Snabbrepetition Linjär algebra för M och
MD lp2 2013
Kasper K. S. Andersen
15 december 2013
Allmänt: Satsers och denitioners innehåll behöver du känna till för problemlösning. Du behöver vara specielt förtrogen med räknareglarna för skalärprodukt, vektorprodukt, matriser och determinanter. Glöm inte instuderingsfrågor.
1. Linjära ekvationssystem
• Gausselimination: 1.1, 1.2, 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.13, 1.15
• Allmän struktur på lösningar. Se Sats 10.10: 1.18, 9.23, 9.25, 9.26,
9.40
• Linjärt ekvationssystem på matrisform: 7.7
• Cramers regel: 1.19, 9.17
2. Vektorer
• Räknelagar: 2.1, 2.2, 2.3, 6.1
• Geometriska tillämpningar: 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.12
• Bas och koordinater: 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.22, 6.4, 6.5
• Linjärkombination: 2.17
• Linjärt berönde/oberönde: 2.19, 2.20, 6.2, 9.18, 9.19, 9.37
• Spännar upp: 6.3
• Allmänt basbyte: 2.22, 2.23, 2.25, 2.26
• Ortonormerad basbyte: 5.18, 7.19
3. Koordinatsystem
• Koordinater för punkter: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4
1
4. Linjer
• Parameterform: 3.5
• An form: 4.18a
5. Plan
• Parameterform: 3.10, 3.12
• An form: 3.17b, 4.18b
• Parameterform till an form: 3.14acd
• An form till parameterform: 3.11
• Parallellitet mellan vektor och plan: 3.21
• Planets ekvation ved ortonormerad basbyte: 5.15
6. Skärning
• Skärning mellan två linjer: 3.6, 3.8, 3.17a, 4.19
• Skärning mellan två plan: 3.18acd, 5.10
• Skärning mellan en linje och ett plan: 3.15, 3.16
7. Avstånd
• Avstånd mellan två punkter: Se sida 73.
• Avstånd mellan punkt och linje: 4.28
• Avstånd mellan punkt och plan: 4.25ab
• Avstånd mellan parallella plan: 4.26
• Avstånd mellan två linjer: 5.9, 5.10
8. Vinklar
• Vinkeln mellan två vektorer: 4.10, 5.19b
• Vinkeln mellan två plan: 4.20 (NB: Denna uppgift är inte med
i kursprogrammet. Minsta vinkeln är arccos( 2√321 ) ≈ 70.9◦ , inte
arccos(− 2√321 ) ≈ 109.1◦ ).
• Vinkeln mellan två skärande linjer: 4.19
9. Skalärprodukt
• Denition och räknereglar: 4.1, 4.4, 6.6
2
• Kontrol av ON-bas: 4.9, 7.19
• Koordinater i ON-bas: 4.6, 4.9, 4.16
• Komposantuppdeling: 4.22
10. Vektorprodukt
• Beräkning: 5.1, 5.2, 5.17
• Räknereglar: 5.4, 5.5, 5.11
• Konstruktion av HON-bas: 4.16, 5.3, 5.15, 5.18
11. Area och volym
• Area av parallellogram och triangel: 5.7, 5.8, 5.19a, 9.5
• Volym av parallellepiped och teträder: 9.6, 9.51
• Area- och volymskala vid linjär avbildning: 9.28, 9.29, 9.30a, 9.49
12. Matriser
• Matrisräkning: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6
• Teori för invers: 7.12, 7.13
• Beräkning av invers matris via lösning av AX=Y: 7.8, 7.9ab
• Beräkning av invers via underdeterminant: 9.15
• Avgöra inverterbarhet: 9.16, 9.22
• Matrisekvationer: 7.10, 7.26
• Ortogonala matriser: 7.14, 7.15, 7.17, 7.18
• Rang, bas för nollrummet, nolldimension: 7.23acd, 7.25, 7. 37, 8.24
13. Linjära avbildningar
• Denition av linjär avbildning: 8.9, 8.10, 8.12, 8.29
• Beräkning av avbildningsmatrisen då bilderna av vissa vektorer
•
•
•
•
är kända: 8.1, 8.14, 8.17, 8.18
Beräkning av avbildningsmatrisen från allmänt samband: 8.1, 8.6,
8.7
Sammansätning: 8.20, 8.36
Basbyte: 8.26
Bestämning av värdemängd, kontrol av bijektivitet, invers avbildning: 8.22, 8.23, 8.25
3
• Rang: 8.24
14. Ortogonal projektion, spegling, rotation och snedd projektion
• Ortogonal projektion på ett plan: 4.31a, 8.41, 10.3
• Spegling i ett plan: 4.31b, 4.33, 4.37, 4.40, 4.42, 8.6, 8.29
• Ortogonal projektion på en linje: 8.2, 8.7, 10.4
• Spegling i en linje: 8.1, 8.3, 8.34
• Rotation: 8.14, 8.36, 9.54b
• Snedd projektion: 4.43, 8.36
15. Determinanter
• Determinant av 2 × 2- och 3 × 3-matriser: 9.1, 9.3, 9.4
• Determinant av n × n-matriser, n ≥ 4: 9.31a, 9.36
• Beräkning via utveckling efter rad eller kolonn: 9.14
• Produktformeln: 9.11, 9.12, 9.13, 9.54a
• Räknereglar: 9.10
16. Egenvärden och egenvektorer
• Grundläggande denitioner: 10.6, 10.22a, 10.27
• Beräkning av egenvärden och egenvektorer: 10.1abc, 10.2abef, 10.8,
10.22b
• Geometrisk tolkning: 10.3, 10.4
• Diagonalisering: 10.10abc, 10.11b, 10.22c
• Matrispotenser: 10.14
4
