Bråk – lärares begreppskunskap och undervisning

Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
10 poäng
Bråk – lärares begreppskunskap och
undervisning
Fractions – teachers’ subject matter knowledge and teaching
Maria Dalholm
Tina Svensson
Lärarexamen 140 poäng
Matematik och lärande
Höstterminen 2005
Examinator: Harriet Axelsson
Handledare: Marianne Rönnbom
2
Sammanfattning
I detta arbete undersöks kunskap om bråkbegreppet hos fyra olika lärare och hur de
använder denna kunskap i sin undervisning. Resultaten diskuteras bl a med utgångspunkt
från Liping Mas bok Knowing and teaching elementary mathematics. Undersökningen har
en subjektiv dimension bestående av intervjuer med lärarna. Begreppskunskapen fokuserar
på division av bråktal, innehållsdivision och del – helhetsaspekten. Resultatet visar på att
det finns stora skillnader men också likheter i lärarnas kunskaper om bråkbegreppen och
deras undervisning. De lärare som har bäst kunskaper om bråkbegreppet är de som har
längst erfarenhet i yrket och bedriver eller har bedrivit ett aktivt samarbete med kollegor
om undervisningen.
Nyckelord:
begreppskunskap, bråk, del – helhet, innehållsdivision, Liping Ma, undervisning
3
4
Innehållsförteckning
1. Inledning................................................................................................................................. 7
2. Syfte......................................................................................................................................... 9
3. Teoretisk bakgrund ............................................................................................................10
3.1 Liping Ma – knowing and teaching elementary mathematics .....................................10
3.2 Konstruktivismen............................................................................................................11
3.3 Undervisning i matematik ..............................................................................................12
3.4 Bråkterminologi ..............................................................................................................14
3.4.1 Definition av naturliga tal ....................................................................................... 14
3.4.2 Definition av bråk.................................................................................................... 14
3.4.3 Bråkets olika aspekter ............................................................................................. 14
3.4.4 Division.................................................................................................................... 16
3.4.5 Delningsdivision......................................................................................................17
3.4.6 Innehållsdivision......................................................................................................17
3.4.7 Bråk i kursplanen.....................................................................................................17
3.5 Undervisning om bråk .................................................................................................... 18
3.5.1 Del – helhet..............................................................................................................18
3.5.2 Innehållsdivision......................................................................................................20
3.6 Division med bråk- Liping Ma ...................................................................................... 20
3.7 Variation i undervisningen ............................................................................................. 22
3.8 Svårigheter med bråk......................................................................................................22
3.9 Begreppsförståelse .......................................................................................................... 23
3.10 Bilder i bråkundervisningen......................................................................................... 24
3.11 Språkets betydelse i undervisningen ...........................................................................25
3.12 Utveckling av matematiska begrepp............................................................................26
3.13 Lärarens bråkbegreppskunskaper ................................................................................ 26
4. Metod .................................................................................................................................... 30
4.1 Urval ................................................................................................................................ 30
4.2 Datainsamlingsmetod .....................................................................................................30
5
4.3 Procedur...........................................................................................................................31
4.4 Databearbetning ..............................................................................................................32
5. Resultat ................................................................................................................................. 33
5.1 Upplägg av resultatet ......................................................................................................33
5.2 Resultatredovisning 1 .....................................................................................................33
5.3 Resultatredovisning 2 .....................................................................................................37
6. Diskussion och slutsatser ................................................................................................... 47
6.1 Hur undervisar lärarna i matematik? ............................................................................. 47
6.2 Vilka kunskaper har fyra olika lärare om bråkbegreppet? ...........................................48
6.3 Hur använder de fyra olika lärarna sina kunskaper om bråkbegreppet i
undervisningen ...................................................................................................................... 49
6.4 Slutsatser ......................................................................................................................... 52
6.5 Tillförlitlighet..................................................................................................................53
7. Avslutning ............................................................................................................................54
8. Referenser ............................................................................................................................55
Bilagor
6
1. Inledning
Det är viktigt att vi som lärare är observanta på vilka begreppskunskaper eleverna har. Om
en elev inte har förstått ett begrepp ska vi kunna identifiera vilka förkunskaper eleven måste
ha för att förstå begreppet.
I kursen matematikdidaktisk forskning ingick avhandlingen Knowing and teaching
elementary mathematics av Liping Ma (1999). Här visar Ma på kunskaper och brister i
begreppsuppfattning hos lärare och försöker synliggöra anledningen till detta. Ma betonar
betydelsen av att ha grundläggande matematiska begrepp befästa hos lärarna. Detta är en
förutsättning för att lärarna ska kunna undervisa eleverna så att de i sin tur kan få
matematiska begreppskunskaper.
Mas undersökning har varit inspirationskällan till detta examensarbete. Vi ville undersöka
några svenska lärares begreppskunskaper och få insikt i hur dessa påverkar deras
undervisning. Avsikten var att göra en mindre studie inom ramen för ett examensarbete
med detta tema.
Vi valde att fördjupa oss kring bråkbegreppet. Bråk anses vara de mest komplexa talen i
grundläggande matematik och division med bråk det mest avancerade ämnet inom
aritmetiken (Ma 1999). Vår förhoppning med arbetet var att detta val skulle ge det största
differentierade resultatet i vår undersökning.
Rapporter visar löpande att svenska elever blir sämre och sämre i matematik. TIMSS 2003
(Skolverket 2004) redovisar att svenska elever uppvisar förhållandevis svaga resultat i
algebra. Anledningen till detta är att det ägnas relativt lite tid åt algebra i skolan i
jämförelse med andra länder. Skolverket talar om åtgärder som förändring av innehåll i
läromedel, förändring i organisationen av matematikundervisningen i skolan samt en
förändring av lärarutbildningen.
Våra erfarenheter av matematikundervisningen i grundskolan är jämförbara med det
resultat som TIMSS redovisar. Vi anser att undervisningen inte tar upp bråkbegreppet, som
7
ligger till grund för bland annat den algebraiska begreppsutvecklingen, med ett tillräckligt
djup.
Genom detta arbete vill vi belysa betydelsen av goda begreppskunskaper hos läraren samt
vikten av mångfald i undervisningen. Vi ser fram emot att undervisa eleverna i deras
begreppsförståelse och vara delaktiga i framtidens skolutveckling.
8
2. Syfte
Genom vår undersökning vill vi undersöka begreppskunskaper om bråk hos lärare och se
hur de använder dessa i sin undervisning. Syftet är att undersöka hur väl bråkbegreppet är
befäst hos läraren och hur denna begreppskunskap påverkar lärarens undervisning.
Frågeställningar:
x
Hur undervisar fyra olika lärare i matematik?
x
Vilka kunskaper har fyra olika lärare om bråkbegreppet?
x
Hur använder de fyra olika lärarna sina kunskaper om bråkbegreppet i
undervisningen?
9
3. Teoretisk bakgrund
3.1 Liping Ma – knowing and teaching elementary mathematics
Mas (1999) avhandling har varit en inspirationskälla till detta examensarbete. Anledningen
till att Ma har skrivit boken är att hon har arbetat som lärare både i Kina och i USA. Hon
blev uppmärksam på de stora skillnaderna i grundläggande matematisk kunskap mellan
amerikanska och kinesiska elever. Ma bestämde sig för att närmare studera skillnaderna
mellan kinesiska och amerikanska lärares kunskaper och anledningen till detta.
Ma har använt sig av TELT, Teacher Education and Learning to Teach Study,
intervjufrågor i sitt arbete. Det finns två avgörande anledningar till detta. Den första är att
de är av matematisk natur och handlar om lärares matematiska ämneskunskaper. Den andra
är att den täcker ett brett område av grundläggande matematik; subtraktion, multiplikation,
division med bråk och förhållandet mellan area och omkrets. Dessutom finns det en stor
databas med svar som går att använda som jämförelse.
Ma fann att det var stor skillnad mellan amerikanska och kinesiska lärare. De kinesiska
lärarna har mycket kortare utbildning än de amerikanska. Amerikanska lärare tenderade att
vara mer instrumentalt (procedural) fokuserade. De flesta amerikanska lärarna visade på en
god algoritmisk kompetens när det gällde subtraktion och multiplikation, men hade
svårigheter med mer avancerad matematik som division med bråk och förhållandet mellan
rektangelns area och omkrets. De kinesiska lärarna visade på goda algoritmiska kunskaper
och begreppsmässig förståelse för alla fyra områdena. Nivån på de kinesiska lärarnas
kunskaper var ganska lika. De amerikanska lärarnas kunskapsnivåer var däremot klart
fragmenterade och visade på stora brister. De kinesiska lärarna levde efter devisen ”Veta
hur, men också veta varför”. För de kinesiska lärarna räckte det inte med att bara muntligt
förklara en algoritm. De ville också förklara och bevisa den underliggande logiska grunden.
De amerikanska lärarna var däremot nöjda om de hade en standardalgoritm för att lösa en
uppgift.
Ma nämner PUFM, Profound Understanding Of Fundamenthal Mathematics, vilket innebär
att en lärare har en djup och bred förståelse för fundamental matematik och matematisk
10
begreppsförståelse. I sin undersökning fann Ma att 10 % av de kinesiska lärarna hade
PUFM. Dessa lärare hade många års erfarenhet av att undervisa i matematik i alla
åldersklasser i grundskolan. 10 % av de kinesiska lärarna samt alla amerikanska lärare
saknade PUFM helt. Ma menar att PUFM utvecklas efter det att man blivit lärare. Detta kan
enligt Ma bero på att:
x
Kinesiska matematiklärare undervisar endast i matematik
x
De har 3-4 lektioner per dag. Övrig tid använder de till att förbereda lektioner
x
De studerar undervisningsmaterial intensivt
x
De har ”teaching research groups”, möten med varandra en gång per vecka för att
utbyta idéer och reflektioner om undervisningen
x
De lär från sina elever
x
De uppmuntrar till variation, att lösa en uppgift på mer än ett sätt
3.2 Konstruktivismen
Både i Sverige och internationellt är konstruktivismen ett dominerande paradigm för hur
man ser på undervisning och lärande inom matematikdidaktiken både som forskningsfält
och som kunskapsområde. Även om idéerna på sina håll börjar slå igenom ute på skolorna
är det den traditionella undervisningen, t ex teknikträning, som dominerar enligt Engström
(1998a). Hur elevers lärande kan underlättas på bästa sätt är en central fråga för
matematikutbildningen över hela världen. Enligt konstruktivismen finns en vision av en
aktiv och kunskapsteoretiskt stärkt elev (Ernest 1998). Konstruktivismen bygger alltså på
ett arbetssätt, där elevernas lärande sätts i centrum i stället för att läraren förmedlar givna
kunskaper som skall utveckla deras matematiska värld.
Konstruktivismen grundar sig på Piagets begrepp om assimilation och ackommodation av
kunskap men också på reflektiv abstraktion. Det innebär att den lärande skapar sig en
förståelse utifrån sina erfarenheter i förhållande till existerande kunskap. Därefter förändras
11
den existerande kunskapen där så är nödvändigt och reflekteras på vidare erfarenheter för
att kunna göra generaliserade eller abstrakta former (Jaworski 1998).
Vad karakteriserar då en konstruktivistisk undervisning? Engström ger exempel på detta:
x
utgår från en uppfattning att eleven använder sig av det han/hon redan vet för att utveckla
personligt meningsbärande lösningar,
x
stimulerar eleverna till att reflektera över sina matematiska aktiviteter,
x
kännetecknas av ett stort inslag av laborativa aktiviteter som möjliggör för eleverna att
konstruera sin egen matematik,
x
ger stort utrymme åt gruppdiskussioner, som låter eleverna bryta sina uppfattningar mot andras,
utvecklar elevernas förmåga att motivera och bestyrka sina idéer,
x
ser lärandet som en problemlösande aktivitet, där elevernas egna frågeställningar och sätt att
formulera problem ges ett stort utrymme,
x
förankras i elevernas verklighet, inte i påhittade situationer,
x
betonar kreativa aktiviteter som tillåter eleverna att utveckla sina möjligheter i stället för att
producera ett givet svar,
x
presenterar problemlösande aktiviteter som är öppna, som stimulerar till att arbeta fram olika
lösningar; (Engström 1998a, s 11)
3.3 Undervisning i matematik
Kunskap i matematik, vad är det? Det finns många sätt att se på denna och Skovsmose
(refererad i Hedrén 2001) delar in den i tre delkunskaper: matematisk, reflekterande och
teknisk kunskap.
Matematisk kunskap används när ett problem tolkas och lösning söks t ex genom att
tillämpa ett eller flera av de fyra räknesätten.
Reflekterande kunskap behövs när lösningen är färdig och man vill kontrollera resultatet
genom t ex rimlighetsbedömning, överslagsberäkning och jämförelse med lösning till
liknande problem.
12
Teknisk kunskap används när själva beräkningen görs, antingen med huvudräkning,
överslagsräkning, skriftlig räknemetod, miniräknare eller med hjälp av något färdigt
dataprogram.
I kursplanen för matematik (Skolverket 2000) kan man läsa följande:
Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven
x
utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan
att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer,
x
utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och
generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, (s 26)
Det är viktigt att synliggöra i undervisningen att elevernas egen vilja att lära, deras egen
inställning och motivation är drivkraften i arbetet. Läraren skall naturligtvis hjälpa, stödja
och stimulera eleverna men kan aldrig ta över inlärningen. Oavsett hur skicklig en lärare är
pedagogiskt kan han/hon inte få alla elever att bli duktiga i matematik, men möjligheten att
nå så långt elevens förutsättningar medger måste finnas. Genom att få arbeta med konkret
materiel och berätta vad man ser och gör ökar förutsättningarna avsevärt för elevernas
begreppsbildning (Malmer 2002).
Enligt Engström (1998b) är det viktigt för lärandet i matematik att eleven får reflektera över
sina handlingar och erfarenheter samt att kommunicera om dessa med andra. Lärarens
uppgift i denna process är att försöka förstå elevens föreställningar så att de kan diskutera
och utmana dessa med eleven.
Skolan står inför krav av förändring och förbättring p g a ökat kunskapsbehov i samhället.
Traditionell undervisning dominerar i dagens skola där läraren tror sig kunna överföra
kunskap till eleven. Fokus ligger här på hur läraren kan överföra kunskapen till eleven på
bästa sätt (Engström 1998a).
13
3.4 Bråkterminologi
3.4.1 Definition av naturliga tal
Naturliga tal kallas de positiva heltalen 0, 1, 2, 3, 4… till oändligheten (Thompson 1991).
3.4.2 Definition av bråk
Ett rationellt tal är ett, ”tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal, p/g, där g ≠ 0”
(National encyklopedin 1991).
Enligt National encyklopedin (1991) är bråk ett ”matematiskt uttryck av formen a/b. a
kallas täljaren, b nämnaren och strecket bråkstreck. Nämnaren får aldrig vara noll. Vid
räkning med enbart heltal kan alla additioner, subtraktioner, multiplikationer samt vissa
divisioner utföras. Genom att man inför bråk utvidgas räkneområdet till de rationella talen,
där de fyra enklaste räknesätten alltid kan utföras, utom vid division med noll”.
Täljaren (tyskans ’erzählen’, berätta) är det tal som talar om hur många bråkdelar det gäller.
Nämnaren (tyskans ’nennen’, benämna) ger bråket dess namn, dess benämning. Ordet
rationell kommer från latinets ratio och betyder kvot (Thompson 1991).
3.4.3 Bråkets olika aspekter
De rationella talen har en komplexitet och är kontextuellt sammansatta ( Freudenthal,
refererad i Engstöm 1997). Det är viktigt att vi funderar över bråkets olika gestaltningar för
att avgöra vilken uppfattning det finns av bråk och vilka aspekter som ska behärskas
(Kilborn & Löwing 2002). Det är grundläggande att eleverna får möta de olika aspekterna
samt få handskas med olika utseende på helheten (Malmer 2002).
Kieren (refererad i Runesson 1999) menar att rationella tal, om de behandlas utifrån olika
aspekter, underbegrepp eller underkonstruktioner kan öppna för kontakt med många av
matematikens områden. Detta gäller inte bara talteori utan även geometri, algebra och
oändlighetsbegreppet.
14
x
Bråk som tal, bråket har en plats på tallinjen.
Bråket 1/2 har en plats på tallinjen (Kilborn & Löwing 2002).
x
Bråk som del av en helhet, bråkets beteckning som uttrycker del av helhet. En hel
som delas upp i ett antal lika stor delar vars benämning beror på antalet delar
(Malmer 2002).
Bråktalet 3/5 betyder t ex att chokladkakan har delats i 5 delar och bråktalet representerar 3
av dessa 5 delar (Kilborn & Löwing 2002).
x
Bråk som del av ett antal, ett bråktal tas av ett antal.
Bråktalet 1/5 exemplifieras enligt nedan, där 1/5 av de 15 kulorna är 3 kulor (Kilborn &
Löwing 2002).
15
x
Bråk som proportion eller andel, proportionen ¼ eller 25% saknar antalsbetydelse
eller storlek. Det är först när man anger var proportionen ska tas som det blir ett tal
(Kilborn & Löwing 2002).
2/5 av bolagets vinst är min som delägare, oberoende vinstens storlek. Dessa 2/5 saknar
antalsbetydelse, det måste relateras till ett tal, i detta fall bolagets vinst. Andelen 2/5 är lika
stor som t ex 4/10 eller 40 % (Kilborn 1990).
x
Bråk som uttryck för en relation, som koncentration, en del saft och nio delar vatten,
eller som frekvens, var femte bil i Sverige är en Volvo (Malmer 2002).
x
Bråk som förhållande, bråktalet 2/10 kan betyda 2 hg godis för 10 kr, där 2 och 10
har olika enheter. Hur mycket godis får jag för 45 kr? (Kilborn & Löwing 2002).
3.4.4 Division
De rationella talen bildar en ordnad talmängd. För varje par av rationella tal a och b, gäller en och
endast en, av följande relationer a < b, a = b, a > b. I den rationella talmängden finns fyra
grundoperationer: addition, subtraktion, multiplikation och division med tillhörande räknelagar.
(Engström 1993, s 9)
Division definieras av National encyklopedin (1991) som:
delning, indelning, avdelning… en av de grundläggande operationerna inom aritmetiken. Division är
omvändningen till multiplikation, i analogi med att subtraktion är omvändningen till addition.
Uppgiften är att för ett givet tal A (täljaren, dividenden) och ett annat tal B (nämnaren, divisorn)
finna ett tal K (kvoten), så A = B * K.
Division är inversen till multiplikation men division har även viktiga kopplingar till
subtraktion. Liksom att multiplikation kan uppfattas som en upprepad addition kan division
uppfattas som en upprepad subtraktion. Division i likhet med subtraktion kan ses ur olika
aspekter där man i subtraktion tar bort, lägger till och jämför medan i division skiljer
mellan delningsdivision och innehållsdivision (Kilborn & Löwing 2002).
16
3.4.5 Delningsdivision
Division i matematiken är delning av en given storhet (givet tal) med ett bestämt antal lika stora
delar. Talet som delas, kallas dividend (täljare). Talet som anger hur många lika stora delar
dividenden ska delas, kallas divisor (nämnare). Talet som visar varje storle k kallas kvot.
(http://matmin.kevius.com/aritmet.html#divi)
Krongvist & Malmer (1999) ger exempel på delningsdivision:
12 äpplen delas upp så att 3 barn får lika många var. Hur många äpplen får varje barn? 12 / 3 = 4
Svar: 4 äpplen. Här vet man delarnas antal och ska ta reda på delarnas storlek. Vid laboration
fördelar man ett antal i 3 delar. (s 48)
3.4.6 Innehållsdivision
Divisionen är även att finna hur många gånger en given storhet (divisorn) ingår i en annan storhet
(dividenden) och detta angivs av kvoten. 7 går upp 4 gånger i 30 och 2 enheter blir över. Den del,
som blir över, när divisionen utförts som icke går jämt ut, kallas rest. Blir resten 0 sägs divisionen gå
<jämt ut> (http://matmin.kevius.com/aritmet.html#divi)
Krongvist & Malmer (1999) ger exempel på innehållsdivision:
12 äpplen delas upp med 3 i varje påse. Till hur många påsar räcker äpplena? 12 / 3 = 4 Svar: 4
påsar. Här vet man delarnas storlek och ska ta reda på delarnas antal. Här utför man en upprepad
subtraktion genom att ta 3 varje gång. (s 48)
3.4.7 Bråk i kursplanen
I kursplanens mål att sträva mot i matematik (Skolverket 2000) står det:
Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå
och använda
x
grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportionalitet och
procent, (s 27)
Eftersom de rationella talen är en del av de reella talen ska eleven sträva mot att förstå och
använda räkning med tal i bråkform (Kilborn & Löwing 2002).
17
Mål att uppnå i slutet av det femte skolåret:
Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och
hantera situationer och lösa problem i elevens närmiljö.
Inom denna ram skall eleven
x
ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och
decimalform, (s 28)
Mål att uppnå i slutet av det nionde skolåret:
Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och
hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs
som grund för fortsatt utbildning.
Inom denna ram skall eleven
x
ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal
och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga
räknemetoder och med tekniska hjälpmedel, (s 29)
Engström (1997) saknar ett didaktiskt perspektiv i kursplanen, en anknytning till den
didaktiska forskningen, bland annat användningsaspekten av bråket såsom mått och
förhållande samt förhållandet bråk – algebra.
3.5 Undervisning om bråk
3.5.1 Del – helhet
Innan skolstarten har flertalet barn erfarenheter av att dela saker, dela i lika stora delar och
dela med lika många i varje del. Dessa situationer bör man ta fasta på i överförandet till en
fastare struktur, där hälften, en tredjedel och en fjärdedel introduceras. Denna utgångspunkt
ger eleverna förutsättningar för att förstå tankegångarna, identifiera dem i tidigare
erfarenheter och använda dem i nya situationer (Kronqvist & Malmer 1999). Hunting,
Davis och Bigelow (refererade i Engström 1997) menar att barn redan i 4-5 års ålder kan
lösa bråkrelaterade uppgifter.
18
Kronqvist & Malmer (1999) anser liksom Kilborn (1990) att de enkla bråken har en stark
verklighetsanknytning som gör dem lätta att konkretisera. Det är viktigt att eleverna får
möta olika situationer och olika tankeformer där bråk förkommer. Oftast förekommer de
inte som naturliga tal utan som t ex storhet, en tredjedels vinst och som enheter för
proportion, tv – programmet varade i en kvart. Det är dessa vardagssituationer som man bör
ta fasta på i arbetet med bråk.
Ett viktigt moment då det gäller tal i bråkform är att ha klart för sig vad helheten är för att
kunna bedöma delarnas innebörd. För att eleverna ska kunna förstå detta från början behövs
konkret materiel så eleverna kan storleksordna, utföra visuella mätningar och göra
jämförelser. Man kan i undervisningen arbeta med Cuisenaire-stavar där eleverna får
formulera relationerna mellan helheten och delarna vilket ger dem en påtaglig upplevelse
av relationerna. Att arbeta med tal i bråkform på detta sätt gör att bråk blir en fullständig
självklarhet som sin tur ger förståelse för procentbegreppet (Kronqvist & Malmer 1999).
Begreppet del - helhet är en grundläggande relation inte bara inom matematiken utan också
för andra begreppsbildande tillämpningar. Erfarenheter av delning är grunden för
förståelsen av de rationella talen (Engström 1997). Piagets studier visar på två
grundläggande relationer för barns föreställningar om bråk, del - helhet och del – del. Han
har bedrivit både verbala studier och konkret hanterande av delning hos barn. Hans studier
visar att de yngre barnen fokuserar antingen på delarna eller på helheten och kan ha
svårigheter att integrera delen i helheten ända upp i 9 – 10 års ålder (refererad i Engström
1997).
Piaget och hans medarbetare Inhelder och Szemiska identifierar ett antal karakteristiska för
barnets bråkföreställningar som nödvändiga för en operationell förståelse:
1.
Eleven måste uppfatta det hela som varande delbar och sammansatt av separata delar.
2.
Uppfattningen om bråk måste inbegripa idén om ett bestämt antal delar.
3.
Eleven måste uppfatta delningen av en given helhet som fullständig, dvs. utan rest.
4.
Eleven måste uppfatta relationen mellan antalet delar, i vilken den hela delas i, och antalet
nödvändiga delningar (”klipp”).
19
5.
Bråkuppfattningen måste innebära föreställningen hos eleven att alla delar är lika.
6.
När delningen är operationell hos eleven, måste denne se dubbelnaturen hos bråket: dels att utgöra en
del av en ursprunglig helhet och dels en helhet som i sig ytterligare kan delas.
7.
Helheten måste vara invariant, dvs. summan av alla bråk måste vara lika med den ursprungliga
helheten. (Engström 1997, s 110-111)
Piagets studier har även visat att det språkliga behärskandet av relationen del – helhet
kommer flera år senare än det faktiska behärskandet.
3.5.2 Innehållsdivision
När nämnaren är mindre än ett så ska man inte längre tala om delning och fördelning utan
om innehåll. Det är då viktigt att eleverna förstår att kvoten måste bli större än täljaren. Vid
division med tal mindre än ett måste eleverna tänka innehållsmässigt. Exempel: 3 ÷ ½. Hur
många halva går det på tre hela? Många har svårighet att skilja på hälften av och dividerat
med en halv (Malmer 2002).
3.6 Division med bråk- Liping Ma
Ma (1999) presenterade nedanstående uppgift i sina intervjuer som handlade om division
med bråk.
“People seem to have different approaches to solving problems involving division with
fractions. How do you solve a problem like this one?” (s 55)
Ett instrumentalt sätt att lösa uppgiften:
Konvertera 1 ¾ till 7/4 . Invertera ½ till 2. Multiplicera 7/4 med 2. Detta blir 14/4 vilket är
lika med 3 ½.
Detta sätt att lösa uppgiften och att använda terminologin användes av de amerikanska
lärare som klarade av att lösa uppgiften. Kineserna däremot använde en annan terminologi,
20
nämligen: Att dividera med ett tal är det samma som att multiplicera med inversen. Denna
terminologi används i kinesiska matematikböcker för att förklara algoritmen division med
bråk.
Många amerikanska lärare klarade över huvud taget inte av att lösa uppgiften. Några
försökte göra täljare och nämnare liknämniga, minsta gemensamma nämnare. Detta
resulterade i att resultatet kunde bli 28/8 vilket inte förkortades vidare. Här visar lärarna att
de inte behärskar begreppet även om resultatet i sig är ”rätt”.
De kinesiska lärarna använde grundläggande matematiska regler och lagar för att visa hur
uppgiften kan lösas; kommutativa lagen och bibehålla värdet av kvoten. (Se bilaga1)
De visar också på tre alternativa sätt att lösa uppgiften. (Se bilaga 1)
Alternativ 1: Att använda decimaltal
Alternativ 2: Den distributiva lagen
Alternativ 3: Lösa uppgiften utan att multiplicera
Därefter bad hon de intervjuade lärarna att göra en räknehändelse som skulle kunna gestalta
uppgiften.
De flesta amerikanska lärare klarade inte av att sätta in uppgiften i en räknehändelse. De
flesta blandade ihop att dividera med ½ med att dividera med 2.
Exempel 1: Du har en hel paj och tre fjärdedelar av en annan paj och två personer. Hur vill
du göra för att dela pajerna lika så att personerna får lika stor bit var?
Eller förväxlade de att dividera med ½ med att multiplicera med en ½.
Exempel 2: Du har en hel paj och tre fjärdedelar paj. Du delar upp pajerna i fjärdedelar och
så tar du hälften av det totala.
Nästan alla kinesiska lärare kunde presentera en korrekt räknehändelse. Dessa kan delas in i
tre olika modeller:
21
Innehållsdivision:
13/4 meter dividerat med 1/2 meter = 7/2
Hur många halva metrar går det på 13/4 meter?
Partitiv:
13/4 meter dividerat med 1/2 = 7/2 meter
Om halva vägen är 13/4 meter, hur lång är hela längden?
Produkt och faktor:
13/4 m2 dividerat med 1/2 meter = 7/2 meter
Om en sida i en 13/4 m2 rektangel är 1/2 meter, hur lång är den andra sidan?
3.7 Variation i undervisningen
Undervisning om bråkbegreppet kan variera. Denna kan yttra sig på olika sätt. Eleverna kan
t ex presenteras en teknik för att lösa en viss typ av uppgift. Tekniken hålls konstant medan
uppgifterna varierar. Ett annat sätt är att tekniken varieras för att lösa en och samma uppgift
(Runesson 1999).
I Runessons undersökning visar resultatet att trots att lärarna undervisar om samma innehåll
och trots att flera av dem använder samma läromedel, samt att de samtalar med sina elever
om samma uppgifter ser undervisningen helt olika ut. Detta betyder att eleverna kan få helt
olika uppfattning om ett ämne. Skillnaden mellan hur ämnet behandlas gäller inte enbart
om de begreppsliga respektive procedurella aspekterna fokuseras eller ej, utan också på
vilket sätt de kan framträda för eleverna. Detta påverkar elevernas kunskaper (Runesson
1999).
3.8 Svårigheter med bråk
När det gäller elevers svårigheter med bråk har flera identifierats. Exempel är att eleven gör
generaliseringar av helheten, s k N-distraktorn (Streefland, refererad i Runesson 1999). Den
22
medför t ex att 1/6 uppfattas som ett större tal än 1/5 därför att 6 är ett större tal än 5. Det
finns relationer mellan elevers svårigheter och undervisning om tal i bråkform enligt flera
forskare. De naturliga talen i undervisningen behandlas utifrån många olika aspekter och på
olika sätt medan undervisningen om bråk är ensidig. För att förstå avancerad matematik
krävs förståelse för rationella tal och begreppets komplexitet.
Runesson visar på att forskare som Behr m fl, som utfört omfattande forskning kring
elevers kunskaper om rationella tal, menar att det finns kritiska brister i undervisningen
som påverkar elevernas kunskapsutveckling. Förståelse för multiplikativa strukturer som t
ex att bestämma ¾ av 20 kulor är ett exempel. Men det som forskarna anser allvarligast är
de ytliga sätt som rationella tal behandlas på i undervisningen. De pekar på att procedurer
betonas mer än förståelse. Vidare säger de att den komplexitet som finns när det gäller
rationella tal inte lyfts fram och blir definitivt inte tillräckligt behandlad i undervisningen
(Runesson 1999).
När undervisningen utvidgas från de naturliga talen till de rationella talen, och då de först
framstår som bråk, brutna tal, uppstår en problematik enligt Engström (1998b). Till skillnad
från de naturliga talen där talet representeras av en symbol, och där det finns en relation
mellan symbolen och dess referens, är de rationella talen annorlunda. I ett rationellt tal
finns det olika begreppsliga tolkningar i en och samma symbol. En fjärdedel kan t ex
skrivas som 1/4, 2/8, 0,25, 0,250. I de naturliga talen finns ett minsta tal men det finns
ingen minsta bråkdel. I de rationella talen representerar 1 något stort, det hela, men i de
naturliga talen är 1 det minsta man kan ha av någonting.
3.9 Begreppsförståelse
I Algebra för alla (Bergsten m fl 2001) beskrivs hur begreppet blir relaterat till nya
situationer, nya aspekter, nya symboler och till nytt språk genom utveckling. Olika
matematiska begreppsformer kopplas till begreppet och det sker en översättning som i sin
tur skapar djupare begreppsförståelse. Detta kan då kallas en begreppsbild (concept image)
och inte bara begrepp (Vinner & Tall, refererade i Bergsten m fl 2001). Begreppsutveckling
kan i sin tur betraktas som begreppsbild-ning (Bergsten, refererad i Bergsten m fl 2001).
23
Detta betonar bildens roll i utvecklingen av begreppsförståelsen. Engström (1998c) menar
att utveckling av matematiska begrepp är en lång process.
Figur 3.1: Bild av begreppet begreppsbild (Bergsten, refererad i Bergsten m fl 2001, s 139).
Begreppsförståelsen för bråk, t ex förlängning av ett bråktal: 2/3 = (2 * 2)/(3 * 2) = 4/6,
ligger som viktig grund för att kunna förstå och kunna hantera algebraiska omskrivningar
som (4x2/6xy) = (2x/3y) (Bergsten m fl 2001). Behärskar inte eleverna bråkräkning i
grundskolan får de problem när de ska utföra algebraiska förenklingar i gymnasieskolan
(Löwing 2004).
3.10 Bilder i bråkundervisningen
Armstrong och Novillis Larsson (refererade i Engström 1997) har studerat barns sätt att
jämföra figurer delade på olika sätt och menar att sådana figurer som finns i läromedel på
olika sätt inbjuder till direkt jämförelse, t ex cirkelsektorer. Det är viktigt att eleverna ges
möjlighet att utveckla erfarenheter kring del – helhets relationen som kvantitativ, som kan
jämföras med nå g o n a n n a n f i g u r o c h s o m m a t e m a t i s k – logisk relation, där
bråkterminologin och symboler förekommer i relation till figurerna.
I bråkundervisningen används ibland bilder på ett oöverlagt sätt där eleverna antas se
strukturen, begreppet genom bilder. Varje bild tolkas utifrån varje elevs erfarenhet och
bilden talar inte för sig själv. Därför är det inte säkert att eleven tolkar bilderna som läraren
tror (Engström 1998b).
24
3.11 Språkets betydelse i undervisningen
För att elever och lärare inte ska prata förbi varandra och för att det inte ska uppstå
missuppfattningar är det viktigt att alla behärskar den matematiska terminologin. Inom
matematiken är det viktigt med ett gemensamt språk för att uttrycka begrepp. Om inte
läraren kan den matematiska terminologin finns det risk för att eleverna får problem med
begreppsbildningen och svårigheter att tänka och uttrycka sig i ämnet (Löwing 2004).
Barn kan ha svårt för att uttrycka likheter och skillnader i objekts egenskaper genom att de
ofta har en svag uppfattning om ords betydelse, det är därför viktigt att utveckla dessa. Barn
behöver också utveckla abstrakt tänkande vilket innebär att de kan göra överföringar mellan
olika uttrycksformer t ex talat och skrivet språk, bild och rörelse (Skolverket, refererad i
Ahlberg m fl 2001). Ett viktigt steg i symbolutvecklingen mot vårt gemensamma
symbolsystem – det matematiska språket, är att barn får visualisera tankar i bilder och
skapa egna symboler (Sterner 2000).
Bratt & Wyndhamn (2000) menar att den abstrakta kunskapen främst är språkburen.
Figuren nedan visar hur språkhandlingen utgör länken mellan kunskapen och uttrycket för
denna kunskap.
KUNSKAP
T ex begrepp, samband
UTTRYCK
T ex språk, bild
HANDLING
T ex språkbehandling, kommunikation
Figur 3.2: Bild av hur språkhandlingen utgör länken mellan kunskapen och uttrycket för denna.
(Bratt & Wyndhamn 1996, s 60)
Om eleverna ska få ett väl fungerande ordförråd krävs det inlärningssituationer där ord
behövs och efterfrågas. Malmer (2002) menar att genom praktiskt arbete såsom
laborationer och undersökande arbete skapas flera sådana situationer. Malmer menar också
25
att det är viktigt att läraren själv förstår och behärskar innebörden av de matematiska
processerna så att det matematiska stoffet överförs på lämplig nivå till eleverna.
3.12 Utveckling av matematiska begrepp
Ma (1999) har en del synpunkter när det gäller undervisningen. I USA anses elementär
matematik vara enkel och allmänt känd och alla som har gått i skolan behärskar denna.
Detta menar Ma är helt fel. För att förstå elementär matematik krävs långa och hårda
studier. Även om klassrumsundervisningen på ytan ser ut att vara otraditionell med
gruppdiskussioner, problemlösning och praktiskt arbete blir inte de matematiska begreppen
befästa hos amerikanska elever. Detta menar Ma beror på att lärarna inte har begreppen
befästa. T ex i gruppdiskussioner och problemlösning är det viktigt att läraren kan coacha
och säkerställa att begreppen blir befästa hos eleverna. I Kina däremot ser
klassrumsundervisningen mycket traditionell ut på ytan. Läroboken i matematik ligger till
grund för undervisningen men följs inte slaviskt, eleverna sitter i rader vända mot läraren
som leder undervisningen framme vid tavlan. Men läraren uppmuntrar till diskussioner och
är lyhörd för elevernas initiativ och idéer. Läraren kan också med sin goda
begreppskunskap coacha eleverna och på så sätt hjälpa dem att befästa sina begrepp.
Löwing (2004) anser att den matematikdidaktiska teorin måste kompletteras med vetskap
kring vilka förkunskaper som krävs för att ha förmågan att skapa olika strategier,
konkretiseringsmodeller och metaforer för begreppsuppbyggnad. Här krävs teoretiska
kunskaper hos den undervisande läraren. Har man inte denna kunskap undviker man att
behandla kunskapen i fråga och låter eleverna t ex översätta alla tal i bråkform till
decimalform och sedan låta miniräknaren ge ett ungefärligt svar. Detta medför att eleverna
får brister i sin begreppskunskap vad det gäller bråk. Eleverna måste förstå att decimaltalet
endast är ett annat sätt att skriva en speciell typ av bråk.
3.13 Lärarens bråkbegreppskunskaper
Ma (1999) beskriver lärarens begreppskunskaper och dess betydelse för undervisningen.
Hon beskriver att lärarens ämneskunskap utvecklas i en cyklisk process bestående av
bildning, lärareförberedelser och undervisning. Hon menar att när lärarna fortfarande är
26
studenter får de sin matematiska kompetens, under lärarutbildningen börjar de se
sammanhanget mellan matematikkunskap och undervisning av skolmatematik. Slutligen
under deras lärarkarriär, när de undervisar eleverna med matematikkunskap, utvecklar de
ytterligare sin begreppskunskap.
Mål och riktlinjer i, Lpo 94 (Utbildningsdepartementet 2002):
2.2 KUNSKAPER
Skolan skall ansvara för att eleverna inhämtar och utvecklar sådana kunskaper som är nödvändiga
för varje individ och samhällsmedlem. Dessa ger också en grund för fortsatt utbildning.
Skolan skall bidra till elevernas harmoniska utveckling. Utforskande, nyfikenhet och lust att lära
skall utgöra en grund för undervisningen. Lärarna skall stäva efter att i undervisningen balansera och
integrera kunskaper i sina olika former. (s 11)
Läraren skall
x
utgå från varje enskild individs behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande,
x
organisera och genomföra arbetet så att eleven
utvecklas efter sina förutsättningar och samtidigt stimuleras att använda och utveckla hela
sin förmåga, (s 14)
Innan man som lärare börjar undervisa, måste man vara medveten om undervisningens
syfte/mål och hur olika individer förmår uppfatta och tillämpa kunskapen. Kilborn &
Löwing (2002) anser att det ställs höga krav på den undervisande läraren i matematik.
Läraren ska ha goda didaktiska kunskaper samt förstå ämnets karaktär och innehåll.
Läraren måste också ha kännedom om hur eleven uppfattar matematiken i olika situationer.
Det har stor betydelse för inlärningen på vilket sätt eleven får möta det matematiska
innehållet och arbeta med detta.
Det är läraren som är ansvarig för förmedlingen och bearbetningen av innehållet. Kilborn &
Löwing (2002) ställer sig frågan om inte undervisning uppstår först då läraren har kunskap
om det matematiska innehållet och har olika metoder till eleverna. Kilborn & Löwing visar
på olika didaktiska kunskapsbehov hos läraren, kunskaper om det karakteristiska innehållet,
27
kunskaper om hur eleven tänker om innehållet samt hur man kan stödja elevens förståelse
för innehållet. Dessa didaktiska kunskaper gör det möjligt för läraren att möta den enskilda
elevens behov. Följaktligen speglar valet av undervisningsmetod lärarens egen förståelse
till innehållet och hur eleven förstår detta.
Det är viktigt att undervisningens innehåll och syfte når fram till eleven och att det sker ett
lärande hos eleven. Detta är lärarens ansvar och detta kräver enlig Kilborn & Löwing
(2002) en behärskning av det matematiska innehållet, ett professionellt kunnande hos
läraren.
Att behärska det matematiska innehållet innefattar enligt Löwing (2004) avsevärt mycket
mer än att läraren kan förstå ett innehåll och kunna lösa en uppgift och knyta an till
innehållet. Löwing menar att läraren måste behärska innehållet så att han/hon kan möta
elevernas olika behov i undervisningen. Dessa behov är komplexa på grund av elevernas
olika förkunskaper och hur motiverade de är för ämnet. Med andra ord måste läraren kunna
förklara på många olika sätt, samt ha många olika konkretiseringsmetoder och metaforer att
ansluta till. Kunskaper om att behärska ett innehåll är betydligt mer omfattande än den
kunskap som behövs för att uppfatta ett begrepp eller lösa ett givet problem.
Skolverkets rapport Lusten att lära (2003) visar att lärarens betydelse är avgörande för
elevens lust att lära. Resultatrika lärare anpassar sin undervisning efter elevens behov och
har kunskaper om många olika undervisningsmetoder som passar eleverna. En
undervisning som visar på innehållets relevans och som fångar upp elevernas tankesätt och
bygger vidare på dessa är centralt för utvecklandet av elevernas tillit till sin egen förmåga.
Detta är ett kraftfullt sätt att bygga upp förståelsen för matematiken.
Välutbildade och erfarna lärare har alltså förmågan att skapa en didaktisk och stimulerande helhet av
sitt kunnande i olika undervisningssituationer. (Skolverket 2003, s 36)
Alexandersson (refererad i Löwing 2004) menar att läraren måste ha en aktiv roll i
klassrummet och besitta professionella ämneskunskaper och använda sig av dessa i sin
undervisning. Han menar att detta är instrumentet för att ha förmågan att analysera
elevernas förkunskaper. När läraren har djupare ämneskunskaper har han/hon också
förmågan att förklara och skapa analogier när ett visst innehåll ska förmedlas eller
28
diskuteras. Alexandersson poängterar dock att varken goda ämneskunskaper eller en väl
utvecklad metodisk förmåga är tillräcklig utan menar att det centrala i undervisningen är
hur dessa två aspekter förenas.
29
4. Metod
Undersökningen bygger på individuella intervjuer med fyra lärare med olika utbildningar.
Varje intervju genomfördes vid ett tillfälle och pågick i ungefär 30 - 45 minuter, under
höstterminen 2005.
4.1 Urval
Fyra lärare valdes ut efter vilken utbildning de har. Kravet var att de är utbildade i
matematik och undervisar i ämnet. Vi ville också med vårt urval finna lärare som är
verksamma i olika årskurser i grundskolan.
En av oss har tidigare varit kollega med en av dessa lärare. De övriga tre lärarna är
slumpmässigt utvalda så till vida att vi kontaktat olika skolor i en viss region per telefon. Vi
frågade efter en matematikintresserad lärare med utbildning i matematik. Då vi kom i
kontakt med fler lärare än vad vi ämnade undersöka, valde vi ut två kvinnor och två män
för att utjämna skillnader sett ur ett genusperspektiv.
Vi har valt att benämna lärarna i urvalsgruppen med bokstäverna A, B, C, och D.
x
A: grundskollärare med inriktning Textilslöjd/Ma.
x
B: grundskollärare 4-9 med inriktning Ma/No.
x
C: småskollärare med fortbildningskurs i Ma/No.
x
D: grundskollärare 1-7 med inriktning Ma/No.
Alla fyra lärarna fullföljde intervjun. Därför har vi inget bortfall i vår undersökning.
4.2 Datainsamlingsmetod
Vi har valt intervju som undersökningsmetod. Undersökningens syfte ligger till grund för
detta val. Det har en subjektiv dimension med fokus på lärarens bråkkunskaper samt hur
dessa kunskaper används i lärarens undervisning. Undersökningen är gjord som en
kvalitativ intervju med fasta frågeområden, där frågorna anpassats efter intervjupersonerna.
30
Avsikten var att få så uttömmande svar som möjligt under intervjun (Johansson & Svedner
2001). Vi genomförde först en pilotstudie med syfte att undersöka huruvida våra
frågeområden gav den information vi hade för avsikt att insamla. Därefter bearbetades och
kompletterades intervjun med nya frågor, samt följdfrågor som kunde vara användbara.
Intervjun består av tre delar, A, B och C. (Se bilaga 3)
Del A består av två frågeområden, en informell del med bakgrundsfrågor och en del som
berör lärarens syn på matematiken samt hur denne bedriver sin undervisning.
Del B består av två frågeområden som behandlar bråkbegreppet samt bråkbegreppet ur en
didaktisk synvinkel. Frågorna 10 och 11 är hämtade från Liping Ma (1999). Fråga 12 är
hämtad från Gudrun Malmers analystest av läsförståelse i problemlösning ALP 4 fråga 9.
Del C består av en avslutande fråga angående lärarens visioner.
4.3 Procedur
Vid den första telefonkontakten med de fyra lärarna informerade vi om vårt syfte, nämligen
att vi var intresserade av lärarens undervisning samt deras kunskaper om bråkbegreppet.
Ur forskningsetisk synpunkt fick läraren innan intervjun en information kring vad arbetet
skulle mynna ut i, att dennes deltagande var frivilligt, med rätten att avbryta sin medverkan
när han/hon ville samt att läraren eller dennes arbetsplats inte skulle nämnas eller vara
spårbar (Johansson & Svedner 2001). (Se bilaga 2)
För att ge den som intervjuade möjlighet att ha fokus på den intervjuade och undvika att
glida över i en strukturerad intervju, vilket är vanligt vid kvalitativa intervjuer (Johansson
& Svedner 2001), intervjuade en av oss. Den andra satt bredvid och observerade samt kom
vid behov med följdfrågor och styrde in intervjun på dess syfte.
Alla intervjuer genomfördes i tysta grupprum med deltagande av endast berörda personer.
Lärarna hade inte sett intervjufrågorna tidigare. Den intervjuade hade inte frågorna framför
sig. Dessa ställdes efterhand till läraren av den som intervjuade. När fråga 10 och 12
31
ställdes fick läraren uppgiften framför sig på ett papper (se bilaga 4-7). Han/hon fick också
tillgång till en penna att anteckna med. Läraren uppmanades att lugnt tänka högt, fundera
på varje fråga och om möjligt ge flera svarsalternativ. Syftet var att få så uttömmande svar
som möjligt. Alla intervjuerna registrerades med hjälp av diktafon för att tonfall och
eventuella avbrutna meningar skulle registreras.
4.4 Databearbetning
Intervjuerna bearbetades genom att diktafonen lyssnades av och intervjun skrevs ut och
dokumenterades ordagrant. Materialet har sedan bearbetats m e d h ä n s y n t i l l
undersökningens syfte.
32
5. Resultat
5.1 Upplägg av resultatet
Resultatet av vårt arbete är uppdelat i två avsnitt. Resultatredovisning 1 innefattar frågorna
1-2, 7, 10 och 11. Först redovisas en sammanfattning av svaren på frågorna 1 -2. Dessa
frågor behandlar de 4 lärarnas bakgrund. Därefter redovisas fråga 7, 10 och 11 som
behandlar lärarnas kunskaper om bråkbegreppet.
Resultatredovisning 2 innefattar frågorna 3-6, 8, 9, 12 och 13. Fråga 3-6 och 13 är en
sammanställning av vad lärarna har utryckt kring sin undervisning i matematik. Fråga 8, 9
och 12 försöker beskriva lärarnas undervisning av bråkbegreppet.
5.2 Resultatredovisning 1
Fråga 1. Vilken bakgrund har du, utbildning?
Fråga 2. Vilka erfarenheter har du inom yrket?
Lärare A:
Hon är 45 år, utbildad grundskollärare, och undervisar i textil och matematik i år 7 - 9. Hon
har 40 poäng i matematik och har varit verksam lärare i 17 år varav 16 år på nuvarande
skola. På senare år har hon blivit mer och mer intresserad av matematik.
Lärare B:
Han är 50 år och utbildad grundskollärare 4-9 i Ma/NO med 30 poäng i matematik och har
varit verksam lärare i 3 år, alla år på nuvarande skola. I dag undervisar han i år 7 – 9. Han
anser att han alltid har haft lätt för matematik.
Lärare C:
Hon är 61 år och utbildad småskollärare med en fortbildning i Ma/NO som gett behörighet
att undervisa t o m år 6. Hon har 10 poäng i matematik från fortbildning samt en del från
tidigare utbildning. Som lärare har hon varit verksam i 39 år på många olika skolor, både
33
privata och kommunala. Hon har arbetat mest med år 1 – 3, men har på senare tid även
arbetat i år 4. I dag undervisar hon i en åldersintegrerad tre-fyra. Hon är intresserad av
matematik och anser att det är viktigt att man följer den matematikdidaktiska utvecklingen.
Detta gör hon genom att läsa tidskriften Nämnaren, vara verksam inom SMaL samt gå på
matematikbiennaler.
Lärare D:
Han är 35 år och utbildad grundskollärare 1-7 i Ma/NO med 15 poäng i matematik. Han har
varit verksam lärare i 4 år, alla år på nuvarande skola. I dag arbetar han i en
åldersintegrerad fyr-femma. Tidigare har han deltagit i en matematikgrupp på skolan där
lärarna diskuterade matematiska begrepp och den röda tråden genom grundskolan.
Fråga 7. Vad innefattar bråkbegreppet för dig?
Lärare A:
Hon säger att de flesta av eleverna har en intuitiv känsla för bråk. Det är viktigt att eleverna
förstår vad täljare och nämnare står för vilket hon menar är kärnan i bråkbegreppet. Det är
viktigt att förstå hur stora de eventuella delarna är, hur många de är och hur de kan omsättas
till andra exempel som t ex decimaltal. Decimaltal ingår i bråkbegreppet men är
underordnat bråket. Hon tycker att bråk är enklare än decimaltal och räknar själv med bråk
vid huvudräkning. Eleverna uppmuntras till att omvandla från decimaltal till bråktal när de
ska räkna. Hon säger också att bråkbegreppet innefattar del av antal och del av en hel.
Lärare B:
Han säger att bråk är ett gammalt sätt att räkna på. Kan man alla reglerna är det lätt, men
han tycker det är svårt att lära ut. Han säger att bråket kan ses på många sätt och ger
exempel på att lägga till eller att dra ifrån ¼ av någonting.
34
Lärare C:
För lärare C innebär bråk att arbeta med Cuisinaire-stavar, addition och subtraktion med
bråk samt del – helhet. Hon säger att i treans och fyrans böcker finns det inte mycket bråk
endast multiplikation och division.
Lärare D:
Han menar att bråkbegreppet generellt är svårt för barn att förstå. Han säger att bråk och
decimaltal har ett samband och han nämner också hela och del av en del.
Fråga10. Människor har olika tillvägagångssätt för att lösa problem som innehåller
division med bråk. Hur skulle du lösa följande uppgift?
Om lärarnas bilder och uträkningar till fråga 10 i sin helhet, se bilaga 4-7
Lärare A:
Skriver = (7/4) / (1/2) = (7/4) x 2 = 14/4 = 7/2 = 3 ½
Hon löser uppgiften snabbt. (Se bilaga 4)
Lärare B:
Jag kan göra på många olika sätt:
Först 1 / (1/2) = 2 sedan (3/4) / (1/2) = 1,5 Detta blir 3,5 tillsammans.
(7/4) / (1/2) = 7/2 = 3,5
Han löser uppgiften snabbt. (Se bilaga 5)
35
Lärare C:
Ja, jag har ett helt äpple och sen har jag då ¾ äpple. Hon ritar en bild. Och så ska jag dela
det på hälften, så du ska ha hälften och jag ska ha hälften. Hon delar på hälften och
kommer fram till 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/8. Så löser jag det idag, så visar jag det för barnen,
visst är det tydligt? Sen kan man ju naturligtvis uttrycka det i åttondelar. Sen när man då
gick i skolan så skulle man göra det till samma nämnare så då får man ta två där, 6/8 + 1/8
= 7/8, om de ska ha det på det viset, så gör jag själv idag eftersom jag aldrig längre räknar
som när jag gick i skolan.
Hon räknar snabbt men löser uppgiften fel. (Se bilaga 6)
Lärare D:
Han omvandlar 1 ¾ till 7/4 och gör sedan täljaren och nämnaren liknämniga med 4 som
nämnare och får (7/4) / (2/4). När han försöker lösa uppgiften nämner han aldrig begreppen
täljare och nämnare utan hänvisar till dessa som den där uppe och den där nere.
Sedan kommer han inte längre utan går över till decimalräkning i stället.
1,75 / 0,5 = 3,5
Han kan inte lösa uppgiften i bråkform, men löser den i decimalform. (Se bilaga 7)
Fråga 11. Kan du formulera en uppgift som detta skulle kunna gestalta?
Lärare A:
Jag har ett och trekvarts kilo godis och jag ska fördela i påsar med ett halvt kilo i varje.
Hur många påsar blir det?
Lärare B:
Han ritar upp en cirkel som han delar upp i fjärdedelar. Därefter ritar han ytterligare en
cirkel uppdelad i fjärdedelar och markerar tre av dem. Han berättar att han ska dela upp i
36
halvor och markerar två fjärdedelar och skriver ett. På samma sätt markerar han två och tre.
Nu har han en fjärdedel kvar och säger att sista biten blir en halv halva. (Se bilaga 5)
Lärare C:
Hon hade gett eleverna papper och saxar och låtit dem klippa ut cirklar, en hel och en tre
fjärdedels cirkel. Därefter vill hon se om de kan dela upp dessa på hälften, så de fått hälften
var. Eller hade hon gjort något annat praktiskt, t ex tagit en och tre fjärdedels apelsin, den
ena biten var lite sur så den fick de kasta, hur ska vi dela upp detta rättvist? Hon säger att:
Eleverna hade klarat detta jättebra när det är praktiskt och konkret, kanske kan inte alla
säga en åttondel med de flesta hade klarat det. (Se bilaga 6)
Lärare D:
Han vet inte hur han skulle ha gjort. Han kan inte se något framför sig, inte någon speciell
uppgift som han kan utgå ifrån.
5.3 Resultatredovisning 2
Fråga 3. Vad tycker du är viktigt i matematik?
Fråga 4. Hur och när lär sig dina elever matematik?
Fråga 5. Hur bedriver du din undervisning i matematik?
Fråga 6. Hur är tillvägagångssättet när ni ska börja med något nytt i matematik?
Fråga 13. Vad har du för visioner med din matematikundervisning?
Lärare A:
Hon anser att det viktigaste med matematikundervisningen är att eleverna kan tillämpa sina
kunskaper. Matematiken är enligt henne en balansgång mellan begrepp, färdigheter och
kreativa problemlösningssituationer.
Hon anser att eleverna lär sig matematik i alla ämnen och att det är viktigt att lära sig på
olika sätt. Eleverna lär sig också matematik genom att lyssna på varandra. Hon försöker
37
bedriva sin undervisning utifrån problemsituationer som väcker tankar och frågor hos
eleverna. Det är viktigt att lära sig olika sätt att lösa ett problem, även om det tar längre tid,
än att lära sig ett sätt.
Hon bedriver sin matematikundervisning genom att göra planeringsblad till eleverna. På
detta finns arbetsområdet presenterat, vilka delar av områden de ska arbeta med.
Arbetsmaterialet består av lärobok i matematik, hennes egna arbetsblad, arbetsblad från
andra läromedel samt laborativt materiel. På planeringsbladet finns både mål att sträva efter
och mål att uppnå presenterade. Innan arbetet börjar får eleverna ge synpunkter på
planeringen. Arbetsområdets mål används sedan när området utvärderas.
Hon har i dag inget aktivt samarbete med sina kollegor om hur undervisningen ska
bedrivas. Ibland delar hon med sig av sina erfarenheter. Detta utbyte är ensidigt. Tidigare
har hon under många år haft ett mycket aktivt samarbete med en kollega om
undervisningen och dess innehåll. Detta samarbete upphörde när kollegan gick i pension.
Hennes vision är att eleverna ska bli goda problemlösare, att de ska se matematik i
problem.
Lärare B:
Det viktigaste med matematik anser han är att lära eleverna vanlig räkning, lite geometri,
lite procenträkning och bråk.
Han menar att eleverna lär sig matematik på hans lektioner men också i vardagen.
Han anser sig bedriva en processinriktad matematikundervisning med utgångspunkt i
läroboken i matematik. I större grupper får eleverna oftast räkna självständigt. Han går runt
och hjälper så många han hinner med. I mindre grupper har han ibland genomgångar
framme på tavlan och låter gärna uträkningar och formler stå kvar på tavlan så att elever
som har kört fast kan titta där för att lösa uppgiften.
Varje arbetsområde startar med en målbeskrivning och genomgång av kapitlet i boken.
Han har inget samarbete med kollegor.
38
Hans vision är att han ska lära sig bra metoder för att lära eleverna på bästa sätt.
Lärare C:
Taluppfattningen anser hon är den viktigaste grunden i matematiken.
Hon menar att matematiken finns överallt och i alla ämnen. Detta försöker hon visa för
eleverna, när de t ex talar om tid, vilken vecka är det, hur många veckor och månader finns
det på ett år, hur många veckor eller månader är det kvar?
Hon har bedrivit sin matematikundervisning på många olika sätt genom åren och har både
arbetat med och utan lärobok i matematik. Idag arbetar hon på ett varierat sätt och lyfter
fram vikten av att gestalta matematiken konkret. I sin undervisning arbetar hon med
läromedel, kompletterande material till detta samt laborativt materiel som t ex Cuisenairestavar och geobräden. Det är viktigt att eleverna får tänka problemlösningsinriktat och
utbyta sina tankar. Eleverna får arbeta mycket med räknehändelser där de också får träning
i språket. Hon har även veckans kluring till eleverna som de får i hemuppgift. Här får
eleverna lära sig tänka matematiskt och problemlösningsinriktat. Kluringen går de sedan
igenom tillsammans i klassen där eleverna får lyssna på varandras tankesätt. Hon försöker
lägga undervisningen på elevernas individuella nivå. Hon är tydlig med mål och syften i sin
undervisning till elever och föräldrar.
Tillsammans med en kollega planerar de terminen genom att undersöka läroboken i
matematik för att se vilka moment som finns med. Om de tycker att något saknas
kompletterar de med eget underlag så att de får med ”allting”.
Hon har ett aktivt samarbete med en kollega om matematikundervisningen.
Hennes vision är att eleverna ska få grunden i vardagsmatematiken så att de klarar sig
hjälpligt i framtiden. Hon vill också att eleverna ska få ett intresse för matematik och tycka
det är roligt.
39
Lärare D:
Enligt honom är det viktigt att inte vara för styrd av ett läromedel. Det är vägen till svaret
som är det viktiga och att eleverna lär sig de grundläggande begreppen.
Han menar att eleverna lär sig matematik tillsammans med andra i form av diskussioner där
matematiken sätts in i ett sammanhang. Detta kan göras t ex med uppgifter i läroboken i
matematik eller med bilder där eleverna får skriva egna räkneberättelser. Eleverna får
arbeta i olika gruppkonstellationer.
Han bedriver sin undervisning genom att försöka utgå från var varje elev befinner sig
kunskapsmässigt, vilket är svårt med många elever i klassen. Eleverna får också reflektera
över vad de lärt sig i matematik både individuellt och i grupp. Att låta eleverna få
samarbeta, prata matematik och reflektera över sitt arbete både enskilt och i grupp är något
han anser viktigt.
I början av ett arbetsområde får eleverna göra några uppgifter som avslöjar vilka begrepp
de har befästa och utgår därifrån med sin undervisning. Inför ett nytt arbetsområde brukar
han titta på strävansmålen och försöker relatera undervisningen till dessa. Han brukar starta
med något praktiskt arbete eller en räknehändelse innan de börjar räkna i läroboken.
Han har inget aktivt samarbete i matematik med någon kollega.
Hans vision är att eleverna ska känna sig trygga, se sammanhang, se helheten och att de lär
sig grundläggande begrepp. Han vill också att lärare ska arbeta tillsammans.
Fråga 8. Hur bygger du upp elevernas förståelse för bråk?
Lärare A:
Hon börjar med att kritisera upplägget av läroboken i matematik när det gäller att bygga
upp förståelsen kring räknandet. Boken börjar med en massa figurer som är uppdelade där
vissa är färgade. Eleverna ska ange hur stor del som är färgade och möjligen hur stor del
som är kvar när de färgade är borttagna. Boken hoppar därefter till addition med bråk, först
40
med lika nämnare och sedan med olika nämnare. För de duktigare eleverna kommer även
multiplikation med bråk och för de allra duktigaste också division med bråk.
Detta tycker jag är fel ordning. Bråk uppstår i divisioner, så när man bygger upp
förståelsen kring bråk, hur man ska hantera bråk och lära sig reglerna inom bråk. Då ska
man börja i division. Det är det bråk består av. Det är mycket vanligare med verkliga
problem med division med bråk än med addition av bråk med olika nämnare. Det
förekommer ju nästan aldrig, men en division med 2/3 är inte så konstigt. Jag kan hitta på
massor med exempel…
Paradoxalt nog säger hon att undersökningar har visat att elever har bättre förståelse av bråk
innan de har blivit undervisade i det.
Hon börjar ofta med att ge eleverna ett häfte, som hon själv satt samman, med bråkproblem
tagna ur elevernas verklighet. Detta häfte arbetar eleverna med innan hon börjar sin
undervisning av ämnet. De använder då sina egna erfarenheter tillsammans med
situationerna som behandlas i häftet. När eleverna sedan arbetar med uppgifter i läroboken i
matematik kan de gå tillbaka och relatera till uppgifterna i häftet.
Lärare B:
Han använder sig av läroboken i matematik och de mallar som finns där. Han tycker att
boken är bra. Han bläddrar och visar i boken vilken typ av uppgifter de räknar.
Först räknar man med pizzor. Sen vilket som är störst av 4/7 eller 6/7. Sen ska de skriva
storleksordningen på bråken, 5/7, 6/12 och 7/15. Detta tycker eleverna är svårt så här
använder vi miniräknaren och de får jämföra vilket decimaltal som är störst. De duktigaste
kan jämföra talen. Är något mer eller mindre än en ½ och så vidare. Sen kommer bråk med
decimaltal och sen tvärtom.
Lärare C:
Ja, jag startar upp bråkbegreppet med Cuisenaire-stavar. Att vi jobbar med dem, först med
addition och sen lägger vi då stavarna, ja, ni vet ju hur det fungerar. Om jag då lägger en
rosa stav så ska vi lägga en matta. Vilka två kan du lägga så de blir lika långa som den
41
rosa? Då blir det två röda, då tar jag en av de två och frågar: Hur stor del av den rosa har
jag nu? Så vi kommer in på halva, en av två och så skriver vi det.
Hon försöker bygga upp det utifrån elevernas verklighet där de jämför med frukter som de
delar. I musiken pratar de om helnot, halvnot och fjärdedelsnot. Hon tycker att det är viktigt
att man först arbetar praktiskt för att sedan gå över till hur man skriver.
Lärare D:
Han bygger upp sin undervisning kring bråk praktiskt. Han poängterar att det är viktigt att
inte abstraktionsnivån blir för hög för snabbt. Vi bad honom förklara hur det praktiska
arbetet ser ut.
Ja, t ex som jag tänker på nu, det som vi gjorde förra året eller inledde med var just det här
med att var och en fick ett kolasnöre. Eller att man jobbar med Cuisenaire-stavar eller
något sådant. Men det var just kolasnörena de utgick ifrån, att dela upp dem på olika sätt.
Man har fått hela, man har en del av en del och så delar man upp det i mindre delar och så
hur många blir det totalt? En halv är lika med två fjärdedelar och så.
Han anser att det är bra med praktiskt materiel som eleverna får skapa själva. Exemplet
med kolasnöret anser han vara bättre än Cuisenaire-stavar för att det får eleverna skapa
själva. Han tror också att det är bra att arbeta med decimaltal och bråk samtidigt, att visa att
det inte är två skilda saker.
Fråga 9. Vilka är dina erfarenheter kring vad eleverna brukar tycka är lätt respektive svårt
när det gäller bråkbegreppet?
Lärare A:
Hon menar att eleverna har en intuitiv känsla för bråk och så länge de håller sig till
problemlösning går det bra. Kan de tänka de faktiska situationerna kan de klara uppgifterna
i boken, men någonstans måste de automatisera sitt bråkräknande för att ha förmågan att
senare kunna lösa någon form av algebra. Svårigheterna uppstår när de lämnar den
praktiska världen och måste automatisera sitt räknande. Då får de problem och blandar ihop
olika lösningsmetoder.
42
Lärare B:
Han hänvisar till läroboken i matematik och att eleverna t ex har lätt för uppgifter där de
ska dela pizzor. Eleverna har lätt för att växla en hel till 5/5 eller 7/7 men de har svårt när
de exempelvis ska ta 1/3 av en hel. När eleverna stöter på sådana här problem visar han
gemensamt på tavlan att han kan göra vilka delar han vill. Han tycker också att eleverna har
svårt när de ska gå ifrån ett kapitel i boken till ett annat. När de börjar i det nya kapitlet är
det många som glömt bort vad de precis gjort i det tidigare kapitlet. Orsaken till detta tror
han beror på att det finns så många olika områden inom bråk.
Lärare C:
Hon menar att eleverna har svårt när det bara står siffror och det inte finns någon bild eller
berättelse kopplad till uppgiften. Därför uppmuntrar hon eleverna till att alltid ha ett
kladdpapper bredvid sig så att det kan rita upp egna bilder till de abstrakta siffrorna. Hon
upplever att eleverna har lätt för bråk när de får det konkretiserat.
Lärare D:
Han upplever en väldig spridning bland eleverna när det gäller att förstå begreppet bråk,
och menar att abstraktionsnivån är väldigt hög. Eleverna har ganska lätt för att ta en halv av
någonting, t ex 1/2, 2/4, 3/6 etc. När de arbetar med mindre delar tycker han att det snabbt
blir svårare för eleverna. En del elever förstår bättre när de får arbeta med decimaltal i
stället för bråk. De har svårt att avgöra vilket av två bråk som är störst, eleverna tittar på
siffrorna och inte på bråktalet. Han uppmuntrar eleverna till att rita figurer för att
konkretisera uppgifterna.
43
Fråga 12. Tänk dig att en elev har löst nedanstående uppgift på följande sätt.
Hur skulle du ha väglett denna elev till förståelse?
I en skål ligger 12 frukter. Hälften är äpplen. Tredjedelen är päron och resten är bananer.
A. Hur många frukter ligger i skålen?
_____ frukter
B. Hur många av dem är päron?
_____ päron
C. Hur många av dem är bananer?
_____ bananer
Eleven ritar och svarar på följande sätt:
Elevens tolkning av texten.
A. Hur många frukter ligger i skålen?
_12__ frukter
B. Hur många av dem är päron?
__3__ päron
C. Hur många av dem är bananer?
__3__ bananer
Lärare A:
Hon frågar eleven hur han/hon har tänkt? Arbetar med det som passar eleven, i detta fall
bråkcirkel. I just detta fall hade hon själv valt att ta fram 12 centikuber och bara arbetat med
dem, men det är viktigt att utgå ifrån elevens tankesätt. De börjar med att rita bråkcirkeln
större. Hon börjar med att fråga eleven hur många hälften är, äpplen, och lägger in 6
centikuber i cirkeln. Hon frågar sedan hur eleven tänkt och försöker ta reda på om eleven
har tänkt på tredjedelen av de 12 frukterna eller på de resterande frukterna. Sedan använder
de bilden igen. Vad är i så fall en tredjedel? Då ser eleven att förhållandet mellan
bananerna och päronen inte kan vara lika många. Eleven ritar in en tredjedel av 12 i bilden
44
och lägger 4 centikuber. Hur många är det då kvar? Genom detta sätt får eleven både
bilden och antalet framför sig.
Lärare B:
Han börjar med att förklara för eleven och ställer samtidigt frågor.
Han läser uppgiften flera gånger och säger att han måste tala om för eleven att hälften är 6
äpplen och 1/3 är päron. Därefter fortsätter han att säga att 12 frukter i skålen är rätt. Han
ritar en cirkel, markerar hälften och förklarar att detta är 6 äpplen. Därefter ritar han en
tredjedel på samma cirkel. Men ångrar sig och menar att det kanske är bättre att rita en ny
bild vid sidan om och börjar på en ny cirkel, som han delar upp i tredjedelar. I denna cirkel
markerar han på nytt hälften och genom detta får han fram att det är en sjättedel kvar. Han
hade dock inte använt sig av benämningen en sjättedel utan pekat på hälften och sagt att det
är 6 och pekat på tredjedelen och sagt att det är 4 och sedan ställt frågan till eleven: Vad har
du kvar? (Se bilaga 5)
Lärare C:
Hon förklarar och vägleder eleven med hjälp av bilder eller ett konkret materiel t ex
klossar.
Hon ritar upp en cirkel och skriver 6 äpplen i cirkeln och säger att hälften av 12 frukter är 6
äpplen. Sedan frågar hon eleven: Hur många har vi kvar sen? Då har vi 6 kvar, då delar vi
upp dem i tredjedelar. De ritar tre cirklar och delar upp 6 frukter i dem. Hon konstaterar
tillsammans med eleven att innehållet i en av dessa cirklar är 2 päron. Det som är kvar är
två av de tre cirklarna. Det blir 4 bananer. Hon löser uppgiften fel. (Se bilaga 6)
Lärare D:
Han ställer frågor till eleven och ber eleven rita upp cirkeln en gång till. Sedan säger han till
eleven att det finns 12 frukter. Han ställer frågan till eleven igen. Eleven får sedan markera
att halva cirkeln är äpplen genom att dra ett streck. Sedan frågar han hur eleven kan
markera detta. Han ger exempel på att eleven kanske ritar 6 äpplen i den halva cirkeln eller
ritar 12 frukter och ringar in 6 av dem. Han frågar sedan: Vad är kvar? En tredjedel är
45
päron. Då frågar han vidare: En tredjedel av vad? En tredjedel av allihop? Hur mycket är
en tredjedel av 12? Hur skriver du detta? Han ber eleven rita upp frukterna som finns och
låter eleven testa sig fram och dela in de 12 frukterna i tredjedelar. Han ber sedan eleven
markera de 6 äpplena och ställer nya frågor. Hur många frukter är päron och ber eleven visa
och skriva antalet päron. Eleven får göra strukturer för frukterna. Han avslutar med att själv
skriva 6 äpplen, 4 päron och 2 bananer under uppgiften. Han kommenterar att han inte
skulle dra sig för att säga till eleven att han återkommer med ett svar. Han tycker det är bra
att få fundera och återkomma. Vissa elever kan man ställa följdfrågor till så att de får
upptäcka svaret själv. (Se bilaga 7)
46
6. Diskussion och slutsatser
Diskussionen är uppdelad i fem delar. Första delen handlar om hur lärarna bedriver sin
matematikundervisning generellt, andra delen om vilka kunskaper lärarna har om
bråkbegreppet och tredje delen om hur de använder sin kunskap om bråkbegreppet i
undervisningen. Därefter kommer en kort slutsats och sist finns ett avsnitt om
tillförlitligheten i vårt arbete.
6.1 Hur undervisar lärarna i matematik?
Engström (1998a) redovisar ett antal exempel på vad han menar karakteriserar en
konstruktivistisk undervisning. Vår uppfattning är att lärare A och C bedriver en
undervisning som har stora likheter med det som Engström beskriver. Detta grundar vi på
att lärare A och C har mycket laborativt arbete med problemlösande aktiviteter. Vidare
försöker de arbeta i elevernas verklighet och uppmuntrar eleverna till gruppdiskussioner
och reflektioner av sitt arbete. Lärare D beskriver ett liknande undervisningssätt men ger
inte direkt några konkreta exempel som stödjer det han säger. Lärare B däremot bedriver en
traditionell undervisning. Engström (1998a) säger att i traditionell undervisning ligger
fokus på hur läraren kan överföra kunskapen till eleven på bästa sätt. Lärare B säger att han
vill lära sig bra metoder så att han kan lära eleverna på bästa sätt, vilket vi tolkar vara det
som Engström menar.
Alla lärare, utom lärare B, poängterar vikten av att eleverna får lyssna på och lära av
varandra samt att reflektera över sina erfarenheter vilket också betonas av Engström
(1998b). I detta får de samtidigt träna sitt språk och lära sig att argumentera för sina
lösningar och granska andras lösningar. Detta är också mål som går att läsa i kursplanen för
matematik (Skolverket 2000).
Vi kan se i vår undersökning att ju mer erfaren en lärare är desto mer präglas
undervisningen av konstruktivismen. De erfarna lärarna är också de som visar mest intresse
och störst ambitioner att vilja lära sig mer. Ma (1999) säger att ju längre tid man varit
verksam som lärare, desto bättre blir ens begrepp befästa. Samtidigt säger hon att det finns
en risk att man ser grundläggande matematik som något enkelt, något som alla kan. Det
47
finns en risk att betydelsen av lärarnas begreppskunskaper underskattas eller ignoreras. Vad
vi sett idag är att ute på skolorna bedrivs till största delen en traditionell undervisning där
inte mycket av senare tids forskning inom matematikdidaktiken är synlig. Därför är det
mycket positivt överraskande att två av de lärare vi intervjuat faktiskt undervisar på ett
sådant sätt som förespråkas av många forskare och på lärarutbildningen.
Alla fyra lärarna säger att de arbetar aktivt och synligt med kursmålen i undervisningen.
Detta tycker vi är bra och det är viktigt att eleverna får vara delaktiga i undervisningen. Det
är också av stor betydelse att eleverna får en förståelse för varför de ska lära sig vissa saker
och vilken betydelse det kan ha för deras fortsatta utveckling.
Av de fyra lärarna är det bara lärare C som i dag har ett aktivt samarbete med någon kollega
när det gäller matematikundervisningens innehåll. Enligt Ma (1999) är detta en av de
viktigaste bidragande orsakerna till att utveckla en god begreppsförståelse hos lärare.
Lärare A har tidigare under många år haft ett mycket aktivt samarbete med en kollega, men
detta upphörde när denne gick i pension. Här ser vi också en koppling mellan ett samarbete
lärare emellan och att bedriva en mer konstruktivistiskt inriktad undervisning.
6.2 Vilka kunskaper har fyra olika lärare om bråkbegreppet?
Vi anser att det är stor spridning i lärarnas begreppskunskap. Lärare A har inga problem att
lösa uppgift 10 och kan också enkelt formulera en räknehändelse till uppgift 11. Vi tycker
att lärare A har en ganska god begreppskunskap men saknar initiativ till att visa flera
lösningsförslag och förklara sina lösningar vilket Ma (1999) menar är utmärkande drag för
lärare med en väl utvecklad begreppsförståelse.
Man kan förmoda att lärare C också har goda kunskaper om bråkbegreppet när man tar del
av hur hon beskriver sin undervisning. Ändå misslyckas hon med att lösa våra uppgifter.
Detta kan ha flera orsaker. Hon behärskar inte den här typen av uppgifter eftersom hon
endast undervisar i år 1 – 4. Hon kan ha läst uppgifterna fel eller känt sig stressad. Det vi
kan konstatera är att hon enligt både Ma (1999) och Malmer (2002) gör ett mycket vanligt
fel genom att förväxla dividera med en halv och dividera med två. Detta gör hon både i
uppgift 10 och 11. Vi anser att detta visar på brister i begreppskunskap.
48
Lärare B verkar vara mycket instrumental, d v s han har metoder att själv enkelt lösa
uppgifter, och säger att kan man bara formlerna är det enkelt att lösa uppgifterna. Själv
anser han sig ha lätt för matematik och visar på två olika lösningsförslag till uppgift 10. Vi
uppfattar dock att han har brister i sin didaktiska kunskap och inte har begreppet befäst.
Detta grundar vi på att han inte formulerar en räknehändelse till uppgift 11 och i sin
undervisning är han mer lotsande än coachande. Enligt Löwing (2004) och Malmer (2002)
räcker det inte med att själv kunna lösa en uppgift och förstå innehållet. Läraren måste
också kunna möta elevernas olika behov i undervisningen, d v s kunna förklara på många
olika sätt och kunna konkretisera problemen.
Vi tror att lärare D har brister i sin kunskap om bråkbegreppet. Först försöker han lösa
uppgift 10 genom att täljare och nämnare görs liknämniga, men sedan kommer han inte
längre. Ma (1999) menar att detta tillvägagångssätt visar på brister i begreppskunskap. Han
måste sedan omvandla bråktalen till decimaltal för att kunna lösa uppgiften. Löwing (2004)
menar att saknar man teoretiska kunskaper ifråga om tal i bråkform översätter man ofta till
decimalform för att lösa problemet. Detta visar på brister i begreppskunskap. Vidare kan
han inte formulera en räknehändelse för att belysa problemet vilket också förstärker vårt
antagande.
Enligt Ma (1999) är begreppskunskap något man utvecklar under sin karriär som lärare. Det
ligger mycket och hårt arbete bakom för att få begreppen befästa och kunna använda dem
rätt i sin undervisning. Den lärare som vi anser har begreppet bäst befäst är lärare A som
har 17 års erfarenhet i yrket.
6.3 Hur använder de fyra olika lärarna sina kunskaper om bråkbegreppet i
undervisningen
Lärare A säger att när det gäller bråk är det viktigt att veta vad täljare och nämnare står för
och förstå innebörden av del av antal och del av en hel. Vikten av detta belyses också av
Kronqvist & Malmer (1999) och Engström (1997). Hon poängterar också att bråkbegreppet
ligger till grund för förståelsen för algebra. Detta förhållande betonas även av ett flertal
forskare. Engström (1997) menar sig sakna kopplingen mellan bråk och algebra ur ett
didaktiskt perspektiv i kursplanen. Bergsten m fl (2001) säger att om man inte förstår vad
49
förlängning av ett bråktal innebär kommer man heller inte att förstå och kunna hantera
algebraiska omskrivningar/förkortningar. Löwing (2004) är av samma uppfattning när hon
säger att om eleverna inte behärskar bråkräkning i grundskolan får de problem när de ska
utföra algebraiska förenklingar i gymnasieskolan. Lärare A säger att eleverna också måste
kunna automatisera sitt bråkräknande för att senare kunna behärska algebra.
Lärare B bedriver sin undervisning helt utifrån läroboken i matematik och menar att det
material som finns där täcker de behov som behövs för undervisning av bråk. För honom
ligger fokus mycket på att lära sig formler. Enligt Runesson (1999) finns det en stor risk att
bråkundervisningen blir ensidig om man endast arbetar utifrån läroboken i matematik och
att de procedurella aspekterna betonas mer än de begreppsliga. Av de fyra lärarna är det
endast lärare A som anser att bråk är någonting som är naturligt för eleverna. Hon menar att
de flesta har en intuitiv känsla för bråk innan de blir undervisade i ämnet men säger också
att många tappar denna känsla efter ett tag. Lärare B och D anser att bråk är svårt och
abstrakt. Lärare C säger att eleverna upplever bråk som svårt när de inte får det
konkretiserat. Alla utom lärare B talar mycket om att använda laborativt materiel och bilder
för att underlätta begreppsförståelsen för eleverna. Malmer (2002) bekräftar att arbeta med
konkret materiel avsevärt ökar förutsättningarna för elevernas begreppsbildning. Dock finns
en risk med att använda bilder i undervisningen om de används på ett oöverlagt sätt.
Engström (1998b) menar att det finns en risk att eleverna inte tolkar bilderna så som läraren
tror.
Både lärare B och D uppmuntrar sina elever till att använda miniräknaren för att t ex
storleksordna bråktal. Eleverna får då använda miniräknaren för att omvandla bråktal till
decimaltal. Lärarna anser att det då blir lättare för eleverna att avgöra vilka av talen som är
störst. Detta tolkar vi som att de saknar strategier men också har brister i sin
begreppskunskap. Löwing (2004) menar att lärare som saknar teoretiska kunskaper
undviker att behandla ämnet. Vi har tidigare identifierat brister i lärare Ds begreppskunskap
och kan här se hur detta avspeglar sig i hans undervisning. Detta kan i sin tur leda till att
eleverna får brister i sin begreppskunskap. Vidare säger Streefland (refererad i Runesson
1999) att elever som endast tittar på siffrorna och inte på bråktalen och gör generaliseringar
har svårigheter med att se helheten, den s k N-distraktorn.
50
Under intervjuerna uppmärksammade vi vid ett flertal tillfällen att lärare D undvek att
använda rätt terminologi, t ex täljare och nämnare, utan säger istället: den här, den där, den
där uppe och den där nere. Löwing (2004) menar att för eleverna ska få en bra
begreppsuppfattning är det viktigt att läraren tidigt inför korrekt terminologi och är
konsekvent med detta i sin undervisning. Vi anser att om läraren använder fel terminologi
försvåras ytterligare elevernas begreppsbildning.
När det gäller uppgift 11 är det bara lärare A som kan göra en räknehändelse. Denna är ett
exempel på innehållsdivision. Om inte lärarna själva behärskar begreppet innehållsdivision
är det stor risk att eleverna inte tänker innehållsmässigt vilket också påpekas av Malmer
(2002). Förutom att göra en räknehändelse med innehållsdivision visar Ma (1999) även på
två andra lösningssätt till uppgift 11, partitiv och produkt och faktor. Detta är ingenting
som nämns av någon av lärarna.
Lärare A, C och D säger att det är viktigt att utgå från elevens vardag i bråkundervisningen.
Lärare A och C visar på flera exempel hur de arbetar laborativt och med egna arbetsblad
med uppgifter från elevernas vardag. Lärare A säger också att hon helst utgår ifrån division
när hon börjar med bråkbegreppet.
Vår undersökning av de här lärarna visar verkligen på variation mellan lärarnas
undervisning av bråkbegreppet. Runesson (1999) visar på hur differentierat
ämnesinnehållet kan vara beroende på läraren, lärarens undervisning och kunskaper. Störst
skillnad ser vi mellan lärare A och B som undervisar i samma årskurser men på helt olika
sätt.
I fråga om lärarnas vägledning till uppgift 12 har vi gjort några observationer. Lärarna utgår
från bilden och försöker konkretisera tankarna i bilden för att försöka utveckla elevens
abstrakta tänkande. Enligt Skolverket (refererad i Ahlberg m fl 2001) är det viktigt för barn
att utveckla det abstrakta tänkandet som innebär att de kan göra överföringar mellan olika
uttrycksformer. Det vi står undrande inför, är varför ingen av lärarna nämner att
språkförståelse kan vara en anledning till att eleven gör fel på uppgiften. Bratt &
Wyndhamn (2000) menar att den abstrakta kunskapen främst är språkburen och visar på
hur språket utgör länken mellan kunskapen och uttrycket för kunskapen. Vi har sett under
51
vår verksamhetsförlagda tid att många av de elever som har problem med matematik även
uppvisar problem med språket. Förstår eleverna inte vad det står i uppgiften kan de inte
heller lösa den.
Vi anser att vi kan se i vår undersökning att lärarnas kunskaper om bråkbegreppet påverkar
deras sätt att bedriva undervisningen. Det är viktigt att lärarens ämneskunskaper och
didaktiska kunskaper förenas. Alexandersson (refererad i Löwing 2004) påpekar vikten av
en förening av goda ämneskunskaper och en välutvecklad metodisk förmåga. Vi menar
också att samarbetet lärare emellan påverkar hur undervisningen bedrivs. Vi vill igen
betona det Ma (1999) säger att den största bidragande faktorn till att lärare utvecklar en god
begreppskunskap är att lärare tillsammans analyserar, diskuterar, reflekterar och utbyter
idéer om undervisningen och dess innehåll. Det här arbetssättet anser vi att det finns
alldeles för lite av både ute på skolorna men även på lärarutbildningen.
6.4 Slutsatser
Det är stor skillnad på vilket sätt lärarna bedriver sin matematikundervisning. Två av
lärarna bedriver en konstruktivistiskt präglad undervisning och en lärare är mer traditionell.
Den fjärde läraren har drag av båda undervisningssätten. Arbetet visar att de lärarna med
längst erfarenhet i yrket bedriver en mer konstruktivistisk undervisning. Alla lärare utom en
uppmuntrar eleverna att lyssna på och lära av varandra samt reflektera över sina
erfarenheter. Samtliga lärare arbetar aktivt med kursmålen i undervisningen.
Vi ser stora skillnader i lärarnas kunskaper om bråkbegreppet. Bara två av lärarna kunde
lösa vår räkneuppgift med bråkräkning och endast en kunde formulera en korrekt
räknehändelse till uppgiften. Vi anser att endast en av lärarna har bråkbegreppet befäst.
Även i användandet av sina bråkkunskaper ser vi stora skillnader i lärarnas undervisning.
En lärare arbetar enbart med läroboken och med att lära ut formler för att lösa uppgifterna.
De andra försöker utgå från elevens vardag och vill konkretisera undervisningen med bilder
och laborativt materiel. Den lärare som vi anser har bråkbegreppet bäst befäst bedriver
också den undervisning som har störst variation.
52
Det hade varit intressant att gå vidare med detta arbete. Intressant vore att göra en större
undersökning liknande den Ma har gjort för att få en mer statistisk säker undersökning i
Sverige. Det hade också varit intressant att gå ett steg längre i vår undersökning och se
vilka begreppskunskaper eleverna har och relatera dessa till lärarnas.
6.5 Tillförlitlighet
Vi har identifierat följande reliabilitetsbrister (Johansson & Svedner 2001):
Detta arbete bygger i stora delar på lärarnas subjektiva uppfattning om sin egen
undervisning. Vi har inte haft några möjligheter att själva göra klassrumsobservationer. Vi
har heller inte kunnat utvärdera lärarnas undervisning genom att göra någon form av
elevundersökning eller elevtester.
Vi kan se i våra intervjuer att vi inte alltid lyckats få fram tillräckligt underlag för att kunna
dra fullständiga slutsatser. Alla lärare uppmanades att tänka högt och att ge så uttömmande
svar som möjligt och gärna flera alternativa svar. Vår strategi i intervjuerna var att låta
lärarna själva få berätta utan att gå in och styra för mycket. Detta kan ha gjort att vi gått
miste om viss information. Dock anser vi att den information vi har är relevant och riktig.
Lärare C är intervjuad av en av oss. De andra tre är intervjuade av den andra. Dessutom
intervjuades D endast med en av oss närvarande. Vi anser att detta inte nämnvärt har
påverkat resultatet av intervjuerna.
Under intervjuerna uppstod tekniska problem med diktafonen vilket innebar att kortare
delar av intervjun med lärare B och D inte kunde spelas in utan fick antecknas för hand. Vi
anser inte heller att detta påverkat vårt resultat nämnvärt.
53
7. Avslutning
Efter en intensiv och lärorik process vill vi tacka de fyra lärarna för att de ställde upp på
intervjuerna och gjorde denna undersökning möjlig. Ett stort tack till vår handledare
Marianne för hennes coachning, som skapat många intressanta diskussioner. Vi vill också
tacka våra familjer för allt stöd under arbetets gång. Ett förlåt till våra söner, Neo och
Melker, för att vi inte gett er lika stor uppmärksamhet som vi borde. Sist men inte minst vill
vi tacka varandra för ett gott samarbete, vilket resulterat i detta arbete som vi är mycket
stolta över.
54
8. Referenser
Ahlberg, Ann m fl (red.) (2001). Matematik och språk. I: Matematik från början.
Göterborg: Nämnaren Tema.
Bergsten, Christer m fl (red.) (2001). Algebra för alla. Göteborg: Nämnaren Tema.
Bratt, Bengt & Wyndhamn, Jan (2000). Språket – vår mentala tumme. I: Matematik – ett
kommunikationsämne. Göteborg: Nämnaren Tema.
Engström, Arne (1993). Om de rationella talen i den grundläggande matematik
undervisningen. Malmö: Lärarhögskola.
Engström, Arne (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Om elevers konstruktioner av
bråk. Stockholm: Almqvist & Wiksell. Lunds universitet, Malmö Högskola, 128.
Engström, Arne (1998a). Inledning. I: Engström, Arne (red.) Matematik och reflektion.
Lund: Studentlitteratur.
Engström, Arne (1998b). Om bråken i den grundläggande matematikundervisningen. I:
Gran, Bertil (red.) Matematik på elevens villkor. Lund: Studentlitteratur.
Engström, Arne (1998c). Piagets genetiska epistemologi. I: Engström, Arne (red.)
Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Ernest, Paul (1998). Vad är konstruktivism? I: Engström, Arne (red.) Matematik och
reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Hedrén, Rolf (2001). R ä k n i n g i d a g o c h i m o r g o n . I: Grevholm, Barbro (red.)
Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Jaworski, Barbara (1998). Att undervisa i matematik: ett social-konstruktivistiskt
perspektiv. I: Engström, Arne (red.) Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Johansson, Bo & Svedner, Per Olof (2001). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala:
Kunskapsföretaget.
55
K e v i u s , B r u n o ( 2 0 0 4 ) . M a t e m a t i k m i n i m u m – Terminologi . Tillgänglig:
http://matmin.kevius.com/aritmet.html#divi (läst 2005-12-16).
Kilborn, Wiggo (1990). Didaktiskämnesteori i matematik. Del 2 Rationella och irrationella
tal. Stockholm: Utbildningsförlaget.
Kilborn, Wiggo & Löwing, Madeleine (2002). Baskunskaper i matematik för skola hem och
samhälle. Lund: Studentlitteratur.
Kronqvist, Karl Åke & Malmer, Gudrun (1999). Räkna med barn. Solna: Ekelunds Förlag
AB.
Löwing, Madeleine (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. Göteborg:
Acta Universitatis Gothoburgensis. Göteborg studies in educational sciences 208.
Ma, Liping (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Mahwah, New Jersey:
Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
National Encyklopedin (1991). Höganäs: Bokförlaget Bra Böcker AB.
Runesson, Ulla (1999). Variationens pedagogik: skilda sätt att behandla ett matematiskt
innehåll. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Göteborg studies in educational
sciences 129.
S k o l v e r k e t ( 2 0 0 0 ) . Grundskolans kursplaner och betygskriterier . Västerås:
Skolverket/Fritzes.
Skolverket (2003). L u s t e n a t t l ä r a – m e d f o k u s p å m a t e m a t i k. Stockholm:
Skolverket/Fritzes.
Skolverket (2004). TIMSS 2 0 0 3 . S k o l v e r k e t s r a p p o r t n r . 2 5 5 . S t o c k h o l m :
Skolverket/Fritzes.
56
Sterner, Görel (2001). Matematik och språk. I: Ahlberg, A m fl. Matematik från början
Göterborg: Nämnaren Tema.
Thompson, Jan (1991). Wahlström & Widstrands Matematiklexikon. Stockholm:
Wahlström & Widstrands.
Utbildningsdepartementet (2002). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,
förskoleklassen och fritidshemmet. Lpo 94. Stockholm: Skolverket/Fritzes.
57
Bilaga 1:1 Liping Ma
Kommutativa lagen:
Bibehålla värdet av kvoten:
De visar också på tre alternativa sätt att lösa uppgift 10.
Alternativ 1: Att använda decimaltal
1,75 / 0,5 = 3,5
Alternativ 2: Den distributiva lagen
A)
58
Bilaga 1:2 Liping Ma
B)
Alternativ 3: Lösa uppgiften utan att multiplicera
Bevis
59
Bilaga 2 Information angående intervjun
Vi studerar på Malmö högskola till lärare för grundskolans tidigare år, vårt huvudämne är
matematik och lärande.
Vi skriver ett examensarbete om begreppsbildning. Vi vill intervjua lärare angående hur
han/hon resonerar kring sin undervisning när det gäller begreppet bråk.
Vi hoppas att du vill dela med dig av dina erfarenheter när det gäller att undervisa om
bråkbegreppet.
Intervjun kommer att ta ca 30-45 minuter och spelas in via diktafon. Ditt deltagande är
frivilligt och du har rätt att avbryta din medverkan när du vill.
Ditt och skolans namn kommer inte att nämnas i rapporten och kommer inte att kunna
spåras.
Vårt examensarbete beräknas vara färdigt i januari 2006 och om du vill får du ta del av den
slutliga rapporten genom att vi skickar ett exemplar till dig.
Är det något du undrar över får du gärna höra av dig till oss.
Med vänliga hälsningar
Tina Svensson och Maria Dalholm
Tina Svensson
Maria Dalholm
E-mail address:
E-mail address:
[email protected]
[email protected]
60
Bilaga 3:1 Intervju med lärare angående bråkbegreppet
Vi vill intervjua lärare angående hur han/hon resonerar kring sin undervisning när det gäller
begreppet bråk. Vi har för avsikt att genomföra en kvalitativ intervju med hög
standardisering och låg strukturering. Vi delar upp intervjun i tre delar. I den första delen
ställer vi några bakgrundsfrågor samt söker kunskap om vilken typ av undervisning som
läraren bedriver och dennes syn på matematiken. I den andra delen vill vi titta på lärarens
begreppskunskaper när det gäller bråk, samt hur läraren behandlar detta i sin undervisning.
I den tredje delen ställer vi en avslutande fråga angående lärarens visioner inom ämnet
matematik.
Del A:
1. Vilken bakgrund har du, utbildning?
2. Vilka erfarenheter har du inom yrket?
3. Vad tycker du är viktigt i matematik?
4. Hur och när lär sig dina elever matematik?
5. Hur bedriver du din undervisning i matematik?
6. Hur är tillvägagångssättet när ni ska börja med något nytt i matematik?
61
Bilaga 3:2
Del B:
7. Vad innefattar bråkbegreppet för dig?
8. Hur bygger du upp elevernas förståelse för bråk?
9. Vilka är dina erfarenheter kring vad eleverna brukar tycka vara lätt respektive svårt
när det gäller bråkbegreppet?
10. Människor har olika tillvägagångssätt för att lösa problem som innehåller division
med bråk. Hur skulle du lösa följande uppgift?
11. Kan du formulera en uppgift som detta skulle kunna gestalta?
62
Bilaga 3:3
12. Tänk dig att en elev har löst nedanstående uppgift på följande sätt.
Hur skulle du ha väglett denna elev till förståelse?
I en skål ligger 12 frukter. Hälften är äpplen. Tredjedelen är päron och resten är
bananer.
A. Hur många frukter ligger i skålen?
_____ frukter
B. Hur många av dem är päron?
_____ päron
C. Hur många av dem är bananer?
_____ bananer
Eleven ritar och svarar på följande sätt:
Elevens tolkning av texten.
A. Hur många frukter ligger i skålen?
_12__ frukter
B. Hur många av dem är päron?
__3__ päron
C. Hur många av dem är bananer?
__3__ bananer
Del C
13. Vad har du för visioner med din matematikundervisning?
63
Bilaga 4 Lärare A
64
Bilaga 5 Lärare B
65
Bilaga 6 Lärare C
66
Bilaga 7 Lärare D
67