Logik – en introduktion

Logik – en introduktion
Christian Bennet
Björn Haglund
1980
Dag Westerståhl
Innehåll
I
Satslogik
6
1 Inledning till satslogiken
A
Satser . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Satsoperationer . . . . . . . . . . . .
C
Satslogikens grundelement . . . . . .
D
Konnektiv . . . . . . . . . . . . . . .
E
Atomära och molekylära satser . . .
F
Analys och logisk form . . . . . . . .
G
Logisk sanning och logisk konsekvens
H
Det satslogiska språket . . . . . . . .
2 Det
A
B
C
D
E
F
G
H
I
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
. 7
. 7
. 7
. 8
. 9
. 9
. 9
. 10
satslogiska språket
Satssymboler (satsvariabler, satsparametrar)
Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Materiell implikation . . . . . . . . . . . . . .
Materiell ekvivalens . . . . . . . . . . . . . .
Det satslogiska språket, formler . . . . . . . .
Huvudtecken . . . . . . . . . . . . . . . . . .
* Parenteskonventioner . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Sanningsvärdestabeller
4 Några logiska grundbegrepp
A
Tautologier, (sats)logisk sanning
B
Kontradiktoriska och kontingenta
C
Satslogisk konsekvens . . . . . .
D
Satslogisk ekvivalens . . . . . . .
11
11
11
12
13
14
15
16
17
18
20
. . . .
satser
. . . .
. . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
24
26
II
Mängdlära
28
5 Mängder
A
Mängdbegreppet och elementrelationen
B
Symboler . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Extensionalitetsprincipen . . . . . . . .
D
Abstraktionsprincipen . . . . . . . . . .
E
* Russells paradox . . . . . . . . . . . .
F
Delmängder . . . . . . . . . . . . . . . .
G
Den tomma mängden . . . . . . . . . .
H
Union och snitt . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Relationer
A
Ordnade par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Relationer som mängder av ordnade par, tripplar
C
Tvåställiga (binära) relationer . . . . . . . . . . .
D
Reflexivitet, symmetri, transitivitet . . . . . . . .
E
* Ekvivalensrelationer och ordningsrelationer . .
F
Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G
* Bijektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
29
30
31
32
33
33
34
. . .
etc.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
36
37
38
38
39
41
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 * Om oändliga mängder
43
III
48
Predikatlogik
8 Inledning till predikatlogiken
A
Satslogikens otillräcklighet . . . . . .
B
Atomära satser . . . . . . . . . . . .
C
Individkonstanter och predikat . . .
D
Ställighet hos predikat och relationer
E
Kvantifikatoruttryck . . . . . . . . .
F
Individvariabler . . . . . . . . . . . .
G
Satsscheman . . . . . . . . . . . . .
H
Individområden . . . . . . . . . . . .
9 Det
A
B
C
D
E
F
G
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
50
50
50
50
51
51
52
predikatlogiska språket
Individkonstanter, predikat och satssymboler
Identitetssymbol . . . . . . . . . . . . . . . .
Atomära satser . . . . . . . . . . . . . . . . .
Individvariabler . . . . . . . . . . . . . . . . .
Atomära formler . . . . . . . . . . . . . . . .
Konnektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allkvantifikatorn . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
53
53
53
53
54
54
54
54
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H
I
J
K
L
Existenskvantifikatorn . . . . . . . .
Det predikatlogiska språket . . . . .
Kvantifikatorräckvidd . . . . . . . .
Fria och bundna variabelförekomster
Satser . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Analys av predikatlogisk form
A
Inledning . . . . . . . . . . . . .
B
Uttryck med en kvantifikator . .
C
Uttryck med flera kvantifikatorer
D
Uttryck med identitetssymbol . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
57
57
57
.
.
.
.
58
58
58
59
60
11 Tolkningar
A
Inledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Tolkningar för det predikatlogiska språket . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Namnfullständiga tolkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
Sanningsvillkor för atomära satser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Sanningsvillkor för satslogiskt molekylära satser . . . . . . . . . . . . . . .
F
Sanningsvillkor för kvantifierade satser i namnfullständiga tolkningar . . .
G
Sanningsdefinition för det predikatlogiska språket i namnfullständiga tolkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H
* Sanningsdefinition för det predikatlogiska språket i godtyckliga tolkningar
I
Begränsade tolkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
63
64
64
66
66
12 * Predikatlogisk sanning och konsekvens
A
Definition av predikatlogisk sanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Avgörbarhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
Predikatlogisk konsekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
72
74
IV
76
Logiska och andra formella system
13 * Formella system
A
Semantisk analys av logiska begrepp . . . .
B
Syntaktisk analys av logiska begrepp . . .
C
Regelstyrda aktiviteter och formella system
D
Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
Definition av formellt system . . . . . . . .
F
Exempel 1: Addition . . . . . . . . . . . . .
G
Exempel 2: Satslogik . . . . . . . . . . . .
H
Exempel 3: Satslogik (igen) . . . . . . . . .
I
Exempel 4: Predikatlogik . . . . . . . . . .
J
Exempel 5: Generativ grammatik . . . . .
K
Avgörbarhet . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68
69
70
77
77
77
78
78
79
80
81
84
85
85
87
14 Andra logiker
A
Logisk sanning och logisk form
B
Modallogik . . . . . . . . . . .
C
Andra satslogiska system . . .
D
Predikatlogiska system . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
89
91
92
92
Sakregister
93
Lista över införda symboler
96
Föreliggande utgåva av »Logikkompendiet» (som Logik, en introduktion normalt
kallats) gjordes för att bestå det gamla kompendiet (fotostatkopierat från maskinskrivna sidor) en modernare och »proffsigare» typografi. De oförklarade asterisker
som förekommer framför vissa stycken, övningar, avsnitt, kapitel o.dyl. är hämtade
från originalet och markerar, vill jag minnas, material som inte är oundgängligt för
en introduktion till logiken. Även i övrigt är denna utgåva kvalitativt identisk med
1980 års upplaga med följande undantag: texten har delats in i fyra delar (Satslogik, Mängdlära, Predikatlogik jämte Logiska och andra formella system); det som
tidigare kallades »§» och »Index» kallas nu »kapitel» respektive »Sakregister» (det
senare en eftergift åt indexeringsprogrammet); en not över de ändringar som gjorts
i kompendiet i denna utgåva har, som synes, lagts till efter innehållsförteckningen;
korshänvisningar i texten har kompletterats med sidhänvisningar (och i förekommande fall med kapitel- och avsnittsbeteckningar); somliga symboler har en annan
grafisk utformning; ett fåtal missar och inkonsekvenser i sakregistret har åtgärdats;
tekniska termer (i synnerhet de som förekommer i registret) kursiveras när de först
introduceras; punkter markerar avbrutna ord i förkortningar; Piercecitatet mellan
delen om satslogik och delen om mängdlära har flyttats till början av kompendiet;
lite tidsfärg har markerats genom att ge formaliseringsövningen om begränsningar
i studenters rätt att bära värja gammalstavning; några parenteser har flyttats ner
i fotnoter; en hänvisning i brödtexten till »semantikkompendiet» har preciserats;
asterisken framför stycket om definitionen av ordnade par i termer av mängder har
tagits bort, då författarna hänvisar till definitionen i omarkerade delar av texten ;
en fotnot har lagts till för att förklara den tekniska termen »Bedeutung»; författarnas »Förslag till ytterligare läsning» har utgått som föråldrad; detsamma gäller av
samma skäl en hänvisning i brödtexten till en översikt över modallogik; och tidsangivelser angående vad som skett inom logiken »på senare år» eller »på senare tid»
etc. har omformulerats, då de åren och den tiden blivit allt tidigare under de dryga
trettiofem år som gått sedan Logikkompendiet skrevs. Felix Larsson, augusti 2016.
4
The aggregate of all applications of logic will not compare
with the treasure of the pure theory itself. For when one has
surveyed the whole subject, one will see that the theory of
logic, insofar as we attain to it, is the vision and the attainment
of that Reasonableness for the sake of which the Heavens and
the Earth have been created.
C. S. Peirce
5
Del I
Satslogik
6
Kapitel 1
Inledning till satslogiken
A
Satser
Satser är de språkliga uttryck som är sanna eller falska.1 Inom satslogiken skall vi bortse
från så gott som alla egenskaper hos satser utom just den att ha ett sanningsvärde.
B
Satsoperationer
Satser kan kombineras och modifieras på olika sätt för att ge upphov till mer komplicerade satser. Omvänt kan satser ofta delas upp (analyseras) i enklare delsatser. Sätten att
ur givna satser bilda nya har ofta intressanta egenskaper, t.ex. att betydelsen hos den bildade satsen på ett regelbundet (och någorlunda enkelt beskrivbart) sätt hänger samman
med betydelsen hos de ursprungliga satserna. Inom satslogiken studerar man operationer
med egenskapen att den uppkomna satsens sanningsvärde är entydigt bestämt av (eller
med andra ord är en funktion av) de ursprungliga satsernas sanningsvärden. Operationer
med denna egenskap kallas inte oväntat för sanningsfunktionella.
C
Satslogikens grundelement
Satser (i deras egenskap av sanningsvärdesbärare) och sanningsfunktionella operationer
på satser är vad satslogiken ’handlar om’.
Exempel 1: Ett enkelt sätt att modifiera en sats är att sätta ett uttryck av
typen
”jag tror att”, ”det är inte fallet att”, ”det är då för väl att”, ”det är
osannolikt att” etc.
framför satsen i fråga. Med denna metod kan vi ur satser som
1
Jfr Haglund & Westerståhl: Lösa bitar semantik.
7
”Det snöar”, ”Världen går snart under”, ”Platon var en klok man”,
”Taxar har korta ben” etc.
få nya satser som t.ex.
”Det är då för väl att det snöar”, ”Det är osannolikt att Platon var en
klok man”, ”Jag tror att världen snart går under”, ”Det är inte fallet
att taxar har korta ben” etc.
(Märk att vi ibland måste byta ordföljd för att få någorlunda rimliga satser.
Detta är dock en petitess som vi i fortsättningen inte fäster oss vid.)
Uttryck av typen ”Jag tror att” och ”Det är inte fallet att” kallas (enställiga) operatoruttryck eller (enställiga) operatorer, därför att de ’opererar på’ en (enda) sats. Av
de exemplifierade operatorerna är ”Det är inte fallet att” sanningsfunktionell, d.v.s. sanningsvärdet hos den sats som är resultatet av att applicera operatorn på en sats är
entydigt bestämt av sanningsvärdet hos den ursprungliga satsen. Om t.ex. satsen ”Det
snöar” är sann, så är satsen ”Det är inte fallet att det snöar” falsk och omvänt.
Fråga: Är operatorn ”Jag tror att” sanningsfunktionell?
Detta att sanningsvärdet ’byts’ är en egenskap hos operatorn och är alltså inte beroende av vilken sats den opererar på. Vi skall kalla ”Det är inte fallet att” för en
negationsoperator, eftersom vi med hjälp av den kan förvandla en sats som uttrycker ett
visst påstående till en sats som uttrycker det motsatta påståendet eller negationen av
det ursprungliga påståendet.
Exempel 2: En flerställig operator opererar på mer än en sats men fungerar
annars på samma sätt som en enställig. Med hjälp av uttryck som
”eftersom”, ”och”, ”eller”, ”trots att”, ”endast om” etc.
kan man ur två givna satser bilda en ny, sammansatt, sats. Exempel på satser
som bildats med denna metod är
”Det snöar, eftersom taxar har korta ben”, ”Världen går snart under,
trots att Platon var en klok man”, ”Det snöar, och världen går snart
under” etc.
Av de exemplifierade operatorerna är ”och”, ”eller” och ”endast om” i åtminstone
en del användningar sanningsfunktionella. (Som så många andra vardagliga uttryck är
även operatoruttryck flertydiga och vaga.)
D
Konnektiv
Eftersom flerställiga operatorer används till att ’sammanbinda’ satser, kallas en sådan
operator (eller ett sådant operatoruttryck) ofta för ett konnektiv (jfr engelska ”connect”).
8
Även enställiga operatorer kallas ofta (av mindre uppenbara skäl) för konnektiv. Vanligtvis avser man med ”konnektiv” enbart sanningsfunktionella operatorer, och vi skall
ansluta oss till detta språkbruk.
Även uttrycken ”sanningsfunktionssymbol” och ”logisk konstant” är vanliga för sanningsfunktionella operatorer.
E
Atomära och molekylära satser
Med en atomär sats menas en sats som inte innehåller något konnektiv. En molekylär
sats är uppbyggd av andra satser och konnektiv. Satsen ”Om du stänger dörren och
släcker ljuset, så blir jag glad” är ett exempel på en molekylär sats. Den kan spjälkas
upp i satserna ”Du stänger dörren och släcker ljuset” och ”Jag blir glad”, som förbundits
med konnektivet ”om … så …”. Den första av dessa delsatser kan i sin tur delas upp i
”Du stänger dörren” och ”Du släcker ljuset” och konnektivet ”och”. Någon ytterligare
uppdelning i delsatser och konnektiv kan inte göras. Satserna ”Du stänger dörren”, ”Du
släcker ljuset” och ”Jag blir glad” är atomära.
F
Analys och logisk form
Att göra en satslogisk analys av en sats innebär att dela upp den i delsatser och att visa
hur dessa kombinerats med hjälp av satslogiska konnektiv (d.v.s. sanningsfunktionella
operatorer). Att analysera satser är något man lär sig genom övningar. Man brukar ofta
säga att man genom en sådan analys kommer fram till satsens logiska form.
Tidigare sades att vi skall bortse från så gott som alla egenskaper hos satser utom den
att ha ett sanningsvärde. Vad vi skall bry oss om dessutom är satsers logiska form. Om
man känner en sats logiska form och delsatsernas sanningsvärden har man all information
som behövs för att bestämma dess sanningsvärde. Ibland behöver man inte ens veta
delsatsernas sanningsvärde för att avgöra satsens sanningsvärde. Sådana satser sägs vara
sanna (eller falska) i kraft av sin logiska form.
G
Logisk sanning och logisk konsekvens
Ett viktigt motiv för att syssla med logik är att man vill studera begreppen logisk sanning
och logisk konsekvens och, om möjligt, åstadkomma precisa motsvarigheter till dessa
intuitiva begrepp.
Logiska sanningar är specialfall av analytiska och nödvändiga sanningar och är av
ett självklart filosofiskt intresse.
Alla människor har en (mer eller mindre välutvecklad) förmåga att skilja mellan korrekta och inkorrekta slutledningar. I ett korrekt resonemang är slutsatsen en konsekvens
av premisserna, d.v.s. slutsatsen måste vara riktig, om premisserna är det. I denna förklaring av konsekvensbegreppet förekommer ordet ”måste”, vilket gör den i praktiken
värdelös.
9
Vi skall så småningom visa hur man kan ge praktiskt användbara definitioner av
begreppen (sats)logisk sanning och (sats)logisk konsekvens.
H
Det satslogiska språket
Vi skall närmast presentera ett språk med den (ur logisk synvinkel) trevliga egenskapen
att en sats logiska form framgår direkt av satsens utseende. Språket kommer att innehålla
symboler för satser och konnektiv (d.v.s. vad vi kallade satslogikens grundelement).
För att få lättöverskådliga formler skall vi dessutom använda parenteser. Eftersom den
logiska formen hos en sats framgår av dess utseende i detta språk, är det ett utmärkt
hjälpmedel för satslogisk analys. En analys av en sats på ett naturligt språk kan man
åstadkomma genom att helt enkelt översätta satsen till det satslogiska språket. Att göra
en sådan översättning kallas också att göra en formalisering.
Övning 1:
Försök att förklara varför operatoruttrycket ”Björn tror
att” inte är sanningsfunktionellt.
Övning 2:
ej:
Försök att avgöra om följande resonemang är korrekta eller
Om hunden skäller, så är den inte död.
Hunden skäller inte.
Alltså: Hunden är död.
Jag åker till London eller Paris.
Om jag åker till London blir Elisabeth II glad.
Jag åker inte till Paris.
Alltså: Elisabeth II blir glad.
10
Kapitel 2
Det satslogiska språket
A
Satssymboler (satsvariabler, satsparametrar)
Som nämnts tidigare, skall vi bortse från flertalet egenskaper hos satser och kommer
därför för enkelhets skull att använda s.k. satssymboler för att ersätta satser i formler.
Som satssymboler skall vi använda
A, B, C, D, A1 , B1 , C1 , D1 , A2 , B2 , . . . o.s.v.
Eftersom det finns ett obegränsat antal satser i naturliga språk, måste vi ha ett
obegränsat antal satssymboler till vårt förfogande när vi skall formalisera.
Fråga: Finns det verkligen ett obegränsat antal satser på svenska? Finns det
ett obegränsat antal ord?
En satssymbol skall inte ses som en förkortning för en viss bestämd sats. Vilken
stas som helst kan representeras av vilken satssymbol som helst. Observera dock att vid
en formalisering skall olika satser ersättas med olika satssymboler och förekomster av
samma sats ersättas med förekomster av samma satssymbol.
Exempel 3: I satsen ”Om du stänger dörren och släcker ljuset, så blir jag glad”
kan vi ersätta delsatserna med satssymboler och få uttrycket
Om A, och B, så C.
B
Negation
I vardagsspråket kan en sats negeras på många sätt. Man kan t.ex. använda ord som
”inte”, ”ej”, ”icke”, ”aldrig” m.fl. eller uttryck som ”det är inte fallet att”. Ofta kan
det vara svårt att se exakt vad som negeras, särskilt om satserna är komplicerade. I
det satslogiska språket har man infört en entydig metod att negera en sats. Man sätter
negationssymbolen ¬ omedelbart framför det uttryck som skall negeras.
Resultatet är en sats med motsatt sanningsvärde:
11
Om A är sann, så är ¬A falsk.
Om A är falsk, så är ¬A sann.
Samma sak kan skrivas i tabellform på följande sätt (där s står för sann och f för
falsk):
A
s
f
¬A
f
s
Exempel 4: Satsen ”Det snöar” kan negeras på många sätt,t.e.x. ”Det snöar
inte”, ”Det är inte fallet att det snöar”, ”Inte snöar det, inte”, ”Snöar gör det
inte” etc. Alla dessa kan formaliseras som ¬A, där A står för den ursprungliga
satsen ”Det snöar.”
Övning 3:
En sats kan negeras mer än en gång (t.ex. ”Det är inte
fallet att det inte snöar”). Fyll i följande tabell för ’dubbel negation’.
A
s
f
Övning 4:
¬¬A
Formalisera följande satser:
a) Det finns maneter i vattnet.
b) Det finns inte maneter i vattnet.
c) Vattnet är fritt från maneter.
d) Vattnet är inte manetfritt.
C
Konjunktion
Givet två satser kan vi bilda en ny som är sann, om och endast om båda de ursprungliga
är det, genom vad som kallas konjunktion. I vardagsspråket görs detta ofta med hjälp
av ordet ”och”. I det satslogiska språket använder vi konjunktionssymbolen ∧, som sätts
mellan de ursprungliga satserna. (A ∧ B) kallas konjunktionen av A och B, och är alltså
sann, om och endast om både A och B är sanna. A och B kallas konjunkterna i satsen
(A ∧ B). Vi får alltså följande sanningsvärdestabell för konjunktionen:
12
A
s
s
f
f
(A ∧ B)
s
f
f
f
B
s
f
s
f
Exempel 5: Satsen ”Det regnar och blåser” är en konjunktion av satserna ”Det
regnar” och ”Det blåser” och är således falsk om
1) det inte regnar, eller
2) det inte blåser, eller
3) det varken regnar eller blåser.
Om vi låter A stå för ”Det regnar” och B för ”Det blåser”, skall alltså ”Det
regnar och det blåser” formaliseras som (A ∧ B).
Exempel 6: Satsen ”Uppsala och Lund är universitetsstäder” kan betraktas
som en konjunktion av satserna ”Uppsala är en universitetsstad” och ”Lund är
en universitetsstad” och bör alltså formaliseras som (A ∧ B).
Vi kommer att läsa ut konjunktionstecknet ∧ som och, eftersom ordet ”och” är det
som vanligen används i vardagsspråket för att markera förekomsten av en konjunktion.
Ibland används dock andra uttryck (t.ex. ”men”), och omvänt markerar inte varje förekomst av ”och” en konjunktion.
Satsen ”Det är soligt, men det blåser” är en konjunktion, medan ”Kalle och Lisa slår
vad” (normalt) inte är det.
Övning 5:
Formalisera följande satser:
a) Tre och fem är heltal.
b) Tre och fem är åtta.
c) Vatten består av väte och syre.
d) Vatten innehåller väte och syre.
e) Thales var filosof, liksom Anaximander.
f) Kalle och Lisa är gifta.
g) Själen och sanningen är eviga men inte kroppen.
D
Disjunktion
Givet två satser kan vi bilda en ny som är sann, om och endast om minst en av de
ursprungliga är det, genom vad som kallas disjunktion. Förekomsten av en disjunktion
13
markeras i vardagsspråket ofta av ordet ”eller”. Vi skall använda ∨ som disjunktionssymbol. (A ∨ B) kallas disjunktionen av A och B och är alltså falsk, om och endast om
både A och B är falska. A och B kallas disjunkterna i satsen (A ∨ B).
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
(A ∨ B)
s
s
s
f
Tecknet ∨ utläses vanligen som eller. För tydlighets skull kan man också läsa ut
(A ∨ B) som A eller B eller båda. Denna disjunktion kallas ibland inklusiv disjunktion.
Ett annat alternativ vore exklusiv disjunktion: A eller B men inte båda. Används vardagsspråkets ”eller” både inklusivt och exklusivt? Det är klart att det används inklusivt,
t.ex. i satsen ”Om det regnar eller blåser, så vantrivs humlorna”. Ibland hävdas att det
också är lätt att ge exempel där ”eller” används exklusivt. Exempelvis i satser av typen
”Kalle dricker kaffe eller te just nu”,
”Vi skall måla huset rött eller gult”,
”Varje heltal är udda eller jämnt.”
Här är alla överens om att båda disjunkterna inte kan vara sanna samtidigt.Men förklaringarna till detta (observera att det är olika förklaringar i olika fall) verkar inte ha
något med betydelsen hos ”eller” att göra. Vad som skulle krävas är i stället ett exempel
på en falsk disjunktion där båda disjunkterna är sanna.
Fråga: Finns det sådana exempel?
Här behöver vi inte bekymra oss om detta, eftersom exklusiv disjunktion kan uttryckas med de konnektiv vi redan har infört, som (A eller B) och inte (A och B).
Övning 6:
Hitta på en symbol för exklusivt eller och skriv en sanningsvärdestabell för detta konnektiv.
E
Materiell implikation
Den materiella implikationen är ett konnektiv som symboliseras med →, och som har
följande sanningsvärdestabell:
14
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
(A → B)
s
f
s
s
(A → B) utläses som om A, så B eller A, endast om B eller A implicerar (materiellt)
B. Märk att den materiella implikationen är ett konnektiv som de övriga och alltså
används till att binda samman satser till en ny sats ’på samma nivå’ som de ursprungliga
och alltså inte för att påstå att en viss relation råder mellan de ursprungliga satserna.
Av sanningsvärdestabellen framgår att (A → B) även kan utläsas som B eller inte
A.
Exempel 7: ”Om min klocka går rätt, så är tåget försenat” betyder detsamma
som ”Tåget är försenat, eller också går min klocka inte rätt” och kan alltså
formaliseras som (A → B).
Det är tydligt att satsen ”Om min klocka går rätt, så är tåget försenat” inte
i någon rimlig mening ’handlar om’ sina delsatser.
Övning 7:
Översätt följande satser till satslogiska formler:
a) Om du ser botten, så är vattnet klart
b) Du ser botten, endast om vattnet är klart
c) Vattnet är klart, om du ser botten
d) Om tåget inte är försenat, så går min klocka inte rätt
e) Om du stänger dörren och släcker ljuset, så blir jag glad
F
Materiell ekvivalens
Den materiella ekvivalensen betecknas med ↔ och utläses vanligen som om och endast
om (vilket ibland skrivs ”omm”). Satsen (A ↔ B) är sann, om och endast om A och B
har samma sanningsvärde, d.v.s. antingen båda är sanna eller båda falska.
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
(A ↔ B)
s
f
f
s
15
Övning 8:
a) Formalisera satsen ”Denna materiella ekvivalens är falsk, om och
endast om delsatserna har olika sanningsvärden.”
b) * Är satsen sann eller falsk?
Övning 9:
Låt A stå för ”2 + 2 = 5” och B för ”Oslo är Norges
huvudstad.” Är (A ∨ B) sann?
Övning 10: Antag att (A → ¬B) är falsk och att B är sann. Vad vet
man då om A:s sanningsvärde?
Övning 11:
Antag att (A ∧ B) är falsk och att B är sann . Vad vet
man då om A:s sanningsvärde?
Övning 12:
Antag att (A ∨ B) är falsk. Vad vet man då om A:s
sanningsvärde?
Övning 13:
(A ↔ B)?
G
Antag att (A ∨ B) är falsk. Vilket sanningsvärde har då
Det satslogiska språket, formler
Vi har nu gått igenom det satslogiska språkets grundsymboler. Dessa var
• satssymboler: A, B, C, D, A1 , B1 , . . .,
• symboler för konnektiv: ¬, ∧, ∨, →, ↔
och dessutom
• parenteser: (, ).
Dessa kan kombineras med varandra på olika sätt, och läsaren har säkert redan en
intuitiv idé om vilka kombinationer som är meningsfulla och vilka som inte är det. Vi
skall för fullständighets skull ge en definition av begreppet formel som kodifierar dessa
intuitioner.
1. varje satssymbol är en formel
2. om A är en formel, så är ¬A en formel
3. om A och B är formler, så är (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) och (A ↔ B) alla formler
16
4. A är en formel, endast om detta följer av 1, 2 och 3.
Exempel 8: Av definitionen ovan följer att
A, B23 , (¬C ∨ D), ¬((A ∧ B) → ¬(A ∨ C3 ))
är formler, medan ingen av följande teckenföljder är det:
(A), ) ∧ AB, A¬B, ∨AB, (A → (B ∧ C)) .
Övning 14:
Avgör vilka av följande teckenföljder som är formler:
a) A ∧ B
b) (A ∧ B)
c) (((A1 ∧ A2 ) ∨ A3 ) → A4 )
d) ¬(A)
e) (C → ¬D)
H
Huvudtecken
Om man bygger upp en formel stegvis i enlighet med 1–4 ovan (avsnitt G), måste
något konnektiv komma till i sista steget. Detta kallas formelns huvudtecken. Vilket
huvudtecknet är framgår av parentesernas placering.
Exempel 9: I följande formler har huvudtecknet utmärkts med en hake:
ˇ B), ((C ∨ D)→A),
ˇ D)
(A∧
ˇ
¬
ˇ ((C ∨ D) → A), ¬
ˇ ¬A, ((A ∧ B)∨
Övning 15:
Avgör vilket som är huvudtecken i följande formler:
¬A, (¬A ∧ B), ((¬A ∧ B) → C), ¬((¬A ∧ B) → C),
(D ∧ B), (¬((¬A ∧ B) → C) ∨ (D ∧ B))
17
I
* Parenteskonventioner
För att inte antalet parenteser skall bli så stort att formlerna blir svårlästa, brukar man
införa s.k. parenteskonventioner som tillåter att man utelämnar parenteser enligt ett
visst system. Detta görs lämpligen genom att man ’rangordnar’ konnektiven efter deras
’benägenhet att vara huvudtecken’. En vanlig rangordning är:
(1) ↔, (2) →, (3) ∨, (4) ∧, (5) ¬
Exempel 10: Med dessa parenteskonventioner blir formlerna i följande par
likvärdiga.
a) A ∧ B
(A ∧ B)
b) A ∧ B → C
((A ∧ B) → C)
c) ¬A ∨ D
(¬A ∨ D)
d) ¬A ∧ B ↔ D → C ∨ A2 ((¬A ∧ B) ↔ (D → (C ∨ A2 )))
Övning 16:
Sätt i formlerna A ∧ B → C ∨ A och A1 ∨ A2 ↔ A3 ∧
A4 → A5 ut de parenteser som fordras för att göra a) konjunktionen, b)
disjunktionen och c) den materiella implikationen till huvudtecken.
Övning 17:
Formalisera följande satser:
a) Varken Staffan eller Dag vinner.
b) Staffan vinner inte, eller Dag vinner inte.
c) Inte både Staffan och Dag vinner.
d) Staffan vinner inte, och Dag vinner inte.
Betyder några av dessa satser detsamma?
Övning 18:
Formalisera följande satser:
a) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit under tävling.
b) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit under tävling, såvida inte särskild uppgörelse träffats.
c) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit genom vårdslöshet eller genom brottsligt förfarande.
d) Försäkringsbolaget ersätter inte skadan, om skadan uppkommit under tävling, såvida inte särskild uppgörelse träffats, ej heller om
skadan uppkommit genom vårdslöshet eller genom brottsligt förfarande.
18
Övning 19:
Formalisera följande satser:
a) Derest ej särskilda omständigheter föreligga, äger student ej bära
värja under föreläsning, så vidt tillstånd dertill ej meddelats af prefekt eller studierektor.
b) Om Cantor hade rätt skrevs Hamlet av Bacon, men den som skrev
Hamlet var en stor författare och det var inte Bacon.
c) Mutan får ni endast om ni levererar i tid och i rätt kvantitet –
annars vänder jag mig till någon annan.
d) Bara om filmen har ett lyckligt slut och du följer med går jag på
bio i kväll.
19
Kapitel 3
Sanningsvärdestabeller
Den grundläggande egenskapen hos ett satslogiskt konnektiv är att det är sanningsfunktionellt. Detta innebär att sanningsvärdet hos en molekylär sats är entydigt bestämt
av delsatsernas sanningsvärden (i enlighet med det aktuella konnektivets sanningsvärdestabell). Om någon av delsatserna är molekylär, är på samma sätt dess sanningsvärde
bestämt av dess delsatsers sanningsvärden o.s.v. Sanningsvärdet hos en molekylär sats
är således till slut entydigt bestämt av sanningsvärdena hos de atomära satser som ingår
i den.
Detta kan ses som en tillämpning av Freges princip.1 Hur sanningsvärdet hos en
molekylär sats beror av de atomära satsernas sanningsvärden kan redovisas i tabellform.
Exempel 11: Vi skall skriva en sanningsvärdestabell för ((A ↔ B) → (¬A∧B)).
De atomära satser som ingår är A och B, och vi börjar med att skriva ner
alla möjliga sanningsvärdestilldelningar till dessa.
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
I satsen ingår ¬A, och vi fyller i hur dess sanningsvärde beror av A:s.
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
¬A
f
f
s
s
Vi har nu i tabellen sanningsvärden för A, B och ¬A, och kan med hjälp
av tabellerna för ↔ och ∧ bestämma motsvarande sanningsvärden för (A ↔ B)
och (¬A ∧ B).
1
Se Haglund och Westerståhl, Lösa bitar semantik.
20
A
s
s
f
f
¬A
f
f
s
s
B
s
f
s
f
(A ↔ B)
s
f
f
s
(¬A ∧ B)
f
f
s
f
Med hjälp av sanningsvärdena för (A ↔ B) och (¬A ∧ B) och sanningsvärdestabellen för → kan vi nu fullborda tabellen.
A B ¬A (A ↔ B) (¬A ∧ B) ((A ↔ B) → (¬A ∧ B))
s s
f
s
f
f
s f
f
f
f
s
f s
s
f
s
s
f f
s
s
f
f
Exempel 12: Vi skall i tabellform ange hur sanningsvärdet hos ((¬A∨B) → C)
beror av sanningsvärdet hos de atomära delsatserna.
A
s
s
s
s
f
f
f
f
B
s
s
f
f
s
s
f
f
C
s
f
s
f
s
f
s
f
¬A
f
f
f
f
s
s
s
s
(¬A ∨ B)
s
s
f
f
s
s
s
s
((¬A ∨ B) → C))
s
f
s
s
s
f
s
f
Märk att om vi skall få med alla möjliga tilldelningar av sanningsvärden till
de tre atomära satserna, så behöver vi åtta rader i tabellen. För att skriva en
sanningstabell för en sats som innehåller fyra atomära satser behöver vi sexton
rader, för en med fem atomära delsatser behövs trettiotvå rader o.s.v.
Fråga: Hur många rader behöver man i en sanningsvärdestabell för
en sats som innehåller sex atomära delsatser?
Det sätt att skriva sanningsvärdestabeller på som använts i exempel 11 och 12 är
tydligt men en smula omständligt. Ofta skriver man därför tabeller i en mer kompakt
form, genom att under varje konnektiv i satsen skriva sanningsvärdet för den del av
satsen som har det aktuella konnektivet som huvudtecken.
Exempel 13: En kompakt sanningsvärdestabell för ((A ∨ B) ∧ ¬(A → B)) kan
se ut på följande sätt.
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
((A ∨ B) ∧ ¬(A → B))
s
ff
s
s
ss
f
s
ff
s
f
ff
s
21
Övning 20:
Skriv sanningsvärdestabeller för följande satser:
a) ¬(C ∧ A)
b) (¬A → B)
c) ((¬A → B) ∨ C)
d) (((¬A → B) ∨ C) → ¬(C ∧ A))
e) (¬(A ∧ B) → (B ∨ A))
f) (¬(A → B) ∨ ¬(B → A))
g) ((¬A ∧ B) → ((A → B) → B))
Övning 21:
1) Ange en sats som inte innehåler några andra konnektiv än ¬ och
↔, och som för varje tilldelning av sanningsvärden till de atomära
delsatserna antar samma sanningsvärde som satsen i övning 20 f.
2) Ange en enklare sats som för varje tilldelning av sanningsvärden
til de atomära delsatserna antar samma sanningsvärde som satsen i
övning 20 g.
Övning 22: Låt ▽ vara en symbol för exklusiv disjunktion. Ange med
hjälp av ¬, ∧ och ∨ en sats som har samma sanningsvärden som (A ▽ B)
för varje tilldelning av sanningsvärden till A och B.
22
Kapitel 4
Några logiska grundbegrepp
-
A
Tautologier, (sats)logisk sanning
En sats som är sann oavsett vilka sanningsvärden dess atomära delsatser har kallas
en tautologi. I sanningsvärdestabellen för en sådan sats står det alltså uteslutande s i
kolumnen under satsen.
Exempel 14: (A ∨ ¬A) är en tautologi, vilket framgår av tabellen
A
s
f
¬A
f
s
(A ∨ ¬A)
s
s
Exempel 15: ((A → B) ∨ (B → A)) är en tautologi, vilket framgår av tabellen
A
s
s
f
f
(A → B)
s
f
s
s
B
s
f
s
f
Övning 23:
(B → A)
s
s
f
s
((A → B) ∨ (B → A))
s
s
s
s
Visa att följande satser är tautologier:
a) (A → A)
b) (A ↔ ¬¬A)
c) ((A → B) ↔ (¬B → ¬A))
d) ((A ∧ ¬A) → B)
23
Tautologier är exempel på satser som är sanna i kraft av sin (logiska) form. Tautologier är specialfall av logiska sanningar och kallas också satslogiska sanningar.
B
Kontradiktoriska och kontingenta satser
Liksom en sats kan vara sann i kraft av sin logiska form, kan en sats också vara falsk på
grund av sin logiska form, d.v.s. falsk oberoende av vilka sanningsvärden dess atomära
delsatser har. En sådan sats kallas en kontradiktion. Till exempel är (A ∧ ¬A) kontradiktorisk, vilket framgår av
A
s
f
¬A
f
s
(A ∧ ¬A)
f
f
En sats som varken är tautolog eller kontraditorisk kallas (satslogiskt) kontingent. I
sanningsvärdestabellen för en sådan sats finns det alltså både s och f i kolumnen för
satsen.
Övning 24:
a) Visa att ¬(A ∨ ¬A) och ¬((A ∧ B) → A) är kontradiktioner
b) Visa att (A ∨ ¬B) och (A → (A ∧ ¬B) är kontingenta
c) Antag att A är en tautologi. Är då ¬A en tautologi, en kontradiktion
eller en kontingent sats?
d) Antag att A är kontingent. Vad är då ¬A?
Övning 25: Avgör om följande satser är tautologier, kontradiktioner
eller kontingenta:
a) (C → (D ∨ ¬D))
b) ((A → ¬A) → ¬A)
c) ((A ∧ ¬A) → ((B ∨ D) → C))
d) ((A ∧ ¬A) ∧ ((B ∨ D) → C))
e) ((A ∨ B) → (A ∧ B))
C
Satslogisk konsekvens
I ett korrekt argument är slutsatsen en konsekvens av premisserna. Vad detta innebär
kan ’preciseras’ på följande sätt:
24
Låt Φ vara en mängd av satser. Vi säger att en sats B är en konsekvens av satserna
i Φ, om och endast om B måste vara sann, så snart alla satserna i Φ är det.
I ovanstående ’definition’ av konsekvensbegreppet förekommer ordet ”måste”, vilket
gör den i praktiken oanvändbar.
Vi skall strax definiera begreppet satslogisk konsekvens, som är ett specialfall av det
allmänna konsekvensbegreppet. I detta fall kan vi komma runt problemet med ”måste”
genom att hänvisa till sanningsvärdestilldelningar. Vi skall för enkelhets skulll bara utgå
från ändligt många satser.
Låt A1 , A2 , . . . , An och B vara satser. Vi säger att B är en satslogisk konsekvens av A1 , A2 , . . . , An , om och endast om B är sann under varje tilldelning av sanningsvärden till de atomära satser som ingår i någon av satserna
A1 , A2 , . . . , An och B under vilka alla satserna A1 , A2 , . . . , An är sanna.
Exempel 16: Låt A1 vara satsen (A ∧ B) och B satsen (A ∨ B). Vi skall visa
att B är en konsekvens av A1 . De atomära satser som ingår i någon av satserna
A1 och B är A och B. Vi skall således undersöka vilka sanningsvärden A1 och
B får för olika tilldelningar av sanningsvärden till A och B. Detta gör vi genom
att ställa upp följande tabell:
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
(A ∧ B)
s
f
f
f
(A ∨ B)
s
s
s
f
Vi ser att varje tilldelning av sanningsvärden till A och B som gör A1 sann också
gör B sann. Alltså är B en satslogisk konsekvens av A1 .
Exempel 17: Låt A1 vara A, A2 vara (A ∨ B), och låt B vara satsen B. Vi
skall undersöka om B är en konsekvens av A1 och A2 .
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
(A ∨ B)
s
s
s
f
De enda sanningsvärdestilldelningar som gör både A1 och A2 (d.v.s. både A och
(A∨B)) sanna finns på raderna 1 och 2. Sanningsvärdestilldelningen på rad 2 gör
emellertid B (d.v.s. B) falsk. Det finns alltså en sanningsvärdestilldelning som
gör både A1 och A2 sanna och som gör B falsk. B är således inte en satslogisk
konsekvens av A1 och A2 .
25
Övning 26:
Formalisera premisser och slutsatser i övning 2 (s.10).
Avgör sedan om slutsatsen är en konsekvens av premisserna i de båda
fallen.
Övning 27:
a) Visa att ¬A är en konsekvens av ¬C och (A → (B ∧ C))
b) Visa att (A → B) är en konsekvens av (A ↔ B)
c) Visa att C är en konsekvens av ¬A och (A ∧ B)
d) Visa att C inte är en konsekvens av ¬A och (A ∨ B)
e) Avgör om C är en konsekvens av (¬A → (B ∨ C)), (A → B) och
¬B
f) Låt A och B vara satser. Visa att B är en satslogisk konsekvens av
A, om och endast om (A → B) är en tautologi.
g) Låt A vara en tautologi och B en sats. Visa att B är en tautologi,
om och endast om B är en satslogisk konsekvens av A.
D
Satslogisk ekvivalens
Två satser som är satslogiska konsekvenser av varandra sägs vara satslogiskt ekvivalenta.
Satslogiskt ekvivalenta satser antar såkedes samma sanningsvärde för varje sanningsvärdestilldelning.
Exempel 18: (¬A∧¬B) och ¬(A∨B) är satslogiskt ekvivalenta, vilket framgår
av följande (inte fullständigt ifyllda) tabell
A
s
s
f
f
B
s
f
s
f
(¬A ∧ ¬B)
f
f
f
s
¬(A ∨ B)
f
f
f
s
Övning 28:
Avgör om följande satspar är satslogiskt ekvivalenta:
a)
(A → ¬B) (B → ¬A)
b)
((A ∨ B) ∨ C) (A ∨ (B ∨ C))
c) ((A ∧ B) → C) ((A → B) → C)
d) ((A ∧ B) → C) (A → (B → C))
e) (A ↔ (A ∨ B)) (B → A)
26
Övning 29:
a)
(A ∧ B)
b)
(A ∨ B)
c) (A ↔ B)
Visa att satserna i följande par är ekvivalenta:
¬(A → ¬B)
(¬A → B)
((A → B) ∧ (B → A))
Med hjälp av ekvivalenserna i övning 29 kan man steg för steg ersätta förekomster
av ∧, ∨ och ↔ i formler med kombinationer av ¬ och →, tills man får en formel som
inte innehåller några andra konnektiv än dessa två och som är ekvivalent med den
ursprungliga.
Övning 30:
Försök att bilda en formel utan andra konnektiv än ¬
och → och som är ekvivalent med (((A ↔ B) ∨ ¬C) ∧ A).
Övning 31:
Visa att varje formel är ekvivalent med en formel som
bara innehåller konnektiven ∧ och ¬.
Övning 32:
Visa att varje formel är ekvivalent med en formel som
bara innehåller konnektiven ∨ och ¬.
Fråga: Kan man byta ut ∨ i övning 32 mot exklusiv disjunktion?
27
Del II
Mängdlära
28
Kapitel 5
Mängder
A
Mängdbegreppet och elementrelationen
Det intuitiva mängdbegreppet är ett oundgängligt hjälpmedel i många filosofiska, semantiska och inte minst logiska sammanhang. I detta avsnitt presenteras några egenskaper
hos detta begrepp
Man kan antyda vad mängder är genom att kalla dem för klasser, kollektioner, samlingar m.m. av objekt, men mängdbegreppet kan inte definieras. Detta då det inte finns
något mer grundläggande begrepp att definiera det i termer av. I stället får man beskriva
de egenskaper som är knutna till mängdbegreppet. Inom mängdteorin försöker man på
ett formellt sätt karaktärisera mängder som objekt vilka uppfyller ett antal givna villkor
(axiom). Här skall vi dock nöja oss med att ge en intuitiv beskrivning av några av de
egenskaper mängder har.
Vi tänker oss att man kan välja ut vilka objekt som helst och bilda mängden av dessa
objekt. Denna mängd är då ett nytt objekt, och de ursprungliga objekten kallas element
i mängden. Man säger att de tillhör (är element i) mängden.
Exempel 19: Till varje egenskap hör en mängd – mängden av alla objekt som
har egenskapen. Denna mängd kallas egenskapens extension. Extensionen hos
egenskapen blåhet är alltså mängden av alla blåa föremål, medan extensionen
hos egenskapen att vara ett udda tal mindre än 6 är den mängd vars element är
precis talen 1, 3 och 5.
Alla mängder är inte extensioner till egenskaper. Betrakta t.ex. den mängd
som har til element talet 9, Isaac Newton och min reservoarpenna.
B
Symboler
Som symboler för godtyckliga mängder använder vi X, Y, Z, X1 , Y1 , . . .
Som symboler för element i mängder använder vi a, b, c, . . . liksom vanliga namn på
bestämda individer som t.ex. ”Sverige”, ”Isaac Newton”, ”27” etc.
29
Som symbol för den relation som råder mellan elementen i en mängd och mängden
själv (tillhörighets- eller elementrelationen) använder vi ∈. Om X är en mängd, och a
är element i X, skriver vi
a ∈ X,
vilket utläses a tillhör X eller a är element i X.
Att ett objekt b inte tillhör X skriver vi
b∈
/ X.
Slutligen använder vi mängdklamrar – { och } – för att på ett enkelt sätt beteckna
bestämda mängder, så att det framgår direkt vilka elementen i dem är. För att beteckna
en mängd vars element är ett antal på förhand bestämda objekt, skriver man ut namnen
på objekten (i en följd med kommatecken mellan) och sätter mängdklamrar omkring.
Exempel 20: De två sista exemplen på mängder i avsnitt 5A (s. 29) ovan skrives
{1, 3, 5}
respektive
{9, Isaac Newton, Dag Westerståhls reservoarpenna}.
Övning 33:
Vilka av följande påståenden är sanna?
a) 2 ∈ {1, 13, 2, 4}
b) 4 ∈
/ {1, 13, 2, 4}
c) gravitationslagens upptäckare ∈ {9, Isaac Newton, Fido}
d) Fido ∈ {9, Isaac Newton, Fido}
´
C
Extensionalitetsprincipen
En mängd är entydigt bestämd av sina element. Om vi vet vilka elemeneten i en mängd
är, vet vi alltså vilken mängden är. Två mängder kan bara skilja sig åt genom att ha
olika element. Detta kan också uttryckas på följande sätt (där X och Y är godtyckliga
mängder):
X är identisk med Y , om och endast om X och Y har samma element.
Denna princip kallas extensionalitetsprincipen.
30
Exempel 21: Enligt extensionalitetsprincipen spelar det inte någon roll i vilken
ordning vi skriver elementen i en mängd. {1, 3, 5}, {3, 1, 5} och {5, 1, 3} är alltså
olika beteckningar på samma mängd; {1, 3, 5} = {3, 1, 5} = {5, 1, 3}.
Övning 34:
a) Låt X vara mängden av liksidiga trianglar, och låt Y vara mängden
av likvinkliga trianglar. Är X och Y identiska?
b) Ge andra exempel på olika beskrivningar av identiska mängder.
D
Abstraktionsprincipen
Till varje egenskap hör en mängd – egenskapens extension (med vissa reservationer, se
avsnitt E nedan). Om egenskapen är P (P kan t.ex. vara egenskapen blåhet) skriver vi
P :s extension på följande sätt:
{x : x har egenskapen P }.
Vilket utläses mängden av alla x sådana att x har egenskapen P .
Ett uttryck av typen ”x har egenskapen x”, ”x är blå”, ”y är randig och har långa
öron”, ”Mats älskar y” kallas för satsschema. Ett sådant uttryck får man genom att
ersätta ett (eller flera) namn på objekt i en sats med en (eller flera) variabler. Mer om
satsscheman står i kapitel 8 avsnitt G (s. 51).
Om A(x) är ett satsschema,1 så betecknar vi mängden av de objekt som satisfierar
(uppfyller) satsschemat med
{x : A(x)}
Att ett objekt uppfyller ett satsschema A(x) betyder att, om vi ersätter alla förekomster
av variablen x med namn på objektet, så får vi en sann sats.
Exempel 22: Extensionen till egenskapen blåhet är {x : x är blå}.
Av satsen ”Zebran är randig och har långa öron” kan vi bilda satsschemat
”y är randig och har långa öron”, och mängden av randiga föremål med långa
öron kan betecknas
{y : y är randig och har långa öron}
Principen att till varje satsschema A(x) hör mängden {x : A(x)} kallas abstraktionsprincipen.
1
x:et finns med i beteckningen, bara för att man skall veta att det är just variablen ”x” som ingår i
satsschemat. A(x) kan t.ex. stå för ”x spelar cricket” men inte för ”y spelar cricket”.
31
Övning 35:
a) Ange med hjälp av satsscheman två olika beteckningar på mängden
av alla fyrkantiga cirklar.
b) Gör ett satsschema som satisiferas av kvinnor som läser filosofi, och
använd detta till att beteckna mängden av alla kvinnliga filosofistudenter.
E
* Russells paradox
Strängt taget är abstraktionsprincipen, som den är formulerad i ovanstående avsnitt, inte
korrekt. Detta kan man visa genom Russells paradox (i dess mängdteoretiska version),
vilket går till på följande sätt:
Bilda satsschemat ”x är inte element i x”.
Enlig abstraktionsprincipen kan vi då bilda mängden
{x : x är inte element i x}
d.v.s. mängden av alla mängder som inte är element i sig själva. Låt oss kalla denna
mängd för Y .
Är Y element i sig själv?
Antag först att Y är element i sig själv. Då måste Y satisifera satsschemat ”x är inte
element i x”, d.v.s. Y är inte element i sig själv.
Antag i stället att Y inte är element i sig själv. Då satisifierar Y satsschemat och är
alltså element i Y , d.v.s. i sig själv. Vi har fått en motsägelse och tvingas konstatera att
abstraktionsprincipen inte gäller!
För att undvika Russells paradox tycks man vara tvungen att på något sätt begränsa
möjligheterna att bilda mängder. Ett sätt att göra detta är att ersätta abstraktionsprincipen med det s.k. delmängdsaxiomet:
Till varje satsschema A(x) och varje mängd Z hör mängden {x : A(x)
och x ∈ Z}, d.v.s. från en given mängd Z får man bilda mängden av alla
objekt i Z som satisfierar ett visst satsschema A(x).
I axiomatisk mängdteori (där delmängdsaxiomet och extensionalitetsprincipen är två
av axiomen) kan resonemanget i Russells paradox ovan inte genomföras. Skälet till detta
får här lämnas därhän.
När vi i det följande använder abstraktionsprincipen underförstår vi att det i varje
fall finns en mängd Z ur vilken objekten som uppfyller satsschemat A(x) väljs. Det
betyder att när vi säger ”mängden av alla x så att …”, så menar vi ”mängden av alla
x i Z, så att …”. Om t.ex. X1 = {x : x är professor}, och X2 = {x : x är blå}, så
kan Z vara mängden av människor i det första fallet och mängden av materiella föremål
32
i det andra. Z kallas för mängdens individområde. Det framgår av sammanhanget hur
individområdet kan väljas.
F
Delmängder
En mängd X sägs vara en delmängd till en mängd Y , om varje element i X också är
element i Y . Att X är en delmängd till Y skrivs
X ⊂ Y.
Observera att, om X = Y , så X ⊂ Y . Vill man poängtera att X ⊂ Y , men X ̸= Y ,
säger man att X är en äkta delmängd till Y . Att X är en äkta delmängd till Y skrivs
X ⊈Y.
Exempel 23:
{1, 4} ⊂ {2, 1, 4, 5}
{1, 2, 4, 5} ⊂ {2, 1, 4, 5}
{Karl XII} ⊂ {x : x har varit kung i Sverige}
Övning 36:
X, Y och Z?
Vilka av följande påståenden är sanna för alla mängder
a) Om X ⊂ Y och Y ⊂ Z, så X ⊂ Z
b) X ⊂ X
c) X ⊂ Y eller Y ⊂ X
d) Om X ⊂ Y och Y ⊂ X, så X = Y
G
Den tomma mängden
Betrakta satsschemat x ̸= x (x är inte lika med x). Enligt abstraktionsprincipen kan vi
bilda mängden {x : x ̸= x}, som naturligtvis inte kan ha några element. Denna mängd
kallas den tomma mängden och brukar betecknas
∅.
33
Övning 37:
Hitta på ett annat satsschema som också definierar den tomma mängden.
Visa att den tomma mängden är delmängd till varje mängd.
Visa att det bara finns en tom mängd, d.v.s. att givet två tomma
mängder X och Y så är dessa identiska. (Använd övning 36 d). Det är
alltså motiverat att tala om den tomma mängden i bestämd form singularis.
H
Union och snitt
Vi skall nu definiera två operationer på mängder, union och snitt. Om X och Y är
mängder, så är unionen av X och Y en ny mängd, nämligen mängden av alla objekt som
är element i X eller i Y .
Denna mängd betecknas
X ∪ Y.
Snittet av X och Y (även kallad skärningen av X och Y ) är mängden av de objekt
som är element i både X och Y . Den betecknas
X ∩ Y.
Alltså:
X ∪ Y = {x : x ∈ X eller x ∈ Y }
X ∩ Y = {x : x ∈ X och x ∈ Y }
Exempel 24: Om X = {a, b, c, d}, och Y = {b, d, e}, så är X ∪ Y =
{a, d, c, d, e}, och X ∩ Y = {b, d}.
{x : x har varit kung i Sverige} ∩ {x : dog 1718} = {Karl XII}.
{x : x är kvinna} ∪ {x : x är man} = {x : x är vuxen människa}.
34
Övning 38:
X och Y .
Verifiera att följande påståenden gäller för alla mängder
a) X ∪ Y = Y ∪ X
b) X ∪ X = X
c) X ∪ ∅ = X
d) X ⊂ X ∪ Y
e) X ∩ Y = Y ∩ X
f) X ∩ X = X
g) X ∩ ∅ = ∅
h) X ∩ Y ⊂ X
Fråga: Är följande påstående sant?
(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z)
35
Kapitel 6
Relationer
A
Ordnade par
I samband med extensionalitetsprincipen (kapitel L80:5 avsnitt L80:5C, s.31) nämndes
att det inte spelar någon roll i vilken ordning elementen i en mängd förekommer. I många
sammanhang är det dock viktigt att ta hänsyn till ordningen mellan element i en mängd.
Betrakta t.ex. följande satsschema:
x är större än y.
Det satisfieras av det ordnade paret Jupiter och Venus men inte av det ordnade paret
Venus och Jupiter. För att kunna skilja det ordnade paret av två objekt a och b från
mängden vars element är a och b, inför vi följande beteckning på detta:
⟨a, b⟩.
Ordnade par har följande egenskap som skljer dem från oordnade par (mängder med
två element):
1
Om ⟨a, b⟩ = ⟨c, d⟩, så a = c och b = d.
Exempel 25: Satsschemat
x föddes före y
satisfieras av paret ⟨Karl XII, Oscar II⟩ men inte av paret ⟨Oscar II, Karl XII⟩.
Ordnade par kan definieras i termer av mängder på t.ex. följande sätt:
⟨a, b⟩ = {{a}, {a, b}}.
På så sätt slipper man införa ett nytt grundbegrepp (d.v.s. begreppet ordnat par). När
ordnade par är definierade, kan ordnade tripplar etc. definieras så här:
36
⟨a, b, c⟩ = ⟨⟨a, b⟩, c⟩
⟨a, b, c, d⟩ = ⟨⟨a, b, c⟩, d⟩
etc.
Övning 39:
a) * Verifiera att ordnade par, definierade enligt ovan i termer av mängder, har egenskapen .
1
b) Ge exempel på ett satsschema som satisfieras av en ordnad trippel.
B
Relationer som mängder av ordnade par, tripplar etc.
Mellan objekt råder olika relationer. Exempel på satser som beskriver relationer mellan
olika föremål är följande:
9 är större än 5.
Göteborg är större än Kungälv.
Ulla slår Nils.
Hon biter honom i armen.
Paris ligger mellan Göteborg och Mölndal.
Antalet objekt mellan vilka en relation råder (eller inte råder) kallas relationens
ställighet. I exemplen ovan är relationerna i övre raden tvåställiga och de i den nedre
raden treställiga.
På samma sätt som vi talade om extensioner hos egenskaper kan vi nu tala om
extensioner hos relationer. Om relationen R är tvåställig är dess extension mängden av
ordnade par ⟨a, b⟩ sådana att relationen råder mellan a och b.
Exempel 26: Extensionen till relationen att vara äldre än är
{⟨x, y⟩ : x är äldre än y}.
Extensionen till relationen att ligga mellan något och något annat (om t.ex.
orter) är
{⟨x, y, z⟩ : x ligger mellan y och z}.
Vi har nu talat om extensioner till relationer. Olyckligtvis brukar även dessa kallas
för ”relationer” (man identifierar helt enkelt en viss relation med dess extension). Vi
kommer att ansluta oss till detta språkbruk och använda ordet ”relation” omväxlande
i båda betydelserna. För den andra sortens relationer (d.v.s. extensioner till relationer)
gör vi följande definition:
En tvåställig relation är en mängd av ordnade par;
en treställig relation är en mängd av ordnade tripplar;
etc.
37
Eftersom ordnade par kunde definieras i termer av mängder, har vi alltså också
lyckats definiera relationer i termer av mängder och behöver således inte införa begreppet
relation som ett nytt grundbegrepp.
Övning 40: Ange (i termer av ordnade par, tripplar etc.) extensionen
till följande relationer, och ange deras ställighet:
a) att vara vän med
b) att vara längre än
c) att slå någon med något
C
Tvåställiga (binära) relationer
I de följande tre avsnitten skall vi presentera några egenskaper som tvåställiga (även
kallade binära) relationer kan ha. Vi antar därför att alla relationer i dessa avsnitt är
tvåställiga.
Att relationen R råder mellan två objekt a och b skriver vi
aRb.
En relation antas för det mesta vara definierad i ett visst individområde (för en viss
mängd av objekt).
Exempel 27: Relationen x är gift med y har till individområde mängden av alla
människor. Bara människor kan vara gifta med varandra.
I det följande förutsätter vi (som för mängder – se kapitel 5 avsnitt E, s. 32) att ett
individområde I hör till varje relation R, och när vi säger ”för varje objekt x”, menar vi
”för varje objekt x i I” etc.
D
Reflexivitet, symmetri, transitivitet
En relation R är reflexiv, om för varje objekt x gäller xRx.
R är irreflexiv, om för varje x gäller icke xRx.
Exempel 28: Relationen x är lika gammal som y är reflexiv.
Relationen x är far till y är irreflexiv.
Relationen x är nöjd med y är varken reflexiv eller irreflexiv.
R är symmetrisk, om för varje x och y gäller att, om xRy, så yRx.
R är asymmetrisk, om för varje x och y gäller att, om xRy, så icke yRx.
38
Exempel 29: Relationen x är syskon till y är symmetrisk.
Relationen x är dotter till y är asymmetrisk.
Relationen x är bror till y är varken symmetrisk eller asymmetrisk.
R är transitiv, om för varje x, y och z gäller att, om xRy och yRz, så xRz.
R är intransitiv, om för varje x, y och z gäller att, om xRy och yRz, så icke xRz.
Exempel 30: Relationen x är mindre än y är transitiv
Relationen x är son till y är intransitiv
Relationen x är bekant med y är varken transitiv eller intransitiv
Övning 41:
Avgör för var och en av relationerna nedan om den
är reflexiv, irreflexiv eller ingetdera och motsvarande för symmetri och
transitivitet.
a) x är minst lika gammal som y
b) x är delmängd av y
c) x har hört talas om y
d) x är farbror till y
e) x ligger högst 5 km från y (om orter)
f) x är yngre än y
E
* Ekvivalensrelationer och ordningsrelationer
Med hjälp av de ovan uppräknade egenskaperna kan man klassificera tvåställiga relationer. Vi skall här ge exempel på två användbara sådana klassificeringar: stränga
ordningsrelationer och ekvivalensrelationer.
En sträng ordningsrelation är en relation som är irreflexiv och transitiv. En ekvivalensrelation är en relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv.
Exempel 31: Relationerna x är längre än y, x är större än y, x är tyngre än y
och x är varmare än y är alla stränga ordningsrelationer (kontrollera!).
Relationerna x är lika lång som y, x är lika stor som y, x är lika tung som y
och x är lika varm som y är alla ekvivalenssrelationer (kontrollera!).
Man kan observera att de exemplifierade relationerna är förbundna med måttskalor
(längd, volym, vikt, temperatur), och det visar sig också att ordningsrelationer och
ekvivalensrelationer spelar en väsentlig roll i teorier om mätning.
Exempel 32: Antag att vi har ett stort antal mynt och vill gradera dessa med
avseende på hur ’rättvisa’ mynten är vid slantsingling. Vi bestämmer oss för att
39
kasta varje mynt femton gånger. Resultatet av detta test kan då för varje mynt
representeras av en 15-tupel av typen
⟨kr, kr, kl, kr, kl, kl, kr, kl, kl, kl, kr, kr, kl, kl, kr⟩
där kr i n:te positionen betyder att det n:te kastet med myntet gav resultatet
krona och kl att det gav klave. Det mynt som representeras av 15-tupeln ovan
gav alltså krona i kast nummer 1, 2, 4, 7, 11, 12 och 15 och klave i de övriga
kasten.
Eftersom resultatet av varje kast är antingen krona eller klave, är det lätt att
se att det finns 215 (= 32 768) olika 15-tupler av den här typen. Testet kan alltså
för varje mynt ge ett av 32 768 utfall, vilket innebär att en teori för jämförandet
av resultaten skulle bli mycket komplicerad. Vi skall se att man kan förenkla
situationen avsevärt genom att införa en lämlig ekvivalensrelation och, i stället
för att jämföra de olika 15-tuplerna med varandra, jämföra s.k. ekvivalensklasser
av 15-tupler. Detta går till på följande sätt:
Definiera en relation R på mängden av 15-tupler av ovanstående typ enligt:
xRy, om och endast om antalet kr i x är lika med antalet kr i y.
R blir då en ekvivalensrelation (kontrollera!). Vi kan sedan bilda ekvivalensklasser
genom att definiera
[x] = {y : xRy}.
[x] kallas för den till x hörande ekvivalensklassen. Det är nu lätt att visa att varje
15-tupel hamnar i precis en ekvivalensklass. Dessutom gäller
[x] = [y], om och endast om xRy.
Alla 15-tupler med lika många kr hamnar således i samma ekvivalensklass, och
det finns en ekvivalensklass för varje antal kr som kan förekomma i en 15-tupel,
d.v.s. sexton stycken.
Eftersom vi inte är intresserade av i vilken ordning vi har fått de olika utfallen
när vi kastade mynten utan bara av hur många av de femton kasten som gav
samma utfall (t.ex. krona), kan vi nu jämföra de sexton ekvivalensklasserna med
varandra i stället för att jämföra alla de olika 15-tuplerna. Vi har således genom
att med hjälp av en ekvivalensrelation göra oss av med onödig information (i det
här fallet i vilken ordning vi fått olika utfall) skurit ner antalet objekt att jämföra
från 32 768 (antalet 15-tupler) till 16 (antalet ekvivalensklasser).
Hur jämförelsen går till är sedan ett statistiskt problem som vi inte har anledning att gå in på här.
40
Övning 42:
a) Visa att relationen x är en äkta delmängd av y är en sträng ordningsrelation.
b) Visa att relationen x har lika många element som y är en ekvivalensrelation.
F
Funktioner
Om R är en tvåställig relation, säger vi att R är en relation från X till Y , om för varje
x och y sådana att xRy gäller att x ∈ X och y ∈ Y .
Exempel 33: Relationen x är son till y är en relation från mängden av manliga
personer till mängden av alla människor.
Relationen x är y cm lång är en relation från mängden av (principiellt) mätbara föremål till mängden av (reella) tal.
Relationen x är y cm lång har egenskapen att relatera varje mätbart föremål till
precis ett tal, föremålets längd. Relationer med denna egenskap kallar vi funktioner. Vi
gör följande definition:
En relation R från X till Y är en funktion, om det för varje x ∈ X finns
precis ett y ∈ Y sådant att xRy.
Vi säger då att R är en funktion från X till Y , och i stället för xRy skriver vi R(x) = y.
Vi kommer att använda ”f ”, ”g” och ”h” som namn på funktioner.
Exempel 34: Låt f vara den funktion som till varje människa ordnar personens
hemland. f är då en funktion från mängden av alla människor till mängden av
alla länder, och vi har t.ex. f (Karl XII) = Sverige och f (Bertrand Russell) =
England.
G
* Bijektioner
Låt f vara en funktion från X till Y .
Mängden {x : f (x) = y för något y ∈ Y } kallas då f :s domän och {y : f (x) = y
för något x ∈ X} kallas f :s värdeförråd.f sägs vara på Y (eller vara surjektiv), om dess
värdeförråd utgörs av hela Y och en–entydig (eller injektiv), om den avbildar olika objekt
ur X på olika objekt i Y , d.v.s. om f (x) ̸= f (x′ ) närhelst x ̸= x′ .
En bijektion är en funktion som är både injektiv och surjektiv.
Exempel 35: Låt f , g och h vara funktioner från {0, 1, 2, 3, . . .} till samma
mängd, sådana att
41
f (x) = x + 1
g(x) = x
h(x) = 0
,
,
,
x ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
x ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
x ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}
Då är f injektiv men inte surjektiv, g bijektiv och h varken injektiv eller
surjektiv.(Kontrollera!)
42
Kapitel 7
* Om oändliga mängder
Var och en vet vad det betyder att två ändliga mängder har lika många element. Låt
oss nu betrakta två oändliga mängder, mängden H = {1, 2, 3, 4, . . .}, som består av
de positiva heltalen, och mängden P = {2, 4, 6, 8, . . .}, bestående av de positiva jämna
heltalen.
Har mängderna H och P lika många element?
Ett svar vore att, eftersom P innehåller precis vartannat element i H, har P färre
element än (hälften så många som) H.
Men om vi ställer upp element i H och P på föjande sätt,
H
1
2
3
4
5
..
.
P
2
4
6
8
10
..
.
så ser vi att mot varje element i H svarar exakt ett element i P och tvärtom. Alltså kan
ingen av mängderna innehålla fler element än den andra.
Detta verkar så förbryllande att många matematiker länge trodde att det var omöjligt
(skulle leda till motsägelser) att definiera relationer som ”har lika många element som”
och ”har fler element än” för oändliga mängder. Men i slutet av 1800-talet visade Georg
Cantor att det fanns ett enkelt och naturligt sätt att göra detta. Därmed skapade han
en helt ny gren av matematiken: mängdteorin.
Cantors idé är att det är det andra resonemanget beträffande H och P ovan som är
det riktiga. Med andra ord, Hoch P har lika många element, eftersom det är möjligt att
para ihop elementen i dem på ett sådant sätt att
a) varje element i H paras ihop med exakt ett element i P ,
b) varje element i P paras ihop med exakt ett element i H,
43
c) alla element i H och P förekommer i något par.
Detta kan också uttryckas på ett enklare sätt (se kapitel 6 avsnitt G, s. 41):
Det finns en bijektion från H till P (d.v.s. en en–entydig funktion från H till
P som är på P ).
I detta fall är f (x) = 2x en sådan bijektion.
Fråga: Finns det andra bijektioner från H till P ?
Cantors idé bygger på följande intuition: man kan inte ändra antalet objekt i en
mängd endast genom att ändra de ingående objektens egenskaper och inbördes relationer
(så länge objekten är desamma). Om det nu finns en bijektion mellan två mängder X
och Y , så är det (åtminstone teoretiskt) möjligt att ändra egenskaper och relationer hos
varje objekt i X så att det får precis samma egenskaper och relationer till andra objekt
som motsvarande objekt i Y . Då transformeras X till en mängd som inte kan skiljas från
Y (med avseende på egenskaper och relationer hos objekten) och alltså har lika många
element som Y .
Vi gör alltså följande definition.
Definition: Två mängder X och Y är liktaliga, om det finns en bijektion
från X till Y .
Om X och Y är ändliga är det lätt att se att de är liktaliga, om och endast om de
har samma antal element.
Fråga: Varför?
Men två oändliga mänger kan alltså vara liktaliga trots att den ena fås genom att
ta bort (oändligt många; jfr H och P ) element ur den andra. Detta verkar förbryllande
eller paradoxalt, endast om vi okritiskt tillämpar våra intuitioner om ändliga mängder
på oändliga mängder.
Övning 43:
Visa att relationen ”är liktalig med” är en ekvivalensrelation.
Om en mängd X har samma mäktighet som H kan man räkna upp elementen i X
genom att ange f (1), f (2), f (3) etc. (d.v.s. X = {f (1), f (2), f (3), . . .}), där f är en
bijektion från H till X. Vi säger då att X är uppräknelig.
Exempel 36: Mängden av alla satser på svenska är uppräknelig. Betrakta nämligen följande tabell:
Aj!, Ja., Tack., …
(alla satser med en stavelse)
Hurra!, Jag vet., Kom hit!, … (alla satser med två stavelser)
Han tror mig., Vad vet du?, … (alla satser med tre stavelser)
Någon kommer., …
(alla satser med fyra stavelser)
..
..
.
.
44
Det finns bara ändligt många stavelser på svenska (eftersom det finns en
övre begränsning på antalet bokstäver som kan förekomma i en stavelse – säkert
finns det ingen stavelse som innehåller mer än 20 bokstavsförekomster), och
alltså finns det bara ändligt många satser i varje rad i tabellen ovan. Genom att
först räkna upp alla satser med en stavelse, sedan alla satser med två stavelser,
sedan alla med tre stavelser etc., får vi en uppräkning av alla svenska satser. På
så sätt får vi en bijektion f från H till mängden av svenska satser, där f (1) =
den första satsen med en stavelse, f (2) = den andra satsen med en stavelse,1
…, om det finns k satser med en stavelse så är f (k + 1) = den första satsen med
två stavelser etc.
Fråga: Hur vet man att mängden i exemplet är oändlig, d.v.s. att det för
varje n finns satser på svenska med minst n stavelser?
Fråga: Kan man inte räkna upp mängden av alla satser i bokstavsordning?
Exempel 37: Mängden av alla ordnade par av satser där den första satsen är
på svenska och den andra på engelska, d.v.s. par av typen ⟨Vem slog katten?, I
promise to come.⟩, ⟨Filosofiundervisningen blir allt konstigare., Anyone who likes
set theory is crazy.⟩ etc., är uppräknelig.
Ty antag att a1 , a2 , a3 , . . . är en uppräkning av alla svenska satser (jfr exempel 36) och att b1 , b2 , b3 , . . . är en uppräkning av alla engelska satser. Elementen
i mängden i fråga kan skrivas upp i följande tabell:
⟨a1 , b1 ⟩
↓
⟨a2 , b1 ⟩
⟨a3 , b1 ⟩
↓
..
.
↗
↙
↗
⟨a1 , b2 ⟩
⟨a2 , b2 ⟩
⟨a3 , b2 ⟩
→
↙
↗
⟨a1 , b3 ⟩
⟨a2 , b3 ⟩
⟨a3 , b3 ⟩
...
↗
...
↙
...
↙
↗
..
..
..
.
.
.
Eftersom varje rad i denna tabell är oändlig, kan vi inte räkna upp elementen
i den genom att först räkna upp elementen i första raden, därefter elementen i
andra raden etc. (som i exempel 36). Men vi kan räkna upp dem ’på tvären’,
genom att följa pilarna. På detta sätt kan man definiera en bijektion g från H
till denna mängd:
g(1) = ⟨a1 , b1 ⟩, g(2) = ⟨a2 , b1 ⟩, g(3) = ⟨a1 , b2 ⟩, g(4) = ⟨a1 , b3 ⟩, etc.
Exempel 38: Mängden Q av positiva rationella tal, d.v.s. av alla tal av formen
m
n , där m och n är postitiva heltal, är uppräknelig. Detta ser man på samma sätt
som i exempel 37, genom att skriva alla tal av denna form i en oändlig tabell
(gör det!), som kan räknas upp ’på tvären’ (här får man dock hoppa över alla
1
Satserna med ett fixt antal stavelser kan vi tänka oss uppräknade i bokstavsordning.
45
tal som redan förekommit i uppräkningen: t.ex.
räknats upp o.s.v.).
2
4
hoppas över, eftersom
1
2
redan
Exempel 38 är anmärkningsvärt, om man ritar in mängderna H och Q på en tallinje:
r1 , . . . , r5
0
1 11
3 25
r6
r7
1
2
3
Heltalen ligger glest utspridda på linjen, men de rationella talen ligger tätt. Mellan
två rationella tal finns, hur nära de än ligger varandra, alltid ett tredje rationellt tal (i
själva verket oändligt många). Trots detta är H och Q liktaliga, d.v.s. har lika många
element.
I ljuset av detta exempel kunde man fråga sig om inte alla oändliga mängder i själva
verket är uppräkneliga. Så är emellertid inte fallet.
Låt R vara mängden av alla oändliga decimalbråk mellan 0 och 1, d.v.s. alla tal av
formen 0,6180339887…, 0,33333…, 0,123123123…etc.(Detta är i princip mängden av reella
tal mellan 0 och 1. Vi skall nu ge Cantors bevis för att denna mängd (som uppenbarligen
är oändlig) inte är uppräknelig.
Beviset har följande struktur: Vi antar att R är uppräknelig. Därefter härleder vi en
motsägelse ur detta antagande. Alltså kan R inte vara uppräknelig.
Antag alltså att det finns en uppräkning f (1), f (2), f (3), . . . av R. Då kan vi skriva
upp elementen i R i en tabell:
f (1) 0, a1 a2 a3 a4 . . .
f (2) 0, b1 b2 b3 b4 . . .
f (3) 0, c1 c2 c3 c4 . . .
..
..
.
.
Idén är nu att konstruera ett nytt oändligt decimalbråk mellan 0 och 1 som inte finns
med i tabellen. Detta gör vi genomatt som den första decimalen välja en siffra som är
skild från a1 , som den andra decimalen en siffra som är skild från b2 , som den tredje en
siffra som är skild från c3 etc. Med andra ord, vi utgår från ’diagonalen’ i tabellen och
ändrar denna på varje plats. Då får vi ett oändligt decimalbråk mellan 0 och 1 som inte
finns med i tabellen (det skiljer sig från f (n) med avseende på den n:te decimalen). Men
detta är en motsägelse, eftersom vi antog att alla element i R fanns med i tabellen! Vi
har fått den önskade motsägelsen, och beviset är färdigt.
Mängder som är oändliga men inte uppräkneliga kallas överuppräkneliga.
Vi skulle vilja säga att R har fler element än H, men denna relation måste först
definieras. För ändliga mängder X och Y gäller att Y har fler element än X, om X är
liktalig med en äkta delmängd till Y . Men detta gäller inte för oändliga mängder: P
är (liktalig med) en äkta delmängd till H, men P och H har lika många element. Den
korrekta definitionen visar vara följande:
Definition: Y har fler element än X, om det finns en en–entydig funktion
(injektion) från X till Y , men inte någon en–entydig funktion från Y til X.
Exempel 39: R har fler element än H. Vi har redan sett att det inte finns en
bijektion mellan H och R, och precis samma argument visar att det inte finns
46
en–entydig funktion från R till H. Däremot finns det en en–entyidg funktion
från H till R, t.ex. följande: f (1) = 0, 100000 . . ., f (2) = 0, 010000 . . ., f (3) =
0, 001000 . . ., etc.
Cantor visade (med ett argument som liknar ’diagonalargumentet’ ovan) att det till
varje oändlig mängd finns en annan mängd med fler element än den givna. Resultatet
brukar kallas Cantors sats. Det utgör inledningen till den del av mängdteorin som sysslar
med antal element i oändliga mängder, eftersom det visar att det finns oändligt många
sådana (oändliga) antal.
Här, när det börjar bli spännade, lämnar vi mängdteorin.
47
Del III
Predikatlogik
48
Kapitel 8
Inledning till predikatlogiken
A
Satslogikens otillräcklighet
Intresset för de intuitiva begreppen logisk sanning och logisk konsekvens utgör ett viktigt
motiv för studiet av den formella logiken. Ett steg på vägen att finna precisa motsvarigheter till dessa intuitiva begrepp har vi tagit med införandet av satslogisk sannning
(tautologi) och satslogisk konsekvens. Det är emellertid uppenbart att formaliseringen
av många satser till satslogik är otillräcklig. Många satser som måste anses vara logiskt
sanna blir satslogiskt kontingenta, och i många giltiga slutledningar är slutsatsen inte
en satslogisk konsekvens av premisserna.
Exempel 40:
• Allt som är blått är blått.
• En trebent stol är en stol.
• Alla människor är dödliga.
Alla svenskar är människor.
Alltså:
Alla svenskar är dödliga.
De två första satserna är logiskt sanna men satslogiskt atomära (och därmed
satslogiskt kontingenta). I slutledningen är alla satserna satslogiskt atomära, och
slutsatsen kan alltså inte vara en satslogisk konsekvens av premisserna, såvitt den
inte är identisk med en av dessa. Och det är den inte.
För att komma vidare måste vi tydligen utöka det satslogiska språket till ett språk
som medger en längre gående analys av satser. Vi måste m.a.o. kunna ange en ’inre
struktur’ hos satslogiskt atomära satser. Ett sådant språk utgör det predikatlogiska språk
som vi nu skall presentera. Vi skall dock inte i detta kompendium studera predikatlogikens
egenskaper i detalj utan nöjer oss med en presentation av det predikatlogiska språket
och begreppen predikatlogisk sanning och konsekvens.
49
B
Atomära satser
Bland de enklaste satser man tänka sig är sådana som uttrycker att ett visst objekt har
en viss egenskap eller att vissa objekt står i ett visst förhållande till varandra. Sådana
satser kallas (predikatlogiskt) atomära.
Exempel 41: Solen lyser. Björn sover. Bosse springer.
Ulla är starkare än Nils. Göteborg är större än Kungälv
Hon biter honom i armen. Paris ligger mellan Göteborg och Mölndal.
För att bilda en sådan sats behöver vi två slags uttryck. Dels sådana som betecknar
individer, dels uttryck som betecknar egenskaper hos eller relationer mellan individer.
C
Individkonstanter och predikat
Individkonstanter är språkliga uttryck som refererar till individer, d.v.s. de objekt (entiteter, ting, enheter) som tillskrivs egenskaper och/eller relationer.
Predikat är språkliga uttryck som betecknar egenskaper eller relationer.
I exempel 41 ovan förekommer (i tur och ordning) följande individkonstanter: ”Solen”,
”Björn”, ”Bosse”, ”Ulla”, ”Nils”, ”Göteborg”, ”Kungälv”, ”Hon”, ”honom”, ”armen”,
”Paris”, ”Göteborg” och ”Mölndal”.
De predikat som förekommer är ”· · · lyser”, ”· · · sover”, ”· · · springer”, ”· · · är starkare
än · · ·”, ”· · · är större än · · ·”, ”· · · biter · · · i · · ·” och ”· · · ligger mellan · · · och · · ·”.
D
Ställighet hos predikat och relationer
Predikat och relationer är alltid av en viss ställighet. I exempel 41 ovan är predikaten i
första raden enställiga, i andra raden tvåställiga och i tredje raden treställiga. Ställigheten hos ett predikat anger hur många förekomster av individkonstanter det måste finnas
i en atomär sats i vilken predikatet förekommer. Enligt vad vi sett tidigare (kapitel 6
avsnitt B, s. 37) kan man identifiera relationer med mängder av ordnade par, tripplar
etc. Således är ställigheten hos en mängd av ordnade par två, hos en mängd av ordnade
tripplar tre etc.
Med andra ord anger ställigheten hos en relation antalet relationsled mellan vilka
relationen råder eller inte råder. Egenskaper brukar i detta sammanhang betraktas som
enställiga relationer.
Ställigheten hos ett predikat och hos den relation det betecknar är samma tal.
E
Kvantifikatoruttryck
Uttryck av typen ”alla”, ”envar”, ”någon”, ”närhelst”, ”aldrig” kallas kvantifikatoruttryck
(kvantifikatorer) och har ofta en viktig roll i slutledningar. Naturliga språk är nästan
beklämmande rika på kvantifikatoruttryck, vilket utgör den kanske största svårigheten
50
vid analys av predikatlogisk form. Satserna ”Alla som ljuger är usla”, ”Om någon ljuger,
är han usel”, ”Usel är den som ljuger”, ”Envar som ljuger är usel” kan alla användas för
att uttrycka samma påstående och innehåller kvantifikatoruttryck. I det predikatlogiska
språket införs en enhetlig metod för kvantifiering.
F
Individvariabler
I det predikatlogiska språket kommer vi att använda en speciell typ av uttryck som kallas
variabler. Dessa har en rent syntaktisk funktion. Variabler betecknar inte något och har
inte någon ’mening’ av den typ som konnektiv och kvantifikatorer har. De används för
att markera platser i formler, för att ’knyta samman’ olika platser i formler och för att
i formler syfta tillbaka till kvantifikatorer.
I naturliga språk används ofta pronomen för att syfta fram och tillbaka i satser.
Exempel 42:
Det gäller för varje ting att, om det läggs i en syra, så upplöses det.
Med hjälp av en individvariabel kunde man i stället skriva:
Det gäller för varje x att, om x läggs i en syra, så upplöses x.
G
Satsscheman
Om man i en sats byter ut en (eller flera) förekomster av en (eller flera) individkonstanter
mot förekomster av variabler, får man (i allmänhet) ett uttryck som inte uttrycker något
bestämt påstående och därför saknar sanningsvärde.
Exempel 43:
Hon biter honom i näsan.
x biter honom i näsan.
x biter y i näsan.
x biter y i z.
Ett sådant uttyck kallas ett satsschema (eller ibland en öppen sats). Ett satsschema
kan förvandlas till en sats med två metoder. Dels kan man byta förekomster av variabler
mot förekomster av individkonstanter, dels kan man använda sig av kvantifikatoruttryck.
(Metoderna kan givetvis kombineras.)
Exempel 44: Satsschemat
x biter y i z
kan ge upphov till satser som
Ulla biter Nils i benet;
För något x gäller att x biter Nils i benet;
Det finns ett z sådant att hunden biter Ulla i z.
51
H
Individområden
Satser som innehåller kvantifikatoruttryck är ofta vaga genom att det lämnas öppet vad
som omfattas av ”allting”, ”envar” etc. och vad som fordras för att räknas som ’någon’.
Exempel 45:
”Någon författare är läsvärd”
lämnar det öppet huruvida man avser nu levande författare eller även räknar in
nu döda författare.
I satsen
”Allt går sönder, om man bara slår till det hårt nog”
lämnas det öppet om man till ’allt’ räknar även abstrakta föremål.
I allmänhet finns en underförstådd klass av individer bland vilka ’någon’ eller ’minst en’
etc. hör hemma och som man har i tankarna när man talar om ’alla’, ’allting’ etc. En
sådan klass kallas ett individområde.
52
Kapitel 9
Det predikatlogiska språket
A
Individkonstanter, predikat och satssymboler
Som individkonstanter skall vi använda a, b, c, d, a1 , b1 , c1 , d1 , a2 , b2 , . . .
Som predikat skall vi använda P, Q, R, P1 , Q1 , R1 , P2 , Q2 , . . .
Som satssymboler skall vi använda A, B, C, A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , . . .
B
Identitetssymbol
Som identitetssymbol använder vi =.
Identitetssymbolen är ett tvåställigt predikat och används alltid för att beteckna en
och samma relation (nämligen identitetsrelationen förstås).
C
Atomära satser
En atomär sats är ett uttryck som bara består av en satssymbol eller ett uttryck av
typen P abc, d.v.s. ett predikat följt av ett antal individkonstanter. Antalet förekomster
av individkonstanter skall vara lika med predikatets ställighet.
Tvåställiga predikat skrivs ofta mellan individkonstanterna, d.v.s. man skriver aRb
i stället för Rab. I detta kompendium skall vi följa den konventionen när det gäller
identitetssymbolen. I stället för = ab skriver vi alltså a = b.
Exempel 46: Satsen ”Solen lyser” kan formaliseras som P a, där a står för solen
och P för egenskapen att lysa.
Satsen ”Ulla är starkare än Nils” kan formaliseras som Rd1 d2 , där d1 står för
Ulla, d2 för Nils och R för relationen · · · är starkare än · · ·.
Satsen ”Det är varmt” kan formaliseras som A, precis som i satslogiken.
Ibland kan det finnas flera olika sätt att bestämma predikaten i en given sats. I
exempel 46 uppfattades predikatet i ”Ulla är starkare än Nils” som tvåställigt. Men det
går också att uppfatta satsen som påstående att Ulla har en viss egenskap, nämligen
53
den att vara starkare än Nils eller som att Nils har egenskapen att Ulla är starkare än
han.
Övning 44:
Formalisera satsen ”Ulla biter Nils i örat” uppfattad
a) som innehållande ett treställigt predikat,
b) som innehållande ett tvåställigt predikat (tre möjligheter),
c) som innehållande ett treställigt predikat (tre möjligheter).
D
Individvariabler
Som individvariabler skall vi använda x, y, z, x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , . . .
E
Atomära formler
Individkonstanter och individvariabler kallas med ett gemensamt namn för individsymboler.
En atomär formel är ett uttryck som består av ett predikat följt av ett antal individsymboler eller en formel som endast består av en satssymbol. Atomära formler är
alltså de formler som inte innehåller någon kvantifikator eller något konnektiv. Speciellt
är varje atomär sats en atomär formel.
Liksom in fallet med atomära satser skriver vi identitetssymbolen mellan individsymbolerna.
F
Konnektiv
Inom predikatlogiken använder vi samma konnektiv som i satslogiken, d.v.s. ¬, ∧, ∨, →,
↔.
De används liksom i satslogiken för att kombinera satser och formler till mer komplexa
sådana.
G
Allkvantifikatorn
För att uttrycka att något gäller för varje individ använder vi tecknet
∀.
Tecknet (allkvantifikatorn) skrivs följt av en variabel framför ett satsschema.
∀x utläses vanligen för varje x gäller att.
54
Exempel 47: ”Allt är förgängligt” är en sats som innehåller ett kvantifikatoruttryck. Den uttrycker samma påstående som ”För varje x gäller att x är
förgängligt” och kan formaliseras som ∀xP x.
”Allt som läggs i en syra upplöses„ kan formaliseras som ∀x(P x → Qx) där
P står för ”läggs i en syra” och Q för ”upplöses”.
Övning 45:
Formalisera
a) ”Allt rött är rött.”
b) ”Envar sin egen lyckas smed.”
c) ”En häst är en häst.”
d) ”Alla skäller på regeringen.”
H
Existenskvantifikatorn
För att uttrycka att något gäller för minst en individ använder vi tecknet
∃.
Tecknet, (existenskvantifikatorn) skrivs, liksom allkvantifikatorn, tillsammans med en
variabel omedelbart framför en formel. ∃x utläses vanligen för något x gäller att eller
det finns minst ett x sådant att.
Exempel 48: ”Det finns en planet” uttrycker samma påstående som ”Det finns
minst ett x sådant att x är en planet” och kan formaliseras som ∃xP x.
Övning 46:
Formalisera
a) ”Någon slår mig.”
b) ”Det finns odrägliga typer.”
c) ”Somebody loves me.”
d) ”Hunden har grävt ner någon i trädgården.”
I
Det predikatlogiska språket
Det predikatlogiska språkets grundsymboler är
55
a) individkonstanter: a, b, c, d, a1 , b1 , . . .
b) predikat: P, Q, R, P1 , Q1 , . . .
c) satssymboler: A, B, C, A1 , B1 , . . .
d) identitetssymbol: =
e) individvariabler: x, y, z, x1 , y1 , . . .
f) konnektiv: ¬, ∨, ∧, →, ↔
g) kvantifikatorer: ∀, ∃
dessutom använder vi parenteser.
Individkonstanterna och individvariablerna kallas individsymboler.
Identitetsymbolen, konnektiven och kvantifikatorerna kallas ofta logiska konstanter.
Individkonstanterna, predikaten och satssymbolerna kallas ofta icke-logiska konstanter.
Definition av predikatlogisk formel
En atomär formel består av ett predikat åtföljt av ett antal individsymbolförekomster. Antalet förekomster av individsymboler är lika stort som
predikatets ställighet.
Med hjälp av begreppet atomär formel kan vi nu ge en definition av
predikatlogisk formel på följande sätt:
i) varje atomär formel är en formel;
ii) om A och B är formler, är ¬A, (A ∨ B), (A ∧ B), (A → B) och (A ↔ B)
formler;
iii) om A är en formel och α en variabel, är ∀αA och ∃αA formler;
iv) en symbolföljd är en formel, endast om detta följer av i)–iii)
Övning 47:
Vilka av följande symbolföljder är formler?
∀x(P x ∧ Qy)
∃x(∀yRxy ∨ ∃yP y)
∀z(Q8 x → P y)
¬(∃xP x ∧ ∀y(z1 = z2 ))
56
J
Kvantifikatorräckvidd
I en formel åtföljs en kvantifikatorförekomst alltid av en variabel och omedelbart därefter en formel. Kvantifikatorförekomstens räckvidd utgörs av den själv, den efterföljande
variabeln och den (minsta) efter variabeln följande formeln.
Exempel 49: I formeln
z
}|
{
∀x(∃yRxy ∧ P yx) → ∃x¬Qx
| {z }
är räckvidden för den första kvantifikatorförekomsten utmärkt med överklammer,
den andras med understreck och den tredjes med underklammer.
K
Fria och bundna variabelförekomster
En kvantifikatorförekomst som åtföljs av en variabel α sägs binda varje förekomst av α
som står inom kvantifikatorförekomstens räckvidd men ej samtidigt står inom räckvidden
för en annan av α åtföljd kvantifikatorförekomst inom den första kvantifikatorförekomstens räckvidd.
(Ge inte upp. Det går att begripa.)
En variabelförekomst som inte är bunden av någon kvantifikatorförekomst sägs vara
fri. En variabel som har en fri förekomst i en formel sägs vara fri i formeln.
Exempel 50: I formeln
¯ ẋȳz ∧ ˚
∀˙ ẋ(∃ȳR
∃x̊Px̊y)
har den första kvantifikatorförekomsten och de variabelförekomster som binds
av den utmärkts med prickar, den andra kvantifikatorförekomsten och de variabelförekomster som binds av den har utmärkts med streck, och den tredje
kvantifikatorförekomsten och de variabelförekomster som binds av den har utmärkts med ringar. Variablerna y och z har varsin fri förekomst i formeln och är
alltså fria i formeln.
L
Satser
En predikatlogisk formel som inte innehåller några fria variabelförekomster är en sats.
En formel som innehåller fria variabelförekomster är ett satsschema.
57
Kapitel 10
Analys av predikatlogisk form
A
Inledning
Det predikatlogiska språket ger oss möjlighet till enbetydligt längre gående analys av
logisk form än det satslogiska. I gengäld är analys av predikatlogisk form i ännu högre
grad än analys av satslogisk form ett obestämt företag. Vi har redan sett att valet av
predikat ofta kan göras på mer än ett sätt, och valet måste ofta bero på sammanhanget
i vilken satsen förekommer. Att hitta den för ett visst syfte mest naturliga analysen är
något man lär sig genom att göra övningar.
B
Uttryck med en kvantifikator
Exempel 51: ”Alla jämna tal är delbara med två” betyder detsamma som
Det gäller för varje x att, om x är ett jämnt tal, så är x delbart med två.
Satsen kan formaliseras som
∀x(P x → Qx)
Vi kunde naturligtvis ha betraktat uttrycket ”är delbart med två” som ett
(tvåställigt) predikat och fått formaliseringen
∀x(P x → Rxa)
Exempel 52: ”Det finns en svensk filosof” betyder detsamma som
Det finns ett x sådant att x är svensk och x är filosof.
och kan formaliseras som
∃x(P x ∧ Qx)
58
Exempel 53: Exemplen ovan innehåller satser som börjar med en kvantifikator.
En kvantifikator kan emellertid lika gärna stå inne i en sats.
”Alla tomtar har inte skägg” betyder detsamma som ”Det ärinte fallet att
alla tomtar har skägg” och är alltså negationen av en allkvantifierad sats. Den
kan lämpligen formaliseras som
¬∀x(P x → Qx)
Exempel 54: ”endast om någon följer med, går jag på bio” har formen av
en implikation där en av delsatserna innehåller en existenskvantifikator och kan
formaliseras som
P a → ∃xRxa
där a ’står för’ jag
P ’står för’ går på bio
R ’står för’ · · · följer med · · · (på bio)
C
Uttryck med flera kvantifikatorer
Exempel 55: ”Alla professor har en mor” kan formaliseras som
∀x(P x → ∃yRyx) eller ∀x∃y(P x → Ryx)
och ”Någon är mor till alla professorer” som
∃x∀y(P y → Rxy)
där
P
R
’står för’
’står för’
Övning 48:
professor
· · · är mor till · · ·
Låt P och R vara samma som i exempel 55. Vad betyder
∀x∃y(P x → Rxy) ?
Exempel 56: ”Om allting var av guld, så vore allting gult” kan uppfattas som
en materiel implikation där både försats och eftersats är allkvatifierade. Den kan
formaliseras som
∀xP x → ∀xQx
Däremot betyder både
∀x(P x → Qx) och ∀x(P x → ∀xQx)
något annat.
Fråga: Vad?
59
D
Uttryck med identitetssymbol
Exempel 57: (Russells analys av bestämda beskrivningar)
Satsen ”Kungen av Frankrike är flintskallig” betyder (enligt Bertrand Russell)
detsamma som ”Det finns ett och endast ett objekt som är kung av Frankrike,
och detta objekt är flintskalligt”. Att uttrycka att det finns minst ett objekt av ett
visst slag kan vi göra med hjälp av en existenskvantifikator. För att yttrycka att
det finns precis ett objekt av ett visst slag måste vi använda identitetssymbolen.
Satsen ovan kan formaliseras som
∃x(P x ∧ Qx ∧ ∀y(P y → y = x))
där
P ’står för’ kung av Frankrike
Q ’står för’ flintskallig
(Poängen med den sista delen av satsen är att säga att alla kungar av Frankrike är identiska, vadan det kan finnas högst en sådan.)
Exempel 58: Med hjälp av identitetssymbolen kan vi uttrycka att det finns
minst tre objekt som har en viss egenskap.
∃x∃y∃z(P x ∧ P y ∧ P z ∧ x ̸= y ∧ y ̸= z ∧ x ̸= z)
(Vi har i detta exempel skrivit ̸= i stället för ¬(x = y). Detta sätt att negera
identitetspåståenden är mycket vanligt.
Exempel 59: Om vi negerar satsen i föregående exempel får vi en sats som
uttrycker att det finns högst två objekt med en viss egenskap. (Varför?)
Exempel 60: Att det finns minst ett och högst två objekt med en viss egenskap
kan uttryckas på följande sätt
∃x∃y(P x ∧ P y ∧ ∀z(P z → z = x ∨ z = y))
Övning 49:
Formalisera ”Det finns exakt två jultomtar”
60
Övning 50:
Analysera den predikatlogiska formen hos följande satser:
a) Alla fäder är äldre än sina barn
b) Alla människor är av antingen manligt eller kvinnligt kön
c) Allting har en orsak
d) Någonting är alltings orsak
e) Varje människa har minst två mödrar
f) Om någon är filosof, så är han dödlig
g) Alla statyer är inte av marmor
h) Alla kaniner har precis två öron och minst en svans
i) Några statyer är inte av marmor
j) Den som syndar sover illa
k) Bara Nils är gift med Ulla
Övning 51:
Formalisera ”Gentlemen prefer blondes”
a) med hjälp av predikatet ”· · · prefers blondes”
b) med hjälp av predikatet ”· · · prefers · · ·”
c) med hjälp av predikatet ”· · · prefers · · · to · · ·”
Övning 52:
Analysera:
a) Alla Pers vänner känner Pål
b) Bara Pers vänner känner Pål
c) Per och Pål har tre gemensamma vänner
d) Den som känner Pål är inte vän med Per
e) Alla Pers och Påls gemensamma vänner känner varandra
f) Ulla känner Pers vänner, men är inte vän med Påls vänner
g) Per har en vän som inte känner någon av Påls vänner
h) Per har precis två vänner som tycker om någon som känner Pål
i) Alla som tycker om Pål känner någon som är vän med Per
j) Ulla känner två av Pers vänner men tycker inte om någon som inte
är vän med Pål
k) Ingen som känner Pål tycker om honom, så vitt de inte är vän med
någon som känner Pers vänner utan att tycka om någon av dem
†) Ingen som inte känner exakt två av Pers vänner utan att tycka om
fler än tre av de av Påls vänner som tycker om Ulla känner precis
dem av Pers vänner som känner Ulla men inte tycker om Pål
61
Övning 53:
a) En ekvivalensrelation är en relation som är reflexiv, symmetrisk och
transitiv. Formalisera ”R är en ekvivalensrelation”.
b) En sträng ordningsrelation är en relation som är irreflexiv och transitiv. Formalisera ”R är en sträng ordningsrelation”.
c) Formalisera ”R är en funktion”.
62
Kapitel 11
Tolkningar
A
Inledning
I satslogiken gäller det att sanningsvärdet hos en molekylär sats är entydigt bestämt
av sanningsvärdena hos dess delsatser och ytterst av sanningsvärdena hos de atomära
satser som ingår i dem. Detta kan ses som tillämpning av en av Frege formulerad princip
som säger:
En sats Bedeutung1 är en funktion av dess semantiska konstituenters Bedeutung.
Med det satslogiska språkets ’minsta’ beståndsdelar är satser, har vi inom predikatlogiken tillgång till ännu ’mindre’ delar, nämligen predikat och individkonstanter. Genom
att identifiera satsers Bedeutung med deras sanningsvärden (liksom i satslogiken), predikats Bedeutung med deras extensioner och individkonstanters Bedeutung med den
individ de refererar till, skall vi se att även det predikatlogiska språket uppfyller Freges
princip.
B
Tolkningar för det predikatlogiska språket
För att kunna avgöra om en sats är sann eller inte måste man rimligen veta vad den
betyder, d.v.s. vilket påstående den uttrycker. Som vi redan sett innebär detta för en
kvantifierad sats att vi måste veta vilket individområde som avses. Dessutom måste vi
naturligtvis veta vad de i satsen ingående predikaten och individkonstanterna står för.
Att ange en tolkning för det predikatlogiska språket är att
1. ange ett individområde – kallat tolkningens domän – som skall vara en icketom
mängd
1
”Bedeutung” är i Freges semantik en teknisk term för det i ’verkligheten’ som ett språkligt uttryck
’pekar ut’.
63
2. ange en extension för vart och ett av språkets predikat, som för enställiga predikat
skall vara en delmängd av tolkningens domän, för tvåställiga predikat en mängd av
ordnade par av individer ur domänen etc. Identitetssymbolen skall alltid tillordnas
identitetsrelationen på domänen, d.v.s. {⟨x, x⟩ : x tillhör domänen}
3. till varje individkonstant ange en individ ur domänen
4. till varje satsbokstav ange värdet ’S’ eller värdet ’F ’
Givet en tolkning för språket kommer varje sats att ha ett bestämt sanningsvärde
relativt denna tolkning. En och samma sats kan emellertid ha oika sanningsvärden relativt olika tokningar. Av detta skäl bör man inte tala omsatsers sannigsvärde rätt och
slätt utan alltid om deras sanningsvärde i en viss tolkning.
C
Namnfullständiga tolkningar
En tolkning för det predikatlogiska språket kallas namnfullständig, om varje element
i dess domän har ordnats till (minst) en individkonstant, d.v.s. om varje individ har
åtminstone ett ’namn’.
D
Sanningsvillkor för atomära satser
En atomär sats består av en satssymbol eller av ett predikat följt av så många förekomster av individkonstanter som predikatets ställighet anger. I en tolkning har varje
predikat tilldelats en extension, varje satssymbol tilldelats värdet S eller F och alla
individkonstanter har tillordnats individer ur tolkningens domän.
Om satsen består av en satssymbol, så är den sann i tolkningen, om och endast om
satssymbolen tilldelats värdet S.
Om satsen i stället innehåler ett predikat, gäller följande:
Om predikatet är enställigt, är satsen sann, om och endast om den individ som
tilldelats individkonstanten i satsen är element i den delmängd av domänen som ordnats
till predikatet.
Om predikatet är tvåställigt, är satsen sann i tolkningen, om och endast om det ordnade par av individer som anges av de i stasen förekommande individkonstanterna (där
ordningen övernesstämmer med den mellan individkonstanternas förekomster i satsen)
tillhör den mängd av ordnade par som tilldelats predikatet – och analogt för predikat
av högre ställighet.
Exempel 61: Låt individområdet vara mängden av alla människor, levande och
döda.
Till predikatet P ordnar vi mängden av alla engelsmän, d.v.s. {x : x är
engelsman}.
Till Q ordnar vi {x : x är filosof}.
64
Till R ordnar vi {⟨x, y⟩ : x är mor till y}.
Till alla andra predikat utom = ordnar vi ∅.
Till
Till
Till
Till
Till
a ordnar vi Sokrates.
b ordnar vi Bertrand Russell.
c ordnar vi Sokrates mamma.
d ordnar vi Karl XII.
alla andra individkonstanter ordnar vi Marie Curie.
Till A ordnar vi S.
Till alla andra satssymboler ordnar vi F .
Satserna Qa, P b och Rca är sanna i denna tolkning.
Satserna P a, Qd, P2 a, Rac, Rbd1 och B3 är falska i tolkningen.
Övning 54:
Ange vilka sanningsvärden satserna
Qb, P d, a23 = c5 , Q17 d, C
har i tolkningen i exempel 61.
Exempel 62: Tolkningen i exempel 61 var inte namnfullständig. Vi skall här ge
ett exempel på en sådan.
Till domän väljer vi {0, 1, 2, 3, 4, }.
Till predikatet P ordnar vi {1, 3}. I stället för att skriva ”till x ordnar vi y”
skall vi i fortsättningen använda symbolen 7→ och skriva x 7→ y.
P 7→ {1, 3}
Q 7→ {2, 3, 4}
R1 7→ {⟨1, 3⟩, ⟨2, 3⟩, ⟨2, 4⟩}
R2 7→ {⟨0, 1, 1, ⟩, ⟨2, 2, 2⟩, ⟨4, 2, 3⟩, ⟨0, 0, 3⟩}
Alla andra predikat (utom identitetssymbolen) tillordnas ∅.
a1 7→ 1
a2 7→ 2
a3 7→ 3
a4 7→ 4
Detta kan skrivas mer kortfattat på följande sätt:
an 7→ n ; n = 1, 2, 3, 4
65
Till alla andra individkonstanter ordnas 0.
A tilldelas S, alla andra F .
Övning 55:
Avgör vilka sanningsvärden satserna
A, B, P a, P a3 , Q1 a2 , Qa4 ,
Ra1 a3 , R1 a2 a4 , R2 bca3 , R2 a1 a1 a1 , R2 a2 a2 a2 , R2 a6 a1 a1
har i tolkningen i exempel 62.
E
Sanningsvillkor för satslogiskt molekylära satser
För satser som är negationer, konjunktioner etc. av andra satser bestäms sanningsvärdet
i enlighet med det aktuella konnektivets sanningsvärdestabell, precis som i satslogiken.
Övning 56: Låt tolkningen vara densamma som i exempel 61 (s. 64).
Bestäm sanningsvärdet i den tolkningen för satserna
(Qc ∨ Rcd),
F
(b = d → Raa5 ∧ P c),
(B → a = b).
Sanningsvillkor för kvantifierade satser i namnfullständiga tolkningar
En sats av typen ∃αA(α) är sann i en namnfullständig tolkning, om och endast om det
finns en individkonstant a sådan att A(a) är sann i tolkningen. (Här är A(a) (förstås)
resultatet av att i A(α) ersätta alla fria förekomster av α med a.)
En sats av typen ∀αA(α) är sann i en namnfullständig tolkning, om och endast om
A(a) är sann i tolkningen för varje individkonstant a.
Exempel 63: Till domän väljer vi mängden av ickenegativa heltal, d.v.s. {0, 1, 2, 3, . . .}.
P 7→ {x : x är udda}
Q 7→ {x : x är jämnt}
R1 7→ {⟨x, y⟩ : x < y}
mening)
(x < y betyyder att x är mindre än y i vanlig
66
R2 7→ {⟨x, y, z⟩ : x + y = z}
Alla andra predikat (utom =) tilldelas ∅
a1 →
7 1
a2 →
7 2
..
..
.
.
an 7→ n
..
..
.
.
Alla andra individkonstanter tilldelas 0
∃xP x (något tal är udda) är sann, ty P a3 är sann
∃xR1 xa5 (något tal är mindre än 5) är sann, eftersom R1 a2 a5 är sann i
tolkningen
∀xR2 bxx (varje tal är lika med sig självt plus noll) är sann, ty R2 bαα är sann
för varje individkonstant α
∀x∃yR2 yxx (till varje tal finns ett tal så att summan av dessa är lika med det
första talet) är sann i tolkningen, ty ∃yR2 yαα är sann för varje individkonstant
α, eftersom R2 bαα för varje individkonstant α
∀x∃yR1 yx (till varje tal finns ett som är mindre) är falsk i tolkningen, ty
∃yR1 yb är falsk
Observera att dessa sanningsvillkor inte gäller för godtyckliga tolkningar.
Exempel 64: I tolkningen i exempel 61 på sidan 64 är satsen ∃x(P x ∧ ¬Qx)
sann, eftersom det finns någon engelsman i domänen som inte är filosof. Däremot
finns det ingen individkonstant α sådan att P α ∧ ¬Qα är sann i tolkningen.
Vi skall så småningom införa begreppet predikatlogisk sanning (validitet) genom
att säga att en sats (i det predikatlogiska språket) är en predikatlogisk sanning, om
och endast om den är sann i varje tolkning, d.v.s. om och endast om det inte finns
någon tolkning i vilken den är falsk. Nu kan man visa att om en sats är falsk i någon
tolkning alls, så finns det också en namnfullständig tolkning i vilken den är falsk. För
att definiera begreppet predikatlogisk sanning behöver vi alltså egentligen bara använda
oss av sanningsvärden i namnfullständiga tolkningar. Märk dock att detta på intet sätt
är självklart.
* Fråga: I exempel 61 (s. 64) skulle man kunna ’göra om’ tolkningen så att
den blir namnfullständig genom att ge alla objekt i domänen något namn.
Kan man göra alla tolkningar namnfullständiga på detta sätt? (Se kapitel 7,
s. 46f.)
67
G
Sanningsdefinition för det predikatlogiska språket i namnfullständiga tolkningar
Vi sammanfattar nu sanningsvillkoren för de olika typerna av satser till en komplett
sanningsdefinition för det predikatlogiska språket i namnfullständiga tolkningar. Vi definierar först sanning för atomära satser och anger sedan hur sanningsvärdet hos mer
komplexa satser beror av sanningsvärdet hos mindre komplexa satser.
Låt T vara en namnfullständig tolkning för det predikatlogiska språket.
1. Om A är atomär och endast består av en satsbokstav, så är A sann i T , om och
endast om satsbokstaven tilldelas S i T .
2. Om A är atomär och innehåller ett predikat, så är A sann i T , om och endast om
de objekt som tilldelats individkonstanterna i A är relaterade av den relation som
är tilldelad predikatet i A.
3. Om A är ¬B, så är A sann i T , om och endast om B inte är sann i T .
4. Om A är (B ∧ C), så är A sann i T , om och endast om B och C är sanna i T .
5. Om A är (B ∨ C), så är A sann i T , om och endast om B eller C är sanna i T .
6. Om A är (B → C), så är A sann i T , om och endast om C är sann i T eller B inte
är sann i T .
7. Om A är (B ↔ C), så är A sann i T , om och endast om B och C har samma
sanningsvärde i T .
8. Om A är ∃αB(α), så är A sann i T , om och endast om B(a) är sann för någon
individkonstant a.
9. Om A är ∀αB(α), så är A sann i T , om och endast om B(a) är sann för varje
individkonstant a.
Vi säger att en sats A är falsk i T , om och endast om A inte är sann i T .
Observera att punkterna 3 t.o.m. 7 inte är något annat än den vanliga sanningsdefinitionen för de olika konnektiven.
Exempel 65: Låt T vara samma tolkning som i exempel 63 (s. 66). Vi konstaterade i det exemplet att satsen ∀x∃yR2 yxx är sann i T . Vi skall se att detta
överensstämmer med definitionen av sanning (obs. att T är namnfullständig).
Enligt 9 ovan är ∀x∃yR2 yxx sann i T , om och endast om ∃yR2 yaa är sann i
T för varje individkonstant a. Enligt 8 är ∃yR2 yaa sann i T , om och endast om
R2 baa är sann i T för någon individkonstant b. R2 baa är sann i T , enligt 2, om
och endast om m + n = n, där a 7→ n och b 7→ m. Alltså gäller att ∀x∃yR2 yxx
är sann i T , om och endast om det för varje tal n finns ett tal m sådant att
m + n = n. Eftersom detta gäller, kan vi konstatera att ∀x∃yR2 yxx är sann i
T.
68
H
* Sanningsdefinition för det predikatlogiska språket i
godtyckliga tolkningar
För att definiera begrepp sann i en godtycklig tolkning måste man ändra 8 och 9 i
definitionen i avsnitt 11 G (s. 68). Det kan ju hända att t.ex. ∃xP x är sann i en tolkning
T , d.v.s. att det finns någon individ a i domänen som är element i den mängd som
tilldeltas P utan att P a är sann i T för någon individkonstant a beroende på att a inte
har något ’namn’ i T . En sak vi kan göra i sådana fall är att ge a ett ’namn’ a (där a
är en utvald individkonstant), d.v.s. betrakta en ny tolkning, T ′ , som är likadan som T
utom däri att a betecknar a. Vi gör följande definition:
Om T är en tolkning och a en individkonstant, så är T ′ en a-variant av T ,
om T ′ är en tolkning som skiljer sig från T högst vad gäller vilket objekt som
tillordnas a.
Om T ′ är en a-variant av T har alltså T ocg T ′ samma domän, och all predikat har
samma extensioner i T och T ′ . Vidare betecknar alla individkonstanter utom möjligen
a samma individer i de bägge tolkningarna.
Låt ny T vara en godtycklig tolkning. Vi kan då definiera begreppet sann i T genom
att till 1–7 i avsnitt G lägga
8’. Om A är ∃αB(α), så är A sann i T , om och endast om B(a) är sann i någon a-variant
av T . (Här är a en godtyckligt vald individkonstant som inte förekommer i A.)
9’. Om A är ∀αB(α), så är A sann i T , om och endast om B(a) är sann i varje a-variant
av T . (a som ovan.)
Exempel 66: Låt tolkningen vara densamma som i exempel 61 (s. 64). I denna
tolkning är satsen ∃x(Qx ∧ ¬P x) sann. Välj nämligen individkonstanten a (den
förekommer ju inte i satsen), och låt T ′ vara likadan som den tolkning vi utgår
från så när som på att a 7→ ImmanuelKant. T ′ är alltså en a-variant av den
givna tolkningen, och det är klart att Qa ∧ ¬P a är sann i T ′ . Alltså gäller enligt
8’att ∃x(Qx ∧ ¬P x) är sann i den givna tolkningen.
Restriktionen att den individkonstant a för vilken vi betraktar a-varianter i 8’och
9’inte får förekomma i A är nödvändig. Det är t.ex. lätt att konstruera en tolkning T
(gör det!) sådan att ∃xP ax är sann i T , medan P aa inte är sann i någon a-variant av T .
Fråga: Sanningsdefinitionen i detta avsnitt gäller förstås för namnfullständiga tolkningar också. Hur ser man att sanningsfunktionen i detta avsnitt ger
samma resultat för namnfullständiga tolkningar som sanningsdefinitionen i
avsnitt G (s. 68)?
69
I
Begränsade tolkningar
I en sats förekommer ändligt många icke-logiska konstanter (individkonstanter, predikat,
satssymboler). Det är klart att satsens sanningsvärde i en tolkning T endast beror på
hur T tolkar de icke-logiska konstanterna som förekommer i den. Tolkningen av övriga
ickelogiska konstanter i språket spelar ingen roll. Med andra ord:
Om A är en sats, och om T och T ′ är tolkningar med samma domän som ger
samma tolkning (extension) åt de icke-logiska konstanter som förekommer i
A, sä är A sann i T , om och endast om A är sann i T ′ . (Detta är som sagt
uppenbart men kan bevisas med hjälp av sanningsdefinitionen.)
Detta medför att det i många sammanhang räcker att betrakta tolkningar som är
begränsade till de ickelogiska konstanter som förekommer i en viss sats (i vissa satser),
i stället för att betrakta tolkningar av hela det predikatlogiska språket.
70
Kapitel 12
* Predikatlogisk sanning och
konsekvens
A
Definition av predikatlogisk sanning
Predikatlogisk sanning definieras analogt med satslogisk sanning:
En sats i det predikatlogiska språket är predikatlogiskt sann (eller valid), om
den är sann i varje tolkning (av de i satsen ingående icke-logiska konstanteran
(individkonstanter, predikat, satssymboler) – jfr avsnitt I i kapitel 11, s. 70).
Jämför denna definition med:
En sats i det satslogiska språket är satslogiskt sann (eller tautolog), om den
är sann för varje sanningsvärdestilldlening till de i satsen ingående satssymbolerna.
Eftersom det satslogiska språket är en del av det predikatlogiska språket, ser vi
av definitionen ovan att begreppet predikatlogisk sanning är en förfining av begreppet
satslogisk sanning. Satserna ”Allt som är blått är blått” och ”En trebent stol är en
stol”, som nämndes i inledningen till kapitel 8 (s. 49) är predikatlogiska sanningar (mer
exakt: deras formaliseringar i det predikatlogiska språket är predikatlogiska sanningar)
men inte satslogiska sanningar. Men varje satslogisk sanning är också en predikatlogisk
sanning.
Exempel 67: Satsen ”Allt som är blått är blått” kan formaliseras som ∀x(P x →
P x). Vi skall visa att denna sats är en predikatlogisk sanning, d.v.s. att den är
sann i varje tolkning. Det räcker (enligt avsnitt kapitel 11 avsnitt I, s. 70) att
ange en domän och hur predikatet P tolkas.
Låt T vara en godtycklig tolkning. Välj individkonstanten a (a förekommer
inte i satsen). I T har P tilldelats en extension som är en delmängd av tolkningens
domän. Vilket objket i domänen vi än tilldelar a, m.a.o. vilken a-variant av T vi
än betrkatar, gäller naturligtvis att objektet tillhör denna mängd om det gör det,
71
d.v.s. att P a → P a är sann i denna a-variant. Satsen ∀x(P x → P x) är alltså
sann i T (enligt 9’i sanningsdefinitionen i kapitel 11 avsnitt H, s. 69).
Eftersom T var godtycklig, gäller ovanstående resonemnag för varje tolkning,
d.v.s. satsen är sann i varje tolkning och alltså valid.
Alternativt kunde vi ha resonerat på följande sätt:
Antag att ∀x(P x → P x) inte är valid. Då finns det en tokning i T i vilken
satsen är falsk. Enlgit sanningsdefinitionen innebär detta att det finns en a-variant
av T där P a → P a är falsk. Men detta är omöjligt: P a → P a är sann i varje
tolkning över huvud taget. Alltså måste vårt antagande vara felaktigt. Alltså är
satsen valid.
Övning 57: Satsen ”En trebent stol är en stol” kan formaliseras som
∀x(P x ∧ Qx → Qx). Visa att denna sats är valid.
Exempel 68: Vi skall visa att satsen ∀x(P x ∨ Qx) → (∀P x ∨ ∀xQx) inte är
valid. Detta gör vi lämpligen genom att ange en tolkning t i vilken den är falsk.
Det räcker att ange en domän och hur P ch Q skall tolkas.
Till domän väljer vi {0, 1}.
P 7→ {0}.
Q 7→ {1}.
Tag nu en individkonstant (som inte förekommer i satsen), säg a.Det finns
två möjliga a-varianter av T : en där a 7→ 0 och en där a 7→ 1. I båda dessa är
P a ∨ Qa sann (varför?). Alltså är ∀x(P x ∨ Qx) sann i T . Men både ∀P x och
∀xQx är falska i T ty Qa är falsk i den första a-varianten, och P a är falsk i den
andra. Alltså är ∀P x ∨ ∀xQx falsk i T . Det följer att hela satsen är falsk i T .
B
Avgörbarhet
Att avgöra om en sats är logiskt sann är (ofta) mer komplicerat i predikatlogiken än i
satsogiken. I satslogiken finns en enkel metod som i princip alltid fungerar: skriv upp
satsens sanningsvärdestabell, och se efter om det bara förekommer s under huvudtecknet.
Det finns ju bara ändligt många sanningsvärdestilldleningar till en given sats. Men det
finns oändligt många tolkningar av en sats i predikatlogiken.
För att visa att en sats i det predikatlogiska språket är valid måste man visa något
om alla dess oändligt många tolkningar. Att gå igenom dessa en efter en är naturligtvis
en omöjlig uppgift. Ofta går det ändå (som i exempel 67); man kan p.g.a. satsens form
se att i en godtycklig tolkning måste den vara sann. Men det är inte säkert att en och
samma metod fungerar för olika satser.
Om man däremot vill visa att en sats inte är valid räcker det att hitta en enda
tolkning där satsen inte är sann. I vissa fall är det lätt att hitta en sådan tolkning, men
72
det är inte säkert att det finns någon metod som alltid fungerar för att hitta tolkningar.
Att man efter ihärdiga förösk inte lyckats hitta någon betyder inte att den inte finns.
Frågan om hur svårt det är att avgöra om en sats är logiskt sann kan ställas på följande sätt. I satslogiken finns det en mekanisk metod – d.v.s. en metod som en datamaskin
i princip kan utföra – att avgöra om en given sats är en tautologi eller inte (nämligen
tabellmetoden). Man säger därför att satslogiken är (mekaniskt) avgörbar. Frågan är nu:
Är predikatlogiken också mekaniskt avgörbar?
Svaret på denna fråga är nej. Med andra ord, det är inte bara, som vi ovan konstaterade, svårt att se hur en avgörningsmetod för predikatlogiken skulle se ut; det är
i princip omöjligt att konstruera en datamaskin som för en given sats (i det predikatlogiska språket) kan avgöra om den är valid eller inte. Detta resultat (som visades av
Church 1936) är en av den moderna logikens mer anmärkningsvärda upptäckter.
Övning 58:
a)
b)
c)
d)
Visa att satserna
∃xP x ∧ ∃xQx → ∃x(P x ∧ Qx)
∀x∃yRxy → ∃y∀xRxy
∃xP x → ∀xP x
(∀xP x → ∀xQx) → ∀x(P x → Qx)
inte är valida.
Övning 59:
a)
b)
c)
d)
Visa att satserna
∃x(P x ∧ Qx) → ∃xP x ∧ ∃xQx
∃x∀yRxy → ∀y∃xRxy
∀xP x → ∃xP x
∀x(P x → Qx) → (∀xP x → ∀xQx)
ärt valida.
Övning 60:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Avgör om följande satser är valida eller ej
∀x(P x → Qx) ∧ ∃xP x → ∃xQx
∃x(P x → Qx) ∧ ∃xP x → ∃xQx
∃x(P x → Qx) ∧ ∀xP x → ∃xQx
∀x(P x ∧ Qx) → ∀xP x ∧ ∃xQx
∀x∀y(P x ∧ ¬P y → x ̸= y)
Qa → ∃xQx
∃xQx → Qa
∃x(x = x)
∃x∃y(x = y)
∀x∃y(x ̸= y)
73
C
Predikatlogisk konsekvens
Betrakta följande slutledning:
Alla människor är dödliga
Sokrates är en människa
Alltså:
Sokrates är dödlig
Trots att denna slutledning är intuitivt riktig, är slutsatsen inte en satslogisk konsekvens av de två premisserna.
Vi skall införa ett begrepp predikatlogisk konsekvens och se att detta konsekvensbegrepp ’täcker’ även slutledningar av den typ som exemplifierats ovan.
Definition: Låt A1 , A2 , . . . , An och B vara satser i det predikatlogiska språket. Vi säger att B är en predikatlogisk konsekvens av A1 , A2 , . . . , An , om och
endast om det inte finns någon tolkning i vilken alla satserna A1 , A2 , . . . , An
är sanna och B falsk.
Av definitionen ovan följer att B är en predikatlogisk konsekvens av A1 , A2 , . . . , An ,
om och endast om A1 , A2 , . . . , An → B är predikatlogiskt sann.
Exempel 69: Slutledningen i inledningen ovan kan formaliseras på följande sätt:
(1)
(2)
∀x(P x → Qx)
Pa
(3)
Qa
Antag nu att de båda premisserna (1) och (2) är sanna i en viss tolkning
T . Att (1) är sann innebär enligt sanningsdefinitionen för allkvantifierade satser
att P a → Qa är sann i varje a-variant av T (a förekommer ju inte i satsen).
Speciellt är P a → Qa sann i T själv. Enligt vårt antagande är även P a sann i
T .Eftersom Qa är en satslogisk konsekvens av dessa båda satser, är alltså även
Qa sann i T .
Vi har visat att om (1) och (2) är sanna i en tolkning, så måste även (3) vara
det. Enligt definitionen innebär detta att (3) är en predikatlogisk konsekvens av
(1) och (2).
Exempel 70: Vi skall visa att följande slutledning inte är korrekt:
∀x(P x → Qx)
Qa
Pa
Detta gör vi genom att ange en tolkning i vilken premisserna är sanna och
slutsatsen falsk.
Till tolkningens domän väljer vi mängden av alla ryggradsdjur.
P 7→ {x : x är en kanin}
74
Q 7→ {x : x är ett däggdjur}
a 7→ Chico (som är en hund, närmare bestämt en golden retriever)
Eftersom alla kaniner är däggdjur, och Chico är ett däggdjur, så är premisserna sanna i tolkningen. Men, eftersom Chico inte är en kanin, är slutsatsen
falsk i tolkningen.
Övning 61: Avgör om den sista satsen är en konsekvens av de övriga
i följande fall:
a) ∀x(P x → Qx) , ∃xP x ; ∃xQx
b) ∀x(P x ∨ Qx) , ¬P a ; Qa
c) ∀x(P x ∨ Qx) , ∃x¬Qx , ∀x(Rx → ¬P x) ; ∃x¬Rx
d) ∃x(P x ∨ Qx) , ∀x(Qx → Rx) ; ∃xRx
e) ∀x¬Rxx , ∀x∀y∀z(Rxy ∧ Ryz → Rxz) ; ∃x∀y¬Rxy
75
Del IV
Logiska och andra formella
system
76
Kapitel 13
* Formella system
A
Semantisk analys av logiska begrepp
Hittills har vi analyserat begreppen nödvändigt sann och korrekt slutledning med utgångspunkt från intuitionerna
sann i alla möjliga världar
respektive
om premisserna är sanna så måste slutsatsen vara sann.
Problematiska begrepp som möjlig, värld och måste kunde eliminieras genom att vår
analys anävnde den exakt definierade relationen ’sann under en sanningsvärdestilldelning’ (för satslogik) respektive ’sann i en tolkning’ (för predikatlogik). Resultatet blev
(logisk sanning)
sann under varje sanningsvärdestilldelning
(tolkning)
(logisk konsekvens) i varje sanningsvärdestilldelning (tolkning)
som gör premisserna sanna är slutsatsen också
sann.
Eftersom sanningsbegreppet spelar en avgörande roll vid denna analys, kallar vi den
semantisk.
B
Syntaktisk analys av logiska begrepp
Vi skall i detta kapitel skissera en helt annan analys av begrepp som nödvändigt sann
och korrekt slutledning. Låt oss först betrakta slutledningar. Det finns en annan intution
än den semantiska om vad det är som gör en slutledning korrekt, nämligen
en slutledning är korrekt om den sker enligt vissa regler.
Här tänker vi oss alltså att det finns en given uppsättning slutledningsregler som är
sådan att de korrekta slutledningarna är precis de som fås genom att tillämpa dessa
regler ett (ändligt) antal gånger.
77
Exempel 71: En vanlig slutledningsregel är modus ponens:
A
A→B
B
Alltså: Givet premisser av formen A och A → B får vi enligt reglen dra slutsatsen
B. Regeln är uppenbart korrekt. Dessutom är den enkel; det verkar omöjligt att
’dela upp’ den i andra, ännu enklare regler.
En målsättning är nu att hitta en uppsättning sådana enkla regler som i exemplet
ovan med vars hjälp begreppet korrekt slutledning kan analyseras. I en sådan analys
förekommer inte sanningsbegreppet – endast regler som opererar på språkliuga uttryck.
Analysen kallas därför syntaktisk. En fördel med den syntaktiska analysen är att den
närmare ansluter sig itll hur vi faktiskt resonerar drar slutsatser, bevisar etc. än den
semantiska.
C
Regelstyrda aktiviteter och formella system
För att precisera dessa idéer skall vi använda oss av begreppet formellt system. Ett
formellt system är i princip en regeluppsättning som uppfyller vissa villkor.
Det finns många mänskliga aktiviteter som sker enligt regler: dra slutsatser, bevisa,
addera multiplicera, lösa andragradsekvationer, formulera satser på ett språk, översätta,
spela schack med mera. (Observera att man kan följa regler utan att vara medveten om
dem, t.ex. grammatiska regler i ett språk.)
Kanske är det t.o.m. så att vi tänker (och alltså talar) enligt vissa regler, Jämför med
datamaskiner: i den mån en datamaskin alls ’tänker’ är det klart att dess tänkande är
helt och hållet regelbestämt. Och i den mån våra hjärnor liknar (mycket komplicerade)
datamaskiner gäller samma sak för vårt eget tänkande. De regler det här gäller är förstås
av en annan karaktär än logikens slutledningsregler.
Fråga: På vilket sätt då?
Formella system är användbara instrument för analys av alla regelstyrda aktiviteter.
D
Regler
Vi ger ingen exakt definition av vad en regel är, men stipulerar att följande skall gälla:
1. En regel opererar på symboler, ord, satser etc., d.v.s. språkliga uttryck av något
slag. Låt oss kalla de språkliga uttryck som regler opererar på för formler.
2. En regel är mekanisk – tillämpandet av den skall kunna utföras av en (data)maskin.
Det skall inte krävas speciell förståelse, insikt, kreativitet för att följa en regel.
3. För att 2 skall kunna uppfyllas bestämmer vi att en regel endast tar hänsyn till
de språkliga uttryckens form – inte till deras eventuella betydelse.
78
4. En regel har ändligt många premisser och en slutsats (vi använder dessa ord även
när de uttryck regeln opererar på – formlerna – är t.ex. siffror och inte satser).
Den kan också sakna premisser – då kallas dess slutsats ett axiom.
E
Definition av formellt system
Vår definition gör inte anspråk på fullständig exakthet (en del detaljer utelämnas), men
däremot på begriplighet.
Definition:
Ett formellt system S består av två komponenter:
(A) Ett språk, med angivande av vilka uttryck på detta srpåk som är formler.
Normalt anges först språkets primitiva symboler, dess alfabet, och sedan
vilka kombinationer av primitiva symboler som är formler.
(B) En uppsättning regler som opererar på formlerna i språket.
Genom att upprepade gånger tillämpa reglerna på språkets formler får vi system
av formler som kallas härledningar i S. Mer exakt: Vi startar med vissa formler, Dessa
används som premisser vid regeltillämpningar. De slutsatser vi får används i sin tur som
premisser vid nya regeltillämpningar etc. Under härledningens lopp kan nya formler införas som premisser (d.v.s. utan att dessförrinnan ha förekommit som slutsatser). Det
kan också finnas regler som tillåter en att ’stryka’ premisser – formeln står kvar i härledningen men betrkats inte längre som en premiss. Till slut kommer vi till härledningens
sista steg (det skall alltid finnas ett sådant). Den formel vi dår får som slutsats kallas
också härledningens slutsats.
Man måste alltså skilja premisser och slutsats i en regeltillämpning från premisser och
slutsats i en härledning. Härledningens premisser är de formler som har en förekomst i
härledningen som inte är en slutsats vid en regeltillämpning och som inte ’strukits’ under
härledningens lopp. Härledningens slutsats är den formel som förekommer som slutsats
vid härledningens sista steg.
Observera att vi definierade axiom som slutsatser i regler som inte kräver några
premisser. Det innebär att ett axiom kan introduceras under en härledning, och användas
som en premiss vid en regeltillämpning, utan att räknas till härledningens premisser.
Vi skall se i exempel hur man mer precist (och enklare) kan specificera vad en härledning är. Ovanstående förklaring räcker dock för att göra två viktiga definitioner.
Definition:
1. En formel F är härledbar i S från formlerna F1 ,. . ., Fn , om det finns en
härledning i S med F1 ,. . ., Fn som premisser och F som slutsats.
2. En formel F är ett teorem i S, om det finns en härledning i S som saknar
premisser och som har F som slutsats (i en sådan härledning är alltså
de formler man startar med antingen axiom eller premisser som ’stryks’
under härledningens lopp).
79
Vi skall nu ge flera exempel på formella system.
F
Exempel 1: Addition
Låt oss göra ett formellt system som adderar, närmare bestämt ett i vilket teoremen
svarar mot alla sanna påståenden av typ m + n = k, där m, n, k är heltal större än 0.
Dessa tal betecknar vi med följder av 1:or: talet n betecknas av följden 111 . . . 1 bestående
av n stycken 1:or. Vi låter x, y, z beteckna godtyckliga (icke-tomma) ändliga följder av
1:or. Vårt system ser ut på följande sätt.
Alfabet: symbolerna P , E och 1.
Formler: alla uttryck av formen xP yEz.
Intuitivt skall xP yEz betyda att (antalet 1:or i) x plus (antalet 1:or i) y är lika
med (antalet 1:or i) z. Så 11P 111E11111 svarar mot det sanna påståendet att 2 + 3
= 5, medan 11P 11E111 svarar mot det falska påståendet att 2 + 2 = 3. Vi ger nu ett
regelsystem vars teorem är precis de formler som svarar mot sanna påståenden. Systemet
har ett axiom(schema) och en regel:
Axiom: Alla formler av formen xP 1Ex1.
xP yEz
Regel:
xP y1Ez1
En härledning i detta system är en följd av formler F1 , . . . , Fn sådan att varje Fi (i
mellan 1 och n) är antingen en premiss i härledningen eller ett axiom eller en slutsats
vid en tillämpning av regeln med en tidigare formel i följden som premiss.
Följande är en härledning med formeln 11P 111E11111 som slutsats:
11P 1E111,
11P 11E1111,
11P 111E11111,
(axiom)
(enligt regeln)
(enligt regeln).
Härledningen visar att formeln i fråga är ett teorem, eftersom inga premisser användes. Det är lätt att övertyga sig om att teoremen är precis de formler som svarar mot
sanna påståenden (gör det!).
Observera att det visserligen var intuitiva överväganden som vägledde oss vid valet
av språk och regler, men att dessa överväganden (om vad symbolerna betyder etc.) inte
spelar någon roll när systemet väl är formulerat. Man kan lära någon (t.ex. en maskin)
att använda systemet utan att på något sätt förklara avsikten med det. Det enda som
spelar roll för om ett uttryck är en formel, eller ett axiom, eller om regeln är korrekt
använd, är ju uttryckens form.
80
Övning 62:
a) Gör ett formellt system som adderar (i samma mening som ovan)
heltal som är större än eller lika med 0.
b) Gör ett formellt system som multiplicerar heltal större än 0.
G
Exempel 2: Satslogik
Nu presenterar vi ett formellt system som skall göra det vi talade om i avsnitt B, s. 77:
en syntaktisk analys av logisk sanning och konsekvens (i satslogiken).
Språket i detta system – med alfabet och formler – är helt enkelt satslogikens språk
(se kapitel 2 avsnitt G, s. 16), med den skillnaden att materiell ekvalens ↔ inte tas
med bland konnektiverna (det gör ju inget: A ↔ B kan betraktas som en förkortning av
(A → B) ∧ (B → A)).
Reglerna är avsedda att vara kodifierningar av enkla och naturliga slutledningsprinciper. För varje satslogiskt konnektiv finn (med ett undantag) två typer av regler: introduktionesregler (där slutsatsen men inte premisserna har konnektivet som huvudtecken)
och eliminationsregler (där (en av) premisserna men inte slutsatsen har konnektivet som
huvudtecken). Dessutom finns ett axiom(schema).
Introduktionsregler:
(∧)
Eliminationsregler:
A
B
A∧B
A∧B
A
A∧B
B
A
A
(→)
B
A→B
(∨)
A
A∨B
B
A∨B
A∨B
A
(¬)
81
A→B
B
C
B
A
B
C
C
¬A
Axiom: A ∨ ¬A
För negation tycks inte finnas någon naturlig introduktionsregel; det är därför axiomet (som ju är ’lagen om det uteslutna tredje’) behövs. Härledningar i detta system
betraktas enklast som träd, med premisserna i grentopparna och slutsatsen vid foten.
Detta förklaras bäst med exempel. Så är
A∧B
A∧B
A
B
B∧A
en härledning av B ∧ A från premissen A ∧ B, och
A∧B
A
A∧B
B
A→C
B → (C → D)
C→D
C
D
en härledning av D från premisserna A ∧ B, A → C och B → (C → D). I två av reglerna
finns överstrukna formler ovanför en premiss; det betyder att varje toppförekomst av
formeln i fråga i den del av trädet som slutar med premissen i fråga kan strykas (och
alltså inte längre räknas som en premiss i härledningen). Till exempel är
A
∧
B
A
A→C
(A ∧ B) → C
en härledning av (A ∧ B) → C från A → C, och
A
∨
B
A→C
C
C
(A ∨ B) → C
A
B
B→C
C
en härledning av (A ∨ B) → C från A → C och B → C. Axiomet kan användas
som premiss vid tillämpande av en härledningsregel, men räknas inte som premiss i
härledningen. Följande är t.ex. en härledning av A från ¬¬A:
A ∨ ¬A
¬A
A
A
82
¬¬A
A
Om man utökar ovanstående härledning med tillämpning av →-introduktion som
sista steg får man en härledning ¬¬A → A utan premisser; ¬¬A → A är alltså ett
teorem i systemet.
Med lite övning är det lätt att lära sig utföra härledningar i detta system. Det visar
sig att intuitiva slutledningsresonemang ofta enkelt kan översättas till härledningar i
systemet. Detta är ett slags empirisk evidens för att systemet är en lyckad analys av
vårt intuitiva begrepp ’korrekt slutledning’.
För att bedöma värdet av analysen kan vi jämföra den med vår tidigare semantiska
analys. Till att börja med är det klart att systemet endast tillåter logiska konsekvenser
av premisser att härledas från dessa, d.v.s.
N
Om B är härledbar från A1 , . . . , An i systemet så är B en logisk konsekvens (enligt kapitel 4 avsnitt C, s. 25) av A1 , . . . , An .
Detta följer av att slutsatserna i var och en av härledningsreglerna är en logisk
konsekvens av premisserna (verifiera detta!). Speciellt gäller att alla teorem i systemet
är tautologier.
Ett härledningssystem för en logik kallas sunt om
gäller för systemet. Systemet
kallas fullständigt om omvändningen också gäller, d.v.s. om
N
NN
Om är B en logisk konsekvens av A1 , . . . , An , så är B härledbar från
A1 , . . . , An .
Det visar sig att vårt system också är fullständigt. Resultat är inte trivialt och vi går
inte in på hur det visas. (Det visades, för ett annat satslogiskt system, första gången av
Post 1922. Det system vi beskrivit i detta exempel konstruerades av Gentzen 1934.)
Eftersom systemet är sunt och fullständigt kan vi konstatera följande. Våra två analyser av inutitiva logiska begrepp har, utgående från helt olika intuitioner (sanning resp.
regler), i efterhand visat sig leda till samma resultat: tautologierna i den ena analysen
är precis teoremen i den andra, och motsvarande för logisk konsekvens. Detta är förstås
ett indicium på att man i båda analyserna lyckats hitta precis ’rätt’ begrepp.
Man kan diskutera vilken av analyserna som är mest fundamental eller filosofiskt
intressant. I detta kompendium har vi betraktat den semantiska analysen som grundläggande och mest uppehållit oss vid denna. Somliga menar dock att det är analysen i
termer av regler man bör utgå ifrån.
Övning 63:
a) Visa att ¬¬A är härledbar från A (jfr härledningen av A från ¬¬A
ovan).
b) Formulera nägra tautologier och visa att de är teorem i systemet!
83
H
Exempel 3: Satslogik (igen)
Vi presenterar kort ett annat härledningssustem för satslogik. Språket är detsamma som
förut, men nu betraktar vi endast ¬ och → som primitva konnektiver (de övriga kan ju
definieras i termer av dessa två). Systemet har tre axiom(scheman) och en regel.
Axiom:
1. A → (B → A)
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
3. (¬B → ¬A) → ((¬B → A) → B)
Regel:
(MP) Modus ponens
Eftersom det finns få regler (med premisser) är det enklast att låta härledningar
i detta system (som i avsnitt F, s. 80) vara följder av formler A, . . . , An , där An är
härledningens slutsats och varje Ai (i mellan 1 och n) är axiom eller premisser eller
slutsatser vid tillämpning av modus ponens med tidigare formler i följden som premisser.
Detta system har inte samma egenskap som det förra att enkelt återge intuitiva
resonemang. Tvärtom har många enkla tautologier ganska icke-intuitiva härledningar,
som t.ex. följande härledning av A → A:
(a) (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A))
(b) A → ((A → A) → A)
(c) (A → (A → A)) → (A → A)
(d) A → (A → A)
(e) A → A
((a) är en instans av axiom 2 (kontrollera!), (b) är en instans av axiom (1), (c) följer
från (a) och (b) med (MP), (d) är en instans av axiom (1) och (e) följer från (c) och (d)
med (MP).)
Trots detta kan man visa att även detta system är sunt och fullständigt, vilket
innebär att om B är härledbar från A1 , . . . , An i det förra systemet, så är B härledbar
från A1 , . . . , An även i detta system och vice versa.
Vilken typ av system man väljer beror på vad man vill använda det till. Systemet
i detta exempel är inte bra som (och är inte avsett att vara) analys av vårt faktiska
slutledande. Däremot är det, p.g.a. det lilla antalet axiom och regler, förhållandevis lätt
att visa saker om detta system, vilket är ett skäl till att logiker ofta föredrar det framför
systemet i avsnitt G, s. 81.
84
I
Exempel 4: Predikatlogik
Genom att utöka språket i föregående exempel till predikatlogikens språk, och genom
att lägga till axiom och regler för kvantifikatorer till systemet i avsnitt G eller H kan
man få två motsvarande system för predikatlogik. Det är dessa system som i första hand
är intressanta i logiken, men vi går inte här in på hur de ser ut.
Det visar sig att även dessa system är fullständiga (nu med avseende på predikatlogisk
konsekvens; att de är sunda är som förut självklart). Detta resultat, som är mycket
djupare för predikatlogik än för satslogik, visades först av Gödel 1930.
J
Exempel 5: Generativ grammatik
En uppgift som lingvister alltsedan Chomsky sysslat med är att, för ett givet naturligt
språk, göra en grammatik som genererar precis de välformade satserna på detta språk.
Ett sätt att göra detta vore att konstruera ett formellt system, vars alfabet utgörs av
t.ex. språkets ord (+ ev. andra symboler), och vars teorem är precis de följder av ord
som utgör välformulerade satser på språket. Detta är lätt att åstadkomma för vissa
rudimentära delar av t.ex. svenska.
Exempel 72: Låt alfabetet bestå av orden ”simmar”, ”seglar”, ”fiskarna”, ”båtarna”, ”stora”, ”de” samt av symbolerna q1 , q2 , . . . , q5 . De svenska orden kallar
vi slutsymboler, de övriga hjälpsymboler. Låt formlerna vara alla ändliga följder
(även den tomma följden medräknas) av symboler i alfabetet. De formler som
bara innehåller slutsymboler kallas rena. Vi gör ett system vars rena teorem är
välformade satser på svenska.
Axiom: q1
Regler:
q1
q1
deq2
fiskarnaq4
q3
q4
simmar
båtarnaq5
q1
båtarnaq5
q5
seglar
q2
storaq3
q3
storaq3
q3
fiskarnaq4
Reglerna tillämpas så här: Ett uttryck av typ Xq3 Y, där X och Y är (eventuellt
tomma) formler, kan med den femte regeln skrivas om som Xstoraq3 Y etc.
De rena teoremen i detta system är (bortsett från att orden står utan mellanrum) satserna ”fiskarna simmar”, ”båtarna seglar”, ”de stora fiskarna simmar”, ”de stora stora
båtarna seglar” etc. (Kontrollera!) Det finns oändligt många rena teorem, vilket beror
på den femte reglen, som ju kan tillämpas godtyckligt många gånger.
Reglerna i ovanstående exempel är ycket enkla: högst en hjälpsymbol förekommer i
slutsatsen och dessutom alltid till höger om en slutsymbol. Det medför restriktioner på
vilka slutteorem som kan härledas. Om t.ex. alfabetet består av symbolerna a och b, kan
man visa att ingen grammatik (formellt system) av denna typ har formlerna
ab, aabb, aaabbb, . . .
85
och inga andra som slutteorem. Med mer generella regler kan fler satstyper genereras.
Föjande system genererar precis uttrycken ovan:
Axiom: q
Regler:
q
ab
q
aqb
Exempel 73: Följande typ av system är vanliga i lingvistiska sammanhang.
Hjälpsymboler: S, NP, VP, A, V, N.
Symbolerna står för Sentence, Noun phrase, Verb phrase, Article, Verb,
Noun respektive. Vilka svenska ord som kan vara slutsymboler framgår av
reglerna nedan.
Axiom: S
Regler:
S
VP
NP
V NP
AN
NP VP
A
en
V
V
etc.
äter
jagar
N
N
etc.
råtta
katt
Här kan man som slutteorem få ”en katt jagar en råtta”, ”en råtta äter en råtta” etc.
En härledning av den första av dessa satser kan åskådliggöras i diagrammet
S
NP
A
N
V
NP
en katt jagar A
N
en råtta
Reglerna kan utökas så att man kan återge genusskillnader, pluralformer etc. Diagrammet analyserar satsen i s.k. (omedelbara) konstituenter: ”en råtta” är en konstituent
i satsen, men ”katt jagar” är det inte.
Man kan fråga vilken typ av regler (om det finns någon) som är adekvat för att
generera alla satser på t.ex. svenska. Det är lätt att se att den typ som exemplifieras
i det första exemplet ovan, s. 85, inte duger (idén här är densamma som används för
86
att visa att uttrycken av formen ab, aabb, aaabbb, … inte kan genereras med denna typ
av regler). Inte heller regler av den stort som finns i det andra exemplet (s. 86) anses
av lingvister vara tillärckliga .I Chomskys första modell för en grammatik för naturliga
språk genererar dessa regler inte färdiga satser utan en sorts preliminära satsstrukturer
(ibland kallade djupstrukturer). Med hjälp av s.k. transformationer omvandlades dessa
sedan till riktiga satser (ytstrukturer). Denna modell har sedan, av Chomsky och andra,
ändrats på flera punkter. Frågan om hur en generativ grammatik för ett naturligt språk
ser ut är ännu långt ifrån löst.
K
Avgörbarhet
Trots att formella system är enkla syntaktiska objekt finns det intressanta frågor att
ställa om dem. En av dessa är avgörbarhetsproblemet: Givet ett formellt system S,
finns det en rent mekanisk metod (en metod som kan utföras av en (data)maskin) som,
applicerad på en godtycklig formel i S:s språk, avgör om formeln är ett teorem eller inte?
Om det finns en sådan metod kallas S avgörbart, i annat fall oavgörbart. Följer det inte
något om avgörbarhet av själva definitionen av formella system? Vi krävde att reglerna
sklule kunna tillämpas av en maskin, och en underförstådd förutsättning för det var att
maskinen kan avgöra om ett uttryck bestående av symboler ur alfabetet är en formel
eller inte. Härav följer att problemet att bestämma om ett system (en följd eller ett träd)
av uttryck i S är en härledning eller inte är avgörbart: maskinen behöver bara gå igenom
uttrycken (de är ändligt många) och avgöra om de är formler och om reglerna är rätt
tillämpade.
Med hjälp av detta kan man visa
✠
Givet ett formellt system S finns en maskin som genererar alla teorem
i S.
(Maskinen blir förstås aldrig ’färdig’ om det, vilket det gör i alla intressanta fall,
finns oändligt många teorem; vad vi menar är att varje teorem produceras av maskinen
efter ett ändligt antal steg.)
Här är en skiss till beviset för ✠: Det räcker att generera alla härledningar utan
premisser i S. (Vi antar att härledningar i S är följder.) Till att börja med finns en maskin
som genererar alla formler i S. Av den gör vi en maskin som genererar alla härledningar
utan premisser som består av en formel (stryk alla formler som inte är axiom). På samma
sätt, om vi har en maskin som genererar alla härledningar utan premisser som består
av n formler, så kan vi göra en maskin som genererar alla härledningar utan premisser
bestående av n + 1 formler (observera att om F1 ,. . ., Fn+1 är en härledning, så är F1 ,. . .,
Fn också en härledning). Det följer att det för varje n finns en maskin som genererar
alla härledningar utan premisser som består av n formler. Slutligen kan dessa maskiner
sättas ihop till en enda som genererar alla härledningar utan premisser i S. (Denna
maskin bygger på samma idé som uppräkningen i exempel 37 på s. 45, kapitel 7.)
Vi drar följande slutsats av ✠: Om en formel faktiskt är ett teorem i S, så kan detta
påvisas efter ett ändligt antal steg av maskinen i ✠. Men om formlen inte är ett teorem,
87
kan detta faktum inte påvisas av maskinen i S, och det är inte säkert att det finns något
annat sätt att påvisa det heller.
Låt oss se på våra exempel.
Additionssystemet i Exempel 1 (avsnitt F ovan, s. 80) är avgörbart: för att avgöra
om en formel är ett teorem räcker det att ’översätta’ den till ett påstående av typen
m + n = k och sedan avgöra om detta påstående är sant eller inte (det senare kan enkel
räknemaskin göra).
De satslogiska systemen i Exempel 2 och 3 (avsnitt G och H, s. G och H) är också
avgörbara. Detta är svårare att se än i Exempel 1, men det följer av att systemen är
(sunda och ) fullständiga. att avgöra om en formel är ett teorem är detsamma som att
avgöra om den är en tautologi, och det senare kan vi göra med tabellmetoden.
För de predikatlogiska systemen (Exempel 4, avsnitt I, s. 85) gäller också – p.g.a. deras fullständighet – att det räcker att avgöra om en formel är en logisk sanning eller inte.
Men vi har tidigare nämnt att detta problem, och därmed de predikatlogiska systemen,
är oavgörbara (se kapitel 12 avsnitt B, s. 72). Oavgörbarhetsresultat har också visats
för vissa formella system som använder predikatlogik, t.ex. vissa matematiska teorier.
Dessa resultat förefaller ha intressanta filosofiska konsekvenser. De krossar en gammal
fröm som många filosofer och matematiker – bl.a. Leibniz – har haft: att konstruera en
maskin eller kalkylator som i princip (givet tillräckligt mycket tid, papper m.m.) kunde
lösa alla matematiska problem. Inte ens det ’enkla’ problemet att avgöra om ett visst
påstående följer logiskt ur vissa andra kan lösas av en maskin. Det tycks krävas någon
form av uppfinningsrikedom eller ’kreativitet’ även i detta fall.
Vad slutligen beträffar system som genererar välformade satser i ett språk (avsnitt
J ovan, s. 85), är det så att vissa naturliga villkor man brukar lägga på sådana system
medför att de blir avgörbara. Däremot finns det andra frågeställningar kring dessa system
som är oavgörbara, t.ex. problemet att avgöra om två system S1 och S2 genererar samma
satser.
Diskussionen i detta avsnitt har med nödvändighet varit lite vag och svävande. Vad
som behövs är en precisering av innebörden hos ord som ”mekanisk metod” och ”maskin”.
Speciellt är detta nödvändigt om man vill visa att ett visst problem inte är avgörbart.
Det finns emellertid fullt tillfredsställande sådana preciseringar. Dessa frågor behandlas
inom den gren av logiken som kallas teorin för rekursiva funktioner eller rekursionsteori.
88
Kapitel 14
Andra logiker
A
Logisk sanning och logisk form
Studiet av begreppet logisk sanning har tidigare nämnts som ett viktigt motiv för att
syssla med logik. Ett av de mest intressanta försöken någonsin att kraktärisera begreppet
logisk sanning gjordes av den böhmiske filosofen och matematikern Bernard Bolzano
(1781–1848). Den följande framställningen är starkt inspirerad av hans tillvägagångssätt.
Vi utgår från tanken att en logisk sanning är en sats som är sann på grund av
sin logiska form. Till att börja med gör vi oss av med ”på grund av” genom följande
formulering:
En sats S är logiskt sann om och endast om alla satser med samma logiska
form som S är sanna.
Nästa steg bli att förklara vad det innebär att två satser har samma logiska form. Detta
gör vi med hjälp av en distinktion mellan logiska och ickelogiska komponenter i satser.
Om vi i en sats byter ut en logisk komponent får vi en sats med en annan logisk form.
Om vi en i en sats byter ut en ickelogisk komponent får vi allmänhet en sats med samma
logiska form som den ursprungliga. För att slippa gardera oss med ett ”i allmänhet” får
vi formulera oss lite omständligare.
En tillåten substitution är en där vi i en sats byter ut samtliga förekomster av
en ickelogisk komponent mot förekomster av en annan ickelogisk komponent
som saknar förekomster i den ursprungliga satsen.
(Tanken är alltså att inbördes lika komponenter i den gamla satsen skall motsvaras
av inbördes lika komponenter i den nya, och inbördes olika komponenter i den gamla
satsen av inbördes olika komponenter i den nya.) Vi kan ge följande förklaring av vad
det innebär att satser har samma logiska form:
Två satser har samma logiska form om och endast om den ena kan erhållas
ur den andra genom tillåtna substitutioner.
89
Övning 64: Visa att relationen S har samma logiska form som T är
en ekvivalensrelation.
Vårt Bolzanoinspirerade försök att förklara begreppet logisk sanning gick alltså ut
på att föra tillbaka detta begrepp på begreppen ’vanlig’ sanning och logisk form, och
att förklara begreppet logisk form med hjälp av substitution och en distinktion mellan
logiska och ickelogiska satskomponenter. Något närmare besked om var gränsen mellan
logiska och ickelogiska komponenter går har vi dock inte givit, och därmed inte heller
någon entydig bestämning av begreppet logisk sanning. Det begrepp logisk sanning vi
fått är relativiserat till den gränsdragning mellan logiska och ickelogiska satskomponenter vi gör. Vi kan säga att varje sådan gränsdragning mellan logiska och ickelogiska
komponenter ger upphov till en särskild logik (och ett därtill hörande begrepp logisk
sanning).
Exempel 74: Vi utnämner de vanliga konnektiven till logiska komponenter och
de satslogiskt atomära satserna till ickelogiska satskomponenter. Det är lätt att
konstatera att den logik vi då får är vanlig satslogik och att det vanliga tautologibegreppet sammanfaller med vårt nya ’bolzanoska’ begrepp logisk sanning
i detta fall. Alla tillåtna substitutionsinstanser av en tautologi är ju själva tautologier och därmed sanna.Varje tautologi är alltså logiskt sann även i den nya
meningen. Om en sats inte är en tautologi finns någon sanningsvärdestilldelning
till dess atomära delsatser som gör den falsk. Genom att välja en substitutionsinstans för vilken denna sanningsvärdestilldelning är riktig ser vi att satsen inte
heller är logiskt sann i den nya meningen.
Övning 65:
Övertyga dig om att resonemanget i exempel 74 är riktigt.
Vi har sett ovan att om vi betraktar de vanliga konnektiven som logiska komponenter
så får vi det vanliga begreppet satslogisk sanning. men vad händer om vi väljer att
betrakta ytterligare några satsoperatorer som logiska komponenter? Man kan visa att
så länge vi håller oss till sanningsfunktionella operatorer händer inget av intresse. (Alla
sanningsfunktionella operatorer är definierbara med hjälp av de vanliga konnektiven.
Detta innebär att för varje sats som är formulerad med hjälp av sanningsfunktionella
oeratoruttryck finns en ekvivalent sats – d.v.s. en sats med sannningsvärdestabell –
formulerad med hjälp av de vanliga konnektiven. Speciellt gäller detta förstås om satsen
råkar vara en tautologi.) Vill vi få en icketrivial utvidgning av satslogiken måste vi
tydligen betrakta även satsoperatorer som inte är sanningsfunktionella.
90
B
Modallogik
De vanliga modaloperatorerna är ”Det är nödvändigt att”, ”Det är möjligt att” och ”Det
är omöjligt att”. Dessa är enställiga satsoperatorer liksom negationsoperatorn. Vi inför
symbolerna 2, 3 resp. △ för dessa operatorer, och utvidgar vårt satslogiska språk till
att omfatta även uttryck bildade med hjälp av dem. Denna logik kallas modallogik.
Dessa nya operatorer är inte sanningsfunktionella, men vissa samband råder intuitivt
mellan sanningsvärdet hos en sats och det hos resultatet av att applicera en modaloperator på satsen. Det verkar t.ex. klart att om A är sann, så är 3A sann och △A falsk,
medan 2A kan vara såväl sann som falsk. Om i stället A är falsk följer att 2A är
falsk, men ingenting om sanningsvärdena hos 3A och △A. (Man kan uttrycka detta
som att modaloperatorerna är partiellt sanningsfunktionella.) Dessa observationer ger
oss omdelebart tre kandidater toill modallogiska sanningar, nämligen:
A → 3A, A → ¬△A och 2A → A
som inte är reducerbara till ’vanliga’ satslogiska sanningar. Vidare finns det samband
mellan de olika modaloperatorerna, t.ex.
2A ↔ △¬A, △A ↔ ¬3A och 3A ↔ ¬2¬A
som inte heller är reducerbara till tautologier. (P.g.a. dessa samband brukar man säga
att modaloperatorerna är definierbara i termer av varandra med hjälp av negation. I
många modallogiska system har man därför nöjt sig med att utvidga det satslogiska
språket med en enda modaloperator.)
Så långt verkar ju allt OK. Genom att betrakta en något större klass av satsoperatorer som logiska komponenter har vi nu fått en icketrivial utvidgning av klassen av
logiska sanningar. Problemet är emellertid att man inte vet (eller kan bestämma sig
för) hur stor denna utvidgning är. Det finns med andra ord ingen entydigt bestämd, av
alla erkänd gräns kring klassen av modallogiska sanningar. Alla (nästan) är visserligen
överens om att t.ex. de ovan angivna exemplen hör dit, men frågan är öppen när det
gäller satser som
A → 23A,
3A → 23A, 32A → 2A och 2A → 22A.
Det finns ganska många (på allvar framförda) förslag på hur klassen av modallogiska
sanningar skall avgränsas. Detta kan bero på att de vardagsspråkliga modala operatoruttrycken har ganska många (men näraliggande) betydelser och att dessa betydelsenyanser
blivit uppenbara först vid arbetet med att skapa en modallogik. En annan möjlighet är
naturligtvis att det helt enkelt inte finns något på en gång naturligt och välbestämt
begrepp modallogisk sanning.
Dessa svårigheter till trots har modallogik studerats intuitivt sedan mitten av 1900talet, både syntaktiskt och semantiskt. På den syntaktiska sidan har man konstruerat ett
stort antal formella system för modallogik och jämfört deras egenskaper. På den semantiska sidan gäller det att specificera sanningsrelationen, d.v.s. att hitta en motsvarighet
till satslogikens sanningsvärdestilldelningar. Detta kan man göra (s.k. Kripke-semantik)
genom att utgå från intutitionen
91
nödvändigt sann — sann i alla möjliga världar.
C
Andra satslogiska system
Det har även gjorts ett flertal försök att skapa en s.k. deontisk logik genom att utvidga
satslogiken med deontiska satsoperatorer. Vardagsspråkliga deontiska satsoperatorer är
uttryck av typen ”Det är förbjudet att (åstadkomma att)”, ”Det är tillåtet att (göra
så att)” och ”Det är obligatoriskt att (se till att)”, som vi kan symbolisera med F , T
resp. O. Exempel på satser som kan formuleras med hjälp av sådana operatorer och som
ansetts ah karaktären av logiska sanningar (av åtminstone några filosofer) är:
F A ↔ O¬A,
T A ↔ ¬O¬A,
O(A ∧ B) ↔ OA ∧ OB,
¬(OA ∧ O¬A).
(A → B) ∧ F B → F A,
En annan typ av satsoperatorer som varit föremål för intresse från filosofiskt–logiskt
håll är s.k. epistemiska operatorer, d.v.s. uttryck av typen ”Jaakko vet att”, ”Risto tror
att” etc. Man har vidare studerat tidslogiker, i vilka man utnyttjar operatorer av typen
”Det har inträffat att”, ”Det kommer att inträffa att” etc.
Övning 66: Formulera några förslag till logiska sanningar i epistemisk
logik och tidslogik!
D
Predikatlogiska system
Genom att utöver de satslogiksa konnektiven betrakta även all- och existenskvantifikatorer samt identitetssymbolen som logiska satskomponeneter, och som ickelogiska komponenter räkna predikat (andra än identitetssymbolen), individrefererande uttryck och
vissa (predikatlogisk atomära) satser, kan även predikatlogisk sanningses som ett specialfall av det ’bolzanoska’ begreppet logisk sanning. Eftersom vi i det predikatlogiska
fallet har mer än en typ av ickelogiska komponenter, blir det lite besvärligare att ange
vad som är en tillåten substitution (t.ex. får predikat av en viss ställighet bara bytas ut
mot andra predikat av samma ställighet o.s.v.), och vi avstår därför från att genomföra
detta i detalj.
Liksom i det satslogiska fallet kan vi intressera oss för vad som händer om vi utökar
listan av logiska komponenter Förslag på rimliga kandidater att betrakta som logiska
är (förutom t.ex. de tidigare berörda modal satsoperatorerna) kvantifikatoruttryck som
”Det finns oändligt många” (∃∞ ), ”Det finns (högst) ändligt många” (∃<∞ ), ”De flesta”
(F ), ”Det finns fler x än y” (F ler x, y) m.fl.
Eempel på tänkbara logiska sanningar i på detta sätt utökade predikatlogiska system
är
92
∀xP x → F xP x
F xP x → ∃xP x
∃∞ xP x ∧ ∃<∞ xQx → F ler x, y(P x, Qy)
∃∞ x(P x ∨ Qx) → ∃∞ xP x ∨ ∃∞ xQx
∃∞ xP x ∧ ∃<∞ x¬P x → F xP x
Fråga: Verkar följande formler intuitivt giltiga?
F xP x ∧ F xQx → ∃x(P x ∧ Qx)
F xP x ∧ F xQx → F x(P x ∧ Qx)
F xF yP xy → ∀x∃yP xy
F xF yP xy → ∃x∀yP xy
93
Sakregister
abstraktionsprincipen, 31
allkvantifikator, 54
assymetrisk, 38
atomär formel
i predikatlogik, 54
i satslogik, 9
atomär sats
i predikatlogik, 50, 53
i satslogik, 9
avgörbarhet, 73, 87
axiom, 79
begränsad tolkning, 70
bijektion, 41
binär relation, 38
Bolzano, Bernhard, 89
bunden variabelförekomst, 57
Cantor, Georg, 43
Cantors sats, 47
delmängd, 33
äkta, 33
delmängdsaxiomet, 32
deontisk logik, 92
disjunktion, 13
domän, 63
ekvivalensrelation, 39
elementrelationen, 30
en–entydig, 41
epistemisk logik, 92
existenskvantifikator, 55
exklusiv disjunktion, 14
extension
till egenskaper, 31
till relationer, 37
extensionalitetsprincipen, 30
formellt system, 79
för addition, 80
för generativ grammatik, 85
för satslogik, 81, 84
Freges princip, 63
fri variabel, 57
fri variabelförekomst, 57
fullständighet, 83
funktion, 41
generativ grammatik, 85
huvudtecken, 17
härledning, 79
icke-logisk konstant, 56, 89
identitetssymbol, 53
individkonstant, 50, 53
individvariabel, 51, 54
injektiv, 41
inklusiv disjunktion, 14
intransitiv, 39
irreflexiv, 38
konjunktion, 12
konnektiv, 8
kontingent sats, 24
kontradiktion, 24
korrekt slutledning, 77
kvantifikator, 54, 55
kvantifikatorförekomst, 57
kvantifikatorräckvidd, 57
kvantifikatoruttryck, 50
94
liktalig, 44
logisk form, 9, 89
logisk konsekvens, allmänt, 9
logisk konstant, 9, 56, 89
logisk sanning, allmänt, 9, 89
materiell ekvivalens, 15
materiell implikation, 14
mekaniskt avgörbar, 73
modallogik, 91
modus ponens, 78
molekylär sats, 9
i predikatlogik, 53
i satslogik, 9
mängder, allmänt, 29
namnfullständig tolkning, 64
negation, 11
ordnat par, 36
ordningsrelation, sträng, 39
predikat, 50, 53
ställighet hos, 50, 53
predikatlogisk form, 58
predikatlogisk formel, 56
predikatlogisk konsekvens, 74
predikatlogisk sats, 57
predikatlogiska symbol, 55
predikatlogiska system, 92
reflexiv, 38
Russells paradox, 32
sanningsdefinition
för godtyckliga tolkningar, 69
för namnfullständiga tolkningar, 68
sanningsfunktionell operator, 7
sanningsvillkor (predikatlogik)
för atomära satser, 64
för kvantifierade satser, 66, 69
för molekylära satser, 66
sanningsvärdestabell, 20
sanningsvärdestilldelning, 20
satslogisk analys, 9
satslogisk ekvivalens, 26
satslogisk formel, 16
satslogisk konsekvens, 24
satslogisk sanning, 24
satslogiska symboler, 16
satslogiska system, 91, 92
satsoperator, 8
satsschema, 51
satssymboler, 11
semantisk analys, 77
slutledningsregler, 77
snitt, 34
sträng ordningsrelation, 39
ställighet hos predikat, 50, 53
sundhet, 83
surjektiv, 41
symmetrisk, 38
syntaktisk analys, 77
tautologi, 23
teorem, 79
tidslogik, 92
tolkning, 63
namnfullständig, 64
tomma mängden, 33
transitiv, 39
union, 34
uppräknelig, 44
valid, 71
variant av en tolkning, 69
överuppräknelig, 46
95
Lista över införda symboler
¬ , 11
∧ , 12
∨ , 14
→ , 14
↔ , 15
∈ , 30
∈
/ , 30
⊂ , 33
⊈ , 33
∅ , 33
∪ , 34
∩ , 34
f (x) = y , 41
= , 53
∀ , 54
∃ , 55
7→ , 65
96