  4 cos  x  3 
2



 




y '  4sin  x  3    4   sin  x  3   2 sin  x  3 
2
2
 2
2

2

Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av f ( x)  

 x x
4
 1 
f ( x)  

 xx
1
g ( x) 

xx

4
xx

1
1
2
h( x )  x  x  x  x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av f ( x)  

 x x
4
4
3
 1 
 1 
f ( x)  

f
'(
x
)

4


  g '( x)
 xx
 xx
1
1
g ( x) 
 x  x  g '( x)   x  x
xx




2
 h '( x )
1
2
1  12
h( x)  x  x  x  x  h '( x )  x  1
2
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av f ( x)  

 x x
4
3
4
 1 
 1 
4

)
x
'(
f

f ( x)  
  g '( x )


 xx
 xx
1
1
 x  x  g '( x)   x  x
g ( x) 
xx




2
 h '( x)
1  12
h( x)  x  x  x  x  h '( x )  x  1
2
1
2
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx


xx

2
xx

2
 h '( x)
 1  12 
  x  1

2
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av f ( x)  

 x x
4
4
TEST!
3
 1 
 1 
f ( x)  

f
'(
x
)

4


 
 x x
 x x

xx

2
 1  12 
  x  1
2

Inmatat i räknaren:
Hur skall vi tolka resultatet?
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av f ( x)  

 x x
3
 1 
f '( x)  4 
 
 x x

xx

2
4
 1  12 
  x  1
2

I facit står det:
f '( x) 
2  4 x
x

xx

5
Är det samma sak? Hur kan man kolla det?
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
Är dessa båda samma sak?
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx

xx

2
 1  12 
  x  1  f '( x) 
2

2  4 x
x

xx

5
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Omvandling
Att omvandla VL till HL.
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx
Skriver om blå

xx

2
 1  12 
  x  1  f '( x) 
2

2  4 x
x

xx

5
3
 1 
 1  1  1 
4
  4



 xx
 x  x  x  x  x  x 
Skriver om röd  
xx

2
2
 1 
 1  1 
 1 
  1 


 x x
 x  x  x  x 
Multiplicerar blå med röd
5
 1  1  1 
 1  1 
 1 
4


   1  

  4 
  4
 x  x  x  x  x  x 
 x  x  x  x 
 xx

15
xx

 
5
4
xx

5
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Omvandling
Att omvandla VL till HL.
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx

xx

2
 1  12 
  x  1  f '( x) 
2

2  4 x
x

xx

5
Multiplicerar produkten med grön

 1  12 
 x  1 
5 

xx 2
4


1 1

 
 1 
5 
xx 2 x 


2  2  4 x 
4  8 x
2  4 x


x  x  x
x  x  x
2 x  x  x 
5
2

4
5
5
 1
2 x



 
5 
xx 2 x 2 x 
4


1 2 x 

 
5 

xx  2 x 
4

Q.E.D.
Origo 4, uppg. 3141, sid 84