Lösningsförslag Pythagoras Quest Riksfinal 2016
advertisement
LösningsförslagPythagorasQuestRiksfinal2016 FörfattadavLarsÅströmochMalteLarsson Del1 1. Vikallarbarnenför1,2,3,4,5och6,därKalleärnummer1.Antagatt defrånbörjansitteriordningen1,2,3,4,5och6.BredvidKallekandet sittatreolikabarn–3,4och5.Antagförstatt3sittertillvänsteroch4 tillhögeromKalle.5och6fårintesittabredvidvarandrasådetvåmåste sittabredvid3och4idennyaplaceringenoch2mittemotKalle.5måste dåsittabredvid3och6bredvid4.Enlösninggavs.Enmotsvarande lösninggesmedsammaargumentom3sittertillhögeroch4tillvänster omKalle.Avsymmetriskälgesäventvålösningarom4och5ärdesom sitterbredvidKalle.Slutligenharvifalletdå3och5sitterbredvidKalle.2 och3fårintesittabredvidvarandrasådemåstesittabredvid4och5. Därförmåste3sittabredvid5och2bredvid4;6sittermitt emotKalle.Härgesocksåtvålösningar.Totaltfinns6sätt dekanhasattsigpå. 2. 2016 = 2! ∗ 3! ∗ 7.Alla2orna,3ornarespektive7orna måstevaraiantingen𝑝eller𝑞eftersomingettalfårdela både𝑝och𝑞.För2orna,3ornaoch7ornafinnsdetalltså tvåvalvardeskavarafaktorer–𝑝eller𝑞.Alltsåfinns8 sådanabråk. 3. Låtdeninrecirkelnsradievara𝑟.DågerPythagorassatsidenröda triangelnatt2! + 4! = 2 + 2𝑟 ! ó 20 − 2 = 2𝑟 <=> 𝑟 = 5 − 1. 4. Viserattde10förstatalenär2050, 2051, 2052, 2049, 2054, 2047, 2056, 2045, 2058 och 2043.Depåuddaplatsverkarvarajämnaochöka medtvå,depåjämnplatsverkarvarauddaochminskamedtvå.Vikollar omdetalltidärså.Antagförstattviskafåframetttalpåuddaplats.Då fårvi𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − 2 = 𝑎 + 2,där𝑎och𝑏ärnågraheltal.Alltså fortsättermönstret.Nuskavikontrolleraattdetgällerpåjämnplats också.𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 2 = 𝑏 − 2,vilketalltsåstämde.Detsöktataletär påjämnplatsochäralltså2051minskatmed2ettantalgånger.Detta antalär !"#$ ! − 1 = 1007.Alltsåärdetsöktatalet 2051 − 2 ∗ 1007 = 37. 5. Antagattdetfinns3sttreoriföljdnågongång.Dåtaletinnandessha hafttretreoreftersom2avvåra3nuvarandetreorharkommitavattvi sagt”tretreor”.Menomviskahatretreornågongångmåstevialltså haftdetfrånbörjan,vilketviintehade.Svar:Nej 6. Vivillha𝑛sålitetsommöjligt,alltsåskaviväljasåsmåtalsommöjligt. Menvimåstesamtidigtsetillatttriangelolikheteninteuppfyllsförnågra avtalenviväljer.Viväljerdåalltsåtalen4, 5, 9, 14, 23, 37.Alltsåmåste𝑛 minstvara37. 7. Eftersom𝑎! = 𝑏 ! såmåste𝑎 = 𝑘 ! förnågot𝑘.Påsammasättär 𝑐 = 𝑚! förnågot𝑚.𝑐 − 𝑎 = 𝑚! − 𝑘 ! = 𝑚 + 𝑘 ! 𝑚 − 𝑘 ! = 19. ! Eftersom19ärettprimtalmåste 𝑚 + 𝑘 ! = 19,vilketger𝑚 = 10, 𝑘 = 𝑚−𝑘 =1 3ochalltsåfårvi 𝑎 = 81, 𝑏 = 243, 𝑐 = 100, 𝑑 = 1000. Del2 1. Vidrarlinjerna𝐵𝐷och𝐴𝐸ochfårdåenligtv-s-v-falletatt∆𝐸𝐷𝐴 ≅ ∆𝐸𝐵𝐷 ≅ ∆𝐸𝐵𝐴.Alltsåärareanav∆𝐴𝐵𝐷tregångerstörreän∆𝐵𝐷𝐸,av symmetriäräven∆𝐵𝐶𝐷tregångerstörreän∆𝐵𝐷𝐹.Alltsåharromben arean9. 2. DåSamharslagittvåkoderfinns9998kvaratttesta.Sannolikhetenatt dåfårättär1 9998. 3. Vivetatt6, 7 𝑜𝑐ℎ 12delarLisasålder.Om12delaretttalmåsteäven6 deladet.AlltsåärLisasålderdelbarmed7 ∗ 12 = 84.Eftersom 84 ∗ 2 > 100blevhon84årgammal. 4. AntagattPartietLarsfickandelen𝑥avrösterna.Dåvetviatt𝑥 + 0,2 ∗ 1 − 𝑥 = 0,52ó 0,8 ∗ 𝑥 = 0,32ó 𝑥 = 0,4.PartietLarsfick40%av rösterna. ! 5. Omentärningkastasärchansen!attantaletprickarblirudda.Omtvå ! tärningarkastasärchansenockså attdetillsammansvisarettudda ! antalprickareftersomgivetdenförstatärningensutfallärdet50% chansattdenandratärningengörattdetillsammansvisarettuddaantal ! prickar.Detär!chansattminstettmyntblirklaveochalltsåär ! sannolikheten . ! 6. Låt𝐵𝐷 = 𝐵𝐸 = 𝑥.DågerPythagorassatsi∆𝑂𝐴𝐷att2! = 1! + 1 + 𝑥 !ó !" ! 𝑥 = 3 − 1.Areanavcirkelsektorn𝐷𝑂𝐸är!"# ∗ 𝜋 ∗ 2! = ! .Areanav ∆𝐷𝐵𝑂 =Areanav∆𝐸𝐵𝑂 = ! − ! !!! ! !∗! ! = !!! ! .Densöktaareanbliralltså ! ∗ 2 = ! + 1 − 3. 7. Vivetatt𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 3𝑐 = 𝑚! , 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 5𝑐 = 𝑛! ,förnågra 𝑚, 𝑛.Alltsåmåste𝑐varadelbartmed5! och3.Menföratt5𝑐 = 𝑛! så måste𝑐varadelbartmed3! .Viseratt𝑐 = 5! ∗ 3! = 675gerlösning. Alltsåärdetminstamöjliga𝑎 = 673. Del3 1. 𝑎!!! = 𝑎! − 𝑎!!! = 𝑎!!! − 𝑎!!! − 𝑎!!! = −𝑎!!! .Alltsåärtalenfrån ochmed𝑛 = 4sammatalsomdettreplatsertidigare,fastmedomvänt tecken.Detbetyderattsummanavsexpåvarandraföljandetaliföljden blir0.Eftersom6|2016blirsumman0. PythagorasQuick 1. 𝑉𝑜𝑙𝑦𝑚𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 = 𝐿ä𝑛𝑔𝑑𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎! => 1000000 = 𝐿𝑆 ! => 𝐿𝑆 = 100. Alltsåskamodellenvara2𝑚hög. 2. Vivillhaettsålångttalsommöjligt.Detvåsiffrigakvadrattalenär 16,25,36,49,64,81.Detlängstafåsefterprövningsom81649. 3. Vibehöverdradetvågrönakulornanågotavdetredragen.Detfinns alltsåtrealternativ:draenrödiförsta,andraellertredje.Degerituroch ! ! ! ! ! ! ordningföljandesannolikheter:! ∗ ! ∗ ! , ! ∗ ! ∗ ! 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑘𝑡𝑖𝑣𝑒 ! Totaltgerdettasannolikheten!". SvarDel2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 9 1 9998 84 40% 3 8 ! + 1 − 3 ! 7. 673 SvarPythagorasQuick 1. 2𝑚 2. 81649 3. 9 32 ! ! ! ! ∗ ! ∗ !.
