Formelsamling
Elektriska kretsar
Innehållsförteckning
sida
Symbolsamling
2
Formelsamling
1.
Ström, spänning, effekt, energi, potential
4
2.
Ohms lag, resistans, konduktans
4
3.
Kirchhoffs lagar, spännings- och strömdelning
4
4.
Mask- och nodanalys, Cramers regel
5
5.
Ekvivalenta tvåpoler
5
6.
Ideal operationsförstärkare
5
7.
Kapacitans och induktans
6
8.
Transienter, tidskonstanter
6
9.
Komplexa spänningar och strömmar, impedans mm
7
10. Effekt, komplex effekt, effektivvärde, anpassning
7
11. Resonanskretsar
8
12. Ideal transformator
9
13. Överföringsfunktion, Bodediagram
10
2004
Sheila Galt, Eva Palmberg
Institutionen för Elektromagnetik
Chalmers tekniska högskola
2
Symbolsamling
Spänning u och ström i:
+
u
- ;
→i
Aktiva ideala kretselement:
Likspänningskälla
- U0
Oberoende
spänningskälla
+
-+
u0
Oberoende
ström källa
→
i0
Beroende
spänningskälla
- +
αu 1
Beroende
ström källa
→
gu1
En beroende källa styrs av en spänning eller ström någonstans i
kretsen - t.ex. en spänning u1 för figurerna ovan.
Alternativa beteckningar förekommer:
Oberoende
spänningskälla
U
+
→
Oberoende
Beroende
ström källa
spänningskälla
I
U
→
Beroende ström källa
I
+
3
Passiva element:
Allmänt
kretselement
Ideala kretselement R, C och L:
R
Resistans
/\/\/\/\/\
eller
C
Kapacitans
+
(
R
C
eller
-
L
∩∩∩∩
Induktans
Anslutningspunkt
Kontaktpunkt
Korsning
utan
kontakt
eller
)
Anslutning till jord
Instrument
Ideal
voltmeter
V
Ideal
amperemeter
A
Alternativ för ideala digitala volt- och amperemetrar
(Dorf/Svoboda)
Digital voltmeter
Visar spänning u med + vid a
b
a
+
u
Motsvarande för digital amperemeter: Visar ström i med referensriktning in vid a.
Formelsamling
1.
4
Ström, spänning, effekt, energi
ström
i = dq/dt;
q = laddning
spänning
u = dw/dq;
effekt
p = u.i = dw/dt; w = energi
spänning u = vA - vB = potentialskillnad; v = potential
2.
Ohms lag, resistans (linjära kretsar)
i
u = Ri
i = Gu
Resistans
Konduktans
R
→
+
u
-
R
G = 1/R
Resistans för en homogen rak ledare med längden L,
tvärsnittsytan A och resistiviteten ρ: R = ρL/A.
p = Ri2 = u2/R
Effekt i resistans
3.
Kirchhoffs lagar, spännings-/strömdelning
∑ ik = 0 i nod;
(KVL):
∑ uk = 0 i slinga;
Kirchoffs strömlag (KCL):
Kirchhoffs spänningslag
Rs =
Seriekopplade resistanser
∑n Rn
Parallellkopplade resistanser Gp =
1
1 =
eller med R:
∑
Rp
n Rn
R1 R2
Specialfall (n=2):
Rp =
R 1+ R 2
∑n G n
Spänningsdelning
R2
u2 = _____
u
R1 + R2 0
+
R1
u0
R2
-
+
u2
-
Strömdelning
R1
i2 = _____
i
R1 + R2 0
→
↓i
1
i0
R1
↓
i2
R2
5
4.
Mask- och nodanalys. Cramers regel
Maskanalys: matrisekvation
Rmi = u0
Rm = maskresistansmatris, i = maskströmvektor,
u0 = spänningskällevektor
Element i resistansmatrisen: R11 = ∑R i maska 1;
R12 = R21 = -∑R gemensamma för maska 1 och 2; o.s.v.
Nodanalys: matrisekvation
Gnv = io
Gn nodkonduktansmatris, v = nodpotentialvektor,
io strömkällevektor
Element i konduktansmatrisen: G11 = ∑G i grenar anslutna till
nod 1; G12 = G21 = -∑G anslutna direkt mellan nod 1 och nod 2;
o.s.v.
Cramers regel:
Ax = b; med lösning xk = ∆k/∆ ,
där ∆ = determinanten av A och ∆k = determinanten av A med
kolumn k utbytt mot b.
Determinant av 2x2-matris:
∆ = a11a22-a12a21
3x3-matris:
∆ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 -(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a21a12)
5.
Ekvivalenta tvåpoler
R0
ut +
-
ik
↑
R0
R0 = ut /ik
Thévenins respektive Nortons ekvivalenta tvåpoler
ut = tomgångsspänning, ik = kortslutningsström
Anpassning: RL = R0 (rent resistiva kretsar)
6.
Ideal operationsförstärkare
v1
v2
i1
→
→
i2
+
vo
v1 = v2 ;
i1 = i2 = 0
7.
Kapacitans och induktans
6
Kapacitans: ström-spänningsberoende
i(t) = C du/dt
lagrad energi
wC = 1 Cu 2
2
Parallell- respektive seriekopplade kapacitanser
utan begynnelseenergi(=begynnelsespänningar):
Cp =
∑ Cn ;
n
1
=
Cs
∑
n
1
Cn
Induktans: ström-spänningsberoende u(t) = L di/dt
1
Li2
lagrad energi
wL =
2
Parallell- respektive seriekopplade induktanser
utan begynnelseenergi(=begynnelsesströmmar):
1
1
= ∑
;
Ls = ∑ L n
Lp
n Ln
n
8.
Transienter, tidskonstanter
(första ordningens kretsar med tidskonstanta källor)
KVL, KCL leder till inhomogena differentialekvationer för u eller i
av formen
U0
du(t)
+ 1
τ u(t) = τ
dt
med U0 = konst och τ = en tidskonstant
-t/τ
Ansätt lösningen u(t) = k1 + k2 e
k1 och k2 är konstanter som bestäms ur diff.ekv. och begynnelsevillkor.
[ k1 = partikulär lösning (stationär lösning)
k2e-t/τ = lösning till homogena diff.ekv. (transient lösning)]
Specialfall:
RC-kretsen: τ = RC;
RL-kretsen: τ = L/R
Addition av sinustermer
sin
sin
∑
∑
,
9. Komplexa spänningar och strömmar, impedans
sin
: Amplitud,
2
: vinkelfrekvens, : fas
där den komplexa spänningen:
/
Komplex impedans
a) Resistor
b) Kondensator
c) Spole
1/
Komplexa tal
Rektangulär form:
Polär form:
där | |
√
| |
;
, och
j
√ 1
arctan
10: Effekt, komplex effekt, effektivvärde, anpassning
Ögonblicksvärde(momentanvärde) av effekt:
Medeleffekt:
; T: periodtiden
1) DC
Effekt
= P
/
2) AC(sinusformad växelström)
Effekt P
cos
:Spänningens amplitud, : Strömmens amplitud, : spänningens fasvinkel,
: strömmens fasvinkel
induktiv last
0
kapacitiv last
0
8
Effektivvärde
Ieff = Irms =
1
T
1_
Im
2
√
Ieff =
0
∫
T
2
[i(t)] dt
(rms = root mean square)
för sinusformad växelström
Anpassning
Ut
Z0
+
-
ZL
Maximal effekt PL i belastningen ZL för
1/
ZL = Z0*
om ZL= RL+jXL kan väljas fritt;
2/
ZL =
Z
0
*=komplexkonjugat
om enbart ZL kan varieras
Andra fall av anpasssning: Teckna PL och kolla villkoren för
PLmax!
11. Resonanskretsar
Resonans för tvåpol för ω=ω0, när Im{Z(ω)}=0; ⇒ Im{Y(ω)}=0
resonansvinkelfrekvens
ω0
Q-värde, godhetstal; beräknas vid ω0:
Q = 2π
medelvärde av lagrad energi (i kapacitanser och induktanser)
per period förlorad energi (i resistanser)
Specialfall:
Seriekrets
Parallellkrets
∩∩∩∩
L
R
C
ω0 =
Qs =
1
LC
1
ω0 L
=
ω0 RC
R
⊃
⊃
L ⊃
⊃
R
ω0 =
Qp =
C
1
LC
R
= ω 0RC
ω 0L
forts. på nästa sida
9
bandbredd
där ω1 och ω2
ω0
; ω1 ω2 = ω02
Q
är vinkelfrekvenser vid halveffektpunkterna.
BW = ω2 - ω1 ;
BW =
Gäller för både seriekretsen och parallellkretsen ovan.
Andra tvåpoler: Använd Im{Z(ω)}=0 för att bestämma ω0 och
den allmänna definitionen av Q-värde ovan för Q.
12. Ideal transformator
I1
I2
←
→
⊃
⊃
⊃
⊃
+
U1
N1
primärsida
U1
U
= 2 ;
N1
N2
ideal
⊃
⊃
⊃
⊃
N2
+
U2
sekundärsida
N1I1 + N2 I2 = 0
omsättningstal
n = N1/N2
(definieras ibland som N2/N1)
impedanstransformering till primärsidan
N 2
Z1 = ( 1) Z2
N2
10
13. Överföringsfunktion, Bodediagram
Överföringsfunktion
H(jω) =
Y(jω)
X(jω)
där X(jω) = komplex insignal och Y(jω) = komplex utsignal,
d.v.s. X och Y representerar komplexa spänningar eller
strömmar.
förstärkning
H(ω) = H(jω)
fasskift
ϕ(ω) = ∠H(jω)
frekvenssvar: Att beräkna och /eller skissa H(ω) och
ϕ(ω) som funktion av ω eller f.
Logaritmisk
förstärkning
20.10log H(jω)
(dB)
Bodediagram: Att skissa H(jω) dB och ∠H(jω) som funktion av
ω med logaritmisk skala på ω-axeln.
[Stegsvar: Lägg ett enhetssteg u(t), t.ex. vin(t) = 1.u(t) V,
på ingången vid t=0 och bestäm utsignalen, t.ex. vut(t).
- Att studera transienterna på utgången med en spänningskälla
på 1 V på ingången inkopplad vid t=0. ]
040115 EP
