Inledning och Definitioner
Elektrisk krets eller elektriskt nät: elektriska elementer
sammankopplade med varandra
Ett kretselement med två terminaler, a och b
Elektriskt nät:
1
a
b
Nod
Maska
Kretselement
2
4
Slinga
Gren
3
Slinga = varje sluten väg i nätet
Maska = slinga som ej omsluter någon gren
Inledning och Definitioner
• Alla kretselementer är ideella, diskreta, linjära,
tidsinvarianta, och passiva i denna kurs
• Tidskontinuerliga (analoga) kretsar, ej digitala,
behandlas
• Sinusformade stationära tillstånden behandlas
• Två typer av nät:
Diskreta nät: våglängderna hos de i kretsen
förekommande sinussignalerna är avsevärt längre än
kretsens dimensioner.
Kontinuerliga kretsar: våglängderna av samma
storleksordning eller mindre än kretsens dimensioner.
Kirchhoffs lagar gäller inte i detta fall!
Kretselementer
Resistans
Spänningskällor
+
Kapacitans
Induktans
Magnetisk
koppling till en
annan induktans
+ -
-
Oberoende
Beroende
Strömkällor
Oberoende spännings- och strömkällor
+
-
u
i
U0
U0
i
Nollställa spänningskälla
terminalerna
+
u
U0 = 0
u
-
i0
Nollställa strömkälla
kortslutning mellan
i0
i0 = 0
i
avbrott mellan terminalerna
Beroende spännings- och strömkällor
-
i
u = •v1
+
+ -
v1
+ -
-
+
u = r•i
+
Strömstyrd
spänningskälla
Spänningsstyrd
spänningskälla
-
i1
v
+
i = g•v
Spänningsstyrd
strömkälla
, r, g,
i = •i1
är konstanter
Strömstyrd
strömkälla
Linjära tidinvarianta kretselement
Resistans
i
+
u
u(t) =R·i(t)
R
i
u
-
Ohms lag: u(t) = R · i(t)
[V]
[ ] [A]
1
G=
R
Konduktans, G [S]
[S = 1/ ]
i(t) = G · u(t)
Linjära tidinvarianta kretselement
q
Kapacitans
q(t) = C·u(t)
+ q(t) i(t)
+
u(t)
u
Kapacitans, C [F]
Laddning, q [C]
dq
i (t ) =
dt
du
i (t ) = C
dt
Linjära tidinvarianta kretselement
Induktans
+ i(t) u(t)
(t) = L·i(t)
-
i
Induktans, L [H]
Magnetisk flöde,
dΦ
u (t ) =
dt
[Wb]
di
u (t ) = L ⋅
dt
STJÄRN-TRIANGELTRANSFORMATION
• Man kan visa att följande nät är ekvivalenta
1
2
Z10
0
Z12
1
2
Z20
Z30
Z31
Z23
3
3
STJÄRNA (Y)
TRIANGEL (∆)
Mellan impedanserna i de två näten råder följande samband
∆
Y
Z 12 ⋅ Z 31
Z 10 =
Z 12 + Z 23 + Z 31
Z 12 ⋅ Z 23
Z 20 =
Z 12 + Z 23 + Z 31
Z 23 ⋅ Z 31
Z 30 =
Z 12 + Z 23 + Z 31
Y
Z
Z
Z
12
23
31
∆
⋅Z
Z0
=
Z
10
=
Z
20
=
Z
30
⋅Z
Z0
⋅Z
Z0
20
30
10
1
1
1
1
=
+
+
Z0
Z 10
Z 20
Z 30
SYMMETRI
•
Vid Symmetri blir spänningen mellan vissa noder noll.
C
2
Symmetri
2
VA = VB
1
VA
A
i
B VB
6V +
-
4 - resistansen
är strömlös
3
3
D
4
kortslut eller ta bort
4 - resistansen för
att bestämma i
Kirchhoffs strömlag (KCL)
ik = 0
nod
Kirchhoffs spänningslag (KVL)
ui = 0
slinga
Serie- och parallellkoppling av kretselementer
Serie
parallell
n
Resistans
Induktans
Kapacitans
Spännings
källa
Strömkälla
R0 = ∑ Rk
k =1
L0 =
Lk
1
1
=∑
C0
Ck
n
u0 = ∑ u0 k
k =1
?
n 1
1
=∑
R0 k =1 Rk
n
G0 = ∑ Gk
k =1
1
1
=∑
L0
Lk
C0 =
Ck
?
n
i0 = ∑ i0 k
k =1
Spänningsdelning:
n antal resistorer (Ri, där
i=1….k…n) kopplade i serie,
spänningsfallet över samtliga
resistorer tillsammans är u, vad
är spänningsfallet, uk över en
resistor, Rk?
uk =
n antal resistorer (Ri, där
i=1….k…n) kopplade parallellt,
totala strömmen i förgrenas i
samtliga resistorer, vad är
strömmen, ik genom en resistor,
Rk?
n
∑ Ri
u
i =1
ik =
Strömgrening:
Rk
Gk
n
∑ Gi
i
i =1
n=2
R2
i1 =
i
R1 + R2
R1
i2 =
i
R1 + R2
Effekt och Energi
+
u
-
i
Elektriskt
nät
Ögonblicksvärdet av den av tvåpolen mottagna effekten:
p = u·i [W]
Om p>0 mottar tvåpolen effekt. Om p<0 avger tvåpolen effekt
Energin W [J] definieras,
W = ∫ p(τ ) ⋅ dτ
t
0
Ekvivalenta tvåpoler
I=0 A
N
N: linjärt nät med beroende och oberoende källor samt
resistanser
Nätet är obelastat, Ut = tomgångsspänning
+
Ut
_
B
Ett näts, givet ovan, ekvivalenta tvåpol härleds med superpositionsprincipen som följer
A
I=0
+
_ Ut
En spänningskälla, Ut och en resistans, R kopplas till
N
R
B
Bestämmer I=I’-I” med superpositionsprincipen; No: oberoende källor nollställda, Ro är No:s
resistans sedd från AB
I’
I”
A
R
N
B
+
A
+
_
No
Ut
R
B
Men, I=I’-I”=0
I’=I” och ur figur erhålls
I”=Ut/(R+Ro)=I’
Härav inses att N med avseende på verkan utåt
kan representeras av
Ro
Ut
+
_
A
Thevenins ekvivalenta tvåpol
B
Ekvivalenta tvåpoler, fortsättning
En godtycklig tvåpol kan även representeras av en ekvivalent tvåpol enligt figuren nedan
A
Ro Nortons ekvivalenta tvåpol
Ik
B
IK = kortslutningsström, om A-B kortsluts blir kortslutningsströmmen = IK
Ro
Ut
+
_
A
IK
B
Eftersom Nortons och Thevenins tvåpoler skall
vara ekvivalenta med avseende på sin verkan utåt,
skall Thevenins tvåpol ha samma
kortslutningsström. Enligt figuren bredvid
IK = Ut/RO eller Ut = RO IK
Samband mellan Norton och Thevenin
Räkna ut ekvivalenta tvåpolens parametrar
1. Beräkna polspänningen vid obelastad tvåpol = Ut
2. Beräkna strömmen genom kortslutning = IK
Alternativt, välj en av ovanstående samt räkna RO
