Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 1
√
Bevis. Antag att 2 = p/q där p och q inte har någon gemensam
faktor. Motsägelsen framgår då av nedanstående implikationer:
Innehåll: Grundläggande strukturer
Kapitel 1.1-1.4, P.1-P.2 (t.o.m. sid 14), P.3
√
p = q 2 ⇒ p2 = 2q2 ⇒ p = 2r ⇒ 4r2 = 2q2 ⇒ q2 = 2r2 ⇒ q = 2s.
Efter dagens föreläsning måste du
- kunna skriva upp ordentliga matematiska resonemang med användande av =, ≥, ≤, ⇔, ⇒ m.fl. korrekt!
- veta vad ett motsägelsebevis är för något
- känna till den klassiska geometrins grundstruktur
- kunna kongruensfallen
- kunna två bevis för Pythagoras’ sats som endast använder kongruens
Alltså antagandet medför att p och q måste båda vara jämna, vilket
motsäger antagandet att p och q inte har någon gemensam faktor! 2
Anmärkning För att beviset ska bli fullständigt måste man veta att det
bara går att primtalsuppdela ett heltal på ett sätt, en sats som kallas
aritmetikens fundamentalsats.
Att beskriva logiken
Geometri
-
Historik
Storheter som kan omvandlas till tal (t.ex. funktionsuttryck)
Påståenden: är sanna eller falska utsagor om storheter
Likheter och olikheter relaterar storheter
Implikationspilar (⇒, ⇐, ⇔) relaterar påståenden
Exempel Vad innebär logiken i
(
x+y
=2
x − 2y = 5
(
⇔
x+y
−3y
=2
=3
(
⇔
x=3
y = −1
?
Exempel Fyll i de logiska symboler som ska ersätta frågetecknen i
nedanstående räkning:
√
3−x = x−1
3 − x = ( x − 1)2
?
( x − 2)( x + 1) = 0
?
?
x = 2 eller x = −1.
Vilka x löser den första ekvationen?
- Geometri = jordmätning (alltså lantmäteri)
- Grekerna utvecklade en (världsfrånvänd) teori
- Den sammanfattades i Euklides’ (300-260 f Kr) Elementa i 13 böcker
(467 satser) på ett systematiskt sätt som bildat modell för matematisk teoribyggnad
- Tillät√endast passare och linjal (godtyckligt, kopplat till problem
med 2)
Geometrins grundstruktur
- Utgår ifrån punkter och linjer – odefinierade grundbegrepp
- För dessa formuleras definitioner, axiom och postulat
- Genom att använda de senare formuleras och bevisas satser. Beviset
för en sats får referera till en tidigare, bevisad, sats.
Anmärkning Redovisningsuppgift 1 handlar om att genomföra ett
geometriskt resonemang och kräver
- att du använder det matematiska språket korrekt
- logiken är exakt och tydlig (“det syns” är inget argument!)
Talsystem
Det finns olika sorters tal:
N(inkl. 0) ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Finns det reella tal som inte är rationella, d.v.s. irrationella?
Räknelagar för reella tal (mätetal)
- associativa lagen: ( a + b) + c = a + (b + c), ( ab)c = a(bc)
- kommutativa lagen: a + b = b + a, ab = ba
- distributiva lagen: a(b + c) = ab + ac
Exempel Varför är (−1)2 = 1? Första förklaring: därför att det följer
av räknelagarna ovan. Hur? En andra förklaring har med komplexa
tal att göra!
Varför är
√
2 irrationellt?
- Historiskt var denna observation en chock: det finns tal som inte
har ett “enkelt” förhållande till varandra (det finns ingen minsta
måttstock man kan mäta
√ båda i)
- För Pythagoras var 2 längden av diagonalen i enhetskvadraten alltså något vi kan mäta.
- Beviset är ett exempel på ett motsägelsebevis - en viktig bevisteknik i
matematiken!
Innan beviset: fundera på följande. Finns det något heltal som är
kvadraten på ett heltal, jämnt men inte delbart med 4?
Överblick av teorin - för detaljer: läs geometriboken!
Efter inledande diskussion om olika sorters vinklar formuleras och
bevisas två satser:
Sats 1: Vertikalvinklar är lika stora
Sats 2: Två linjer är parallella omm alternatvinklarna är lika stora
Anmärkning omm = om och endast om
Anmärkning Parallellaxiomet (Axiom 2) är speciellt bland axiomen. I
det finns en fråga: givet en rät linje och en punkt utanför den, hur
många räta linjer kan vi dra genom punkten som är parallella med
den givna linjen? Det uppenbara svaret, en, är egentligen ett axiom
som definierar just plan geometri. (Fundera på sfärisk geometri - vad
gäller där?)
Definition (Kongruens) Två trianglar är kongruenta om motsvarande sidor och vinklar är lika stora.
Axiom 3: Två trianglar är kongruenta om något av fallen nedan är
uppfyllt:
SVS: två sidor och mellanliggande vinkel är lika stora
SSS: alla sidor är lika stora
VSV: två vinklar och mellanliggande sida är lika stora.
Anmärkning Tänk efter vad som gäller för fallet VVV!!!
Några satser
Med hjälp av dessa axiom och definitioner kan vi nu definiera ett antal satser: Idag nöjer vi oss med två:
Sats 3: Vinkelsumman i en triangel är 180◦ .
Sats 4: Yttervinkelsatsen.
Anmärkning En variant på sats 3 är att säga att summan av yttervinklarna är 2π. Varför är det självklart att det är så? Vad är vinkelsumman
i en n-hörning.
Algebra och geometri
Två bevis för Pythagoras’ sats.
Första (Chou-pei Suan-chia; Kina 250 f Kr):
Geometriskt
⇒
Algebraiskt:
( a + b )2 = c2 + 4
ab
2
⇔
a2 + b2 = c2 .
⇔
a2 + b2 = c2 .
Andra (Bhaskara; Indien 1100-talet):
Geometriskt
⇒
Algebraiskt:
c2 = ( a − b )2 + 4
ab
2
Anmärkning Pythagoras’ sats har också en omvändning:
a2 + b2 = c2
⇔
triangeln är rätvinklig.
Att fundera på till nästa gång
√
√
- Är 3 irrationellt? Varför fungerar inte beviset för 4?
- Visa att (n2 − m2 )2 + (2nm)2 = (n2 + m2 )2 och använd den till att
hitta s.k. Pythagoreanska tripletter, vilka är heltal ( a, b, c) som uppfyller Pythagoras sats.
- Vad använde de gamla egyptiska byggmästarna ett rep med 13 knopar jämnt fördelade (inkl. ändarna) till?
- Rita en figur som visar att om p, q är positiva reella tal sådana att
p + q = 1, så gäller att 4pq ≤ 1. (Inga räkningar - endast en figur!)
