FYSIK A

KOMPLETTERINGAR TILL
FYSIK A
– FÖR TEKNIK/NA TURVETENSKA PLIGA BASÅRET
Mg
N1
N2
Juni 2006
NILS ALM QVIST
INSTITUTIONEN FÖR TI LLÄMPAD FYSIK,
MASKIN- OCH MATER IALTEKNIK
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Förord
Detta kompendium och bifogade laborationshandledningar används i kursen Fysik A
(MTF504, MTF404) på de tekniskt/naturvetenskapliga basåret samt på datateknisk
ingång. Kompendiet kompletterar kursboken Bergström m. fl: ”Heureka!”, ISBN 91-2756721-4. (alternativt Alphonce m.fl., ”Fysik för gymnasieskolan A”).
I senaste versionen av kompendiet har det tillkommit text om mätningar och mätvärden.
Det är bl.a att kursen enklare ska kunna ges som ”nätutbildning”. Dessutom finns nu
extrauppgifter till avsnittet om ellära.
Luleå, juni. 2006
Nils Almqvist
Innehållsförteckning
1. Allmänt om att lösa problem i fysik ...............................................................................2
1.1.
Om mätningar och mätvärden ..............................................................................2
Storhet, mätetal och enhet ................................................................................2
Värdesiffror, gällande siffror ...........................................................................2
Grundpotensform ............................................................................................3
1.2.
Problemlösningsstrategi ......................................................................................3
2. Mekanik ..........................................................................................................................5
2.1.
Inledning .............................................................................................................5
2.2.
Kraftgeometri: grafisk och trigonometrisk lösning ...............................................6
Kraftvektorer ...................................................................................................6
Grafisk och trigonometrisk lösning av kraftsystem ..........................................6
2.3.
Analytisk lösning av kraftsystem .........................................................................9
Avslutande kommentar, sammanfattning ....................................................... 11
2.4.
Newtons lagar och jämvikt ................................................................................ 12
2.5.
Friktion ............................................................................................................. 15
2.6.
Kraftmoment .....................................................................................................17
Moment ......................................................................................................... 17
Kraftpar ......................................................................................................... 19
2.7.
Jämvikt ............................................................................................................. 19
Jämviktsvillkor .............................................................................................. 19
Friläggning .................................................................................................... 20
Problemlösning ............................................................................................. 22
2.8.
Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse ............................................... 23
Allmänt ......................................................................................................... 23
Kaströrelse – plan rörelse .............................................................................. 24
Övningsuppgifter ................................................................................................................ 27
Svar .....................................................................................................................................41
Laborationshandledningar:
Laboration 1: Mekanik
Laboration 2: Geometrisk optik
Lektionslaboration
Laboration 3: Spänning, ström och resistans
·
1
FYSIK A
1.
- KOMPL ETTER INGA R
Allmänt om att lösa problem i
fysik
I den här kursen ska du lösa fysikaliska problem och träna dig i laborativt arbete. Det är
viktigt att du har en problemlösningsstrategi och att du redovisar dina lösningar så att
andra kan förstå dem. Dina lösningar ska presenteras på ett begripligt sätt och vara klara
och tydliga. Du måste också kunna hantera mätningar, mätvärden, skriva tal med
tiopotens samt hantera storhet, mätetal och enhet. Om dessa saker står det på lite olika
ställen i kursboken. Här försöker vi introducera några viktiga komponenter och visar
exempel på en möjlig problemlösningsstrategi. Det här avsnittet kan du läsa i samband
med att du löser problem.
1.1.
Om mätningar och mätvärden
Storhet, mätetal och enhet
Med storhet menas det som mäts t ex längd, tid eller massa. Mätetalet är hur mycket vi
mäter. Anta att vi använder ett måttband för att mäta längden på en bil. Vi mäter längden
till 4,52 m. Då är storheten vi mäter längd, mätetalet är 4,52 och enheten är meter (m).
Det har funnits, och finns, många olika enheter för längd (t ex mil, tum, aln, fot, meter).
Inom naturvetenskapen har man enats om ett gemensamt internationellt enhetssystem som
kallas SI. SI-enheterna innehåller sju grundenheter som bl. a är meter (m), sekund (s) och
kilogram (kg). Det står mer om detta i kap. 3.4 (s.77) som ingår i nästa lektion. I
formelsamlingen (s.16) så står dessutom hur man definierar dessa enheter.
Värdesiffror, gällande siffror
Man ska kunna se direkt på ett mätetal hur noga mätningarna utförts. När vi anger att vi
mätt längden på bilen till 4,52 m så visar mätetalet att mätningarna har utförts på
centimetern när. Hade vi istället angett längden till 4,520 så menas att mätning gjorts med
millimeterprecision.
I ett heltal som inte slutar med nolla är samtliga siffror gällande. För decimaltal gäller att
nollor i början av talet inte är gällande. Nollor inuti och i slutet av decimala tal gäller
däremot.
Några exempel på antal värdesiffror:
Mätetal
704
7,254
0,0034
120
1,2∙102
Gällande siffror
3
4
2
3 (eller 2)
2
Tabell 1: Antal gällande siffror hos några olika mätetal
·
2
Allmänt fysik
FYSI K A - ME KA NI K
Grundpotensform
Tabell 1 visar att det kan vara osäkerhet i hur många gällande siffror mätetalet 120 har.
Därför är det ofta lämpligt att ge mätetal på grundpotensform, dvs. med bara en
heltalssiffra och tiopotens. Skrivs 120 som 1,20∙102 så menas att det är 3 gällande siffror.
Senare i kursen kommer vi använda prefix för att skriva tiopotensen.
Exempel 1:
En löpare springer 100 m på 17 s. Tiden har vi då mätt med ett vanligt analogt
armbandsur (med sekundvisare). Vi räknar ut löparens medelhastighet. Den
räknar vi ut som sträckan dividerat med tiden, dvs. 100/17 m/s. Knappar vi det
på vår miniräknare så får vi 5,882352941. Hur ska vi svara?
Lösning:
Eftersom vi inte kan mäta tiden noggrannare än med två värdesiffror, bör vi
inte svara med fler siffror än två. Vi ska dessutom ange enhet. Vi bör alltså
ange att löparen sprang med medelhastigheten 5,9 m/s.
Är det fort? Hur mycket är det i km/h?
m 5,9
m 5,9 km 5,9
km

 1000 

 3600

s 1000
s 1000 s 1000
3600 s
5,9
km

 3600
 5,9  3,6 km / h  21 km / h
1000
h
5,9
Vi kan alltså svara antingen att medelhastigheten är 5,9 m/s eller 21 km/h.
1.2.
Problemlösningsstrategi
När du löser fysikproblem ska du försöka göra det på ett strukturerat sätt. EN generell
metodik som ofta fungerar är att dela in problemlösningen i olika delar, som:
1) Definiera problemet (avgränsa och förstå problemet).
2) Undersök (lufsa runt och nosa på problemet)’
3) Planera (ta fram olika lösningsvägar, samla in nödvändiga hjälpmedel)
4) Genomför (välj bästa metoden att angripa problemet)
5) Utvärdera (kontrollera resultat och redovisa)
En mer detaljerad bild av hur det kan gå till finns i Figur 1.
Exempel 2
Vid OS i München 1972 vann Gunnar Larsson OS guld i simning 400 m
medley med tiden 4.31,981 (4 min och 31,981 s). Gunnars marginal till tvåan
(Tim McKee) var 0,002 sekunder. Är det rimligt att mäta tiden så noggrant?
Ledning till lösning
Prova själv att fundera igenom lösningen, helst med metoden från Figur 1.
Räkna t ex ut hans medelhastighet. Sedan hur långt Gunnar i medel simmade
på 0,002 sekunder. Det blir mindre än tre millimeter. Alltså, eftersom de
simmade 8 bassänglängder (ytterligare uppgift som man måste ta reda på) så
motsvarar det mindre än 0,4 mm per bassänglängd. Förmodligen är
bassänglängderna inte byggda med den noggrannheten. Det är alltså inte
rimligt att mäta med den noggrannheten om det ska vara sportsligt rättvist.
Men visst, det är ju inte lika roligt att det blir oavgjort…
3
A l l mänt f y si k
FYSI K A - ME KA NI K
1. Avgränsa och förstå, vilket är problemet?
Förstår du orden i texten? Beskriv problemet med dina
egna ord.
Vad frågas det efter?
Rita diagram eller en skiss av problemet.
Vad är givet?
Ta med given information i skissen.
Vilka fysikaliska principer kan vara relevanta?
2. Undersök problemet och beskriv fysiken
Erinra dig liknande problem eller erfarenheter.
Vilka ekvationer beskriver de principer som kan
komma ifråga.
Vilka storheter behöver vi känna till för att kunna lösa
problemet?
Vilka antaganden och approximationer måste vi göra?
3. Gör upp en plan
Kan problemet delas upp i delproblem?
Finns det flera sätt att nå målet?
Samla in nödvändiga uppgifter.
Välj lösningsmetod.
4. Genomför planen/uträkningen
Räkna med bokstäver så långt det är praktiskt möjligt.
Ev. jämför med alternativa lösningar.
Sätt in numeriska värden, gör beräkningar.
5. Utvärdera lösningen
Är svaret rimligt? Är enheten rätt?
Kontrollera tiopotenser och enheter.
Stämmer lösningen med vad du vet från tidigare?
Hur noggrant kan resultatet ges?
Om allt verkar okay, redovisa svaret och din tolkning.
Figur 1. En generell metodik för problemlösning som har stora likheter med
”Minnesota modellen” och ”Woods metod”.
4
A l l mänt f y si k
FYSIK A
2.
2.1.
KOMP LET TERI NGAR
Mekanik
Inledning
Mekanik är läran om partiklar och kroppar i vila och rörelse. Mekanik indelas i statik och
dynamik.
Statik behandlar kroppar som befinner sig i kraftjämvikt.
Dynamik är läran om kroppars rörelse. Dynamik brukar indelas i kinematik och kinetik. I
kinematiken beskriver man hur en kropps rörelse utan att ta hänsyn till vad som orsakar
rörelsen. I kinetik beskriver man sambandet mellan kraft och rörelse.
I den här kursen ingår både statik och dynamik. Några centrala begrepp som du ska ha
kunskap om när du läst mekanik är bl.a: kraft, kraftkomposant, kraftresultant, jämvikt,
tyngdacceleration, tyngdpunkt, friktion, Newtons lagar, vad som menas med tröghet,
mekanisk energi, lägesenergi, rörelseenergi, energiprincipen, arbete samt acceleration och
retardation.
5
Me k ani k -Inl e dni ng
FYSIK A
2.2.
- KOMPL ETTER INGA R
Kraftgeometri: grafisk och trigonometrisk lösning
En fysikalisk storhet som endast har belopp (storlek) kallas en skalär. Exempel på skalärer
inom mekanik är tid, massa, storlek, densitet m.fl. En fysikalisk storhet som både har
belopp och riktning kallas en vektor. Från kursboken vet vi att en kraft har både storlek
(belopp) och riktning. Det är alltså en vektor. Med kraftens verkningslinje (riktningslinje)
menar vi den linje som går genom angreppspunkten och är parallell med kraftens riktning.
Även många andra storheter inom mekanik är vektorer, t.ex. hastighet och acceleration. Vi
behöver alltså veta som menas med en vektor och lära oss räknelagar för att lägga ihop
och dela upp krafter.
Kraftvektorer
En vektor brukar betecknas med en bokstav och ett streck över bokstaven. En vektor F är
en riktad sträcka som beskrivs av sin storlek (längd) F och sin riktning α.
Spets
F
α
Fotpunkt
Figur 2.
En vektor med längden noll kallas nollvektor (Beteckning: 0 ).
Grafisk och trigonometrisk lösning av kraftsystem
Två eller fler vektorer kan ersättas av en enda vektor, resultanten. Vi ska addera
kraftvektorer grafiskt till en resultant med två olika metoder: parallellogrammetoden och
polygonmetoden. I mekanik får vi addera krafter på dessa sätt när krafterna angriper i
samma angreppspunkt. Enklast illustreras metoderna med ett par exempel. Vektorerna i
dessa exempel antas alltså vara krafter:
Exempel 3: Bestäm den resulterande vektorn till vektorerna i Figur 3 nedan
D
F
2
A
Figur 3
F
1
B
6
Kraf t ge ome t ri – graf i sk , t ri gonomet ri sk
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Lösning I: Parallellogrammetoden:
Rita en parallellogram där F1 och F2 är sidor.
F
2
A
Figur 4
D
C
R
B
F
1
R = AC är resultant till F1 och F2 . Man skriver R = F1 + F2 .
Lösning II: Polygonmetoden:
Parallellförflytta F2 så att dess fotpunkt är i B.
C
R = F1 + F2
F
2
A
Figur 5
B
F
1
Resultanten = den vektor som ”startar” i första vektorns ( F1 ) fotpunkt och
”slutar” i andra vektorns ( F2 ) spets.
Exempel 4: Bestäm resultanten till nedanstående vektorer.
F
2
F
3
F
1
Figur 6
Lösning: Polygonmetoden är speciellt användbar när vi har mer än två
vektorer. Parallellförflytta enligt Figur 7.
F
R  F1  F2  F3
3
F
2
Figur 7
F
1
Resultanten = den vektor som ”startar” i första vektorns fotpunkt och ”slutar”
i sista vektorns spets.
Lika väl som vi kan ersätta två vektorer med en enda, kan vi dela upp en vektor i två
andra. Vi delar upp en vektor i två mot varandra vinkelräta komposanter.
7
Kraf t ge ome t ri – graf i sk , t ri gonome t ri sk
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Exempel 5: Kraftvektorn
F i Figur 8 har storlek (längd) F = 10 N och verkar
i riktningen α = 30° enligt figur 7. Dela upp F i två komposanter längs x och
y.
y
F = 10 N
F
α = 30°
x
Figur 8
Lösning:
1) Grafiskt kan vi använda parallellogrammetoden. Bestäm lämplig skala
för krafterna och rita en parallellogram genom att dra två linjer genom
F :s spets. Den ena linjen dras parallellt med y och den andra dras
parallellt med x.
y
F
1
F1
F
F
α
F2
F
2
x
Figur 9. Uppdelning i komposanter
F = F1 + F2 , F kan ersättas av de två komposanterna F1 och F2 .
F1:s längd mäts med linjal att motsvara ca. 5,0 N och F2:s längd mäts
till ca. 8,7 N
2) Trigonometriskt kan vi beräkna komponenterna längs x- och y-axeln
som:
F1 = F·sin α = 10·sin 30°  5,0 N och
F2 = F·cos α = 10·cos 30°  8,7 N
Notera att om vi istället hade vetat komposanternas storlek så kunde vi
beräknat resultantens storlek genom att använda att de är vinkelräta mot
varandra. Resultantens storlek fås då med Pythagoras’ sats som:
F=
F1  F2 
2
2
5,02  8,7 2  10 N
8
Kraf t ge ome t ri – graf i sk , t ri gonome t ri sk
FYSIK A
2.3.
- KOMPL ETTER INGA R
Analytisk lösning av kraftsystem
Addition av vektorer kan ytterligare förenklas om vi beskriver vektorerna med hjälp av
koordinater. Det innebär att vi ”gör om” ett vektoriellt problem till ett skalärt problem.
Exempel 6: Vad blir resultanten till krafterna F1 och F2 i figur 10.
F
1
F
2
Figur 10
Lösning:
Lägg in ett koordinatsystem enligt Figur 11.
F
1
0
1
F
2
3
2
4
x
5
6
7
Figur 11
F1x = ( F1 :s x-koordinat) = 2
F2x = ( F2 :s x-koordinat) = 5
R = F1 + F2 ; R = 7 N (riktad längs positiva x-axeln).
Detta kan vi erhålla med koordinater på följande sätt:
Rx = F1x + F2x = 2 + 5 = 7
Således har resultanten x-koordinaten 7.
Om F1 har motsatt riktning blir F1x = -2
Rx = F1x + F2x = -2 + 5 = 3
Då blir resultanten en vektor med längden 3 riktad längs positiva xaxeln.
9
Kraf t ge ome t ri – anal y ti sk l ösni ng
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Exempel 7: Bestäm resultanten till krafterna i Figur 12.
y
F = 11 N, F = 12 N
1
2
F
2
45
º
30
º
F
1
x
Figur 12
Lösning:
Vi ska beräkna summan av krafterna (kraftsumman). Dela upp
krafterna i vinkelräta komposanter längs koordinataxlarna.
y
F2y
F
2
F
1
F1y
45º
F1x = 11 cos 30
F2x = - 12 cos 45
F1y = 11 sin 30
F2y = 12 sin 45
30º
x
F1x
F2x
Vi adderar komponenterna längs x-axeln. Resultantens komponent
längs x-axeln får x-koordinaten:
Rx = F1x + F2x = 11 cos 30 - 12 cos 45  1,04 N.
Figur 13
Vi adderar komponenterna längs y-axeln. Resultantens komponent
längs y-axeln får y-koordinaten:
Ry = F1y + F2y = 11 sin 30 + 12 sin 45  13,99 N.
De givna krafterna F1 och F2 ersätter vi med komponenterna Rx och Ry
enligt Figur 14.
y
Storleken R av kraftsystemets resultant R
bestäms med Pythagoras’ sats
R
Ry
R = R  Rx2  Ry2  1.042  13.992 
14.02 N
Vinkeln  fås ur:
Ry
tan  =
   85,7.
Rx

x
Rx
Svar: Storleken hos resultanten till F1 och
F2 är 14 N och bildar vinkeln 85,7 med
positiva x-axeln
Figur 14
10
Kraf t ge ome t ri – anal y ti sk l ösni ng
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Avslutande kommentar, sammanfattning
De fysikaliska storheter som är vektorer indelas i olika klasser. Inom mekanik gäller att
kraftvektorerna är så kallade linjebundna vektorer som får flyttas längs sin verkningslinje.
Påverkan av kraften blir samma oavsett vilken angreppspunkt man väljer längs kraftens
verkningslinje. Begreppen angreppspunkt och verkningslinje är alltså viktiga begrepp i
mekanik.
stel kropp
kraftens
verkningslinje
Figur 15. Kropparna påverkas på samma sätt oavsett var utefter verkningslinjen
kraften verkar.
I fortsättningen använder vi ofta ett förenklat skrivsätt för vektorer. Vi använder enbart
beloppet (storleken) som beteckning för en vektor och låter pilens riktning motsvara
vektorns riktning.
F
7N
Figur 16. Förenklade beteckningar för vektorer. Den bokstav eller siffra som
finns vid pilen anger vektorns storlek.
11
Kraf t ge ome t ri – anal y ti sk l ösni ng·
FYSIK A
2.4.
- KOMPL ETTER INGA R
Newtons lagar och jämvikt
Den klassiska mekaniken grundar sig på ett antal grundlagar, som inte kan bevisas
matematiskt men som kunnat verifieras genom en mångfald fysikaliska observationer.
Lagarna, som formulerades av Isaac Newton (1643-1727), lyder:
Newtons första lag (tröghetslagen): En partikel förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig
rörelse (= jämvikt), om det inte verkar någon resulterande kraft på partikeln. Det kan man
skriva  F  0 . Resultanten till de krafter som verkar på ett föremål (kraftsumman) i
jämvikt ska alltså vara noll. Vid problemlösning kan man då använda jämviktsvillkoret
komponentvis som t ex att ”summan av de uppåtriktade krafterna som verkar på ett
föremål måste vara lika stora som summan av de nedåtriktade krafterna som verkar på
det” (jämför Heureka s. 82, Alphonce s. 97). Ett annat viktigt sätt att skriva
jämviktsvillkoren på är:
”Summan av alla krafter i x-led ska vara noll”:  Fx  0
(2.1)
”Summan av alla krafter i y-led ska vara noll”:  Fy  0
(2.2)
Newtons andra lag (accelerationslagen): En partikels acceleration är proportionell mot
den resulterande kraften som verkar på partikeln. Kraft och acceleration är riktade åt
samma håll. Vi kommer använda Newtons andra lag i slutet av kursen.
Newtons tredje lag (lagen om verkan och motverkan/återverkan): Mot en kraft svarar
alltid en lika stor och motsatt riktad kraft. Dessa krafter verkar på olika kroppar. Krafter
uppträder alltså alltid i par, lika stora och motriktade.
Första och tredje lagen illustreras med exempel:
Exempel 8:
Lådorna i figuren är i jämvikt. Den övre lådan har massa m = 1,0 kg och den
undre har massa M = 2,0 kg. Rita de krafter som verkar på respektive låda
samt beräkna deras storlek.
m
M
Figur 17
12
Ne wt ons l agar oc h k raf tj ämv i kt
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Lösning:
Rita först alla krafter som verkar på den övre lådan. Vi säger att vi frilägger
lådan:
y
mg = 9,8 N
N1
x
Figur 18.
Det verkar endast krafter i y-led (vertikal led) på
lådan. Här är mg tyngdkraften (9,8 N) på den övre
lådan. Den undre lådan ”håller emot” med en kraft
N1. Enligt jämviktsvillkoret så måste summan av de
uppåtriktade krafterna ha samma storlek som
summan av de nedåtriktade krafterna. Alltså måste
kraften N1 = 9,8 N. Krafterna mg och N1 är yttre
krafter till lådan.
Använder vi jämviktsvillkoret enligt (2.2) får vi att
 Fy  0 ger:
N1 – mg = 0  N1 = mg = 9,8 N
Rita nu alla krafter som verkar på den undre lådan:
N1 = 9,8 N
y
Mg = 19,6 N
x
Enligt Newtons tredje lag så uppträder krafter i
par, lika stora och motriktade, i kontakten. Den
undre lådan trycker med kraften N1 mot den övre
lådan. Då trycker den övre lådan med en lika stor
och motriktad kraft på den undre lådan. N1 är en
kontaktkraft mellan de två kropparna.
N2
Figur 19
Vid jämvikt är summan av de uppåtriktade krafterna lika med
summan av de nedåtriktade krafterna.
 Fy  0 ger:
N2 -N1 – Mg = 0  N2 = N1 + Mg = 9,8 + 19,6 = 29,4 N
Svar: enligt ovan
13
Ne wt ons l agar oc h k raf tj ämv i kt
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Exempel 9:
Med vilken kraft måste personen i figuren dra för att jämvikt ska råda?
Figur 20
Lösning:
Vi ritar knuten och bestämmer de krafter som verkar på den (frilägger).
Friläggning:
y
S
60
T
x
5g N
Figur 21
Jämvikt ger:
 Fx  0 ; T – S cos 60 = 0
 Fy  0 ; S sin 60 - 5g = 0
Ekvation (2) ger S =
(1)
(2)
5g
sin 60
(3)
(3) insätts i (1) ger T = S cos 60 =
5g cos 60
sin 60
Numeriskt fås T ≈ 28,29 N.
Svar: Han måste dra med 28 N.
14
Ne wt ons l agar oc h k raf tj ämv i kt
FYSIK A
2.5.
- KOMPL ETTER INGA R
Friktion
Tidigare har friktion bara omnämnts i förbigående. Här kompletterar vi bokens behandling
av makroskopisk torrfriktion med en approximativ modell av krafternas storlek vid
friktion.
Studera, som en låda med massa m som
placeras på ett horisontellt underlag och
påverkas av en horisontell kraft P.
P
m
Figur 22
När vi ritar de krafter som verkar på lådan
inser vi att den påverkas av en
reaktionskraft från underlaget. För att
lådan ska vara i jämvikt (t.ex. i vila) måste
gälla att reaktionskraften ska ha en
komposant F = P parallellt med
kontaktytan och en komposant N = mg
vinkelrät mot kontaktytan. Detta är det
mest praktiska sättet att dela upp
kontaktkraften mellan kroppar som har
friktion, dvs. en komposant längs ytan och
en komposant vinkelrät däremot.
Komposanterna brukar kallas friktionskraft
respektive normalkraft.
P
F
mg
N
Figur 23.
Friktionskraften F är riktad så att den förhindrar rörelse. Man brukar säga att
friktionskraften motverkar glidning eller tendens till glidning.
Om lådan är i vila och vi successivt ökar kraften P så kommer F = P så länge lådan är i
jämvikt. Detta brukar kallas vilofriktion eller statisk friktion.
Så länge lådan är i vila gäller också att F ≤ μsN, där μs är ett dimensionslöst tal, det så
kallade friktionstalet eller statiska friktionskoefficienten. Värdet på friktionstalet beror på
ytorna dvs. vad det är för material, hur skrovliga de är mm.
När kraften P är tillräckligt stor är lådan precis på gränsen att börja glida. Man säger då att
friktionen är ”fullt utbildad” eller att det är ”på gränsen till glidning”. Då gäller F = μsN.
När lådan börjar glida blir är friktionskraften något mindre än vid fullt utbildad friktion.
När den glider gäller att F = μkN, där μk är glidfriktionstalet (kinetiska
friktionskoefficienten).
15
Fri k t i on
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
F
F=P
P
Figur 24 Samband mellan friktionskraft F och dragkraft P för lådan enligt
texten.
Vi kan sammanfatta vad som gäller för lådan i en tabell:
Tillstånd
Vila
Friktionskraft
F=P
F ≤ μsN
Fullt utbildad friktion,
på gränsen till glidning
F=P
F = μsN
Glidning
F=P
F = μkN
Tabell 2. Sammanställning av friktionskraftens storlek i olika fall.
Vid laborationen kommer du att ytterligare undersöka friktion.
16
Fri k t i on
FYSIK A
2.6.
- KOMPL ETTER INGA R
Kraftmoment
Moment
Definition av kraftmoment (moment, vridmoment) M är att momentet är lika med
produkten av kraft, F, och momentarm (hävarm) l.
M=F∙l
(2.3)
Enheten för moment är newtonmeter ( [M] = Nm). Med momentarm menas vinkelräta
avståndet från vridningsaxeln till kraftens verkningslinje. Moment kan beskrivas med
vektorer, precis som krafter, men vi ska inte göra det i den här kursen. Däremot måste vi
ha ett sätt att ange positiv riktning för momentet.
Det gör vi genom att rita en krokig pil (
som i Exempel 10). Vi väljer först vilken
riktning den krokiga pilen ska ha (moturs eller medurs). Sedan räknar vi moment i pilens
riktning som positiva och moment i motsatt riktning som negativa.
Exempel 10:
Rita ut momentarm till samtliga krafter i figuren. Vridningsaxeln går genom
punkten A och är vinkelrät mot papperets plan. Beräkna även det resulterande
momentet (momentsumman) kring denna axel.
F2
F3
A
F1
F4
Figur 25
Lösning:
Vi räknar skalärt. Vi bestämmer att krafter som vrider moturs runt A ger ett
positivt moment och krafter som vrider medurs ger ett negativt moment.
F2
l2
F3
A
l
1
F1
l3
Figur 26
F4
Det resulterande momentet runt A, MA, blir då:
MA = - F1·l1 – F2∙l2 + F3∙l3 + F4·0
Pilen ovanför MA anger alltså den vridningsriktning som vi räknar
positiv.
I bland skriver man momentsumman  M A istället för MA .
17
Kraf t mome nt ·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Exempel 11:
Beräkna det moment som verkar på muttern i A i figuren. Kraften F är 200 N.
A
Figur 27
Lösning:
Metod I:
l
Figur 28
l = 0,30∙sin 60°
MA = F·l = 0,30∙sin 60° · 200  52 Nm.
Svar: Muttern påverkas av momentet 52 Nm medurs.
Metod II:
Figur29
28
Figur
Vi kan dela upp kraften i komposanter och bestämma momentet
genom att summera komposanternas moment.
F1 = F·cos 30° = 200·cos 30°
MA = 0,30 F1 + 0 F2 = 0,30∙200·cos 30°  52 Nm (samma
resultat).
.
F2:s hävarm har längden noll eftersom F2:s verkningslinje går
genom momentpunkten (A).
18
Kraf t mome nt ·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Kraftpar
Ett kraftpar är två lika stora och motriktade krafter med skilda parallella verkningslinjer.
Kraftsumman från ett kraftpar blir noll. Momentsumman från ett kraftpar blir lika stort
överallt i planet och beror bara på det vinkelräta avståndet, d, mellan krafternas
verkningslinjer.
F = 10 N
B
x
C
d=1m
A
D
F = 10 N
Figur 30 Ett kraftpar ger samma moment med avseende på alla vridningsaxlar.
Övningsfråga: Hur stort är det resulterande momentet i punkterna A, B, C och D av
kraftparet i Figur 30?
2.7.
Jämvikt
En kropp som är i vila eller rör sig med konstant hastighet längs en rät linje eller roterar
med konstant hastighet är i jämvikt. För att ett system ska vara i jämvikt så menas att alla
delar av systemet ska vara i jämvikt. Tidigare i kursen (Heureka 3.6, Alphonce 4.4 och
kap. 2.4 i detta kompendium) har vi använt att resultanten till de krafter som verkar på ett
föremål i jämvikt är noll och ställt upp villkor för kraftjämvikt. Vi har också använt att
kraftmomenten moturs och medurs är lika stora vid jämvikt (Heureka 11.4, Alphonce
10.4). Nu uttrycker kraft- och momentsituationen för en kropp som är i jämvikt mer
formellt och löser problem mer systematiskt.
Jämviktsvillkor
Enligt Newtons första lag förblir en partikel i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse
(= jämvikt), om kraftsumman på partikeln är noll. För en kropp gäller dessutom att
momentsumman med avseende på varje axel A ska vara noll, annars roterar kroppen allt
snabbare.
För att en kropp ska vara i jämvikt ska alltså gälla:
19
F  0
(2.4)
 MA  0
(2.5)
J ämv i k t
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
I den här kursen räknar vi på problem där alla krafterna ligger i ett plan (xy-planet). Då
kan vi enligt tidigare skriva skalära jämviktsekvationer som t ex:
”Summan av alla krafter i x-led ska vara noll”
 Fx  0
(2.6)
”Summan av alla krafter i y-led ska vara noll”
 Fy  0
(2.7)
 Mz  0
(2.8)
”Summan av alla moment runt en axel som är
parallell med z-axeln ska vara noll”
Det nya här, jämfört med i kapitel 2.4 är momentekvationen (2.8). I Exempel 9 var den
automatiskt uppfylld eftersom alla krafterna hade samma angreppspunkt. Att vi har tre
ekvationer betyder att vi kan beräkna tre obekanta krafter (eller moment).
Friläggning
Friläggning är ett av de viktigaste momenten när vi löser problem i mekanik. Vi har redan
gjort flera friläggningar. Med friläggning menar vi att den kropp vi studerar isoleras från
omgivningen. Andra kroppars påverkan på kroppen ersätts med krafter, dvs. krafter ritas i
kontaktpunkterna mellan kropparna.
På nästa sida visas en tabell med några vanliga kraftsituationer i kontakter. Tabellen kan
vara till hjälp när krafter ska ritas in på en frilagd kropp.
Ett lämpligt arbetssätt vid en friläggning kan vara:
–
–
–
–
–
Bestäm och anteckna vad som ska friläggas.
Rita en figur med enbart de ”yttre gränserna” hos kroppen som friläggs. Det är
viktigt att verkligen frilägga delen/kroppen från omgivningen (som vi gjorde t
ex i Exempel 8).
Rita in alla yttre krafter som verkar på kroppen. Ersätt alla tidigare kontakter
med omgivningen med en kontaktkraft. Inför resterande yttre krafter såsom
tyngdkraft. Om verkningslinjen för en kraft är känd, rita kraften som en vektor
längs verkningslinjen.
Rita in alla yttre moment som verkar på kroppen.
För in alla vinklar och viktiga mått i figuren, lägg in ett koordinatsystem.
20
J ämv i k t
FYSIK A
Typ av kontakt
- KOMPL ETTER INGA R
Kraftsituation på den kropp som friläggs
1. Snöre, rep, lina eller kedja
(masslöst).
Kraften T är riktad från kroppen längs linan
(Man kan inte trycka med en lina).
2. Friktionsfri trissa
T
T
F
Kraften T är lika stor i båda snörändarna.
3. Glatt yta
Kraften är vinkelrät mot kontaktytan.
4. Sträv yta
När vi har friktion är det lämpligt att dela upp kontaktkraften i en komposant
vinkelrät mot kontaktytan (normalkraften N) och en komposant tangentiellt
längs kontaktytan (friktionskraften F).
5. Rullager eller rullstöd
Tänk dig att balken utsätts för en kraft i x-led. Då skulle rullstödet inte kunna
”hålla kvar” balken. Man säger att rullstödet bara kan ta upp krafter i y-led.
6. Fast lager
Ett fast lager kan ta upp krafter i både x- och y-led.
7. Fast inspännig
En fast inspänning kan även ta upp moment.
8. Friktionsfri led
En friktionsfri led kan ta upp krafter i både x- och y-led.
Tabell 3 Kontaktkrafter vid olika kraftsituationer.
21
J ämv i k t
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Problemlösning
Följande metod kan vara lämplig att använda då vi löser problem:
–
–
–
–
Bestäm vad som ska friläggas för att vi ska kunna lösa det efterfrågade.
Frilägg, dvs. ”såga ut” delen och rita in alla yttre krafter o. dyl. enligt tidigare.
Ställ upp lämpliga jämviktsvillkor, ekvation (2.6) – (2.8).
Vid beräkningar kan det vara smart att välja momentcentrum så att så många
krafter (okända) som möjligt passerar genom det.
Beräkna den efterfrågade kraften eller momentet samt kontrollera att svaret är
rimligt.
Exempel 12
Var ska en nedåtriktad kraft F = 3 N placeras för att stången i figuren ska vara i
jämvikt? Beräkna även stödkraften på leden G. Avståndet mellan två hål är 1
m.
4N
2N
G
10 N
7N
Figur 31
15 N
y
Lösning:
Frilägg stången, inga krafter i horisontalled:
4N
2N
G
x
x
10 N
7N
F=3N
N1
15 N
Figur 32
Jämvikt ger:
M
G
 0 ; x·3 - 4·10 - 2·7 + 1·4 - 2·2 + 3·15 = 0
 3·x = 9; x = 3 m.
 Fy  0 ; N1 – 10 - 7 + 4 – 3 + 2 – 15 = 0
 N1 = 29 N
Svar: F ska placeras 3 m till höger om leden G.
Kraften som verkar på leden G är 29 N
22
J ämv i k t
FYSIK A
2.8.
- KOMPL ETTER INGA R
Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse
Allmänt
I kapitel 5 och 12 i kursboken Heureka (kap.9 och 11 i Alphonce) har vi studerat
partikeldynamik. Inom kinematik beskriver vi en partikels rörelse genom att ange hur dess
lägeskoordinater, hastighet och acceleration varierar med tiden. Vi har studerat det
enklaste fallet av rörelse för en partikel, nämligen rätlinjig rörelse (linjebunden rörelse).
Då behöver vi bara införa två rörelseriktningar t.ex. en åt vardera hållet längs banan som
en bil (partikeln) kör. Speciellt har vi studerat likformig rörelse (konstant hastighet) och
likformigt accelererad rörelse (konstant acceleration).
Vid likformigt accelererad rörelse har vi funnit att:
v  v 0  at
s  s0  v0 t 
(2.9)
at 2
2
(2.10)
v 2  v 0 2  2a (s  s 0 )
(2.11)
I ekvationerna ovan är v0 och s0 farten respektive lägeskoordinaten då vi startar
tidtagningen (tid = 0). Accelerationen a har samma värde hela tiden. Vi kan då räkna ut
lägeskoordinaten (s) och farten (v) vid en senare tidpunkt (t).
I den här beskrivningen har vi inte tagit hänsyn till riktningsändringar. När en partikel har
kroklinjig rörelse är det därför lämplig att uttrycka hastighet och acceleration med
vektorer.
Hastigheten, liksom accelerationen, har belopp (fart) och riktning. På precis samma sätt
som vi tidigare gjort med kraftvektorer, kan vi addera hastighetsvektorer till en resultant
eller dela upp en hastighetsvektor i komposanter.
Tidigare (kapitel 11 i kursboken) har vi också studerat kinetik, dvs. hur ett föremåls
rörelse ändras då det påverkas av en kraft. Enligt Newtons andra lag (F = m·a) så gäller:
– Är kraftresultanten noll, så är rörelsen likformig (med konstant hastighetsvektor).
– Om kraftresultanten är konstant, så är rörelsen likformigt accelererad (konstant
acceleration).
23
Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse ·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
I Fysik B kursen kommer vi att studera kroklinjig plan rörelse lite mer, nämligen när
partiklar/föremål rör sig i cirkulära banor med konstant fart. Här ska vi ta upp ett annat
viktigt specialfall av plan rörelse, nämligen kaströrelse.
Kaströrelse – plan rörelse
I ett kraftfält beror kraften på en partikel enbart på var den befinner sig. Vi kan betrakta
gravitationsfältet nära jordytan som homogent. Det betyder att ett föremål med massan m
överallt påverkas av tyngdkraften F  mg som är konstant både till belopp och till
riktning. Tyngdkraften är ju överallt mg och riktad ”nedåt”.
Vi kastar iväg en boll snett uppåt med en viss utgångshastighet v 0 enligt figur 32. Vi
försummar eventuellt luftmotstånd på bollen. Den heldragna linjen i figuren visar bollens
bana, den så kallade kastparabeln. Vi kan ange bollens läge vid olika tidpunkter med två
koordinater, en x-koordinat i horisontell led och en y-koordinat i vertikal led. När vi
försummar luftmotståndet verkar inga krafter på bollen i x-led under rörelsen. I y-led är
det endast den konstanta tyngdkraften som verkar. Enligt Newtons andra lag ( F  ma ) är
accelerationen noll då kraften är noll och accelerationen är konstant då det verkar en
konstant kraft. Alltså borde rörelsen i x-led vara likformig (konstant fart) och rörelsen i yled borde vara likformigt accelererad (konstant acceleration). Det visar sig att vi kan dela
upp rörelsen i två oberoende rörelser, en horisontell och en vertikal. Därför delar vi upp
hastighetsvektorn i dess komponenter i x-led respektive y-led. Vi anger
hastighetskomponenterna med tecken. Den horisontella rörelsen sker med konstant
hastighet vx = vx0 = v0·cos α. Den vertikala rörelsen motsvaras av att bollen kastas rakt
uppåt med hastigheten vyo = v0·sin α vid tiden t = 0.
y
y
B
β
v0
v0y
vy
vx
v

x
v 0x
x
Figur 33. Kaströrelse, bollens bana följer den heldragna linjen.
Vi ska nu beräkna vilken hastighet bollen har i läge B, vid tiden t efter utkastet då vi
känner utgångshastigheten v0 och vinkeln α:
24
Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse ·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Beräkna utgångshastigheterna:
v0x = v0·cos α
v0y = v0·sin α
Den horisontella rörelsen är likformig:
Hastigheten i x-led vid tiden t blir vx = v0x
x-koordinaten vid tiden t blir x = v0x·t
Rörelsen i y-led är likformigt accelererad. Eftersom y-axelns riktning är uppåt och
accelerationen är riktad nedåt, blir accelerationen negativ: a = -g.
Ekvationerna (8.1 ) – (8.3) ger:
vy = v0y – gt
y = v0yt -
gt 2
2
Nu har vi räknat ut läget (x, y) samt hastighetskomposanterna (vx, vy) när bollen passerar
B. Ofta vill man beräkna farten v och vinkeln β istället för hastighetskomposanterna.
Pythagoras’ sats ger då:
v  v 2x  v 2y ; Vinkel β ges av tan β =
vy
vx
Vi kan nu bestämma bollens läge och hastighet vid vilken tidpunkt som helst under
rörelsen under förutsättning att luftmotståndet kan försummas och att bollen inte har
”skruv” (roterar). Luftmotståndet är långt ifrån alltid försumbart. Om vi ska ta hänsyn till
luftmotståndet blir beräkningarna komplicerade. I Figur 34 nedan visas en datorberäkning
av banan för en baseboll med utgångshastighet 50 m/s, med respektive utan, hänsyn till
luftmotståndet. Det är tydligt att luftmotståndet spelar stor roll för rörelsen. För en
kulstötare, å andra sidan, är luftmotståndet tämligen försumbart.
Utan luftmotstånd
Med luftmotstånd
Figur 34 Resultat av datorberäkning av rörelsen för en baseboll.
25
Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse ·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Exempel 13:
En stuntman kör motorcykel utför en brant klippa. Precis på klippkanten är
hans hastighet horisontell med beloppet 9 m/s. Bestäm var motorcykeln
befinner sig och vilken total hastighet den har 0,50 sekunder efter den lämnat
klippkanten.
y
Lösning:
v0
x
α
vy
vx
v
Figur 34.
Läget efter 0,50 s fås direkt ur ekvation 2.4
x-led: x = v0xt = {v0x = v0} = 9,0 · 0,5 = 4,5 m
gt 2
9,8  0,50 2
y-led: y = ()= 
= - 1,2 m
2
2
Hastighetskomposanterna efter 0,50 s fås med hjälp av ekvation 2.3
x-led: vx = v0x = 9 m/s
y-led: vy = - gt = -9,8 · 0,5 = - 4,9 m/s
Hastighetens belopp fås med Pythagoras’ sats
v  v 2x  v 2y =
(9,0) 2  (4,9) 2 = 10,2 m/s
vinkeln α = arctan(-4,9/9,0) = - 29°
Svar: Motorcykeln befinner sig i (4.5,-1.2) dvs. den har rört sig 4,5 m i
horisontell led och samtidigt fallit 1,2 m.
Motorcykelns hastighet är 10,2 m/s och vinkeln α i figuren är 29°.
26
Komplettering till avsnitten om kraft och rörelse ·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Övningsuppgifter
K1.
Beräkna resultanten (storlek och riktning) till krafterna i varje fall nedan:
a)
b)
2N
4N
4N
c)
2N
4N
d)
2N
3N
4N
4N
e)
f)
4N
4N
3N
3N
2N
4N
3N
4N
4N
K2.
Rita av krafterna och bestäm deras resultant.
a)
b)
6N
6N
10 N
45º
K3.
6N
45º
10 N
45º
Bestäm resultantens storlek till de två vinkelräta krafterna.
a)
b)
4N
12 N
5N
3N
K4.
Dela upp kraften F i två vinkelräta komposanter längs de markerade riktningarna (x
och y).
a)
b)
y
F = 58 N
F = 300 N
38º
30º
x
27·
FYSIK A
K5.
I en punkt angriper krafterna F1 = 100 N, F2 = 20 N och F3 = 40 N. Bestäm
resultanten till krafterna om:
a)
b)
c)
d)
e)
K6.
- KOMPL ETTER INGA R
Alla tre är riktade åt samma håll.
F2 och F3 är motriktade F1.
F1 är vinkelrät mot F2 och F3, som är riktade åt samma håll.
F1 är riktad vinkelrät mot F2 och F3, som är motriktade.
Om vinklarna mellan F1 och F2 respektive F2 och F3 i tur och ordning moturs är
60 resp. 160.
Fyra stångkrafter i samma plan verkar på en knutpunkt i ett fackverk.
Beräkna resultanten till storlek och riktning.
1000 N
500 N
1500 N
1000 N
K7.
Två krafter, F1 och F2, är givna av sina komponenter (= koordinater): F1x = 100 N,
F1y = 200 N, F2x = 50 N, F2y = -100 N .
Beräkna F1, F2 samt deras riktningar.
K8.
Beräkna x- och y-komponenterna för snörspänningen T = 15 kN i figuren.
28·
FYSIK A
K9.
- KOMPL ETTER INGA R
Tre av de fyra krafterna i nedanstående figur har storleken 10 N. Den fjärde kraften
har storleken 5 N. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till de fyra krafterna
analytiskt (ej grafisk).
10 N
5N
60º
60º
45º
30º
10 N
10 N
K10. Två av de tre krafterna i nedanstående figur har storleken 5 N. Den tredje kraften har
storleken 8 N. Beräkna resultanten (storlek och riktning) till de tre krafterna
(analytiskt eller grafiskt)
5,0 N
45º
60º
30º
5,0 N
8,0 N
K11. Fyra stångkrafter i samma plan verkar på en knutpunkt i ett fackverk.
Beräkna analytiskt (ej grafiskt) krafternas resultant till storlek och riktning.
750 N
400 N
1250 N
700 N
K12. På en liten låda med massa 1,0 kg verkar de tre
krafterna enligt figuren. Krafterna har gemensam
angreppspunkt och inga andra krafter verkar på
lådan. Beräkna storleken hos resultanten till de tre
krafterna i figuren.
5,0 N
60º
11,0 N
30º
9,8 N
29·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K13. Tre identiska böcker A, B och C är staplade ovanpå varandra på ett bord. Vardera
bokens massa är 0,5 kg.
Rita samtliga krafter som verkar på
a) boken A
A
b) boken B
B
c) boken C
C
K14. En last på 10000 N skall lyftas med en symmetrisk anordning. Man har två längder på
bärlinorna enligt figur. Beräkna dragkrafterna i linorna i de två fallen då lasten
befinner sig i jämvikt.
K15. En last hänger fast i en lina i punkten C. Lastens tyngd är 1000 N.
a) Beräkna dragkrafterna i lindelarna CA och CB p.g.a. enbart lasten.
b) Hur stor kraft F erfordras i horisontell led i C för att en lindel ska bli helt
spänningsfri (Det finns två möjligheter)?
K16. Med vilken kraft måste mannen dra i repet för att det ska vara jämvikt? Lös uppgiften
grafiskt!
30·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K17. En planka och en låda är i jämvikt enligt figur. Plankans massa är m. Lådans massa är
M. Kontaktytan mellan lådan och plankan är friktionsfri (glatt). Mellan lådan och
golvet, liksom mellan plankan och golvet, finns friktion. Rita ut de krafter som verkar
på lådan respektive de krafter som verkar på plankan!
Planka
Låda
K18. En låda med massan m1 = 10 kg befinner sig i jämvikt på ett lutande plan enligt figur.
Rita de krafter som verkar på lådan och beräkna
a)
friktionskraften Fµ
b)
normalkraften N.
K19. Beräkna momentet M0 som P ger kring axeln genom punkten 0 i nedanstående figur.
Utnyttja att man kan parallellförflytta P längs sin verkningslinje.
a) Parallellförflytta P så att P:s vertikala komposant ger momentet noll.
b) Parallellförflytta P så att P:s horisontella komposant ger momentet noll.
3
P = 500 N
2
K20. Beräkna momentet MB som F ger kring axeln genom punkten B i nedanstående figur.
31·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K21. Storleken på alla krafter F1-F6 i figuren nedan är 10 N.
a) Beräkna momentet som kraften F1 i figuren nedan ger kring punkten A.
b) Beräkna momentet som kraften F2 i figuren nedan ger kring punkten A.
c) Beräkna momentet som kraften F3 i figuren nedan ger kring punkten A.
d) Beräkna momentet som kraften F4 i figuren nedan ger kring punkten A.
e) Beräkna momentet som kraften F5 i figuren nedan ger kring punkten A.
f) Beräkna momentet som kraften F6 i figuren nedan ger kring punkten A.
F5
F3
F6
F1
45º
60º
F
4
2,0 m
F2
A
2,0 m
K22. Beräkna momentet som krafterna på den 2,0 m långa balken i nedanstående figur ger
kring axeln genom punkten A. Kraften 10 N angriper i balkens mitt.
10,0 N
20º
2,0 m
54,9 N
A
10,0 N
54,9 N
K23. För att kunna resa flaggstången i figuren måste T ge ett moment kring O på 72 kNm.
Bestäm T
32·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K24. Figuren nedan visar fyra krafter i xy-planet. Bestäm kraftsystemets resultant.
I svaret ska resultantens storlek, riktning och verkningslinje anges.
K25. Bestäm den kraft R som kan ersätta de fyra krafter som verkar på balken i figuren.
Ange också hur långt från väggen R:s verkningslinje ligger.
K26. Ett jämntjockt gungbräde är 6,0 m långt och kan vrida sig kring en axel genom
mittpunkten. Två pojkar som väger 25 respektive 35 kg sätter sig längst ut på
gungbrädet, en på vardera sidan. Var ska en tredje pojke, som väger 20 kg, sätta sig
för att gungan ska väga jämnt?
K27. För att måla en flaggstång har man fällt den till horisontellt läge enligt figuren. Med
vilken kraft trycker bocken mot stången?
Stångens massa är 130 kg. Rita ut de krafter som verkar på stången.
G är flaggstångens tyngdpunkt.
33·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K28. Bommen AB i figuren är homogen och jämtjock samt vridbar kring ett gångjärn i A.
Vad väger den?
Ledning: Snörkrafterna är lika stora på båda sidor om blocket.
K29. En stav med massan 3,1 kg och längden 1,5 m är i jämvikt enligt figuren nedan.
Dynamometer
Stav
48º
P Friktionsfri led
a) Frilägg staven
b) Vad visar dynamometern?
c) Vilken kraft verkar på staven i P (storlek och riktning)?
K30. En tunn homogen stång är vridbar i ena änden. Stången väger 52,5 kg och är 8,0 m
lång. På slutet av stången hänger en vikt med massan 30,0 kg. På ¾ :s avstånd från
vridningspunkten hålls stången i jämvikt av en lina i vertikalled.
a) Frilägg stången
b) Beräkna kraften F i linan.
F
Lina
Stång
30 kg
K31. Förklara följande begrepp:
Arbete (Vilken enhet?). Energi (Vilken enhet?). Lägesenergi. Potentiell energi.
Nollnivå. Rörelseenergi. Konserveringslag. Energiprincipen. Effekt (vilken enhet?)
34·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K32. En partikel rör sig enligt nedanstående vt-diagram. Hur långt har den rört sig efter
10 sekunder?
K33. En partikel med massan 1,0 kg rör sig rätlinjigt mellan två punkter i ett horisontalplan
enligt nedanstående hastighet-tid-graf (vt-diagram). Partikeln startar från
utgångspunkten vid tiden t = 0 s. Bestäm med hjälp av diagrammet:
a)
Hur lång sträcka partikeln totalt avverkar (0 – 13 s)
b)
Hur stor acceleration partikeln har under de första 4,0 sekunderna
c)
Hur stor acceleration partikeln har under tiden 5,0 s – 10,0 s
d)
Hur stor medelhastigheten är under de 13,0 sekunderna
e)
Partikelns rörelseenergi efter 7,0 sekunder
Fart v
(m/s)
5
4
3
2
1
(s)
0
0
5
10
15
Tid t
K34. En låda med massan 400 g kastas utför ett lutande plan enligt figuren. Kroppens fart
är 2,0 m/s då den passerar A. Under rörelsen påverkas kroppen av en konstant
friktionskraft på 2,3 N. Avståndet mellan A och B är 125 cm.
a) Vilken fart har kroppen då
125 cm
den passerar punkten B?
b) Hur långt från A befinner sig
kroppen när den stannat?
A
B
30,0°
K35. En fotboll, som väger 500 gram, påverkas när två spelare samtidigt sparkar på den av
en kraft som varierar med tiden enligt figuren nedan. Vilken hastighet erhåller
fotbollen om den ursprungligen var i vila?
35·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K36. Anta att ett fordon rör sig med konstant hastighet. Hur ser då ett (s-t)-diagram ut? Hur
ser ett (v-t)-diagram ut?
K37. Anta att ett fordon rör sig likformigt accelererat. Hur ser då ett (s-t)-diagram ut? Hur
ser ett (v-t)-diagram ut?
K38. Anta att fordonet rör sig med olikformig rörelse, och vi har ett (s-t)-diagram som
beskriver rörelsen. Hur avläser vi medelhastighet och momentanhastighet?
K39. Hur lyder Newtons andra lag?
K40. Hur ser man i ett (hastighet-tid)-diagram att accelerationen är
a) noll
b) konstant
c) positiv
d) negativ?
K41. Hur räknar man ut vilken sträcka en kropp har åkt om man har hastighet-tid
diagrammet för rörelsen?
K42. Ett järnvägslok med massan 3,5 ton accelererar, varvid dess hastighet varierar med
tiden enligt nedanstående graf.
a) Hur stor är den accelererande kraften som loket påverkas av efter 5 s?
b) Ange ett närmevärde till hur långt loket har avlägsnat sig från startpunkten vid
denna tidpunkt!
K43. Förklara följande begrepp:
Hastighet (Vilken enhet?). Medelhastighet. Vägintervall. Tidsintervall. Likformig och
olikformig rörelse. Momentanhastighet. Acceleration (Vilken enhet?) Vektor eller
skalär?). Medelacceleration. Momentanacceleration. Retardation. Likformigt
accelererad rörelse:
K44. Hur är stigtid och motsvarande falltid relaterade till varandra?
K45. Vad gäller vid kaströrelse för hastigheten i horisontell respektive vertikal led?
K46. Hur tillämpar vi energiprincipen på en kaströrelse?
K47. En bil kommer sakta rullande och börjar vid tiden t = 0 accelerera. Den tillryggalagda
vägsträckan s meter beror av tiden t sekunder enligt s  t  2t 2 .
a) Bestäm hastigheten som funktion av tiden t
b) När är hastigheten 13 m/s?
c) Bestäm accelerationen
K48. En kropp rör sig i rät linje så att den på tiden t tillryggalagda vägsträckan är
proportionell mot t3.
a) Vilken slutsats kan man dra om accelerationen? Är den konstant? Ökar den?
Minskar den?
b) Vilken slutsats kan man dra om krafterna som verkar på kroppen?
36·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K49. En sten kastas ut horisontellt från 20 m höjd över en vattenyta.
a) Hur lång tid förflyter från utkastningsögonblicket till dess stenen når vattnet?
b) Hur långt ut i vattnet hamnar den?
K50. Från ett flygplan på låg höjd (30 m) över marken släpps en postsäck till en isolerad
by. Planet flyger horisontellt med farten 40 m/s. Säcken släpps rakt ovanför en stolpe.
a) Hur långt från stolpen träffar säcken marken?
b) Hur ska man rikta blicken, om man från planet vill se säcken just som den slår
ned?
K51. En liten kula skjuts iväg från P och träffar punkten R, belägen 110 m i horisontell
riktning från P (se figuren). Den horisontella hastighetskomponenten är 22 m/s.
a) Hur lång tid behöver kulan från P till R?
b) Hur lång tid behöver kulan från P till högsta punkten i banan?
c) Hur stor är vy0?
d) Beräkna h.
K52. En sten kastas rakt uppåt och når 11,5 m höjd över utgångspunkten, innan den börjar
falla nedåt igen. Luftmotståndet är ringa.
a) Hur stor är stenens utgångsfart?
v
Sten
Nu kastas stenen på ett annat sätt. Den kastas nu snett uppåt (vinkel 57º mot
horisontalplanet) från utgångspunkten P, enligt figuren nedan. Stenens utgångsfart är
då 15 m/s och den högsta höjden stenen når över marken (P) är 8,0 m. Bestäm för
detta kast:
15 m/s
b) Stenens fart i banans högsta punkt.
c) På vilken höjd över P är farten 10 m/s?
8,0 m
d) Efter hur lång tid träffar stenen marken igen?
P
37·
57º
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
Uppgifter i ellära
K53. Två likadana glödlampor, A och B, är seriekopplade till en spänningskälla med
konstant spänning enligt figuren. En voltmeter med stor ("oändlig") resistans mäter
spänningen över lampan A. När båda lamporna är hela visar den 8,2 V.
b)
a)
b)
A
a)
B
Vad visar voltmetern om
lampan A är hel men glödtråden i B har brunnit av?
lampan B är hel men glödtråden i A har brunnit av?
K54. Beräkna värdet av en ersättningsresistans till de tre resistorerna i figuren nedan.
K55. Fyra motstånd kopplas som figuren nedan visar.
Beräkna kopplingens ersättningsresistans.
K56. Strömmen genom 10 Ω-motståndet är 0,30 A. Hur stor är strömmen genom 20 Ωmotståndet?
K57.
a)
b)
c)
d)
e)
I kretsschemat nedan:
Beräkna en ersättningsresistans för motstånden på 4, 6 och 10 kΩ
Beräkna strömmen genom 5 kΩ-motståndet.
Beräkna strömmen genom 10 kΩ-motståndet.
Beräkna potentialen i punkten A.
Beräkna potentialen i punkten B.
38·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K58. Ett motstånd, vars resistans R ska mätas, ansluts i serie med en amperemeter till en
spänningskälla enligt figuren nedan. Amperemeterns resistans är 0,50 . Parallellt
med resistorn kopplas en voltmeter, vars resistans är 0,30 M.
Instrumentavläsningarna anges i figuren.
Bestäm motståndets resistans. Observera att du ska ta hänsyn till att mätinstrumenten inte är
ideala.
Not: Att mäta enligt figuren ovan brukar kallas inre voltmeterkoppling (”spänningsriktig”, dvs. spänningen mäts över R medan
strömmen som mäts är genom både resistorn och voltmetern).
K59. Hur stor är spänningen över 7,0 Ω motståndet i kretsen nedan?
12 V
3,0 Ω
7,0 Ω
2,0 Ω
3,0 Ω
K60. Figuren nedan visar kopplingen inuti en voltmeter som har tre olika mätområden (3V,
15V och 150 V). När voltmetern används så kopplas den ena anslutningen till ”+” och
den andra till det önskade mätområdet.
Instrumentet ger fullt utslag då strömmen genom motståndet RG = 40,0 Ω är 1,00 mA.
a) Bestäm storleken hos R1 så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 3,00 V.
b) Bestäm storleken hos R2 så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 15,0 V.
Använd värdet på R1 från uppgift a)
c) Bestäm storleken hos R3 så att voltmetern ger fullt utslag för mätområdet 150 V.
Använd värdet på R1 och R2 från uppgift a) och b).
39·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
K61. Bryggkopplingen enligt figuren nedan används för att mäta resistansen hos en
motståndstermometer. Resistansen, R x, hos termometern ändras när temperaturen
ändras. Utspänningen, V, på voltmetern är direkt proportionell mot
resistansförändringen. Voltmetern antas ha oändlig resistans så att strömmen genom
den är försumbar.
R1
R2
R1
+
V
R1
Article II.
V
R1
Rx
R3
R1
R1
De kända värdena är:  = 10 V, R1 = 2,00 k, R2 = 500 , R3 = 30,0 .
Vid ett visst tillfälle är Rx = 150 . Använd Kirchhoffs spänningslag för att vid detta
tillfälle bestämma:
a) Strömmen genom motståndet R1
b) Strömmen genom motståndet R2.
K62. – ett svårt tal
Inget av motstånden i figuren nedan får belastas med mer än 3 W.
Vilket är det största värde man kan ha på U, utan att man förstör något av de tre
motstånden?
40·
FYSIK A
- KOMPL ETTER INGA R
36–41: 42. a) Accelererande kraft är 1800 N
b) Loket har flyttat sig 8,8 m.
43-46:.
47. a) 1+4t
b) När t=3 s
c) 4 m/s2
48. a) Den ökar
b) Deras resultant måste växa proportionellt
mot tiden.
49. a) 2,0 s
b) 18 m
50. a) 99 m
b) Lodrätt nedåt
51. a) 5,0 s
b) 2,5 s
c) 24,5 m/s,
d) 31 m
52. a) 15,0 m/s
b) 8,2 m/s
c) 6,4 m
d) 2,6 s
Svar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30
31
32.
33
34
35.
a) 6 N åt höger
b) 2 N åt vänster
c) 3 N åt höger
d) 0 N
e) 3 N åt vänster f) 0N
a) 15 N b) 13 N
a) 5N
b) 13 N
a) 46 N och 36 N
b) 260 N och 150 N
a) 160 N; b) 40 N; c) 117 N; d) 102 N;
e) 80 N
1570 N riktad 34,2 nedåt från negativa
x-axeln.
F1 = 224 N, riktning 63,4 moturs positiva
x-axeln.
F2 = 112 N, riktning 63,4 medurs positiva
x-axeln.
Tx = 12 kN, Ty = 9 kN
Resultanten har storleken 2,6 N.
Riktningen är 33º medurs från positiva xaxeln.
Resultantens storlek är 7,0 N i riktning 57°
enligt figur (sydost).
1297 N? riktad 44,5 nedåt från negativa
x-axeln
7,0 N
a) Normalkraft 4,9 N
b) Normalkrafter 4,9 N och 9,8 N
c) Normalkrafter 9,8 N och 14,7 N
19,31 kN respektive 5,77 kN
a) 900 N resp. 730 N
b) 1730 N åt vänster eller 1000 N åt höger
870 N
59 N, 79 N
ca. 832 Nm i båda fallen
28 kNm
a) 0; b) 20 Nm medurs; c) 20 Nm moturs;
d) 20 Nm medurs, e) 0; f) 10 Nm medurs.
0,0 Nm
8,7 kN
10 N i positiv x-riktning längs y = 5
1,5 kN i negativ y-led
11m från väggen.
1,5 m från mittpunkten
5,0·102 N
8,7 kg
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
a) –
b) 7,36·102 N
Partikeln har rört sig 9 m
a) 30,5 m b) – 0,60 m/s c) 0 m/s2
a) 1,4 m/s b) 2,3 m
Hastigheten blir 10 m/s
41·
a) 0; b) 16,4 V
31 Ω
41 Ω
0,18 A
a) 5,0 kΩ; b) 1,0 mA; c) 0,50 mA; d) +2,0 V; e) 3,0 V
2,13 kΩ
8,4 V
a) 2960 Ω; b) 12,0 k Ω; c) 135 k Ω
a) 4,65 mA ; b) 18,9 mA
U får högst vara 29 V