Repetition
Viktiga saker från kap. 9, Atomkärnans struktur
Skalstruktur för atomkärnor
Kvantmekaniken är grundläggande för att förstå skalstruktur i
kärnmodeller (approximativa potentialer för protonerna och
neutronerna i kärnan)
Skalstruktur för atomkärnor
Skalstruktur hos atomkärnor förklarar förekomst och stabilitet
av olika isotoper, såväl på jorden som i stjärnorna!
Tredimensionell harmonisk oscillator
För att lättare kunna hantera det komplicerade mångpartikel
problemet inför man en sk medelfältspotential i vilken man
placerar bara en partikel och räknar ut energierna för den
Total energi för flera partiklar, magiska tal
Sedan fyller man de uträknade energierna med partiklar enligt
Pauliprincipen
Som en första approximation kan en tredimensionell
harmonisk oscillator (H.O.) använda
Vid degeneration (flera tillstånd med samma energi) uppstår
skalstruktur och sk magiska tal blir en konsekvens
Tredimensionell harmonisk oscillator
En tredimensionell H.O. definieras
av potentialen
V = 12 m ωx2 x 2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 , det följer då från
Schrödingerekvationen (S.E.) att lösningarna separerar i de tre
Cartesiska koordinaterna dvs (där φn löser 1D-H.O.)
Ψnx ,ny ,nz (x, y , z) = φnx (x) φny (y ) φnz (z)
För en sfärisk H.O. gäller ωx = ωy = ωz , då kan man använda
sfäriska koordinater enligt
Ψnx ,ny ,nz (x, y , z) ↔ ΨN,ℓ,m (r , θ, ϕ) = RN,ℓ (r ) Yℓm (θ, ϕ)
Speciellt för den sfäriska H.O. (jämfört med andra sfäriska
potentialer) är att det för varje N kvanttal (”H.O. skal”)
förekommer alla jämna/udda ℓ ≤ N kvanttal, vilket innebär en
hög degeneration (”stark skalstruktur”)
Energin för en partikel kan uttryckas i Cartesiska- eller sfäriskakvanttal enligt (nr betecknar antalet radiella noder)
Enx ,ny ,nz = ~ω (N + 3/2) , N = nx + ny + nz
EN,ℓ,m = ~ω (2nr + ℓ + 3/2) , nr = (N − ℓ) /2
Total energi för flera partiklar
Som en första approximation till grundtillståndets energi i tex en
16 O kärna (”syre-16”) kan man fylla de fyra lägsta energinivåerna
med fyra protoner med spinn ”upp”, fyra med spinn ”ner” samt
fyra+fyra neutroner (se sidan 182 i läroboken)
E16 O = 4·EN=0 +3·4·EN=1 = ~ω (4 · 3/2 + 3 · 4 · (1 + 3/2)) = 36~ω
Vill vi nu beräkna energin för isotopen 17 O (”syre-17”) (med
samma modell), lägger vi till en neutron (med spinn ”upp” eller
”ner”) i nästa H.O. skal
E17 O = E16 O + ~ω (2 + 3/2) = 39.5~ω
Detta leder till en (relativt sett) mycket större energi. Naturen
strävar efter att minimera energin vilket kan göra det fördelaktigt
att bryta den sfäriska symmetrin för denna isotop, många isotoper
i naturen har därför osymmetriska grundtillstånd.
Kärnor med de speciella proton (resp neutron) antal (sk magiska
tal) som svarar mot fyllda skal kallas magiska kärnor, de kan ses
som analoger till ädelgaserna i atomfysiken.
