Trigonometriska kurvor

Matematik 4
Kap. 2 Trigonometri och grafer
Vecka 8 (2017)
2
Innehåll
2.1 Trigonometriska kurvor
2.2 Radianbegreppet
2.3 De trigonometriska funktionernas derivator
2.4 Tillämningar och problemlösning
2.1 Trigonometriska kurvor
4
TRIGONOMETRI OCH DERIVATOR
5
TRIGONOMETRISKA KURVOR
y = cos x
y = sin x
Vilken av dessa kurvor är y = sin x resp.
y = cos x ?
6
AMPLITUD
y = sin x
y = 2sin x
y = 3sin x
Vilken kurva är vilken?
7
PERIOD
Vad menas med period?
Den blå kurvans period
y  sin x
y  sin 2 x
Den röda kurvans period
Vad händer med perioden när man ändrar en
kurva från sin x till sin 2x?
Vad tror du händer med perioden när man ändrar en
kurva från sin x till sin 0,5x?
8
PERIOD
y  sin x
y  sin 2 x
x
y  sin
2
Vilken av dessa kurvor är y = sin (x), y = sin (2x) resp.
y = sin (x/2) ?
Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (2x)?
sin(x/2)?
0,5 x
Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till yy=sin
9
FÖRSKJUTNING AV KURVOR
y = sin (x)
y = sin(x - 40°)
40°
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 40° åt höger.
10
FÖRSKJUTNING AV KURVOR
y = sin (x)
y = sin(x + 50°)
50°
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 50° åt vänster.
11
EN KURVA AV TYPEN y = a sin bx
y = sin (x)
y = 2 sin(2x)
y = a sin (bx)  y = 2 sin(2x)  a = 2 & b = 2
(Perioden är halverad och amplituden är dubblerad)
12
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
y = sin (x)
y = 2 sin3(x – 20°)
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 20° åt höger. Den
har perioden 120° (360/3) och amplituden 2.
13
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
Är dessa två funktioner samma sak?
y  2sin 3  x – 20 
z  2sin  3 x  60° 
y
y
f(x)=2sin(3(x-20))
3
3
2
2
1
1
f(x)=2sin(3x-60)
x
-π/2
π/2
x
-π/2
π/2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
14
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
15
KURVAN y = sin x - 2
y = sin (x)
-2
y = sin(x) - 2
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 2 enheter nedåt.
16
Kurvor av typen y  A sin(kx  b)  d
https://www.desmos.com/calculator/6sawj4nh7r
17
Men hjälp av DESMOS
Gör dessa inställningar i DESMOS:
y  A sin(kx  b)  d
y  A cos(kx  b)  d
18
Men hjälp av DESMOS
Rita upp denna kurva med hjälp av DESMOS:
y  A sin(kx  b)  d
y  A cos(kx  b)  d
19
Men hjälp av DESMOS
Rita upp denna kurva med hjälp av DESMOS:
y  A sin(kx  b)  d
y  A cos(kx  b)  d
20
Men hjälp av DESMOS
Rita upp denna kurva med hjälp av DESMOS:
y  A sin(kx  b)  d
y  A cos(kx  b)  d
21
Men hjälp av DESMOS
Rita upp denna kurva med hjälp av DESMOS:
y  A sin(kx  b)  d
y  A cos(kx  b)  d
22
Men hjälp av DESMOS
Rita upp denna kurva med hjälp av DESMOS:
y  A sin(kx  b)  d
y  A cos(kx  b)  d
23
Men hjälp av DESMOS
Rita upp denna kurva med hjälp av DESMOS:
y  A sin(kx  b)  d
y  A cos(kx  b)  d
24
KURVAN y = tan(x)
Tangens period = 180°
sin x
tan x 
cos x
-90°
90°
asymptot
25
Asymptot
26
KURVAN y = a sin x + b cos x
Skriv om uttrycket y  6 sin x  8 cos x på formen y  m sin( x  v).
m  6 2  82  36  64  100  10
8 4
tan v  
6 3
4
v  tan    53,1301023542...
3
1
Svar:
y  10 sin( x  53,1)
27
KURVAN y = a sin x + b cos x
Kontrollera med hjälp av DESMOS.
y  6sin x  8cos x
y  10 sin( x  53,1)
28
KURVAN y = a sin x + b cos x
y  6sin x  8cos x  y  10sin( x  53,1)
y
10
10
9
10?
+53,1°?
8
7
6
5
f(x)=6sin(x)+8cos(x)
4
3
2
1
-270
-180
-90
-1
x
90
180
270
53,1°
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
29
KURVAN y = a sin x + b cos x
30
2.2 Radianbegreppet
31
RADIANBEGREPPET
32
RADIANBEGREPPET
Se formelbladet!
Vilken omkrets har en cirkel?
Hur radier är det runt en cirkel?
UTAN TILL!
Hur radianer är det runt en cirkel?
p
360° = 2p 180° = p 90° =
2
33
RADIANBEGREPPET
Radianer är definierade som den sträcka utmed
enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln.
34
RADIANBEGREPPET
Eftersom enhetscirkeln har radien 1 så blir dess omkrets 2π.
Ett helt varv, 360 grader, motsvarar alltså 2π rad.
Annorlunda uttryckt, 1 rad ≈ 57,295°.
[ Cirkelns omkrets = diameter × π  I enhetscirkeln: 2 × π ]
35
GRADER  RADIANER
360

2
180

90



60
45


Bra att kunna
utantill.
2

3

4
36
GRADER  RADIANER
61
×2p =
360
61
×p =
180
37
GRADER  RADIANER
0, 61
×360 =
2p
0, 61
×180 =
p
38
GRADER  RADIANER
RAD
DEG 
 360
2
DEG
RAD 
 2
360
ETT HELT VARV
Grader:
360
Radianer:
2
DEG = Degrees (grader)
RAD = Radianer
Gon (tidigare benämnd nygrad)
Ett vinkelmått avpassat efter
decimal systemet är nygrader (gon,
grade). Systemet kallas
centesimalsystemet.
1 rätt vinkel (90º) indelas i 100
nygrader (100g, grade)
1g indelas i 100 nyminuter (100c,
centesimal minute)
1c indelas i 100 nysekunder (100cc,
centesimal secunde)
I lantmäteri anges vinkel i gon.
På miniräknare beteckningen ”DEG"
för grader och ”GRA" eller ”GON" för
nygrader.
Källa:
http://matmin.kevius.com/vinkel.php
39
GRADER  RADIANER
Ett exempel:
Hur kan man slå detta på ett annat sätt?
40
GRADER  RADIANER
Ett exempel:
Hur kan man slå detta på ett annat sätt?
41
RADIANBEGREPPET
42
RADIANER  GRADER
0, 3 rad ® 17,2°
1, 3 rad ® 74,5°
3,14 rad ® 179,9°
2p rad ® 360,0°
43
GRADER  RADIANER
45° ®
135° ®
270° ®
360° ®
0,79 rad
2,36 rad
4,71 rad
2p rad
44
ConvertLIVE
http://convertlive.com/sv/u/konvertera/grader/till/radianer#270
45
CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA
Cirkelbågens längd
Vinkeln mäts i grader
b
v
 2 r
360
Vinkeln mäts i radianer
b
v
 2r  v  r
2
Cirkelsektorns area
Vinkeln mäts i grader
v
v
r
A
 r 2 
 2 r 
360
360
2
A
v
r br
 2 r  
360
2
2
Vinkeln mäts i radianer
v
vr2
2
A
 r 
2
2
vr2 vr r br
A


2
2
2
48
CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA
Cirkelbågens längd
Vinkeln mäts i grader
b
v
 2 r
360
Vinkeln mäts i radianer
b = v ×r
Cirkelsektorns area
Vinkeln mäts i grader
A
br
2
Vinkeln mäts i radianer
A
br
2
49
CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA
Cirkelbågens längd
b = v ×r
Cirkelsektorns area
A
br
2
a) 3, 2 = v ×120
3, 2
= v
120
v = 0, 027
50
CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA
Cirkelbågens längd
b = v ×r
Cirkelsektorns area
A
br
2
b) 0, 56 = v ×0, 47
0, 56
= v
0, 47
v = 1,191
51
En uppgift
52
En uppgift
53
En uppgift
Triangelns area
Cirkelsektorns area
r ×r ×sin(v ) r 2 ×sin(v ) r 2
AT =
=
=
×sin(v )
2
2
2
b ×r
v ×r ×r
vr 2
r2
AC =
=
=
=
×v
2
2
2
2
Cirkelsegmentets area
r2
r2
r2
AC - AT =
×v ×sin(v ) =
×(v - sin(v ))
2
2
2
55
MARKÖR
HÄR!
Ur formelhäftet
57
2.3 De trigonometriska funktionernas derivator
Hur kan man se detta i DESMOS?
58
Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska
funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?
Radian
Degree
Y1=sin(X)
Y1=sin(X)
nDeriv(Y1,X,1)
nDeriv(Y1,X,57.3)
.05403…
.0094…
Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först
ställts in på radianer och sedan på grader (Degree).
OBS! 1 RAD  57,2957795130823°
Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska
funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?
Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först
ställts in på radianer och sedan på grader (degree).
OBS! 1 RAD  57,2957795130823°
Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska
funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?
OBS! /4 RAD = 45°
http://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner
Derivatan av trigonometriska funktioner
En liten film som visar varför man skall använda radianer
när man använder derivatan till trigonometriska formler.
http://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner
Derivatan av sammansatta funktioner
Derivatan av sammansatta funktioner
y = cos 2x
y ' = - sin 2x ×2 = - 2 sin 2x
3
y = (2x )
y ' = 3 ×(2x )2 ×2 = 6 ×(2x )2 = 24x 2
4
y = (2x + 1)
2
y ' = 4 ×(2x + 1) 3 ×2 = 8 ×(2x + 1) 3
y = (sin x )
y ' = 2 ×(sin x ) ×(cos x ) = sin 2x
y = f (g(x ))
y ' = f '(g(x )) ×g '(x )
Kedjeregeln
Exempel 1 (från videon)
y = sin 2x
y ' = cos 2x ×2 = 2 cos x
Koll:
66
Exempel 2 (från videon)
2
y = 3 cos x = 3 (cos x )
2
y ' = 6 (cos x ) ×(- sin x ) = - 6(cos x )(sin x )
y ' = - 6(sin x )(cos x ) = - 3 ×2 sin x cos x
y ' = - 3 sin 2x
Koll:
67
Kedjeregeln
px
5
p '  5x
4
z  x3  4
z '  3x 2
y   x  4
3
5
y '  5  x  4   3 x  15 x  ( x  4)
3
4
2
2
3
4
Uppgift
Matat in funktionerna Y1 = cos(2πx)
och Y2 h= -2πsin(2πx) i din räknare. Slå sedan:
nDeriv(Y1,X,0.7)
Y2(0.7)
Vad är din tolkning?
Kedjeregeln
Jag har matat in en funktion på Y1 och en på Y2 i min
räknare. Sedan slog jag följande:
Vad kan man säga om relationerna mellan funktionerna Y1
och Y2 ?
Y2 är derivatan till Y1. Varför ger beräkningarna inte exakt
samma resultat?
Kedjeregeln
p  4 cos x
z

2
x 3
p '  4sin x
z'

2


y  4 cos  x  3 
2



 




y '  4sin  x  3    4   sin  x  3   2 sin  x  3 
2
2
 2
2

2

Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av y  

 xx
 1 
f ( x)  

 xx
1
g ( x) 

xx
4
f (g(h (x ) ) )
4

xx

1
1
2
h( x )  x  x  x  x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av y  

 xx
4
y = f (g(h (x ) ) )
y ' = f '(g(h (x ) ) ) ×g '(h (x ) ) ×h '(x )
 1 
f ( x)  

 xx
1
g ( x) 

xx
4

xx

1
1
2
h( x )  x  x  x  x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av y  

 xx
4
4
f (g(h (x ) ) )
3
 1 
 1 
f ( x)  

f
'(
x
)

4


  g '( x)
 xx
 xx
1
1
g ( x) 
 x  x  g '( x)   x  x
xx




2
 h '( x)
1
2
1  12
h( x)  x  x  x  x  h '( x)  x  1
2
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av y  

 xx
4
3
4
 1 
 1 
4

)
x
'(
f

f ( x)  
  g '( x)


x

x
x

x




1
1
 x  x  g '( x)   x  x
g ( x) 
xx




2
 h '( x)
1  12
h( x)  x  x  x  x  h '( x)  x  1
2
1
2
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx


xx

2
xx

2
 h '( x)
 1  12 
  x  1

2
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av y  

 xx
4
4
3
 1 
 1 
y

y
'

4


 
 xx
 xx
TEST!

xx

2
 1  12 
  x  1
2

Inmatat i räknaren:
Hur skall vi tolka resultatet?
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
 1 
Bestäm derivatan av y  

 xx
3
 1 
y '  4
 
 xx

xx

2
4
 1  12 
  x  1
2

I facit står det:
y' 
2  4 x
x

xx

5
Är det samma sak? Hur kan man kolla det?
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
Är dessa båda samma sak?
3
 1 
y '  4
 
 xx

xx

2
 1  12 
  x  1  y ' 
2

2  4 x
x

xx

5
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Omvandling
Att omvandla VL till HL.
3
 1 
y '  4
 
 xx

Skriver om röd
Skriver om blå
xx

2
 1  12 
  x  1  y ' 
2

2  4 x
x

xx

5
3
 1 
 1  1  1 
4
  4



 xx
 x  x  x  x  x  x 


xx

2
2
 1 
 1  1 
 1  
  1  


 xx
 x  x  x  x 
Multiplicerar röd med blå
5
 1  1  1 
 1  1 
 1 
4


   1  

  4 
  4
 x  x  x  x   x  x 
 x  x  x  x 
 xx

15
xx

 
5
4
xx

5
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Omvandling
Att omvandla VL till HL.
3
 1 
f '( x)  4 
 
 xx

4
xx


xx

2
 1  12 
  x  1  f '( x) 
2

2  4 x
x

xx

5
5
Multiplicerar produkten med grön

 1  12 

x  1 
5 
2

xx 
4


1 1

 
 1 
xx 2 x 


2  2  4 x 
4  8 x
2  4 x


x  x  x
x  x  x
2 x  x  x 
5
2

4
5
5
5
 1
2 x
 

 
2
x
2
x

xx 
4

5

1 2 x 
 
 
2
x

xx 
4

5
Q.E.D.
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Kedjeregeln
82
Kedjeregeln
83