Linköpings universitet
tekniska högskolan
IEI/mekanik
Tentamen – Mekanik MI, TMMI39, Ten 1
Torsdagen den 9 april 2015, klockan 14–19
Kursadministratör
Anna Wahlund, [email protected], 013-281157
Examinator
Joakim Holmberg
Tentamensjour
Joakim Holmberg, [email protected], 013-282338
Besöker salen
15:30
Antal uppgifter
5 stycken uppgifter, där varje uppgift ger maximalt 3 poäng
Antal sidor
7 stycken (inklusive försättsblad)
Hjälpmedel
Formelblad (medföljer tentamenstesen) samt räknedosa
Betygsgränser
Summa poäng
0–5
6–8
9–11
12–15
Betyg
UK
3
4
5
Svar
Anslås på kurshemsidan efter skrivtidens slut
http://www.solidmechanics.iei.liu.se/Examiners/Courses/Bachelor_Level/tmmi39/
2015-04-09
Tentamen i Mekanik f.k. (TMMI39)
1 Stången OA, vars massa kan försummas, påverkas av kraften −180k N i punkten A på grund
av blomkrukan. Stången hålls i läge av linorna AB och AC. I punkten O sitter stången fast
i en kulled, som kan ta upp krafter i alla tre axelriktningar. Bestäm storleken på kraften i
linorna AB och AC. (3p)
2 I det läge som figuren visar är vinkelhastigheten för länken AB 2 rad/s medurs. Bestäm
vinkelhastigheterna ωBC och ωCD till storlek och riktning. (3p)
3 En bakhjulsdriven sportbil accelererar med konstant acceleration från 0 till 100 km/h. Bilens
bakaxel påverkar vardera bakhjulet med en vertikal kraft, en horisontell kraft och ett moment (se figuren som visar ett av hjulen). Gravitationen påverkar hjulen med g = 9.81
m/s2 vertikalt nedåt. Varje hjul har massan m = 20 kg, masströghetsmomentet IG = 1.3
kgm2 och diametern 0.6 m.
• Gör en komplett friläggning av hjulet på bilden. (1p)
• Bestäm den minsta statiska friktionskoefficienten som krävs för att hjulen ska rulla
utan glidning. (1p)
• Åt vilket håll rullar bilen? Varför? (1p)
4 Den vertikala axeln med fastsatt klyka roterar kring z-axeln med den konstanta vinkelhastigheten Ω. Samtidigt roterar stången B kring sin egen axel OA med den konstanta vinkelhastigheten ω0 och vinkeln γ ökar konstant med γ̇. Koordinatsystemet xyz sitter fast i
klykan med origo i punkten O. Bestäm både vinkelhastighetsvektorn ω och vinkelaccelerationsvektorn α för stången B. (3p)
5 En masslös axel roterar fritt i sina lagringar vid A och B. Lagret vid A kan endast ta upp
krafter i x- och y-led. Lagret vid B kan ta upp krafter i x-, y- och z-led. En tunn triangulär
platta med massan m är svetsad på axeln. Beräkna reaktionskraften vid A precis då plattan
släpps. (3p)
punkt.
Formelblad TMMI39
Beteckningar:
A, B: godtyckliga punkter
P: fix punkt i rummet
O: fix punkt i kroppen och i rummet
G: masscentrum
V : godtycklig vektor
d⊥v : vinkelräta avståndet mellan A och vG
d⊥a : vinkelräta avståndet mellan A och aG
IG−G : masströghetsmoment m.a.p. axeln G −G genom masscentrum
ID−D : masströghetsmoment m.a.p. axeln D−D parallell med axeln G −G
d: vinkelräta avståndet mellan axlarna G −G och D−D
Kinematik
• Naturliga komponenter:
v = ṡet = ρβ̇et ,
a=
ṡ2
e + s̈et
ρ n
• Polära koordinater:
a = r̈ − rθ̇2 er + rθ̈ + 2ṙθ̇ eθ
v = ṙer + rθ̇eθ ,
• Derivering i roterande koordinatsystem (xyz)
dV
dV
V˙ ≡
=
+Ω×V
dt /XYZ
dt /xyz
där Ω är vinkelhastigheten hos xyz relativt XY Z
• Hastighet och accelerationssamband: Låt A och B vara fixa punkter i en stel
kropp. Då gäller
vB = vA + ω × AB
aB = aA + ω × ω × AB + ω̇ × AB
Kinetik
• Kraft- och momentlagar
˙ = ma
ΣF = G
G
˙ ,
ΣMG = H
G
˙ ,
ΣMP = H
P
˙ + AG × ma
ΣMA = H
G
G
ΣMO = IO α,
ΣMA = IG α ± maG d⊥a
• Momentlagar (2D)
ΣMG = IG α,
• Förflyttningssatser
HB = HA + BA × mvG
ΣMB = ΣMA + BA × ΣF
• Rörelsemängdsmoment
HG = IG ω,
HO = I O ω
HA = IG ω ± mvG d⊥v
(2D)
• Arbete och energi
Energibalans
′
T1 + Vg1 + Ve1 + U1−2
= T2 + Vg2 + Ve2
där En kraft F resp. ett kraftparsmoment C utför arbetet
Z 2
Z 2
′
′
F ·dr resp. U1−2 =
C·ωdt
U1−2 =
1
1
Z 2
Z 2
′
′
C dθ
(2D)
F ·dr resp. U1−2
=
U1−2
=
1
1
Plan rörelse
1
1
T = mvG2 + IG ω 2
2
2
1
2
T = IO ω
2
Tredimensionell rörelse
1
1
T = mvG ·vG + ω·HG
2
2
1
T = ω·HO
2
• Impuls och impulsmoment
Z t2
G1 +
ΣF dt = G2 , G = mvG
t1
HP 1 +
Z
t2
t1
ΣMP dt = HP 2 ,
HG 1 +
Z
t2
t1
ΣMG dt = HG 2
• Tröghetssamband
Ixx −Ixy −Ixz
I = −Ixy Iyy −Iyz
−Ixz −Iyz Izz
Z
Z
Ixx =
y 2 + z 2 dm,
Ixy = xy dm
dy 2 + dz 2
−dx dy
−dx dz
IA = IG + m −dx dy
dx 2 + dz 2
−dy dz
−dx dz
−dy dz
dx 2 + dy 2
där
dx
dy = GA (eller AG)
dz
ID−D = IG−G + md2 ,
IDxy = IG xy + mdx dy
Algebra
a · (b × c) = b · (c × a)
a × (b × c) = b (a · c) − c (a · b)
|a × b| = |a||b| sin ϕ
IGxx = IGzz =
2
IGxx = 0,
IGyy = IGzz =
ml
12
m
(6r 2 + h2 ) ,
12
IGyy = mr 2
2
IGxx = IGyy =
mr
,
4
IGzz =
mr
2
2
IGxx = IGyy = IGzz = mr 2
5
2
IGxx = IGyy
mr 2
,
=
2
2
IGxx = IGyy = IGzz = mr 2
3
IGzz = mr 2
IGxx =
IGxx = IGzz =
m
(3r 2 + h2 ) ,
12
IGyy =
mr 2
2
m 2
(b + c2 ),
12
IGyy =
m 2
(a + c2 ),
12
IGzz =
m 2
(a + b2 )
12
