Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 3
Innehåll: Klassisk geometri I – Kongruens
Några satser
Kapitel P.0-P.3
Med hjälp av dessa axiom och definitioner kan vi nu definiera ett antal satser:
1.
2.
3.
4.
Lite historik
Geometrins grundstruktur
Några satser
√
Varför är 2 irrationellt?
Efter dagens föreläsning måste du kunna
- kunna redogöra för hur en matematisk teori är uppbyggd
- genomföra enkla bevis inom klassisk geometri
- vad ett motsägelsebevis är
Historik
- Geometri = jordmätning (alltså lantmäteri)
- Grekerna utvecklade en (världsfrånvänd) teori
- Den sammanfattades i Euklides’ (300-260 f Kr) Elementa i 13 böcker
(467 satser) på ett systematiskt sätt som bildat modell för matematisk teoribyggnad
- Tillät√endast passare och linjal (godtyckligt, kopplat till problem
med 2)
Geometrins grundstruktur
- Utgår ifrån punkter och linjer – odefinierade grundbegrepp
- Om dessa formuleras definitioner, axiom och postulat
- Genom att använda de senare formuleras och bevisas satser. Beviset
för en sats får referera till en tidigare, bevisad, sats.
Redovisningsuppgift 1 handlar om att genomföra ett geometriskt
resonemang och kräver
- att du använder det matematiska språket korrekt
- logiken är den ovanstående (“det syns” är inget argument!)
Överblick av teorin - för detaljer: läs geometriboken!
Efter inledande diskussion om olika sorters vinklar formuleras och
bevisas två satser:
Sats 3: Vinkelsumman i en triangel är 180◦
Sats 4: Yttervinkelsatsen
Sats 5: En romb är en parallellogram
Sats 6: (Parallellogramsatsen) I ett parallellogram är motstående sidor och vinklar lika stora
Sats 7: (Satsen om likbent triangel) Basvinklarna i en likbent triangel
är lika stora
För exakt formulering och bevis – se boken (eller den faktiska föreläsningen). När du hört/sett beviset en gång – diskutera det med en
kamrat!
Varför är
√
2 irrationellt?
- Historiskt var denna observation en chock: det finns tal som inte
har ett “enkelt” förhållande till varandra (det finns ingen minsta
måttstock man kan mäta
√ båda i)
- För Pythagoras var 2 längden av diagonalen i enhetskvadraten alltså något vi kan mäta.
- Beviset är ett exempel på ett motsägelsebevis - en viktig bevisteknik i
matematiken!
Innan beviset: fundera på följande. Finns det något heltal som är
kvadraten på ett heltal, jämnt men inte delbart med 4?
√
Bevis. Antag att 2 = p/q där p och q inte har någon gemensam
faktor. Motsägelsen framgår då av nedanstående implikationer:
√
p = q 2 ⇒ p2 = 2q2 ⇒ p = 2r ⇒ 4r2 = 2q2 ⇒ q2 = 2r2 ⇒ q = 2s.
Alltså antagandet medför att p och q måste båda vara jämna, vilket
motsäger antagandet att p och q inte har någon gemensam faktor! 2
Anmärkning För att beviset ska bli fullständigt måste man veta att det
bara går att primtalsuppdela ett heltal på ett sätt, en sats som kallas
aritmetikens fundamentalsats.
Att fundera på till nästa gång
Sats 1: Vertikalvinklar är lika stora
Sats 2: Två linjer är parallella omm alternatvinklarna är lika stora
Anmärkning omm = om och endast om
Anmärkning Parallellaxiomet (Axiom 2) är speciellt bland axiomen. I
det finns en fråga: givet en rät linje och en punkt utanför den, hur
många räta linjer kan vi dra genom punkten som är parallella med
den givna linjen? Det uppenbara svaret en är egentligen ett axiom
som definierar just plan geometri. (Fundera på sfärisk geometri - vad
gäller där?)
Definition (Kongruens) Två trianglar är kongruenta om motsvarande sidor och vinklar är lika stora.
Axiom 3: Två trianglar är kongruenta om något av fallen nedan är
uppfyllt:
SVS: två sidor och mellanliggande vinkel är lika stora
SSS: alla sidor är lika stora
VSV: två vinklar och mellanliggande sida är lika stora.
Anmärkning Tänk efter vad som gäller för fallet VVV!!!
√
√
- Är 3 irrationellt? Varför fungerar inte beviset för 4?
- Visa att (n2 − m2 )2 + (2nm)2 = (n2 + m2 )2 och använd den till att
hitta s.k. Pythagoreanska tripletter, vilka är heltal ( a, b, c) som uppfyller Pythagoras sats.
