Matematik på
yrkesprogram
– undervisning i fokus
Hur kan
matematiklärare
och yrkeslärare
samarbeta?
Hur kan
rektor stödja
och stimulera
samarbetet?
Vilken
undervisnings­
kultur finns i
klassrummet?
ISBN: 978-91-7559-206-0
Skolverket 2015
www.skolverket.se
Grafisk formgivning: Typisk Form designbyrå
Illustrationer: Tobias Flygar
Tryck: Taberg Media Group 2015
Förord
Med det här materialet hoppas vi att du som undervisar i matematik på gym­
nasial nivå, på ett yrkesprogram eller inom vuxenutbildningen, ska få inspira­
tion till att utveckla din undervisning – förhoppningsvis tillsammans med dina
kollegor. I materialet presenterar forskare matematik inom yrkesutbildning och
yrkeslivet och lärare i matematik och yrkesämnen berättar om samarbete för att
öka kvaliteten i matematikundervisningen. Det finns också frågor att reflektera
kring för dig och dina kollegor samt möjlighet att anteckna direkt i materialet.
Vi hoppas även att du som är rektor med ansvar för yrkesprogram har nytta av
materialet.
Skolverket vill rikta ett särskilt tack till de forskare, lärare och rektorer som
har avsatt tid och bidragit med sina erfarenheter och kunskaper om matematik
på yrkesprogram.
Materialet är framtaget inom Matematiklyftet, mer information om det
finner du längst bak.
Innehåll
Bakgrund
5
Matematik på yrkesprogram 6
Från yrkesnära matematik till infärgad matematik
Den osynliga matematiken 7
6
Matematik i yrkeslivet 9
Att arbeta matematiskt 10
Matematik som tyst kunskap 11
Samarbete mellan matematik- och yrkeslärare
Olika sätt att se på samarbeten 14
Samarbete i praktiken 15
Hushagsgymnasiet i Borlänge 15
Blåklädersmatematik 16
Njudungsgymnasiet i Vetlanda 17
Vem har gjort vad 18
Motivation och förväntningar 19
Helhet ger lust att lära 19
Erik Dahlbergsgymnasiet i Jönköping 19
Reflektera med kollegor 22
Matematiklyftet 26
Lärportalen för matematik 26
Undervisa matematik på yrkesprogram 26
Kollegialt lärande 26
Avslutande tack
Referenser
29
28
13
Bakgrund
Gymnasieskolans yrkesprogram ska förbereda elever för arbete efter utbildningen.
Det är främst undervisningen i yrkesämnena som bidrar till att eleverna utvecklar
kunskaper för ett yrke. Gymnasieskolan ska också ge en god grund för personlig
utveckling och ett aktivt deltagande i samhällslivet. Här spelar de gymnasiegemen­
samma ämnena en viktig roll, samtidigt som de också bidrar till att stödja elevernas
yrkeskunnande.
Skolinspektionens granskning visar att elevernas motivation för de gymna­
siegemensamma ämnena ofta är låg. Matematik är ett av dessa ämnen. Vårter­
minen 2014 nådde sju av tio elever ett godkänt betyg i det nationella provet i
matematik 1a.
Kopplingen mellan yrkesämnen och gymnasiegemensamma ämnen behöver
tydliggöras med utgångspunkt i examensmålen, visar Skolinspektionens gransk­
ning. Ett sätt att göra detta är att öka samarbetet mellan matematiklärare och
yrkeslärare, ett samarbete där kunskaper om varandras ämnesplaner är centralt.
I det här materialet presenterar vi exempel som utgår från framgångsfaktorer för
yrkesprogrammens kvalitet som lyfts i rapporten Undervisning på yrkesprogram.
Det behövs:
• en tydligare koppling mellan yrkesämnen och gymnasiegemensamma ämnen
med utgångspunkt i examensmålen
• en förtroendefull relation mellan elev och lärare i samtliga ämnen
• högre förväntningar på eleverna
Baserat på dessa punkter är materialet indelat i fyra områden:
• matematik på yrkesprogram
• matematik i yrkeslivet
• samarbete mellan matematik­ och yrkeslärare
• motivation och förväntningar
5
Matematik på yrkesprogram
Matematik används inom alla yrken och på alla yrkesprogram undervi­
sas matematik 1a. Hur matematiken används kan däremot se olika ut
och därför behöver undervisningen även synliggöra kopplingar mellan
matematik i olika sammanhang. För att förstå hur matematikunder­
visningen på yrkesutbildningen är tänkt att fungera idag är det viktigt
att veta hur den har förändrats med tiden.
Från yrkesnära matematik till infärgad matematik
Lisbeth Lindberg är forskare och matematikdidaktiker vid Göteborgs universi­
tet. Hon menar att dagens yrkesutbildning ska förbereda eleverna för
ett arbetsliv som förändras i snabb takt. När skråväsendet reglerade
vem som fick utöva ett yrke undervisade en mäster gesällen i allt −
även i den matematik som var relevant för yrket. I de yrkesskolor
som växte fram i Sverige under 1900­talet hade eleverna endast
undervisning av yrkesläraren i yrkesnära matematik.
Genom läroplanen Lpf 94 ändrades yrkesutbildningen. Elever på
de yrkesförberedande programmen skulle undervisas i matematik av
Lisbeth Lindberg
utbildade matematiklärare. Dessa var inte alltid bekanta med kurs­
Forskare och lektor vid
Göteborgs universitet
planerna i de olika karaktärsämnena. Lärare i karaktärsämnen var i
sin tur inte alltid bekanta med kursplanen i matematik. Matema­
tikläraren hade studerat matematik på högskola och lärare i yrkesämnen hade en
utbildning inom ett yrke där matematiken var en del av yrkeskunskapen. Detta
kunde föra med sig att de använde olika matematikspråk med eleverna.
För att skapa en mer meningsfull och samstämmig undervisning skulle dessa
lärare arbeta med infärgning. Det innebar att lärarna skulle hitta ett gemensamt
innehåll från matematik­ och yrkesämnet för att införliva detta i undervisningen.
Enligt läroplanen Lgy11 ska undervisningen i matematik ta hänsyn till karaktärs­
ämnena. Detta förutsätter att matematiklärare och yrkeslärare har kunskaper om
6
varandras ämnesplaner och samarbetar. ”Elever befinner sig i en komplex läran­
demiljö som inte bara inkluderar skolan utan även familjen, kamraterna, yrkes­
livet, media och samhället i stort”, avslutar Lisbeth Lindberg.
Den osynliga matematiken
Inom många yrkesområden är matematiken sammankopplad med olika rutinak­
tiviteter eller användningen av olika verktyg, hjälpmedel och redskap. Mate­
matiken är en del i yrkeskunnandet och blir därför lätt osynlig. Den växande
användningen av teknik förstärker det faktum att matematiken förblir dold.
Yrkeselever möter olika matematikkulturer i sina olika lärandemiljöer:
• matematiklektioner
• yrkeslektioner
• APL­platsen
Matematiklektion
Var och en av dessa lärandemiljö­
er har sina särpräglade matema­
tikkulturer med normer, traditio­
ner, språk, verktyg och relationer
till matematik. Det finns många
Yrkesaktivitet
Yrkeslektion
/ APL
skäl att bygga broar mellan dessa
kulturer. Eftersom yrkeslärare
besöker elever på APL­platsen
Elevernas lärandemiljö
finns redan en etablerad kontakt
mellan dessa lärandemiljöer. Dessutom har både APL­handledare och yrkeslä­
rare yrkesämnet i fokus. Yrkeslärare och matematiklärare kommer från två olika
kulturer. De har inte bara olika utbildningsbakgrund och förutsättningar utan
också olika undervisningskultur. De talar därför olika matematikspråk med
eleverna.
7
Eleverna på Fordons­ och transportprogrammet beskriver däcket
som 205 / 55 R 16. Det betyder att däcket är 205 mm brett
och att profilen, höjden på sidan av däcket, är 55 procent av
bredden, samt att det är avsett för en 16 tums fälg. I beteckning­
en ingår alltså två olika längdmått, mm och tum, som dessutom
är från olika måttsystem samt ett förhållande uttryckt i procent.
Matematikläraren som under visar på Fordons­ och transportprogrammet kan då
räkna ut att profilen på däcket är 112,75 mm men behöver kanske hjälp av yrkeslä­
rarna med praxis för gällande siffror.
Exempel
på osynlig
matematik
• Ska det vara 113 mm?
• Är det relevant att räkna ut profilen i mm?
• Vad händer om något av talen förändras?
Matematiken i däckets dimensioner är dold bakom siffrorna och behöver packas
upp för att bli synlig för eleverna.
8
Matematik i yrkeslivet
I samband med Lgy11 blev matematikkurserna indelade i tre spår.
Gemensamt för de tre spåren är att undervisningen ska ge elever möj­
lighet att utveckla matematiska förmågor. Eleverna ska ges möjlighet
att utveckla dessa förmågor utifrån ett centralt innehåll där vissa delar
kopplas till karaktärsämnena.
På gymnasieskolans yrkesprogram läser eleverna matematik 1a som ett gymna­
siegemensamt ämne och ges också möjligheten att läsa kursen matematik 2a.
Ämnesplanen i matematik betonar att undervisningen ska ske i relevant prax­
isnära miljö. Det är därför lämpligt att koppla matematikundervisningen mot
yrkesprogrammens olika karaktärer.
Exempel
på matematik
i yrkeslivet
Eleven på Restaurang­ och livsmedelsprogrammet ska tillreda
lunchsallader med en mindre portionsstorlek och därför räkna om
receptet till 2/3. I receptet står det att salladen ska innehålla
0,5 dl keso och eleven ska ta reda på hur mycket 2/3
av 0,5 dl är och löser det genom att lägga ut
och platta till keson i en cirkel.
Cirkeln delas sedan i tredje­
delar och problemet är
löst. Tillsammans med
matematikläraren
kan eleven räkna
ut hur mycket
keso som går
åt genom att till
exempel ställa
frågan: Vad är
hälften av två
tredjedelar?
9
Att arbeta matematiskt
I kommentarerna till ämnesplanen i matematik ges exempel på vad eleverna
kan göra när de arbetar matematiskt:
• leka med problemet
• samla och organisera data
• diskutera, göra anteckningar och diagram
• söka och hitta mönster
• utforma och testa hypoteser
• leta i sin ”verktygslåda” efter strategier och kunskap
• kontrollera och söka efter mer kunskap
• redovisa sina resultat
• lösa problem genom att ställa strategiska frågor till sig själv
På ett mer generellt plan är dessa strategier även användbara inom andra områden
än matematik, till exempel när eleven tar sig an ett problem inom ett yrkesämne.
Exempel
på strategier
Undervisningen ska behandla strategier för att
använda hjälpmedel från karaktärsämnena samt
omfatta hantering av algebraiska uttryck och
formler som är relevanta för karaktärsämnena.
Ett hjälpmedel är de trianglar som ritas upp och
används för att beräkna en av tre variabler då två är
kända. Matematikläraren har kanske tidigare stött på tri­
anglarna för procenträkning och sträcka – tid – hastighet, yrkesläraren
kan synliggöra vilka trianglar som används på det program han eller
hon undervisar på. Trianglarna används för beräkningar med Ohms
lag (U = RI där U är spänning, R är resistans och I ström) och för rit­
ningsläsning (vm är verkligt mått, rm ritningsmått och sm är skalmått).
10
U
R
I
vm
rm sm
Matematik som tyst kunskap
I yrkeslivet finns gott om exempel på strategier för att lösa matematiska pro­
blem. Matematiken betraktas då som informell, ofta muntlig och anpassad för
just det specifika problemet.
En person,
i sin
Exempel på
tjänst
matematik som
som
tyst kunskap
säl­
jare,
lägger utan
problem på eller drar av moms
på en vara eller tjänst. Ofta bara med
huvudräkning. Samma person kan dock
sakna strategier för att lösa en uppgift
bestående av liknande moment om den
beskrivs utan kontext i en lärobok i
matematik. Inom forskningen talar man
om problemet med transfer, det vill säga
att kunna flytta sina kunskaper mellan
olika sammanhang.
Att flytta matematikkunskaperna
mellan kontexter ställer alltså krav
på färdigheter som behöver tränas i
skolmatematiken.
Forskaren Lisa Björklund Boistrup berättar om en undersköterskas arbete på
en halvakut avdelning. Vi kan kalla henne Anita. Under en delstudie träffade
forskarna Anita och under detta besök genomförde hon rutinmässiga kontrol­
ler. Forskarna kunde se att hon gick runt och tittade till patienterna samt läste
av instrument. Vid en dator förde hon in värden i en databas och bredvid fanns
11
ett diagram till hjälp för att avgöra om till exempel ett blodtryck var allvarligt
eller inte.
En del av matematikinnehållet i Anitas arbete handlade om ru­
tiner och att minimera variationen. Ett exempel var att Anita läste
av diagrammet för att förstå fördelningar av värden, vilket under­
lättades av olika färger i diagrammet, och för att jämföra värden
från kontroller tagna vid olika tillfällen. ”Vi kunde se hur Anita
hade utvecklat en särskild kunskap om de andetag hon räknade
medan vi trodde att hon bara pysslade om patienterna”, säger Lisa
Lisa Björklund Boistrup
Forskare och lektor i
Björklund Boistrup.
matematikdidaktik vid
Anita berättade för forskarna att hon räknade andetagen för att av­
Stockholms universitet
Foto: Pia Nordlander,
göra hur patienterna mådde. Alla människor andas olika och när de
bildN
är sjuka andas de ännu mer annorlunda. Om Anita exempelvis vid ett
tillfälle fått andningsfrekvensen till 17 så visste hon att den patienten
hade 17 för att den är sjuk. Hon kunde vidare avgöra att en annan patient hade
17 för att denne hyperventilerade och att en tredje hade 17 för att denne låtsades
för att få mer morfin. Detta visar på de beslut som Anita fattade i sitt arbete vilka
delvis var grundade på matematik, menar Lisa Björklund Boistrup.
Anita hade utvecklat en tyst kunskap om relationen mellan parametrar som
andetagens djup, lung­volym, tryck etc. Lisa Björklund Boistrup fortsätter: ”I
läroböcker i matematik är det inte alltid lätt att finna exempel från Vård­ och
omsorgsprogrammet som på ett relevant sätt speglar det som en undersköterska
faktiskt gör i sitt yrke. Samarbete mellan yrkesliv och yrkesämne är ett sätt att
knyta an matematiken på yrkesprogrammen till yrkeslivet på ett mer autentiskt,
rikt och respektfullt sätt.”
12
Samarbete mellan matematikoch yrkeslärare
Då undervisningen i matematik ska ta hänsyn till karaktärsämnena
kan man tänka sig samarbete kring matematik som ett möte mellan
yrkeslärare och matematiklärare. Det kan ibland underlätta att se
samarbetet ur ett kulturperspektiv.
Kultur handlar om att känna igen beteenden, attityder, värderingar med mera hos en grupp. När eleverna börjar på sitt yrkesprogram på gymnasie­
skolan kan de upptäcka att skolan och undervisningen skiljer sig en del från grundskolan som de just lämnat. Mötet med gymnasie­
skolan kan då resultera i en kulturchock. Etnologen och atropolo­
gen Gillis Herlitz förklarar: ”Elever som kommer från högstadiet till gymnasieskolan har kanske diffusa förväntningar av vad det innebär att gå i gymnasieskolan. Första tiden kan vara spännande med nya klasskamrater, nya lärare, ny fas i livet. Den perioden Gillis Herlitz
brukar benämnas smekmånad och allt är ganska kul. Så småning­
Fil Dr, etnolog och
antropolog
om kanske ämnena blir mer komplicerade och studierna svårare. Det krävs högre grad av självständigt studerande.”
Det kan även finnas skillnader i undervisningskultur och klassrumsnormer
inom gymnasieskolan. För elevernas del kan det innebära att de under skolda­
gen förflyttar sig mellan olika kulturer – undervisningen i matematik har sin
kultur och undervisningen i karaktärsämnena har sina. När lärarna samarbetar
kring matematikundervisningen är det viktigt att de får syn på eventuella skill­
nader i undervisningskultur och klassrumsnormer.
13
Olika sätt att se på samarbeten
Enligt Gillis Herlitz bygger lyckade samarbeten på att man utvecklar ny kun­
skap tillsammans. Olika sätt att samarbeta kan beskrivas utifrån uppfattningar
om relationer: asymmetrisk och symmetrisk.
Personen A (bild 1) har kunskap som ska föras över
till person B. Det är en form av samarbete men inte sär­
A
B
skilt utvecklande. Detta förutsätter en uppfattning om
en asymmetrisk relation. Ur den formen av samarbete
Bild 1.
kommer väldigt lite nytänkande.
Kunskapsöverföring
En utveckling av kunskapsöverföringen kan man
kalla kunskapsutbyte (bild 2). Utgångspunkten är att
A
B
både A och B har unika erfarenheter och kunskaper och
Bild 2.
att de ska dela med sig till varandra av dessa. Bättre än
Kunskapsutbyte
kunskapsöverföring men fortfarande ganska statiskt.
Det man i ett samarbete bör sträva efter är vad som
C
kallas kunskapsutveckling (bild 3).
Det är en samarbetsform som kräver en symmetrisk
relation, det vill säga en relation där alla inblandade
och deras kunskaper är lika intressanta och lika myck­
A
B
et värda. A och B ska använda sig av sina kunskaper
Bild 3.
och erfarenheter för att tillsammans utveckla en ny
Kunskapsutveckling
kunskap (C i figuren) som varken A eller B hade från
början. Enligt Gillis Herlitz krävs en del av de inblandade för att detta tillstånd
ska uppnås. Han nämner bland annat mod, tolerans, vilja, lyhördhet, kritiskt
tänkande, nyfikenhet, fördomsfrihet, ansvar, prestigelöshet, gemensamma mål
och en positiv inställning. Utöver detta kan ett kunskapsutvecklande samarbete
ta tid. ”Det går fortare och lättare att samarbeta med den som tänker likadant,
men det för inte alltid utvecklingen framåt”, säger Gillis Herlitz.
14
Samarbete i praktiken
Hushagsgymnasiet i Borlänge
På Hushagsgymnasiet har lärare som undervisar på yrkesprogram samarbetat kring matematikundervisningen. Samarbetet inleddes för att mate­
matiklärarna och yrkeslärarna upplevde att eleverna hade svårt att se kopplingar mellan yrkesmatematik och ämnesmatematiken. När gymnasieskolan reformerades 2011 såg de att det fanns goda möjligheter att pröva ett nytt arbetssätt. Lärarna ansåg att exa­
mensmålen och ämnesplanens centrala innehåll tydligt pekar på att matematikämnet kan integreras med karaktärsämnet och de be­
stämde sig för att börja med Bygg­ och anläggningsprogrammet.
Johanna Karlsson
Matematiklärare
och
Matematikläraren Johanna Karlsson och yrkesläraren Håkan
förstelärare
Liski satte tillsammans upp vilka mål de ville uppnå med samarbe­
Hushagsgymnasiet,
Borlänge
tet:
• stärka elevernas matematiska självkänsla genom att visa att de beräkningar de
gör i verkstaden också är matematik
• stärka undervisningsmiljön genom att skapa ”win­win”­situationer
för lärarna
• synliggöra elevernas matematiska förståelse
• bygga relationer
• skapa motivation genom tydlig koppling till yrkesämnet
• skapa helhetstänk och därigenom höja kvaliteten på utbildningen
”Lektionerna genomförs med homogena klasser vilket motsvarar
grupper med ca 16 elever. På passet med Blåklädersmatematik
kommer matematikläraren till eleverna och lektionen äger rum i
karaktärsämnets lokaler. Lärarna har förberett det moment som
15
Håkan Liski
Yrkeslärare på Bygg­ och
anläggningsprogrammet
Hushagsgymnasiet,
Borlänge
eleverna arbetar med just då och presenterar den matematikuppgift som hör
till”, förklarar Johanna Karlsson. Det är viktigt att det är ”här och nu”­uppgif­
ter så att eleverna känner igen sig och kan se kopplingarna mellan yrkesämnet
och matematikämnet.
Eleverna arbetar med uppgiften och lärarna stöttar genom att diskutera med
eleverna, så att modeller (processer) skapas för att få fram ett relevant svar. Efter
lektionen samlas alla uppgifter in, varje elev ska svara individuellt, även de som
har arbetat i grupp. Ibland går lärarna igenom uppgiften direkt på plats och
ibland vid ett senare tillfälle.
Blåklädersmatematik
Begreppet Blåklädersmatematik föddes, när samarbetet påbörjades, då ett av
veckans matematikpass genomfördes i karaktärsämnets lokaler med blåkläder.
Nu har de byggt ut samarbetet så att skolans övriga program innefattas, och
den ursprungliga idén att ett av veckans matematikpass genomförs i karaktär­
sämnets lokaler gäller fortfarande. De andra programmen är
Industritekniska programmet, Restaurang­ och livsmedelspro­
Det är viktigt
grammet samt VVS­ och fastighetsprogrammet. Alla elever
att lärarna
läser matematik 1a under årskurs 1.
jobbar prestigeJohanna Karlsson och Håkan Liski säger att det man behöver
löst och ser
tänka på när man ska börja samarbeta är att det kan finnas orga­
sina eventuella
nisatoriska aspekter som utgör hinder för samverkan mellan ma­
olikheter som
tematiklärare och yrkeslärare. Det kan till exempel vara scheman
styrkor.
eller arbetslagstillhörighet. ”Rektors roll är viktig och utan stöd
från ledningen blir det svårt att skapa långsiktiga förändringar.
En annan viktig person att involvera i arbetet är schemaläggaren.
Ett av veckans matematikpass ska schemaläggas i karaktärsämnets
lokaler och båda lärarna ska vara där. Det kan därför vara bra att börja samverkan
i liten skala. Det är viktigt att lärarna jobbar prestigelöst och ser sina eventuella
olikheter som styrkor”, säger Johanna Karlsson.
16
De ser båda två resultat av sitt samarbete på olika nivåer. Relatio­
Nu fattar
nerna till eleverna stärks men också relationerna mellan lärarna när
man ju!
de stöttar varandra i att visa att matematiken är viktig i elevernas
framtida liv. Håkan Liski menar också att eleverna blir mer mottag­
liga för matematikundervisning då kopplingen till karaktärsämnena
synliggörs. Bäst blir undervisningen då yrkeslärarna tar fram uppgifter. Eleverna
blir aktiva i sitt eget lärande och lär av varandra när de till exempel kontrollerar
lösningarnas relevans. Det har också lett till högre måluppfyllelse, goda resultat
på det nationella provet och att många elever väljer att läsa matematik 2a.
Johanna Karlsson säger att när man nu frågar eleverna vad de tycker om ma­
tematik på yrkesprogram så blir svaret: nu fattar man ju! Detta ser lärarna som
ett kvitto på att de tänkte rätt när de började med sin blåklädersmatematik. De
har inga planer på att gå tillbaka till hur det var innan.
Njudungsgymnasiet i Vetlanda
Varje höst möter Håkan Karlsson, rektor på Njudungsgymnasiet i Vetlanda, förväntansfulla ungdomar som börjar gymnasieskolan. Han menar att om eleverna ska behålla sin motivation för matematiken ge­
nom hela utbildningen behöver de förstå hur den kan användas i vardags­ och yrkessammahang. ”Om en elev upplever att matema­
tiken är något abstrakt, svårbegripligt lösryckt utan sammanhang är det självklart att eleven tappar både nyfikenheten och lusten att lära nytt.”
Håkan Karlsson anser att för att eleverna ska förstå nyttan med
Håkan Karlsson
Rektor
matematiken krävs det att lärare i matematik och i yrkesämnen
Njudungsgymnasiet,
tillsammans skapar sammanhang där eleverna ser det praktiska
Vetlanda
användandet av matematiken. I sin roll som rektor skapar han för­
utsättningarna för lärarnas samarbete genom att ge dem tid och skapa schema­
tekniska möjligheter för kollegialt lärande.
17
I läroplanen för gymnasieskolan står det bland annat:
Som pedagogisk ledare för skolan och som chef för lärarna och övrig personal i
skolan har rektorn ansvar för skolans resultat och har, inom givna ramar, ett särskilt
ansvar för att samverkan mellan lärare i olika kurser kommer till stånd så att elev­
erna får ett sammanhang i sina studier.
Lärarna har i sin tur ansvar för att samverka i planering och genomförande av
undervisningen med utgångspunkt från examensmålen. Håkan Karlsson tar
ett exempel från bygg­ och anläggningsprogrammets examensmål: Bygg­ och
anläggningsbranschen hanterar stora ekonomiska värden. I examensmålen från
bygg­ och anläggningprogrammen finns flera områden som bjuder in till sam­
verkan mellan olika ämnen.
Vem har gjort vad
På Njudungsgymnasiet har rektor organiserat arbetet så att matematikläraren
haft en schemalagd lektion i veckan parallellt med yrkesläraren.
Matematikläraren har på denna lektion i karaktärsämnet un­
Lärare har
dervisat enskilda elever eller grupp av elever i matematik i yrkesre­
upplevt att
levanta situationer.
de fått en
Övrig matematikundervisning har bedrivits i matematiksalar.
ökad legiti”Erfarenheter från våra lärare som har arbetat på detta sätt är att
mitet.
eleverna har varit mer intresserade och motiverade. Matematik­
lärare har upplevt att de har fått en ökad legitimitet. Det viktigaste
är både att fler elever når ett godkänt betyg och att fler når de
högre betygen”, säger Håkan Karlsson.
18
Motivation och förväntningar
Flera studier visar att elever på ett yrkesprogram inte känner motiva­
tion för matematikämnet. De upplever att de inte förstår matematiken
och att den inte berör dem. Elever kan ha tidigare negativa erfarenhet­
er och deras förväntningar på matematikundervisningen i gymnasie­
skolan kan vara låga.
Helhet ger lust att lära
Lärarens engagemang och förmåga att skapa intresse för ämnet är viktiga fakto­
rer för att eleverna ska lyckas med sina studier. Det kan också vara motiverande
för eleverna att se hur matematiken används i yrkesämnena och att ämnet blir
något som går att förstå både i och utanför en kontext. I Skolinspektionens
rapport framgår:
Att förstå utbildningens olika delar och kunna se helheten kan antas bidra till
elevernas motivation och lust att lära. För att tydligare skapa denna helhet i under­
visningen behöver lärarna i programmets olika ämnen i högre grad samverka kring
undervisningen med utgångspunkt från examensmålen.
Forskaren John Hattie betonar vikten av att synliggöra undervisnings­ och
lärandeprocesser, med lärare och elever som de viktigaste aktörerna i samman­
hanget och samspelet dem emellan.
Erik Dahlbergsgymnasiet i Jönköping
Matematikläraren Johan Bergdahl ser ett gott klimat i klassrummet och goda
relationer till eleverna som förutsättningar för att motivera dem. Genom
övning och arbete märker eleverna att de utvecklas och gör framsteg. ”Det är
viktigt att elever känner sig trygga i klassrummet för att kunna delta i resone­
mang och genomgångar. Efter en genomgång brukar jag låta eleverna få kon­
struera egna uppgifter som de får lösa. Därefter byter de uppgifterna med sina
19
Det man
själv och
omgivningen
förväntar
sig att
man ska
kunna, det
lär man
sig.
kamrater och löser varandras uppgifter, diskuterar hur de tänkt
och redovisar lösningen på tavlan.”
Johan Bergdahl menar att ett sätt att skapa motivation är att
möta eleverna i deras yrkesämnen genom att fysiskt gå till lokaler­
na där karaktärsämnena undervisas i. ”På så sätt visar jag som ma­
tematiklärare respekt och intresse för såväl eleverna som för deras
praktiska utbildning och får en bättre relation till dem. Den stora
belöningen för både lärare och elev är när man inser att eleverna
har förstått”, säger han.
Han lyfter fram koncentration som en faktor för lärande och
goda studieresultat. I dagens moderna samhälle är det mycket
som konkurrerar om elevernas uppmärksamhet och det kan vara
svårt att koncentrera sig. ”Det räcker inte att vara fysiskt på plats i
skolan, man måste också vara närvarande mentalt”, säger Johan Bergdahl.
Matematiken är inte enbart ett skolämne, den utgör grunden för att vi
ska kunna förutse och planera i vår vardag. Han menar att vi i var­
dagslivet och i yrkeslivet hela tiden gör beräkningar och uppskatt­
ningar för att ta beslut.
Positiva förväntningar och beröm ökar också självförtroendet
och arbetsinsatsen. Om elever uppfattar matematiken som svår är
det viktigt att läraren avdramatiserar detta. Johan Bergdahl menar
att alla kan lära sig matematik. Det handlar om motivation och
Johan Bergdahl
Ämneslärare i matematik förväntningar. Det man själv och omgivningen förväntar sig man
och fysik
att ska kunna, det lär man sig.
Erik Dahlbergsgymnasiet,
Jönköping
20
Berättelsen om Ida
Ida valde inte sitt gymnasieprogram. Man skulle kunna säga
att Barn – och fritidsprogrammet valde henne. Ida hade inga
planer för vad som skulle hända efter gymnasieskolan – det
låg långt bort i tiden och kändes som att det inte riktigt angick
henne. Den strategi hon hade för sina gymnasiestudier var sam­
ma som den som hade fungerat väl i högstadiet; hon skulle vara
tyst och inte göra något väsen av sig, komma i tid till lektionerna, sätta sig på en
plats där hon syntes så lite som möjligt och göra sitt jobb. Strategin fungerade bra
de första veckorna på gymnasiet precis som Ida hade tänkt sig.
Exempel på
motivation och
förväntningar
Under första terminen på Barn­ och fritidsprogrammet kom Ida ut på sin första APL.
Hon var hos en förskoleklass som just den här veckan arbetade med matematik
och oändligheten. Ida fick många frågor av barnen som ”hur långt bort är du om
jag går oändligt långt åt ett håll och du lika långt åt ett annat håll?”, ”Vilken är din
favoritoändlighet?” och ”Har oändligheten någon färg?”. Ida hade ingen aning om
vad oändligheten hade för egenskaper men svarade så gott hon kunde på barnens
frågor. Hon lämnade förskoleklassen med frågorna kvar i bakhuvudet.
Tillbaka på gymnasieskolan och under en matematiklektion dök frågorna om
oändligheten upp hos Ida igen. Läraren hade genomgång av minsta gemensamma
nämnare vid tavlan. Minsta gemensamma nämnare kände hon igen, det var något
viktigt som hon hade hört talas om på högstadiet men hon hade inte förstått riktigt
vad det var och varför det var viktigt. Hennes tankar gled iväg till oändlighetsfrå­
gorna. Hade hon en favoritoändlighet? Skulle man ha det? Kunde man gå oändligt
långt bort och ändå har en oändlighet framför sig? Hade oändligheten en minsta
gemensamma nämnare?
Plötsligt märker Ida att det är tyst i klassrummet och att läraren har slutat prata.
Hon upptäcker att hon har allas uppmärksamhet och förstår att hon har tänkt högt.
Uppfylld av sina funderingar frågar Ida: ”Hur långt bort är du om jag går oändligt
långt åt ett håll och du lika långt åt ett annat håll?”
Idag är Ida förskollärare och har särskilt ansvar för matematik på den förskola där
hon arbetar. Att söka och gå Förskollärarprogrammet på universitetet, det var Idas
eget val!
21
Reflektera med kollegor
Frågorna är tänkta att inspirera till samarbete mellan dig och dina
kollegor. Skriv gärna ner era funderingar direkt i broschyren!
• Finns det en särskild undervisningskultur inom matematik?
Vad kännetecknar den?
• Finns det en särskild undervisningskultur inom yrkesämnen?
Vad kännetecknar den?
• Hur påverkar olika undervisningskulturer elevers förutsättningar
att lära matematik?
• Hur används matematik i yrken på det yrkesprogram du undervisar på?
• Vilken matematik är viktig på det yrkesprogram du undervisar på?
• Hur kan matematik som förekommer i olika sammanhang under utbildningen
få en närmare koppling till varandra?
• Hur kan matematiklärare och yrkeslärare samarbeta för att öka
elevers motivation?
• Hur kan rektor stödja och stimulera matematiklärare och yrkeslärare
till samarbete?
• Vilka områden kan matematiklärare och yrkeslärare börja samarbeta kring?
22
23
24
Matematiklyftet
25
Matematiklyftet
Matematiklyftet är en fortbildning i matematikdidaktik för lärare som under­
visar i matematik. Fortbildningen syftar till att öka elevers måluppfyllelse i ma­
tematik genom att stärka och utveckla kvaliteten i matematikundervisningen.
Fortbildningsmodellen bygger på kollegialt lärande, på den egna skolan, med
stöd av en handledare och rektor.
Lärportalen för matematik
Till fortbildningen finns en webbplats, lärportalen för matematik, där det didak­
tiska stödmaterialet finns. Materialet är paketerat i så kallade moduler och inne­
hållet i dem utgår från läroplanerna samt kurs­ och ämnesplanerna i matematik.
Aktuell forskning och analyser av de svenska resultaten i de senaste nationella
och internationella undersökningarna är också viktiga utgångspunkter.
matematiklyftet.skolverket.se
Undervisa matematik på yrkesprogram
På lärportalen finns en modul speciellt framtagen för lärare som undervisar
matematik på yrkesprogram. Modulen, Undervisa matematik på yrkesprogram,
ska ge förutsättningar för lärare att befästa och utveckla kunskaper i matema­
tikdidaktik i sin egen undervisning och belyser bland annat matematikkulturer,
yrkesdidaktik, infärgning, motivation samt språk och matematik.
Kollegialt lärande
Kollegialt lärande är en sammanfattande term för olika former av kompetens­
utveckling där kollegor genom strukturerat samarbete tillägnar sig kunskaper
i den dagliga praktiken. Vid kollegialt lärande arbetar man genomtänkt och
strukturerat och där man:
• analyserar och utvärderar sin undervisning
26
• diskuterar undervisningssituationer och didaktiska frågor
• lyfter problem och svårigheter
• granskar kritiskt andras och sitt eget arbete
Centralt i kollegialt lärande är att de som deltar tränar att på ett systematiskt
sätt ge varandra återkoppling.
27
Avslutande tack
Vi vill tacka följande personer som har medverkat i arbetet med materialet:
Lisbeth Lindberg
forskare och universitetslektor vid Göteborgs universitet
Lisa Björklund Boistrup
forskare och lektor i matematikämnets didaktik vid Stockholms universitet
Gillis Herlitz
Fil Dr, etnolog och antropolog
Johanna Karlsson
gymnasielärare, Hushagsgymnasiet, Borlänge
Håkan Liski
yrkeslärare, Hushagsgymnasiet, Borlänge
Johan Bergdahl
gymnasielärare, Erik Dahlbergsgymnasiet, Jönköping
Håkan Karlsson
rektor, Njurundagymnasiet, Vetlanda
28
Referenser
Referenser Lisbeth Lindberg
Bokmar, S. (1961). Yrkesräkning för industri och hantverk, grundbok. Stock­
holm: Svenska bokförlaget Bonniers.
Lindberg, L. (2010). Matematiken i yrkesutbildningen, möjligheter och be­
gränsningar [Mathematics in vocational education, affordances and constra­
ints]. Luleå: Universitetstryckeriet.
Lindberg, L., & Grevholm, B. (2011). Mathematics in vocational education
– revisiting a developmental research project. Analysis of one developmental
project about the integration of mathematics in vocational subjects in upper
secondary education in Sweden. ALM­Journal, 6(1), 41–68.
Lindberg, L.(2013) Matematik och yrkesutbildning historiskt och i nutid. I B.Grevholm, P. S. Hunderland, K. Juter, K. Kislenko, P­E. Persson (eds). Nordic research in didactics of matematics: Past, Present and Future. Cappelen Damm AS: Oslo.
Promemorior från SCB 1984:2. Elever i skolor för yrkesutbildning 1844–1970
Skolverket. (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för gymnasieskola 2011. Stockholm: Fritzes. Referenser Lisa Björklund Boistrup
Ellström, P­E. (2010). Practice­based innovation: A learning perspective.
Journal of Workplace Learning, 22,(1/2), 27–40.
FitzSimons, G. (2002). What counts as mathematics?: technologies of power in
adult and vocational education. Boston: Kluwer Academic Publishers.
Gustafsson, L. & Mouwitz, L. (2008). Validering av vuxnas kunnande – med
rättvisa i fokus. Göteborg: NCM.
29
Johansson, C. M. (2014). Transitions making up for (epistemic gaps): A qualitative study of workers as learners in transition between school mathematics and mathematical activities in the workplace (Licenciatuppsats). Malmö: Malmö högskola.
Wedege, T. & Björklund Boistrup, L. (2012). Från arbetet till skolan – Ett forskningsprojekt om vuxnas matematik. Nämnaren 2012:1, s. 50–54.
Referenser övriga
Hattie, J (2014) Synligt lärande. Stockholm: Natur och kultur.
Skolinspektionen (2010) Undervisningen i matematik i gymnasieskolan.
Stockholm: Skolinspektionen.
Skolinspektionen (2014) Undervisning på yrkesprogram. Stockholm:
Skolinspektionen.
Skolverket. (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen
för gymnasieskola 2011. Stockholm: Fritzes.
30
Syftet med det här materialet är att
inspirera dig som lärare att utveckla
under visningen i matematik på yrkes­
program. Du får ta del av exempel från
skolor där matematiklärare berättar om
hur de samarbetar för att öka kvaliteten
i matematikunder visningen. Forskare
presenterar även exempel på matematik
inom yrkesutbildning och yrkesliv.
Materialet är framtaget tillsammans
med forskare, rektor och lärare samt är
uppdelat i fyra områden:
• Matematik på yrkesprogram
• Matematik i yrkeslivet
• Samarbete mellan matematik-
och yrkeslärare
• Motivation och förväntningar
