Kurs 7

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
FY7. Elektromagnetism
1
3.9.06
MÅL
Kursens mål är att de studerande skall
• fördjupa sina kunskaper om elektromagnetiska fenomen
• bli förtrogna med elsäkerhet
• fördjupa sina kunskaper om betydelsen av elektromagnetiska fenomen i samhället.
CENTRALT INNEHÅLL
• magnetisk kraft, magnetfält och materia i magnetfält
• laddade partiklar i homogena el- och magnetfält
• induktionslagen och Lenz lag
• induktionsfenomen: virvelströmmar, generatorer och självinduktion
• energitransport med hjälp av elström
• mätning av effektiv spänning och ström samt bestämning av impedansens
frekvensberoende
• svängningskretsar och antenner, elektromagnetisk kommunikation
• elsäkerhet
• energiindustrin
7.1. Magneter och kompasser
Sedan antiken har det varit känt att vissa järnföremål attraherar och repellerar varandra på
ett sätt som liknar elektriska laddningar. Skillnaderna är dock:


järn leder elektricitet, medan endast isolatorer kan bli statiskt elektriskt laddade
genom friktion
de magnetiska "laddningarna" eller polerna förekommer alltid parvis, medan ett
elektriskt laddat föremål kan ha en nettoladdning av ett tecken. Delar men på en
magnet med en nordpol och en sydpol får man inte ensamma poler utan två nya
magneter med båda polerna
Små lättrörliga magneter vänder sig med ena polen ungefär i den geografiska
nordriktningen vilket visar att även jorden fungerar som en magnet - har ett "magnetfält".
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
2
Vi minns att det elektriska fältet E = F/Q beskriver i vilken riktning en elektrisk kraft F
skulle verka på en hypotetisk positiv testladdning Q om den placerades i fältet. Det
magnetiska fältet B visar i vilken riktning nordändan av en hypotetisk testkompass
skulle peka om den placerades i fältet. Precis som för det elektriska fältet är fältlinjerna
tätare där fältet är starkare. Vi återkommer senare till en närmare definition av enheten 1
tesla = 1 T för magnetisk fältstyrka.
7.2. Magnetisk kraft mellan två parallella ledare
Man brukar använda uttrycket "elektromagnetisk" kraft eller växelverkan för att beskriva
elektriska och magnetiska krafter som ett gemensamt fenomen. Sambandet kan förklaras
utgående från relativitetsteorin, enligt vilken endel storheter "förvrängs" när föremål är i
rörelse. Tiden går långsammare (tidsdilation), massan ökar, längder minskar
(längdkontraktion).
Relativistisk förklaring: i ledare 1 finns negativa rörliga elektroner N1 (i ytterskalen) och
stationära positiva "joner" P1 (atomkärnor med inre elektronskal), i ledaren 2
motsvarande N2 och P2. Då ingen ström går finns attraktiva (N1-P2, P1-N2) och
repulsiva krafter (N1-N2, P1-P2) vilka ger resultantkraften noll. Kraften mellan en kort
bit av ledarna beror av laddningstätheten (mängden laddning per längdenhet) i dem.
Då strömmar går i samma riktning i båda ledarna (antag här att strömmarna är lika starka)
kommer en betraktad kort bit av ledare 2 p.g.a. relativistisk längdkontraktion att vara
kortare i de rörliga N1:s referensram, laddningstätheten högre och den attraktiva kraften
N1-P2 störrre. På motsvarande sätt blir attraktionen P1-N2 starkare. De repulsiva N1-N2
och P1-P2 förblir oförändrade då dessa parvis inte rör sig i förhållande till varandra.
Resultatet är en attraktiv nettokraft mellan ledarna.
Om strömmarna går i motsatt riktning kommer den repulsiva P1-P2 att vara oförändrad
jämfört med situationen då inga strömmar går. De attraktiva N1-P2 och P1-N2 förstärks
som i fallet med strömmar i samma riktning. Den repulsiva N1-N2 förstärks dock ännu
mer; eftersom strömmarna går i motsatt riktning blir deras relativa hastighet större. Detta
visar sig vara den dominerande effekten, och resultatet blir en repulsiv nettokraft lika stor
som den attraktiva ovan.
Till storleken på den attraktiva eller repulsiva kraften mellan två parallella ledare
återkoms senare. Experimentellt kan man med en stark strömkälla arrangera två parallella
remsor av aluminiumfolie så att de böjs lite av denna - i praktiken mycket svaga magnetiska kraft när ström i samma eller motsatt riktning går genom dem.
7.3. Olika magnetfält som resultat av elströmmar
Alla magnetiska krafter beror alltså på strömmar - laddningar som rör sig på något sätt.

i en "permanent" magnet (stavmagnet, kompass) finns liksom i all materia atomer
där laddningar rör sig (protoner och neutroner uppbyggda av laddade kvarkar
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM


3
roterar, elektronerna rör sig runt kärnan, elektronerna själva roterar). För vissa
ämnen ss. järn är det möjligt att atomernas magnetfält delvis samverkar så att ett
betående totalt magnetfält är resultatet.
jordens magnetfält förorsakas av konvektionsströmmar av lava som under högt
tryck är i plasmaform. Strömmarna drivs av värmen från radioaktivt sönderfall i
jordens inre. Liksom andra konvektionsströmmar (ex. vädersystem ss.
monsunvindar) kan de periodvis byta riktning, vilket har skett flere gånger i
jordens historia. Kompassers missvisning på en viss plats varierar p.g.a.
instabiliteten i jordens magnetfält från år till år.
en strömförande ledning (eller slinga, eller spole av slingor) åstadkommer ett
magnetfält omkring sig
Demonstration: en 1-2 A ström genom en ledning åstadkommer en klar avvikelse i en
vanlig orienteringskompass.
7.4. Magnetfältet nära strömförande ledningar, slingor och spolar
Rak ledare
I närheten av en rak strömförande ledning går de magnetiska fältlinjerna i cirklar runt
ledaren, medurs då man tittar längs ledaren i strömmens riktning (OBS: = den riktning
positiva laddningar skulle röra sig i, från positiv till negativ pol på en spänningskälla.
Den verkliga laddningstransporten i metalliska ledare sker med negativa elektroner som
rör sig i motsatt riktning).
Högerhandsregel I : Grip om en rak ledare med höger hand, ha tummen i strömmens
riktning. Magnetfältet B går då i cirklar runt ledaren så som de fyra böjda fingrarna
anger.
Då en fältlinje kommer vinkelrätt ut ur en yta kan detta symboliseras av en punkt
(eventuellt i en cirkel) och då det går in i ytan av ett kryss. Fältet B i enheten 1 tesla = 1 T
är starkare ju närmare ledaren vi är. För detta gäller
B = 0I/2r
M119
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
4
där I = strömmen i ampere genom ledaren, r = avståndet i meter från den (den antas vara
tunn i förhållande till r) och 0 = den magnetiska permeabiliteten för det eventuella
ämne som finns omkring ledaren. För vakuum och ungefär för luft gäller att = 4π*10-7
TmA-1. Varför dess enhet är detta (eller N/A2) och varför talet π ingår i dess värde
återkommer vi till senare.
Om materialet omkring ledaren inte är luft eller vakuum får permeabiliteten ett annat
värde  vilket kan beräknas med hjälp av detta materials relativa permeabilitet r enligt 
= r0 eller
r = B/B0 = /0
M119
(jämför detta med den elektriska permittiviteten ε = εrε0)
För s.k. ferromagnetiska ämnen (ofta olika järn- eller nickelbaserade legeringar) ges de
höga r - värdena i tabeller som sådana (M93), medan för andra ämnen där r ≈ 1 ges den
magnetiska susceptibiliteten κ där r = κ +1 (M90-91).
Cirkulär slinga (eng. loop)
Gör man en slinga av den strömförande ledningen (bilden till höger nedan) och följer den
med höger hand och tummen i strömmens riktning kommer fältlinjerna alltid att gå
"uppåt" vinkelrätt mot slingans plan innanför den, "nedåt" utanför den. Man kan visa att
fältstyrkan innanför en slinga med radien r i vilken strömmen I flyter är
B = 0I/2r
M119
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
5
Spole (eng. solenoid, fi. käämi)
Om flere slingor läggs ovanpå varandra så att strömmen i närliggande delar går åt samma
håll fås en spole innanför vilken fältlinjerna förstärker varandra så att fältstyrkan B
ungefär ges av:
B = N0I/l
M119
där N = antalet slingor (eller "varv") i spolen och l = dess längd i meter. Om spolen inte
är tom utan ges en järnkärna med radikalt högre permeabilitet än luft blir fältet mycket
starkt. Spolen kommer då att fungera som en elektromagnet med ett fält som utanför den
är av samma typ som det omkring en permanent stavmagnet (eller som elfältet i området
nära en positiv och negativ elektrisk laddning). För denna elektromagnet gäller då:
Högerhandsregel II : Greppa en spole med höger hand, så att de fyra böjda fingrarna
följer strömmens riktning genom spolens slingor. Tummen visar då riktningen för
magnetfältet innanför spolen (och därmed även vilken ända som fungerar som nordpol).
Demonstration: Placera en strömförande spole på OH-projektorn och visa fältriktningen
i olika punkter omkring den med en orienteringskompass.
7.5. Kraften på en ledare i ett magnetfält
Demonstration : Låt en lång ledning hänga ned från en horisontell pinne (ex. på ett
stativ) så att ledningen bildar en U-formad figur. Låt den hänga så att den ungefär
horisontella delen av U-ledningen finns mellan polerna på en U-formad permanent
magnet. Koppla en några amperes ström genom ledningen - den kommer då att föras
någon centimeter åt sidan av en magnetisk kraft på laddningarna som rör sig i ledningen.
Sedd ur olika perspektiv kommer situationen att bli som i figuren nedan:
Kraften F på den strömförande ledningen då strömriktningen I och (den permanenta
magnetens) fältriktning B är vinkelräta och bildar ett plan kommer att vara vinkelrätt mot
detta plan, i en tredje dimension (kraften är vektorprodukten av ström och fält).
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
6
Högerhandsregel III: Låt högra handens tumme vara vinkelrät mot de andra fingrarna,
när handen ligger på en plan yta. Låt sedan tummen peka i strömmens I riktning och de
andra fingrarna i fältet B:s. Kraften F är då riktad vinkelrätt ut ur handflatan.
Det gäller för denna kraft att
F = IlBsin
M120
där l = längden av den del av ledningen som finns i det homogena fältet B. Vinkeln  är
mellan strömriktningen och B; om  = 90o så har vi F = IlB.


Då I = Q/t så Il = Ql / t
men då l/t = v = den hastighet mellan vilken laddningen transporteras fås
F = QvBsin
M120
Magnetfältet och dess enhet
Nu kan vi närmare reda ut hur den magnetiska fältstyrkan B förhåller sig till andra
storheter. Om vinkeln  är rät har vi




F = IlB vilket ger B = F/Il
så enheten 1 tesla = 1 T = 1 N/Am
alternativt kan vi använda F = QvB => B = F / Qv
vilket ger 1 T = 1 N / Cms-1
Jämför detta med det elektriska (elektrostatiska) fältet E = F / Q med enheten 1 N/C. I
båda fallen är fältet alltså kraften per det som förorsakar kraften, för elfältet en laddning,
för magnetfältet en ström eller en laddning i rörelse! Den magnetiska permeabilitetens
enhet 1 TmA-1 = 1 (N/Am)*m*A-1 = 1 N/A2.
7.6. Parallella ledare och enheten 1 ampere
Låt oss nu återvända till en situation där två parallella, tunna och långa raka ledare
studeras.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM






7
vi betraktar en längd l av det parallella ledarparet; avståndet mellan ledarna är r
genom ledare 1 går strömmen I1 in i papperets plan
det förorsakar enligt högerhandsregel (HHR) I fältet B1 nedåt i papperets plan där
I2 går
enligt tidigare är B1 = 0I1 / 2r
enligt HHR III verkar då en kraft F = I2lB1 åt vänster på ledare 2
då är F = I2l(0I1 / 2r) eller
F = 0I1I2l/2r
M119
På motsvarande sätt kan man visa att en kraft av samma storlek men motsatt riktning
verkar på ledning 1 (vilket även Newtons III lag anger).
Enheten 1 ampere definieras som den ström I1 = I2 som flyter genom två oändligt långa
och tunna parallella ledare på en meters avstånd från varandra då kraften F = 2 * 10-7 N
per meter av ledarparet. Vi har då
 F = 0I1I2l/2r vilket ger
 0 = 2rF/I1I2l vilket vid insättning ger
 0= 2*1m*2*10-7 N / 1A*1A*1m = 2 * 10-7 N/A2.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
8
7.7. Vridspoleinstrument och elmotor
Mellan polerna på en permanent magnet formad som i figuren ovan kommer fältstyrkans
B totala komponent vinkelrätt på en rektangulär strömkrets' plan att vara tämligen
oberoende av dess vridningsvinkel för en betydande del av en tänkt 360o rotation. Ett
vridmoment i samma riktning (medurs eller moturs) blir resultatet av kraften på två av
sidorna i ledningstriangeln. För att åstadkomma en kontinuerlig rotation behöver dock
strömriktningen kastas om efter ett halvt varv, vilken åstadkoms med släpkontakter och
en metallring med ett isolerande gap emellan i en likströmsmotor.
I en analog amperemätare behövs detta inte, istället är en visarnål fäst vid strömkretsen
(som kan vara lindad med fler än ett varv) och en spiralfjäder dämpar utslaget så att det är
proportionellt mot strömstyrkan.
I en galvanometer har man istället en liten tvärställd permanent magnet inne i en spole
genom vilken en okänd ström leds. Utslaget dämpas av tyngdkraften på en liten motvikt.
Galvanometern är en känslig amperemätare vars utslag i regel inte ger information om
den mycket svaga strömmens storlek, endast dess eventuella förekomst och riktning.
En analog voltmätare är en känslig amperemätare med ett stort motstånd R kopplat i
serie. Då en mycket svag ström I går genom den är spänningen U = RI vilket direkt visas
på mätartavlan.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
9
7.8. Laddade partiklar i magnetiska och elektriska fält
Då en laddad partikel rör sig vinkelrätt mot ett magnetiskt fält kommer den magnetiska
kraften att fungera som centripetalkraft:
 Fc = Fm ger
 QvB = mv2/r
vilket kan lösas med avseende på någon sökt variabel:
 t.ex. fås r = mv2/QvB
vilket om man kan kontrollera hastigheten v kan användas för att noggrannt bestämma
massan för den laddade partikeln genom att mäta cirkelns (eller någon del av den) radie.
Detta utnyttjas i masspektrometern, se kurs 8.

därtill fås Ek = ½mv2 = ½QvBr
Observera att då elektroner är negativa kommer strömmens riktning att vara motsatt deras
hastighets riktning!
7.9. Induktion i rak ledare: magnetiskt flöde
Hittills har vi sett att en strömförande ledning i ett magnetfält påverkas av en kraft (vi kan
bygga en "motor" som omvandlar elektromagnetisk energi till mekanisk energi). Nu
kommer vi att notera att även en ledning som rör sig i ett magnetfält kommer att få en
inducerad spänning och om kretsen är sluten en ström (vi kan bygga en "generator") som
omvandlar mekanisk energi till elektromagnetisk.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
10
Demonstration: För en ledning snabbt genom en stark permanent magnets fält. Koppla
en mycket känslig amperemätare (ex. digital mikroamperemätare) till ledningen och
notera att ett utslag fås.
Då ledning rörs enligt figuren kommer de lättrörliga ytterelektronerna genom detta de
facto att röra sig som en ström "I"; enligt HHR III kommer en kraft F in i papperets plan
att verka på dem. (I' borde egentligen komma ut ur planet).
Låt oss sedan betrakta en ledare som rör sig i ett magnetfält enligt figuren nedan:
Den magnetiska kraften Fm kommer att verka åt vänster på lättrörliga elektroner och föra
dem till dess vänstra ända där ett överskott av dem fås (fel i bilden ovan, kasta om + och ). Då kommer en ett elektriskt fält att uppstå i ledaren och därmed då E = Fe/q en elektrisk
kraft Fe att motverka transport av ytterligare elektroner, och detta fortgår tills vi har



Fm = Fe
qvB = qE
vB = E
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
11
Om vi här tillämpar formeln för det homogena elfältet mellan två plattor på avståndet d
från varandra, till vilka kopplats spänningen U, fås U = Ed eller då här d motsvaras av
ledningens längd l att U = El vilket ger E = U/l och därmed

vB = U/l eller U = Blv
Om hastigheten v bildar vinkeln α med magnetfältet B kommer Fm = qvBsinα och
därmed med beteckningen för spänningen U = e (en inducerad "elektromotorisk kraft")
att :
e = lvBsin
M120
Här kan noteras följande:
 ledningen sveper över en rektangulär yta med ena sidan l och andra s = vt
 dess area A = lvt så lv = A/t
 e = ABsin α / t
eller om α = 90o att
 e = AB/t
Vi ser alltså att den inducerade spänningen e kan betraktas som (förändringen i) en
storhet AB per tid. Denna storhet kallas magnetiskt flöde (magnetic flux, magneettivuo)
och ges av
 = ABcos
M120
i enheten 1 weber = 1 Wb = 1 Tm2. Då den magnetiska fältstyrkan B träffar ytan A för en
sluten krets räknas vinkeln  till ytans normal, så att om B är vinkelrätt till ytan är


 = AB vilket ger
B = /A
dvs. den magnetiska fältstyrkan är flödet per area. Den kan därför även kallas magnetisk
flödestäthet (magnetic flux density); där "densitet" i mer allmän betydelse syftar på något
per volym, area eller längd.
Om fältlinjer på ett papper symboliserar den magnetiska situationen, har vi att
Antalet linjer är ett mått på .
Antalet linjer per yta är ett mått på B.
7.10. Lenz lag, induktionslagen
Då man skall inducera en spänning och i en sluten krets därmed åstadkomma en ström,
bör man förändra  och därför någon av A, B och  så snabbt som möjligt.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
12
Demonstration: Koppla en lång sladd till en digital mikroamperemätare, gör en ögla i
fältet från en stark U-formad permanent magnet. Dra snabbt åt öglan, dvs. förändra dess
area. Med lite tur syns aningen av ett utslag på mikroamperemätaren.
Demonstration: För en stark permanent magnets pol snabbt närmare eller bort från
öglan. Den permanenta magnetens fält är starkare närmare polen, så detta förändra
fältstyrkan B genom öglan. Ett utslag syns på mikroamperemätaren.
Demonstration: Ta en ögla (eller några som en enkel spole) och håll dem i fältet mellan
den U-formade magnetens poler. Vänd "spolen" snabbt 180o - ett utslag syns.
Induktionslagen eller Faradays lag anger att storleken på en inducerade spänningen e är
förändringen i flöde genom en krets (slinga eller spole) per tid:
e = - N/t
M120
där N = antalet slingor i strömkretsen.
Lenz' lag: Riktningen på den inducerade strömmen alltid är sådan att den motverkar den
förändring i flöde som gett upphov till den.
I figuren ovan förs en rörlig ledare åt höger så att den förblir i elektrisk kontakt med den
U-formade ledaren. Då ledningselektronerna förs åt höger innebär detta en ström "I" åt
vänster. På elektronerna i den rörliga ledaren verkar då en kraft F nedåt i bilden, vilket
sätter dem i rörelsen medurs i kretsen - vilket innebär att det går en ström I' moturs i den.
Alternativt kan man se det så att om magnetfältet B är homogent kommer fler fältlinjer
att träffa kretsens plan, och den inducerade strömmen motverkar detta genom att gå uppåt
i den rörliga ledaren, vilket enligt HHR I ger fältlinjer som kommer upp ur papperets yta
innanför den rektangulära kretsen.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
13
Ett annat sätt att se att den inducerade strömmen motverkar sitt eget upphov är att enligt
HHR III tillämpad på den rörliga ledaren med sin ström I' uppåt i fältet B in i papperets
plan verkar en kraft (inte utsatt i figuren) åt vänster i papperets plan, vilken bör
övervinnas av den kraft som håller ledaren i rörelse åt höger. På detta sätt uppfylls
principen om att energi inte fås "gratis".
7.11. Växelströmsgenerator
Då  = ABcos och e = - N/t kan man åstadkomma en inducerad spänning genom
att förändra antingen kretsens (spolens) yta A, magnetfältet B eller vinkeln . I praktiken
är det sistnämnda ofta mest lämpligt, man har en roterande del (vindpropeller, ångturbin)
vars mekaniska energi skall omvandlas till elektromagnetisk energi.
Om fältet B är homogent kan man betrakta /t som flödets  derivata med tiden som
variabel och få (om deriveringsreglerna är bekanta):



(t) = ABcos = ABcos(2πft) då f = rotationsfrekvens, antalet varv per sekund
'(t) = - ABsin(2πft)*2πf [kom ihåg inre derivatan!] = - ksin(2πft)
där k = - 2πfAB; enheten för k = Hzm2T = s-1m2N/Am = Nm/As = J/C = V
dvs. vi får att flödets tidsderivata har enheten för spänning och varierar som en
sinusfunktion på samma sätt som allmänna vågrörelser.
Vill man producera en likström utgående från mekaniska rotation måste den likriktas med
lämpliga elektroniska komponenter.
7.12. Växelströmmar
Enligt ovan får vi att en växelspänning som funktion av tiden följer:
u = ûsin(2ft)
M120
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
14
där û = växelspänningens toppvärde och frekvensen f = 50 Hz i Europa, 60 Hz i USA.
Om vid endast har vanlig resistans R i kretsen gäller

R = û / î och därmed î = û / R = strömmens toppvärde
vilken i övrigt följer samma funktion med  = 0. Fall där detta inte gäller återkommer vi
till senare.
i = îsin(2ft - )
M121
För många tillämpningar är det inte intressant vilket värde spänning och ström har
momentant utan vilken effekt en krets utvecklar under en längre tid. För effekten som
funktion av tiden får vi:


P(t) = u(t)i(t) = ûsin(2ft) îsin(2ft)
P(t) = ûîsin2(2ft) = Ptoppsin2(2ft)
Genom en geometrisk konstruktion längst till höger i grafen nedan kan man se att
medelvärdet över en längre tid av en sin2 - funktion är hälften av dess toppvärde:
Vi har alltså för effektens "effektiva" värde (medelvärdet över längre tid)
 Peff = ½Ptopp = ½ûî = ½û(û/R) = ½û2R
och på motsvarande sätt
 Peff = ½Ptopp = ½(îR)î = ½Rî2
dvs vi får motsvarigheter till formlerna för likströmmens effekt P = U2/R och P = RI2 om
vi definierar spänningens och strömmens effektiva värden enligt
 U2 = ½û2
vilket ger:
Ueff = U = û / 2
M120
och
 I2 = ½î2
vilket ger:
Ieff = I = î / 2
M120
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
15
Det är detta "effektiva" värde för spänningen som anges (230V i Europa, 110 V i USA),
inte toppvärdena.
7.13 Transformatorn
Enligt tidigare kan man inducera en spänning i en strömkrets - slinga eller spole - genom
att förändra magnetfältet B, dess yta A eller vinkeln  mellan B och ytans normal. I en
växelströmsgenerator används en förändring i , men då en växelström går genom en
krets eller spole (primärspole) kommer denna ström att förorsaka ett magnetfält i rummet
omkring sig. Om strömmen varierar periodiskt kommer även detta fält att variera, och
därmed flödet genom en spole (sekundärspole) placerad i dess närhet. I denna induceras
då en ny växelspänning och växelström.
Man kan visa att förhållandet mellan primär- och sekundärspänningarna är detsamma
som förhållandet mellan motsvarande antal slingor eller varv i spolarna,

U1 / U2 = N1 / N2
Om spolens verkningsgrad är nära 100% (i verkligheten något lägre p.g.a.
värmeförluster) är effekten som ges in vid primärsidan ungefär lika med den som tas ut
på sekundärsidan:
 P1 = P2 så U1I1 = U2I2
 U1/U2 = I2/I1 = N1/N2
N1/N2 = U1/U2  I2/I1
M121
Med en transformator kan växelspänningar förändras. Om spolarna förenas av järnkärnor
som med "ok" bildar en fyrkantig ring av järn kommer verkningsgraden att vara mycket
hög. För att undvika att virvelströmmar induceras i järnkärnorna tillverkas de ofta av
flere tunna lager av järn förenade av elektriskt isolerande lim.
Metalldetektor
Om järnkärnan tas bort från en transformator och ena spolen vrids 90o fungerar den
mycket dåligt som transformator då föga av fältlinjerna från primärspolen träffar
sekundärspolens slingors tvärsnittsyta. Men om ett vanligt järnföremål placeras i närheten
induceras virvelströmmar i den i slumpmässiga dimensioner, vilka i sin tur inducerar en
mätbar spänning i sekundär spolen.
Demonstration: Koppla t.ex. 5 V växelspänning till en primärspole med 300 varv, och ha
en tvärställd 1200 varv spole bredvid den. Som transformator borde vi få ut ca 20 V men
nu nästan inget. Koppla en digital mV-mätare till sekundärspolen och placera ett lagom
stort (flere hundra gram) järnföremål i närheten. En spänning på tiotals mV i
sekundärspolen noteras.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
16
7.14. Energiindustri och elsäkerhet
När elenergi produceras i ett kraftverk och skall ledas till en stad där den konsumeras är
det gynnsamt att transformera upp spänningen till mycket höga värden för att minimera
energiförlusterna under transporten, och sedan stegvis transformera ned den tillbaks för
konsumtion. För den energi per tid = effekt som "dissiperas" (förloras till värme) i ett
motstånd R gäller
 P = UI och R = U/I => I = U/R ger P = U2/R
men å andra sidan
 P = UI och R = U/I => U = RI ger P = I2R
Samma effekt P = UI kan överföras med hög spänning och låg ström eller låg spänning
och hög ström. Varför är det förstnämnda gynnsamt och effektförlusten ändå är
proportionell mot både spänning och ström i kvadrat, antagande ungefär konstant R?
Svaret ligger i det att kraftverket ('spänningskällan'), kraftledningarna ('sladdarna') och
konsumenterna (ett till spänningskällan kopplat motstånd) tillsammans i stort bildar en
seriekrets (inom staden där konsumenterna finns förgrenas givetvis kretsen på ett
komplicerat sätt). För seriekretsen gäller att samma ström I går genom alla delar av
kretsen, även ledningarn, medan spänningskällans totala spänning U delas upp i flere
delar vars summa är den totala spänningen. Det korrekta sättet att beräkna effektförlusten
i kraftledningarna är alltså här P = I2R, varför det är gynnsamt att överföra elenergin med
minsta möjliga ström. Den höga spänningen innebär dock säkerhetsrisker både i
kraftlednings- och transformatornätverket och inom hushållet.
7.15. Självinduktion och och magnetfältets energi
Självinduktion
Då flödet Φ genom en slinga eller spole ändras induceras en spänning som ger en ström
som ger en flödesändring som motverkar sitt ursprung. Detta inträffar även då man
kopplar en spänningskälla till eller från en spole. Vid inkoppling skall strömmen genom
spolen gå från 0 till något värde som bestäms av spänning och resistans, och motsvarande
fält öka från 0 till något värde.
Nu induceras en "motspänning" e som är större ju snabbare förändringen i ström I/t är:
e = - LI/t
M120
Hur stor spänningen är beror även på spolens varvantal och andra egenskaper. Detta
beskrivs av induktansen L i enheten 1 henry = 1 H = 1 Vs/A. För en långsträckt spole
med längden l, varvantalet N och tvärsnittsytan A gäller
L = μ0N2A/l
M120
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
17
där permeabiliteten korrigeras med relativ permeabilitet om spolen inte innehåller luft
eller vakuum.
Magnetfältets energi
På grund av den genom självinduktion uppkomna motspänningen vid inkoppling av en
spänningskälla till en spole kommer strömmen genom den inte genast att nå upp till sitt
stabila värde, trots att den valda yttre spänningen redan är inkopplad. Detta innebär att en
viss energi som spolen kunde ha avgett t.ex. som värme är "försvunnen". Men den fås
tillbaka då spolen kopplas ur och det omvända händer - den självinducerade
motspänningen håller igång en (exponentiellt avtagande) ström ännu en tid efter det att
den yttre spänningskällan kopplats bort. Då fås denna energi tillbaka och den kan
betraktas som en form av potentiell energi lagrad i magnetfältet. För den gäller att:
E = ½LI2
M120
Jämför detta med den elektriska energin lagrad i en kondensator med kapacitansen C och
spänningen U:
E = ½CU2
M118
eller den elastiska potentiella energin lagrad i en spiralfjäder med fjäderkonstanten k och
uttöjd sträckn x från sitt jämviktsläge:
E = ½kx2
M112
Ömsesidig induktion (mutual induction)
Om en spole befinner sig i fältet som förorsakas av en annan, och detta fält ändras av
någon anledning, induceras en spänning i denna spolen, och om den är del av en sluten
strömkrets en ström som förorsakar ett fält som i sin tur påverkar den andra spolen. Dessa
spolar är då induktivt kopplade, och för de inducerade spänningarna gäller
e2 = - MI1/t
e1 = - MI2/t
där M = den ömsesidiga induktansen i enheten henry, och beror på spolarnas egenskaper
och geometri. Den tidigare beskrivna transformatorn är ett specialfall av spolar med
ömsesidig induktion.
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
18
7.16. RLC-kretsen
Impedans
I en växelströmkrets ersätts det vanliga motståndet eller resistansen av impedansen
Z=U/I
med enheten 1 ohm liksom för resistans. Man kan visa att för den gäller
Z = [R2 + (XL - XC)2]
M121
där R = resistansen. De övriga termerna förklaras nedan.
Induktiv reaktans XL
Om det finns en spole med induktansen L i en krets där strömmen ständigt förändras
enligt en vågformad sinuskurva pågår det hela tiden en självinduktion som inducerar en
motspänning. Ju högre frekvensen är, desto större är det extrad "motstånd" eller induktiv
reaktans som är resultatet. Reaktansen har liksom resistans och impedans enheten 1 Ω
och för den gäller:
XL = L = 2fL
M120
där  = 2f är växelströmmens "vinkelhastighet" (se nedan).
Kapacitiv reaktans XC
En kondensator har två plattor eller motsvarande med en isolator emellan. Likström leds
inte alls genom en kondensator, men om en växelspänning kopplas till en kondensator
kommer den när den laddats upp en aning att "hjälpa till" att vända riktningen på
strömmen. Ju större frekvens, desto mindre laddning behöver någonsin lagras på
kondensatorns plattor och i desto lägre grad behöver den till kretsen kopplade
växelspänningen arbete emot repulsionen från laddningar som redan finns där. För den
kapacitiva reaktansen, även den i enheten ohm, gäller för kapacitansen C:
XC = 1/C = 1/2fC
M120
Exempel på impedansberäkningar


om XL = XC = 0 fås Z = R2 = R
om XL = 0 har vi Z = [(R2 + (- XC)2] = [R2 + XC2]. Detta skulle inträffa om L =
0, vilket aldrig är helt sant i praktiken eftersom "varvantalet" i en sluten krets är N
=1
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM


19
om XC = 0 får vi Z = [R2 + XL2]. För XC = 0 skulle vi behöva C = ∞, vilket man
kan tolka som uppfyllt då ingen kondensator finns och därmed inget isolerande
avbrott i kretsen som det mellan plattorna i en kondensator; från kurs 6 har vi C =
0rA/d för kapacitansen men d = 0 ger just C = ∞.
även om ingen reaktans är 0 kan vi få Z = R om XC = XL, se svängningskretsen
senare.
Visardiagram och fasvektorer = komplexa tal
Vi kan redan ana att det finns ett samband mellan växelspänningar och -strömmar och
cirkelrörelse. I den trigonometriska enhetscirkeln kommer en sinusfunktion att beskriva
y-komponenten och en cosinusfunktion x-komponenten av en tvådimensionell vektor.
Just sådana sinusformade funktioner beskriver U och I här, och även en frekvens är
relevant liksom cirkelrörelsens frekvens = antal varv per sekund.
Men vanliga tvådimensionella vektorer är inte lämpade för beräkningar där man måste
multiplicera eller dividera tal, såsom i formeln Z = U / I. En vektor kan nog multipliceras
med en annan vektor, men antingen är resultatet inte en vektor alls (skalär produkt eller
punktprodukt) eller så är det inte en vektor i samma tvådimensionella plan som
faktorerna utan en vektor i en tredje dimension vinkelrätt mot planet (vektorprodukt eller
kryssprodukt). Dessutom är inte vektorprodukten kommutativ, dvs. man A x B är - (B x
A). Istället används komplexa tal av formen x + yi där x och y är vanliga reella tal och i =
den imaginära talenheten för vilken gäller att i2 = -1. Dessa kan uttryckas på tre sätt
 cartesisk form: z = x + yi
 polär form z = r(cosθ + isinθ)
 Eulers form z = reiθ
där
 r = √(x2 + y2)
 tan θ = y / x
och θ = den vinkel motsols från x-axeln som "vektorn" vridit sig. Ett sätt att tolka saken
är att såväl spänning som ström var för sig representeras av den imaginära delen av ett
sådant komplext tal, där θ = t = 2ft. Absolutbeloppet r av de komplexa talen utgörs av
toppvärdena för spänning och ström, så att
 U(t) = rsinθ = ûsin(2ft)
och
 I(t) = rsinθ = i = îsin(2ft)
om vi endast vanlig resistans i kretsen.
Fasförskjutning
Har vi däremot kapacitans och/eller induktans i kretsen kommer den kapacitiva
reaktansen att sträva till att ge strömmen ett "försprång" framför spänningen på tidsaxeln,
medan den induktiva reaktansen strävar till att få strömmen att släpa efter. Denna
eftersläpning betecknas fasdifferens  och kan visas ges av:
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
tan  = (XL - XC)/R
M121
u = û sin (2ft)
M121
i = îsin(2ft - )
M121
20
Förutom
får vi då alltså att
Notera t.ex. att då XL = 0 är tan  = (XL - XC)/R < 0 så  < 0; vi har en negativ
eftersläpning dvs. ett försprång för strömmen.
Om XL = 0 och R = 0 men vi har XL ≠ 0 fås tan  = - ∞ vilket ger  = -π/2 i enheten
radianer, medan XC = 0, R = 0 ger tan  = ∞ och  = π/2.
Växelströmkretsens effekt
För den effekt som utvecklas i en växelströmkrets kan man på ett något komplicerat sätt
visa att
P = UIcos
M120
där cos = effektfaktorn.
[För beviset används från trigonometrin att cos x - cos y = - 2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2],
och därtill omdefinieras fasdifferensen så att spänningen räknas som fasförskjuten i
förhållande till strömmen i stället för tvärtom:
 i = îsin(2ft) och u = û sin (2ft + )
Vi har då för effekten att
 P(t) = û sin (2ft + ) îsin(2ft)
där
 ûî = (Ueff√2)(Ieff√2) = 2UI
Väljer vi nu x = 4ft +  och y =  har just att
 (x+y)/2 = (4ft +  + )/2 = (2ft + )
och
 (x-y)/2 = (4ft +  - )/2 = 2ft
effekten är just högra ledet i den trigonometriska identiteten bortsett från ett minustecken
och faktorn UI. Det ger vänstra ledet
 cos x - cos y = cos(4ft + ) - cos() eller med minustecknet i fråga
 cos - cos(4ft + )
där nu cos(4ft + ) är en tidsberoende cosinusfunktion vars medelvärde över en längre
tid är noll, medan cos är en tidsoberoende konstant så med faktorn UI får vi effektens
medelvärde över en längre tid som det önskade
 P = UIcos
]
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
21
7.17. Accelererade laddningar förlorar energi
Varje laddning i rörelse kan beskrivas som en ström, där det gäller att Qv = Il då Q =
laddningen, v = dess hastighet, I = strömmen, l = längden av den sträcka den rör sig
(vilket innebär I = Qv/l = (Ql/t)/l = Q/t).




Om laddningen rör sig i rät linje med konstant hastighet kan detta ses som en
motsvarighet till strömmen i en rak ledare, vilken ger magnetfältet B = 0I/2r i
området omkring.
Om nu laddningens hastighet v förändras på något sätt (ökar, minskar, ändrar
riktning) kommer riktningen och/eller storleken på fältet B att ändra.
Om i detta fält fanns en hypotetisk testslinga skulle flödet Φ genom den förändras
Då skulle en spänning induceras i den, en ström gå genom den och detta ge ut
energi som värme e.dyl. Men varifrån skulle denna energi komma?
Med detta resonemang kan man motivera det att en accelererad laddning alltid förlorar
energi (som elektromagnetisk strålning). Exempel på detta är
 radion, där sändarantennens laddningar ändrar sin hastighet på något sätt, och
mottagarantennen upptar denna energi
 elektronen som rör sig (centripetalt accelererat!) i cirkel runt atomkärnan. Den
skulle förlora energi och kollapsa in i kärnan om detta sätt att beskriva den var det
enda. Mer om detta i atomfysiken på kurs 8.
7.18. Svängningskretsen och antennen, elektromagnetisk kommunikation
Kopplar man en växelström till en antenn, t.ex. en rak metalledare, kommer den enligt
tidigare att förlora energi i form av elektromagnetiska vågor. Dessa är oscillationer i
elektrisk och magnetis fältstyrka (vilka är i rät vinkel till varandra). De elektromagnetiska
vågorna rör sig genom rummet och kan träffa en mottagarantenn där elfältsoscillationerna
ger upphov till ett oscillerande elfält mellan ändarna av raka ledare eller
magnetfältsoscillationerna inducerar en ström i en antenn formad som en cirkulär slinga.
Den mottagna signalen förstärks elektroniskt, men för att skilja den från andra radiovågor
behövs ett sätt att "välja" en viss önskad frekvens:
I en växelströmkrets där resistansen är försumbart låg och det endast finns induktiv och
kapacitiv reaktans (LC-krets) kommer impedansen att vara mycket låg för en viss s.k.
resonansfrekvens som fås då
 XL - XC = 0 dvs XL = XC
 2fL = 1/2fC
 42f2LC = 1
 f2 = 1/42LC
 f = 1/2(LC)
vilket om resonansfrekvensen betecknas f0 ger
GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY7 ELEKTROMAGNETISM
f0 = 1/2(LC)
22
M121
(Det innebär att perioden för en svängning vid resonansfrekvensen är T0 = 1/f0 =
2(LC), jämför med T = 2(m/k) för harmonisk oscillator.)
Man kan påverka resonansfrekvensen exempelvis genom att ändra på kapacitansen C =
0rA/d i kretsen, vilket ofta sker med en vridkondensator där den area A av
kondensatorplattorna som överlappar varandra och bidrar till C ändras.
7.19 Experimentförslag
1. Undersök magnetfältets riktning och/eller storlek i närheten av en strömförande spole
med en magnetfältsmätare (Hallplatta) eller en vanlig orienteringskompass. Om endast en
kompass är tillgänglig, testa experimentellt formeln för magnetfältet från en spole: om
varvantalet ändras, vilken ändring i strömmen behövs för att ge samma utslag på en
kompass på ett visst avstånd från spolen? Fundera på vilka antaganden som ligger bakom
metoden.
2. Placera en elektromagnet (strömförande spole) på olika höjder ovanför metallplattan på
en elektronisk våg eller motsvarande. Hur förändras vågens utslag för olika strömstyrkor
och för samma strömstyrka på olika avstånd? Man kan söka ett empiriskt samband
(linjärt, annat) mellan avståndet och kraften på metallplattan med hjälp av ett kalkylblad
liknande det på kurs 1.
3. Bygg en enkel transformator och mät hur spänningen och strömmen ändras för olika
varvtal. Bestäm transformatorns verkningsgrad under olika omständigheter.
4. Gör om transformatorn till en metalldetektor och undersök vilka metaller den reagerar
på. Vilken är den minsta mängd metall av något slag som kan upptäckas?
5. Bygg en U- eller triangelformad hängande ledning (tejp och uppskurna plastsugrör
hjälper för att forma den) och placera en del av den i fältet från en permanent U-formad
magnet. Bestäm fältstyrkan B (kraftmomentet från den horisontella magnetisk balanseras
av kraftmomentet från tyngkrafterna på ledningsarrangemangets delar). Vilka ytterligare
mätningar behövs, vilka förenklande antaganden ligger bakom metoden?