Umeå Universitet
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
PAB
Envariabelanalys 2, ht-2016
Definitioner som skall kunnas
1. Definition 2, sid. 300, av över- och undersumma. Det ingår också att kunna tala om vad
P, ∆xi , f (li ) och f (ui ) betecknar och att kunna rita en figur som illustrerar hur man kan se
på över- och undersummorna som areor med tecken, se fig. 5.11.
2. Definition 3, sid. 302, av integrerbar funktion och bestämd integral.
3. Definition 2, sid. 499, av gränsvärde av en talföljd.
4. Definition 3, sid. 505, av konvergens och summa av en serie. Även känna till att sn =
n
X
aj
j=1
kallas n−te partialsumman av serien
∞
X
aj .
j=1
5. Definition 4, sid. 505, av geometrisk serie samt känna till att n−te partialsumman av
∞
n
X
X
1 − rn
ark−1 är sn =
ark−1 = a + ar + ar2 + ar3 + · · · + arn−1 = a
, då r 6= 1 . Dess1−r
k=1
k=1
∞
X
a
utom känna till att den geometriska serien
ark−1 konvergerar mot summan s =
1−r
k=1
om |r| < 1 och divergerar om |r| ≥ 1.
Satser med bevis som skall kunnas
1. Sats 4, sid 308. Medelvärdessatsen för integraler. Beviset står omedelbart före satsen.
2. Sats 5, sid. 311. Integralkalkylens huvudsats.
Notera att satsen består av två delar. I den
Z x
första visas att, om man definierar F (x) =
f (t) dt så gäller F 0 (x) = f (x). I den andra visas
a
Z b
att,
f (x) dx = G(b) − G(a), där G är en godtycklig funktion med G0 (x) = f (x).
a
3. Sats 8, sid. 511. Integraltestet för positiva serier. Ilustrera beviset som i fig. 9.4.
4. Sats 9, sid 514. Jämförelsetestet för positiva serier. I beviset hänvisas till sats 6. Istället
för att bara hänvisa till den satsen bör man också skriva ut vad satsen säger d.v.s., att en
positiv serie är konvergent om och endast om partialsummorna är uppåt begränsade.
5. Sats 13, sid. 521. Om absolutkonvergens. En absolutkonvergent serie är konvergent.
6. Sats 14, sid. 522.Om alternerande serier. Se också sats 15 som är mycket användbar och
vars bevis, (behöver ej kunnas), lätt följer av beviset för sats 14.
7. Sats 17, sid. 528. Om konvergens av en potensserie. En potensserie
∞
X
n=0
an (x − c)n kon-
vergerar antingen bara i punkten x = c eller så finns det ett tal R, 0 < R ≤ ∞, så att serien
konvergerar om |x−c| < R och divergerar om |x−c| > R. Man skall också känna till begreppen
konvergensintervall och konvergensradie.
