Lösningsförslag Pythagoras Quest Riksfinal 2016

LösningsförslagPythagorasQuestRiksfinal2016
FörfattadavLarsÅströmochMalteLarsson
Del1
1. Vikallarbarnenför1,2,3,4,5och6,därKalleärnummer1.Antagatt
defrånbörjansitteriordningen1,2,3,4,5och6.BredvidKallekandet
sittatreolikabarn–3,4och5.Antagförstatt3sittertillvänsteroch4
tillhögeromKalle.5och6fårintesittabredvidvarandrasådetvåmåste
sittabredvid3och4idennyaplaceringenoch2mittemotKalle.5måste
dåsittabredvid3och6bredvid4.Enlösninggavs.Enmotsvarande
lösninggesmedsammaargumentom3sittertillhögeroch4tillvänster
omKalle.Avsymmetriskälgesäventvålösningarom4och5ärdesom
sitterbredvidKalle.Slutligenharvifalletdå3och5sitterbredvidKalle.2
och3fårintesittabredvidvarandrasådemåstesittabredvid4och5.
Därförmåste3sittabredvid5och2bredvid4;6sittermitt
emotKalle.Härgesocksåtvålösningar.Totaltfinns6sätt
dekanhasattsigpå.
2. 2016 = 2! ∗ 3! ∗ 7.Alla2orna,3ornarespektive7orna
måstevaraiantingen𝑝eller𝑞eftersomingettalfårdela
både𝑝och𝑞.För2orna,3ornaoch7ornafinnsdetalltså
tvåvalvardeskavarafaktorer–𝑝eller𝑞.Alltsåfinns8
sådanabråk.
3. Låtdeninrecirkelnsradievara𝑟.DågerPythagorassatsidenröda
triangelnatt2! + 4! = 2 + 2𝑟 ! ó
20 − 2 = 2𝑟 <=> 𝑟 = 5 − 1.
4. Viserattde10förstatalenär2050, 2051, 2052, 2049, 2054, 2047,
2056, 2045, 2058 och 2043.Depåuddaplatsverkarvarajämnaochöka
medtvå,depåjämnplatsverkarvarauddaochminskamedtvå.Vikollar
omdetalltidärså.Antagförstattviskafåframetttalpåuddaplats.Då
fårvi𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − 2 = 𝑎 + 2,där𝑎och𝑏ärnågraheltal.Alltså
fortsättermönstret.Nuskavikontrolleraattdetgällerpåjämnplats
också.𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 2 = 𝑏 − 2,vilketalltsåstämde.Detsöktataletär
påjämnplatsochäralltså2051minskatmed2ettantalgånger.Detta
antalär
!"#$
!
− 1 = 1007.Alltsåärdetsöktatalet
2051 − 2 ∗ 1007 = 37.
5. Antagattdetfinns3sttreoriföljdnågongång.Dåtaletinnandessha
hafttretreoreftersom2avvåra3nuvarandetreorharkommitavattvi
sagt”tretreor”.Menomviskahatretreornågongångmåstevialltså
haftdetfrånbörjan,vilketviintehade.Svar:Nej
6. Vivillha𝑛sålitetsommöjligt,alltsåskaviväljasåsmåtalsommöjligt.
Menvimåstesamtidigtsetillatttriangelolikheteninteuppfyllsförnågra
avtalenviväljer.Viväljerdåalltsåtalen4, 5, 9, 14, 23, 37.Alltsåmåste𝑛
minstvara37.
7. Eftersom𝑎! = 𝑏 ! såmåste𝑎 = 𝑘 ! förnågot𝑘.Påsammasättär
𝑐 = 𝑚! förnågot𝑚.𝑐 − 𝑎 = 𝑚! − 𝑘 ! = 𝑚 + 𝑘 ! 𝑚 − 𝑘 ! = 19.
!
Eftersom19ärettprimtalmåste 𝑚 + 𝑘 ! = 19,vilketger𝑚 = 10, 𝑘 =
𝑚−𝑘 =1
3ochalltsåfårvi
𝑎 = 81, 𝑏 = 243, 𝑐 = 100, 𝑑 = 1000.
Del2
1. Vidrarlinjerna𝐵𝐷och𝐴𝐸ochfårdåenligtv-s-v-falletatt∆𝐸𝐷𝐴 ≅
∆𝐸𝐵𝐷 ≅ ∆𝐸𝐵𝐴.Alltsåärareanav∆𝐴𝐵𝐷tregångerstörreän∆𝐵𝐷𝐸,av
symmetriäräven∆𝐵𝐶𝐷tregångerstörreän∆𝐵𝐷𝐹.Alltsåharromben
arean9.
2. DåSamharslagittvåkoderfinns9998kvaratttesta.Sannolikhetenatt
dåfårättär1 9998.
3. Vivetatt6, 7 𝑜𝑐ℎ 12delarLisasålder.Om12delaretttalmåsteäven6
deladet.AlltsåärLisasålderdelbarmed7 ∗ 12 = 84.Eftersom
84 ∗ 2 > 100blevhon84årgammal.
4. AntagattPartietLarsfickandelen𝑥avrösterna.Dåvetviatt𝑥 + 0,2 ∗
1 − 𝑥 = 0,52ó 0,8 ∗ 𝑥 = 0,32ó 𝑥 = 0,4.PartietLarsfick40%av
rösterna.
!
5. Omentärningkastasärchansen!attantaletprickarblirudda.Omtvå
!
tärningarkastasärchansenockså attdetillsammansvisarettudda
!
antalprickareftersomgivetdenförstatärningensutfallärdet50%
chansattdenandratärningengörattdetillsammansvisarettuddaantal
!
prickar.Detär!chansattminstettmyntblirklaveochalltsåär
!
sannolikheten .
!
6. Låt𝐵𝐷 = 𝐵𝐸 = 𝑥.DågerPythagorassatsi∆𝑂𝐴𝐷att2! = 1! +
1 + 𝑥 !ó
!"
!
𝑥 = 3 − 1.Areanavcirkelsektorn𝐷𝑂𝐸är!"# ∗ 𝜋 ∗ 2! = ! .Areanav
∆𝐷𝐵𝑂 =Areanav∆𝐸𝐵𝑂 =
!
−
!
!!!
!
!∗!
!
=
!!!
!
.Densöktaareanbliralltså
!
∗ 2 = ! + 1 − 3.
7. Vivetatt𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 3𝑐 = 𝑚! , 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 5𝑐 = 𝑛! ,förnågra
𝑚, 𝑛.Alltsåmåste𝑐varadelbartmed5! och3.Menföratt5𝑐 = 𝑛! så
måste𝑐varadelbartmed3! .Viseratt𝑐 = 5! ∗ 3! = 675gerlösning.
Alltsåärdetminstamöjliga𝑎 = 673.
Del3
1. 𝑎!!! = 𝑎! − 𝑎!!! = 𝑎!!! − 𝑎!!! − 𝑎!!! = −𝑎!!! .Alltsåärtalenfrån
ochmed𝑛 = 4sammatalsomdettreplatsertidigare,fastmedomvänt
tecken.Detbetyderattsummanavsexpåvarandraföljandetaliföljden
blir0.Eftersom6|2016blirsumman0.
PythagorasQuick
1. 𝑉𝑜𝑙𝑦𝑚𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 = 𝐿ä𝑛𝑔𝑑𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎! => 1000000 = 𝐿𝑆 ! => 𝐿𝑆 = 100.
Alltsåskamodellenvara2𝑚hög.
2. Vivillhaettsålångttalsommöjligt.Detvåsiffrigakvadrattalenär
16,25,36,49,64,81.Detlängstafåsefterprövningsom81649.
3. Vibehöverdradetvågrönakulornanågotavdetredragen.Detfinns
alltsåtrealternativ:draenrödiförsta,andraellertredje.Degerituroch
!
!
! !
!
!
ordningföljandesannolikheter:! ∗ ! ∗ ! , ! ∗ ! ∗ ! 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑘𝑡𝑖𝑣𝑒
!
Totaltgerdettasannolikheten!".
SvarDel2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
9
1 9998
84
40%
3 8
!
+ 1 − 3
!
7. 673
SvarPythagorasQuick
1. 2𝑚
2. 81649
3. 9 32
!
!
!
!
∗ ! ∗ !.