DBILWORD - Stockholms universitet

VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
BILAGA A
REDOVISNINGSMÅTT FÖR RISK
Räntabilitet på eget kapital
Inom redovisningen finns en uppdelning mellan risker som dels uppkommer i företagets
löpande verksamhet, rörelserisk, dels i de som kommer ur företagets möjlighet att klara
finansiella situationer, finansiell risk vilken beror av soliditeten.
Rörelserisken kommer ur:
- konkurrens
- konjunkturer
- tillverkning
- priser osv
dvs omständigheter i omvärlden som påverkar det enskilda företagets resultat via den
verksamhet som det bedriver.
Finansiell risk uppkommer ur företagets val av finansieringssätt dvs förhållandet mellan eget
och främmande kapital. Främmande kapital i form av lån urholkar den del av resultatet som
kan gå till aktieägarna dvs räntabiliteten för eget kapital.
Matematiskt kan risksituationen beskrivas:
Total risk
=
Rörelserisk +
Finansiell risk
RE
=
RT
(RT - RS)S/E
+
72
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Formeln visar att räntabiliteten på eget kapital beror av räntabiliteten på det totala kapitalet,
den genomsnittliga skuldräntan och soliditeten.1 Räntabilitet definieras som kvoten mellan ett
redovisningsmässigt resultat och ett redovisningsmässigt kapital och utrycker vilken
förräntning kapitalet ger. Fördelen med att använda ett kvotmått är att det tar hänsyn till
insatsen i den verksamhet som generat överskottet och därmed tillåter jämförelser mellan
olika verksamheter oavsett branschtillhörighet, storlek, osv. Enbart vinsten i absoluta tal visar
ingenting om kapitalet används på ett konstruktivt sätt och tillåter inte heller jämförelser
mellan olika alternativa investeringar.
Sambandet mellan RE, RT och RS kan härledas från resultaträkningen;
Resultat före räntekostnader
- Räntekostnader
Resultat efter räntekostnader
Räntabiliteten på eget kapital uttrycker lönsamheten som en kvot av det egna kapitalet, dvs
hur väl aktieägarnas insats förräntar sig enligt;
RE 
Resultat efter räntekostnader
Eget kapital E 
Räntabiliteten på det totala kapitalet uttrycker den förräntning som uppkommer genom den
dagliga verksamheten och som erhålls på allt arbetande kapital; RT = Resultat före
räntekostnader/totalt kapital. RT är oberoende av hur verksamheten finansieras och om
lånefinansieringen är noll är RE = RT. Eftersom RT visar räntabiliteten på allt kapital, är en del
av resultatet efter räntekostnader hänförligt till just RT, nämligen RT*E.
Genomsnittlig låneränta visar räntan på lånat kapital;
RS 
Räntekostnader
Skulder S 
1 Samuelsson, L A, Controllerhandboken, Industrilitteratur Förlag AB, 5:e uppl, 1996, s28
73
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Resultatet efter räntekostnader beror av hur väl företaget lyckas förvalta de lånade pengarna,
dvs om de lyckas förränta kapitalet högre än låneräntan, dvs (RT - RS) * S.
Resultatet efter räntekostnader kan alltså skrivas: RT*E + (RT - RS) * S. Om uttrycket
divideras med E, får vi räntabiliteten för eget kapital enligt;
RE  RT  RT  RS *
S
E
2
Räntabilitet på sysselsatt kapital
Utveckling av mätmetoder
Utvecklingen av metoder inom den interna och externa redovisningen går självklart hand i
hand med de krav som den ekonomiska utvecklingen ställer på företagen. Behovet av
mätmetoder för räntabilitet på sysselsatt kapital uppstår i USA i slutet av 1800 -talet. Tidigare
var företagsledningar inriktade på att maximera det ekonomiska resultatet från en verksamhet
och de var därför inte i något större behov av att mäta hur väl det insatta kapitalet förvaltades.
Fokuseringen på enskilda verksamheter ledde till väl utvecklade metoder för att mäta
kostnader och därigenom skapa mått för hur effektivt företaget kunde tillverka sina produkter.
Däremot fanns inga metoder för att mäta och förutsäga behovet av nytt riskkapital för
investeringar i anläggningskapital.3
I och med företag i högre grad börjar ägna sig åt flera verksamheter, styrs utvecklingen mot
mått som tillåter jämförelser mellan de olika enheterna, trots skillnaden i verksamhet. Ett av
de mest framgångsrika och kända företagen som utvecklat dessa metoder är du Pont, ett
företag som tillverkade krut i USA. Genom att utveckla den formel för räntabilitet på
sysselsatt kapital som används än idag (som också kallas för du Pont formeln) och kombinera
den med nya strategier för företagsledning lyckades man nå en enorm framgång.
2 Johansson, S-E, Företagets lönsamhet, finansiering och tillväxt, Studentlitteratur, 1995, s24 ff
3 Johnson T och R Kaplan, Relevance Lost: the Rise and Fall of Management Accounting, Harvard Business
School Press, 1991, s19 ff
74
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Just kombinationen mellan nya idéer om användandet av kapitaltillgångar och noggrann
kostnadsredovisning är än idag en förebild för stora företag med en komplex
verksamhetsstruktur. Värt att notera är att det inte enbart var utvecklingen av en ny formel
utan framför allt en välplanerad organisations- och informationsstruktur som ledde till
framgång. du Pont styrdes inte enbart via siffror i rapporter, utan hade också väl utvecklade
system för att garantera lönsamheten som tex incitamentslöner och effektivitetsbonusar. Det
råder dock ingen tvekan om att möjligheten att jämföra lönsamheten, istället för att bara
uppskatta vinsten, möjliggjorde expansion och underlättade styrandet av det stora företaget.4
I den svenska industrin har sambandet används sedan 1970-talet för att förbättra kapitalets
omsättningshastighet. Studier visade att vinstmarginalen inom svensk industri var lika god
som i omvärlden, trots att lönsamheten var sämre. Genom att använda sig av uppdelningen i
du Pontschemat kunde man konstatera att detta berodde på en lägre omsättningshastighet.
Detta ledde till omfattande kapitalrationaliseringar och försök med omorganiseringar av
produktionen som pågår än idag, tex införandet av JIT och Lean Production.5
Specifikation av RT - måttet
Formeln för räntabilitet på sysselsatt kapital kan ytterligare delas upp på olika komponenter i
balans- och resultaträkningen. I sin enklaste form beräknas den som:
RT 
Resultat före räntekostn ader
Totala tillgånga r
dvs det innehåller en del från resultaträkningen och en del från balansräkningen.6 En viktig
skillnad mot RE är att måttet skall mäta avkastningen på tillgångarna:
Balansräkning
Enbart
tillgångarna
skall
mätas
Eget
kapital
Finansierings
kostnader för
skulder skall
inte mätas
4 Johnson T och R Kaplan, Relevance Lost: the Rise and Fall of Management Accounting, Harvard Business
School Press, 1991, s61 ff
5 Samuelsson L A, Controllerhandboken, Industrilitteratur Förlag AB, 5:e uppl, 1996, s181
6 Johansson S-E, Företagets lönsamhet, finansiering och tillväxt, Studentlitteratur, 1995, s26
75
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Endast avkastningen på tillgångarna skall mätas7
Härigenom visas hur väl verksamheten förvaltar det satsade kapitalet och därför kan RTmåttet med fördel användas internt för att mäta lönsamheten mellan olika verksamheter.
Genom att förlänga uttrycket ovan med omsättningen kan räntabiliteten också uttryckas som:8
RT 
Överskott
Omsättning
*
Omsättning Totalt kapital
Fördelen med detta uttryck är att det ytterligare kan brytas ner så att det är lätt att få en
överblick av hur enskilda aktiviteter bidrar till företagets övergripande effektivitet.9
Omsättning
Överskott
Vinstmarginal
dividerat
med
minus
Kostnader för sålda
produkter
Tillverkningskostnader
för sålda produkter
Försäljningskostnader
plus
Omsättning
Finansiella intäkter
Frakter och
leveranskostnader
Administrationskostnader
Räntabilitet på sysselsatt
kapital
Kassa, bank
Omsättning
Omsättningshastighet
dividerat med
Sysselsatt kapital
Rörelsekapital
Kundfodringar
plus
Lager
Anläggningskapital
minus
Leverantörsskulder, etc
Du Pont schemat10
7 Adolphson J, Strategi för internredovisning, Liber Hermods, 1995, s80.
8 Samuelsson L A, Controllerhandboken, Industrilitteratur Förlag AB, 5:e uppl, 1996, s180
9 Kaplan R och A Atkinson, Advanced Management Accounting, Prentice - Hall, 2:a uppl, 1989, s659
10 Samuelsson L A, Controllerhandboken, Industrilitteratur Förlag AB, 5:e uppl, 1996, s182
76
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Som synes ger denna uppdelning en pedagogisk bild av vilka faktorer som ger upphov till
lönsamheten i företaget. Detta gör det lätt att vidta åtgärder som förbättrar situationen och
skapar en gemensam plattform för analys av redovisningen.
Beroende av om måttet används till att beräkna bonus, kan man i kostnaden även medräkna
avskrivningar. Medräknas dessa ökar kostnaden och minskar räntabiliteten, men det kan ge
till en ovilja att investera som inte stämmer överens med företagets investeringspolicy.
Rörelseriskens bestämningsfaktorer
Olika omständigheter gör att räntabiliteten kan variera kraftigt mellan olika tidsperioder.
Några av de faktorer som påverkar är:
 risksituationen
 expansionskrav
 konjunkturvariationer
 läge på produktlivscykelkurvan
 ojämn investeringstakt
 ojämnt rationaliseringstryck
 specifika situationsförhållanden
Risksituationen bestäms av den marknad där företaget verkar. Beroende på
konkurrenssituation, takten i produktutveckling, regleringar och avregleringar, osv påverkas
försäljningen av tillverkade produkter. Om räntabiliteten förändras kraftigt krävs, som tidigare
nämnts, en högre avkastning för att göra aktieägarna nöjda. Det är då viktigt att ledningen rätt
balanserar rörelserisken mot den finansiella risken så en nedgång i försäljningen kan hanteras
utan att riskera konkurs.
För att kunna behålla marknadsandelar kräver vissa marknader en ständig expansion, vilket i
sin tur kräver kapital. Om detta skall finansieras internt påverkas företagets räntabilitetsmått
negativt, vilket kan ha inverkan på aktiernas värde.
Företag och verksamheter är alltid utsatta för variationer i konjunkturen. Ökad eller minskad
efterfrågan leder självklart till variationer i räntabiliteten. Det är viktigt att komma ihåg detta
faktum så att en investering bedöms på lång sikt, där dessa effekter kan sägas jämna ut
varandra.
77
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Beroende av var företagets produkter befinner sig på produktlivscykeln påverkas självklart
försäljningen. Vid introduktionen och det absoluta slutet är räntabiliteten låg, i mitten hög. I
teorin skall företagets utvecklings och introduktionskostnader betalas genom den höga
försäljningen i mognadsfaserna. Över produktens liv förändras också kostnadsbilden; en ny
produkt är dyrare att tillverka av många skäl, en äldre oftast billigare, vilket i sin tur påverkar
resultat och räntabilitet.
Vissa industrier kräver fåtaliga men tunga investeringar, som inte kan ske löpande, vilket
påverkar lönsamheten. Detta beror både på att kapitalbasen förändras och att det ofta tar en
viss tid innan investeringen uppvisar lönsamhet.
Rationaliseringstrycket påverkas av hur bra företaget går; i bra tider finns ett litet behov av
att förändra, när lönsamheten sjunkit under en längre tid krävs kraftfulla åtgärder. Genom
interna förändringar i arbetssätt, organisation, osv förbättras ofta lönsamheten till en
acceptabel nivå. Räntabiliteten förändras därför kraftigt över tiden.
Specifika förhållanden är misstag inom företag som påverkar resultatet. Det kan vara en
dålig ledning, en misslyckad marknadsplan, dålig produktutveckling, osv. Dessa problem tar
ofta lång tid att åtgärda och kräver mycket energi och engagemang.
BILAGA B
RISKKONTROLL
Introduktion
Risk är inget nytt under solen - så ej heller viljan att beräkna och kontrollera sina risker - Risk
Management. Även om vissa skyddsåtgärder har täckt in samma riskområde så har deras
skyddseffekter endast i några enstaka fall mätts och jämförts med ekonomiska mått.11
Fransmannen Henri Fayol, verksam inom organisationsteorin, var den som först visade på
vikten av att varje administration måste ha en säkerhetsfunktion. Begreppet Risk Management
är dock ett begrepp som har sina rötter i USA och har funnits där i mer än 40 år. Från att
företagaren
skötte
sin
riskhantering
via
försäkringsmäklaren,
sedermera
försäkringsingenjören, sker riskhanteringen idag via en Risk Manager. Målet för Risk
Management är enligt Hamilton att minimera företagets kostnader för skador och för skyddet
mot dessa.12 Till grund för Risk Management ligger en väl definierad beslutsordning. En
traditionell beslutsmodell inom företagsekonomin är enligt Sandin följande:13
11 Hamilton G, Risk Management - vad är det?, Lund Studentlitteratur, 1977 s7
12 Hamilton G, Risk Management - vad är det?, Lund Studentlitteratur, 1977 s19
13 Sandin A, Risk Management och risk information, Studentlitteratur, Lund 1980, s 42 f
78
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
1 Definiera problemet
2 Utarbeta alternativa lösningar
3 Jämföra alternativens konsekvenser
4 Välja alternativ
5 Genomföra besluten
6 Följa upp och kontrollera
En schablonmässig uppdelning av denna beslutsprocess inom Risk Management skulle kunna
se ut som följer:
 Riskanalys. Identifiering av risker, värdering av risker (motsvaras av punkt 1, 3 ovan)
 Riskbehandling. Eliminera risker, reducera risker, överföra risker, behålla risken (2, 4
ovan)
 Genomföra besluten.
 Följa upp och kontrollera.
 Kontinuitetsplanering. (för uppföljning av verksamheten efter en skada)
Risk Management (vid handel med derivat)
Utvecklingen på de finansiella marknaderna har fört upp riskhanteringsproblematiken på
dagordningen och framförallt vad gäller handel med derivat.14 En utförligare beskrivning av
Risk Management vid derivathandel ges av Christopher Culp.15 Enligt Culp kräver Risk
Management inverkan av 5 oberoende organisationsdelar för att fungera på ett
tillfredsställande sätt. Vi har arbetat utifrån Culps idéer och nedan följer våra synpunkter och
tankar kring en organisation kring riskhantering. Riktlinjerna kan ibland kännas lite svävande
men samtidigt är synpunkterna viktiga för uppbyggnaden av riskorganisationen och för vissa
avsnitt har vi även uppskattat kostnader för riskhanteringen.
14 Culp C L, M H Miller och A M P Neves, Value at Risk: Uses and Abuses, Bank of America, Journal of
Applied Corporate Finance, Volume 10, Number 4, Winter 1998, s26 ff
15 Culp C L, och R J Mackay, 1995 Handbook of Business Strategy, Managing Derivatives Risk: A Strategic
Guide, 1994, s305 ff
79
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Styrelse och chefsnivå
Det är vid styrelsens och högre chefers bord som arbetet med Risk Management börjar och
slutar, och det är här som den acceptabla risknivån för respektive risk skall fastställas. Denna
nivå bör utarbeta, godkänna och regelbundet omvärdera fastställda planer. Detta gäller inte
bara risker i samband med derivathandel utan även övriga risker. Ett krav är att dessa
fastställda planer är tydliga nog för ett agerande vid handel med derivat. Ett framtagande av
riskstrategi eller analys av risken i verksamheten kan naturligtvis även utföras av ett externt
företag. Kostnaderna för detta uppskttas till att variera från några tiotusentals kronor till flera
hundra tusentals kronor.
Handelsavdelning (Front Office)
Inom denna del av organisationen förändras riskexponeringen. Det är här som själva
riskexponeringen, under kontrollerade former, skall påverkas. Felaktiga beslut och handlingar
genomförda här kan få mycket stora konsekvenser för företagets kapitalsituation. Denna
handel sker antingen via egen handelsavdelning eller via en mäklare.
Oberoende Enheter för Risk Management
Inom dessa båda enheter sker bedömning av marknads- och kreditrisker. De måste inte
nödvändigtvis arbeta åtskilda men deras verksamhet och arbete bör vara skilt från de
avdelningar som är risktagare inom företaget. Inom dessa enheter skall ett kontinuerligt
arbete ske med utveckling av riskbedömningssystemen. Att placera riskbedömningen i
oberoende delar gör även att riskbedömingen sker över hela linjen - samtliga produkter och
risktyper behandlas. Dessa är så kallade övervakande delar som kontrollerar att styrelsens
intentioner vad gäller risktagande inte frångås utan fullföljs. Detta måste inte innebära att
enheterna skall rapportera stora risktaganden till styrelsen och be om deras godkännande utan
snarare medvetandegöra styrelse och ledning.
Det är även inom dessa enheter som summering av riskexponering mot en viss kund eller
motpart kan ske för att på så sätt möjliggöra en aggregerad riskuppfattning för företaget.
Enligt Culp visar erfarenheterna att enheterna snarare än de risktagande avdelningarna bör
genomföra analyser av marknads- och kreditrisker. Självfallet påverkar även storleken på
företagets derivathandel. Ett företag med förhållandevis inaktiv handel bör kunna lägga sina
oberoende Risk Managementenheter inom en redan befintlig avdelning. Det mest avgörande
för resultatet är ändock att den övervakande avdelningen är avskild från den risktagande
avdelningen.
”Back Office”
En viktig del av företagets Risk Management är denna avdelning som handhar bokföring,
redovisning, effektuering av uppgörelser, samt utvärdering av Risk Management och handel.
Huruvida dessa funktioner delas upp i separata enheter beror på varje företags storlek.
80
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Övervakningen av handeln kan ske med hjälp av datastöd men kostnaderna för dessa kan bli
avsevärda dvs upp emot flera miljoner kronor. Omfattningen av back office systemen beror
även på företagets uppställda risk policy - riskpolicyn kan vara enkel eller komplicerad.
Juridiska avdelningar
Den snabba expansionen och utvecklingen av finansiella derivat har ökat behovet av kunskap
kring gällande lagstiftning. Självfallet krävs det kunskap om regler kring finansiering, handel,
säkerheter och derivatdokumentation etc. Det är viktigt att uppmärksamma nya instrument
och se till att kombinationer emellan dessa inte bryter mot gällande regler och att hanteringen
av risker i företaget inte sker på ett otillbörligt sätt.16
16 Culp C L, och R J Mackay, 1995 Handbook of Business Strategy, Managing Derivatives Risk: A Strategic
Guide, 1994, s309
81
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Processen Risk Management
Risk Management, framför allt vad gäller handel med derivat, är enligt Culp en dynamisk
process som inbegriper samtliga av ovan diskuterade punkter. Liksom all annan målstyrning
krävs en koordination mellan nivåer så att varje nivå är medveten om sitt riskmål samtidigt
som den totala exponeringen inte överstiger önskade nivåer. Culps riskprocess beskriver
handeln med derivat, men kan användas som utgångspunkt för riskhanteringen av olika
verksamheter i ett företag. Processen kan bäst beskrivas genom en tre-stegs process: 17
 Front-line risk management. Kontroll av risktagande i samband med transaktioner
 Riskmätning. Finna och mäta eventuella effekter av dessa risker
 Överblick. Den process där resultatet utifrån Risk Management arbetet når ut till samtliga
inom organisationen och därigenom påverkar framtida beslut om risktagande.
Front-line risk management
Detta är det viktigaste steget - handeln skall överensstämma med ledningens intentioner vad
gäller risk.
Limiter och dess administration
Den oberoende avdelningen för Risk Management kring marknadsrisken bör ställa upp
tydliga mål vad gäller tolerans för olika typer av marknadsrisk. Dessa mål är inte enbart
kvantitativa utan även kvalitativa. Bakom detta ligger tanken att dels klargöra ramarna för
risktagande, dels för att stimulera till en diskussion mellan management och handlare då
risktagandet närmar sig gränsen. Det är dock viktigt att komma ihåg att detta system inte
syftar till att aldrig gå över angivna ramar utan att diskussionen ständigt skall föras mellan
företagets olika organisationsnivåer dvs ledning och handlare skall utifrån företagets situation,
strategi och risktolerans ställa upp företagets riskpolicy. Culp ställer upp tre kriterier för
marknadsriskers limiter:18
 Ett system för att undvika att alltför stora förluster ackumuleras.
 Överträdelser av limiter bör ej kunna ske till vilken grad som helst utan vissa handlingar
skall rapporteras till ledningen.
 En skriftlig kopia på företagets riskpolicy bör finnas tillgänglig för samtlig tradingpersonal.
17 Culp C L, och R J Mackay, 1995 Handbook of Business Strategy, Managing Derivatives Risk: A Strategic
Guide, 1994, s309
18 Culp C L, och R J Mackay, 1995 Handbook of Business Strategy, Managing Derivatives Risk: A Strategic
Guide, 1994, s310
82
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Inom kreditrisken ingår risken för att motparten av någon anledning får problem innan
inlösendagen samt risken för förlust vid dagen för inlösen. Dessa båda risker bör evalueras
separat men det viktigaste kanske är att risken för förlust vid tiden för inlösen bör ingå i
företagets generella riskbedömning vad gäller krediter.
Riskmätning
Företagets övriga verksamhet skapar risker vilka kvantifieras på ett visst sätt och
kvantifieringen av riskerna till följd av derivathandel kan ske på i princip samma sätt. Vissa
risker såsom legala och operationella risker kan naturligtvis vara svåra att kvantifiera.
Företaget bör dock omsorgsfullt kvalitativt värdera dessa risker. ”Value at Risk
Management” är här ett alternativ. Tanken är att kunna beräkna om företaget har tillräckligt
med kapital för att kunna täcka upp för sin marknadsrisk. Det finns även metoder för att ta
fram worst-case scenarier under abnormala förhållanden. Företaget bör även genomföra
beräkningar av den aggregerade exponeringen för marknadsrisk. Kreditrisk avser risken för att
en motpart inte kan fullfölja ett derivatkontrakt. Viktigt att komma ihåg är att kreditrisker för
optioner och säkerheter är att dessa är ensidiga, medan kreditrisk för derivat är två-sidiga, dvs
beroende på underliggande tillgångs värde kan endera parten bli förlorare. Kreditförlusten vid
ett brutet kontrakt är det diskonterade värdet av de framtida utbetalningarna. Även här bör en
aggregering av risken ske - och då beroende på motpart.19
Överblick
Det är inte endast fundamentalt viktigt att ledning och högre beslutsnivåer har en överblick
över risksituationen utan övriga nivåer bör även de införlivas i processen. Samtliga inom
organisationen skall delges resultatet utifrån Risk Management arbetet för att på så sätt
utveckla och förbättra framtida beslut om risktagande.
Sammanfattning
För att Risk Management skall fungera på ett tillfredsställande sätt krävs att rapportering och
informationsflöde inom företaget fungerar. Nedan följer ett antal viktiga punkter som bör
beaktas i samband med utformandet av företagets Risk Management strategi.
 En policy för risk skall vara skriftlig samt bör kontinuerligt omvärderas.
 Nya produkter får ej handlas utan att en noggrann utvärdering har skett. Detta innefattar
även att all relevant personal inom riskhanteringen och derivathandeln har kunskap om den
nya produkten samt att produkten har inkorporerats in i det existerande
riskhanteringssystemet.
19 Culp C L, och R J Mackay, 1995 Handbook of Business Strategy, Managing Derivatives Risk: A Strategic
Guide, 1994, s311
83
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
 Rapportering bör ske dagligen till chefer som ansvarar för hanteringen av marknadsrisken.
Rapportering till högre chefer och styrelse kan ske mer sällan men rapporteringen måste
ske så pass ofta att styrelsens bild av företagets riskprofil stämmer.
 Tillräckligt med kapital bör placeras för att kunna täcka marknadsrisk och kreditrisk samt
andra typer av risk.
En annan beskrivning av Risk Managementprocessen i mer generella termer presenteras av
Hills och Hsieh.
Operating
risk profile
Liability
management
programme
Financial
risk profile
Competitive
risk profile
Review of
alternative
solutions
Market
risk
evalution
Controls &
performance
measurement
Feedback / review
Processen Risk Management20
Den specificerar några av de viktigare aspekterna vid skapande av ett system för ett företags
riskhantering.
20 Hills Q och Hsieh H, Setting up a safety net, Asia Risk, feb 1998, s21 ff
84
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Internationella rekommendationer för beräkning av VaR
Reaktionen från övriga finansvärlden efter dessa internationellt uppmärksammade skandaler
uteblev inte. I januari 1992 gick chefen för New York Fed ut och gav en varning till
finansmarknaderna; ”... jag hoppas att detta låter som en varning, för det är det”.21 1993
publicerades en rapport av the Group of Thirty (G-30), Derivatives: Practices and Principles,
där riktlinjer för handel med derivat ställs upp. The Group of Thirty är en sammanslutning
med medlemmar ifrån banker, finansinstitut och den akademiska världen. Medlemmarna
träffas några gånger per år för att diskutera aktuella ämnen.
G-30 menar att hanteringen av riskerna förknippade med derivathandel inte skiljer sig åt från
hanteringen av risker vid övrig verksamhet. Företag utsätts för samma finansiella risker vid
handel med derivat som med andra produkter. G-30 menar vidare att varje företag själv skall
utforma sin Risk Management Process för att på så sätt kunna anpassa den efter företagets
behov och verksamhet.22 Dessutom är det nödvändigt att redovisa sina positioner till sitt
marknadsvärde samt kontinuerligt genomföra en VaR-bedömning23.
Även Moodys, Standard and Poor och the International Swap and Derivatives Association
(ISDA) har lämnat rekommendationer kring derivathandel.24 När det gäller handel med OTCderivat via mäklare som ej står under något regelverk så har The Derivatives Policy Group
(DPG) utgett riktlinjer för hur en större genomlysning skall kunna nås.25 JP Morgan
introducerade i oktober 1994 sitt risksystem, RiskMetrics är ett system utvecklat av J.P.
Morgan för att beräkna marknadsrisken utifrån en VaR modell. Även andra företag har
utvecklat olika typer av system för hantering av VaR beräkningar. Exempelvis har den
australiensiska banken Bankers Trust ett system kallat RAROC 2020.26
The Basle Committee
21 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s36
22 J.P. Morgan & Co. Incorporated, Arthur Andersen LLP, and Financial Engineering Limited, The J.P.
Morgan/Arthur Andersen Guide to Corporate Risk Management, Risk Publications, London, 1997, s48
23 Culp C L, och R J Mackay, 1995 Handbook of Business Strategy, Managing Derivatives Risk: A Strategic
Guide, 1994, s311
24 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s36
25 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s36
26 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s37
85
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Bortsett från de stora skandalerna under senare år som säkerligen har skyndat på utvecklingen
av VaR så har även bankväsendet eftersträvat ett strängare regelverk för att strama upp den
globala handeln med derivat. Den 15 juli 1988 kom den första rapporten, The 1988 Basle
Accord, från The Basle Committee. Kommittén är en sammanslutning av representanter från
G-10 länderna som ses i Basel fyra gånger per år under överinseende av the Bank for
International Settlements (BIS). Där presenterades ett mått (the Cooke ratio) med uppställda
minimikrav på bankers kapital för skydd mot kreditrisken. I rapporten sätts minimikravet på
kapital till 8% av det totala riskvägda kapitalet. Storleken på det riskvilliga kapitalet beräknas
utifrån olika riskvikter beroende på kapitalslag. Exempelvis så har lån till företag,
obligationer etc en vikt på 100% dvs dessa tillgångar måste täckas upp med 8% i kapital.
Guld, kontanter och obligationer från länder gavs en vikt av 0% - de kräver alltså inget
undansatt kapital. Utifrån dessa grundregler kunde sedan länderna ställa skarpare krav om de
så önskade. Rapporten från 1988 har kritiserats kraftigt då riktlinjerna inte tar hänsyn till
bankens portföljrisk - korrelationen mellan portföljens delar kan sänka portföljens totala risk.
Rapporten tar inte heller hänsyn till om inlåning och utlåning motsvaras av varandra, kallat
netting. Men, det kanske viktigaste var att reglerna huvudsakligen såg till kreditrisken och i
mindre utsträckning till marknadsrisken - tillgångarna noterades till bokfört värde varför
exempelvis ränterisken inte togs i beaktande vilket skulle skett om tillgångarna värderats till
marknadsvärde.27
Utifrån denna kritik utarbetade Baselkommitten riktlinjer för handhavandet av
marknadsrisken. Den första rapporten kom i april 1993 och innehöll en modell för beräkning
av den aggregerade risken till följd av exponering mot ränta, växelkurs, equity risk, och
varurisk. Förslagen i rapporten från 1993 bortser från korrelationens inverkan på
diversifieringseffekter sett över flera risktyper. En låg korrelation mellan exempelvis risk i
ränta och risk i växelkurs kan innebära att portföljens risk är lägre än summan av de ingående
riskerna. Detta innebär att riskbedömningen och därmed kapitalkravet ställer krav som inte
motsvarar den faktiska, lägre risken. I den uppföljande rapporten som kom i april 1995
utökades modellen av marknadsrisken. Nu fick bankerna själva ta ansvar för att utveckla
modeller för hanteringen av risk och det medföljande kapitalkravet. Baselkommittén hade
kommit fram till att de system som bankerna själva utvecklade skulle komma att vara vida
mer komplexa än vad någon oberoende instans skulle kunna utveckla. Således presenterades
ett antal kvalitativa krav på systemet samt att kontroller skulle ske regelbundet både inifrån
banken och utifrån. De kvalitativa kraven omfattade bl.a.
1
Riktlinjer för hur VaR skall beräknas:
a)
En tidshorisont på 10 handelsdagar alternativt 2 kalenderveckor.
b)
Ett 99%-igt konfidensintervall
27 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s44
86
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
c)
En observationsperiod på minst 1 år av historiska data och uppdatering minst
en gång i kvartalet.
2
Korrelationer kan ses inte bara mellan exempelvis valutakurs och ränta utan även i ett
bredare spektrum.
3
Kapitalkravet skall sättas till det högsta av antingen föregående dags VaR eller till
genomsnittet över den senaste 60dagars perioden multiplicerat med en faktor (hysteria
faktor) som sätts lokalt med som inte får understiga 3. Denna faktor skall garantera att
för stora risker inte tas trots att historiska data pekar på motsatsen.
4
Ett straffpålägg skall läggas på om det visar sig vid back-testing att riskbedömningen
inte håller måttet. Detta som ett incitament för utvecklingen av ett väl fungerande
riskmanagement system.
Detta förslag kritiserades starkt av International Swap and Derivatives Association (ISDA)
som menade att en multiplikator på 1 hade varit fullt tillräckligt även under aktiekrisen 1987,
Gulf kriget 1990 och när det Europeiska monetära systemet föll samman 1992. Under det att
debatten pågick lade the Federal Reserve Board fram ett förslag som gick ut på att banken
ingick ett avtal om att garantera att dess förluster inte skulle komma att överstiga ett visst
belopp. Detta belopp skulle sedan komma att utgöra kapitalsäkerheten för marknadsrisken.
Därefter kontrolleras utfallet var fjärde månad. Om beloppet överskrids så skulle banken
antingen böta, tvingas att underkasta sig hårdare krav eller få någon disciplinär åtgärd.
Även inom EU pågår arbete med att utveckla regelverk för derivathandel. Inom EU gäller
samma regler för krav på kapitalsäkerhet i samtliga länder nämligen de så kallade Capital
Adequacy Directive (CAD) som publicerades 1993. Även dessa regler tillåter banker och
finansinstitut att själva ansvara för sitt VaR-system. Många experter anser att dessa interna
modeller erbjuder en bättre uppskattning av marknadsrisken än den producerad via CAD eller
Basle Accord.28
28 Stahl G, Three Cheers, Risk, May 1997, s67 ff
87
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
BILAGA C
STATISTIKENS GRUNDER
INTRODUKTION
En förståelse av VaR kräver kunskap om vissa statistiska begrepp. Detta kapitel ger en allmän
presentation av begreppen statistik samt definierar några av de vanligaste begreppen.
Huvuddelarna av kapitlet kommer från Gunnar Bloms bok Sannolikhetsteori och statistikteori
med tillämpningar. Har läsaren god kunskap om statistisk kan han med gott samvete gå vidare
till nästa kapitel. Även om statistik kanske anses som en approximativ vetenskap är inte desto
mindre exaktheten hos samtliga statistiska metoder beroende av att metoderna utförs enligt
föreskrivet recept. Vi har vid våra studier av VaR funnit flera olika angreppssätt för skattning
av parametrar. De presenterade metoderna kan vid en första anblick synas skilja sig åt endast i
små detaljer, men det är viktigt att komma ihåg att dessa detaljer kan få stora konsekvenser
för resultatet. Även om författarna säkerligen är medvetna om konsekvenserna av dessa
subtila skillnader kan det flera gånger vara svårt för läsaren att se detta. Vi avser därför att
någorlunda utförligt definiera de mest grundläggande statistiska begeppen för att något mildra
den begreppsförvirring som till viss del synes råda.
GRUNDLÄGGANDE STATISTIK
Som med mycket annat inom statistisk teori är begreppet stokastiska variabler inte speciellt
komplicerat men det kan tyckas mycket komplicerat vid en första anblick. I det följande
kommer några exempel att hjälpa förståelsen. Vi börjar med några definitioner.
Definition. Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas ett utfall.
Definition. Mängden av möjliga utfall kallas utfallsrummet.
Definition. En samling utfall kallas en händelse.
Exempelvis kan vi tänka oss att vi kastar en tärning. Antalet prickar som kan komma upp är
mellan ett och sex. Utfallsrummet innehåller således sex stycken utfall. En händelse är per
definition en samling utfall dvs en händelse A kan vara att antalet prickar är fyra, fem eller
sex. Utifrån dessa begrepp kan vi konstruera en stokastisk modell för ett slumpmässigt försök.
Den stokastiska modellen är en avbildning av verkligheten men därigenom uppstår självfallet
vissa begränsningar. Resultaten från modellen är således beroende av hur väl modellen
avbildar verkligheten.
88
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Begreppet sannolikhet (eng. probability) är ett begrepp som säkert är välkänt för de flesta sannolikheten noll innebär att händelsen aldrig kommer att inträffa och sannolikheten 1
innebär att händelsen alltid kommer att inträffa. Men en matematisk definition kanske är
något svårare att ge.
Om vi återigen betraktar vår tärning så visar det sig att om vi kastar tärningen en väldig massa
gånger så kommer exempelvis en ”etta” att dyka upp en gång av sex dvs vi har en känsla av
att sannolikheten är en sjättedel för varje tärningssida. Statistiken väljer att postulera att det
finns ett tal som kallas för sannolikheten för en viss händelse dvs varje händelse tilldelas ett
visst tal. Om vi säger att händelsen u1 innebär att en ”etta” dyker upp betecknas talet med
P(u1) där bokstaven P står för probability. Om händelsen A (se ovan) inträffar, dvs antalet
prickar är antingen fyra, fem eller sex, betecknas talet med P(A). Sannolikheten för händelsen
u1 är i vårt exempel 1/6 och sannolikheten för händelsen A är 0,5. Detta skrivs som
Pu1   0,167 (dvs 1 )
6
och P A  Pu 4   Pu 5   Pu 6   50% (dvs 0,5)
Detta innebär att om vi genomför en väldig massa försök kommer händelsen u1 att uppträda i
ett av sex försök. I detta arbete kommer sannolikhetens storlek att betecknas med 
Sannolikheten för varje möjligt utfall, u1..u6, dvs att ett visst antal prickar dyker upp är 1/6,
vilket skrivs som
Pu1   Pu 2   Pu3   Pu 4   Pu5   Pu6   1 6
Stokastisk variabel
Vi kan bygga ut det föregående exemplet med att tänka oss att en person får 1 krona om en
prick kommer upp, 2 kronor om två prickar kommer upp och 4 kronor om fyra, fem eller sex
prickar kommer upp. Vinsten för personen är en stokastisk variabel, X, som blir antingen 1, 2
eller 4. Vi kan säga att varje utfall, u1..u6, har tilldelats ett tal enligt följande schema:
u1  1
u2  2
u3  2
u4  4
u5  4
u6  4
Begreppet stokastisk variabel kan verka missledande, det vore kanske mer riktigt att benämna
den stokastisk funktion eller slumpfunktion. Men här följer i alla fall den vedertagna
definitionen:
89
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Definition. En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion definierad på ett utfallsrum.
Exemplet kan illustreras på följande vis:
Utfallsrummet
s.v.X(u)
u6
u5
u4
u3
u2
u1
4
3
2
1
0
Statistiskt Exempel29
Sannolikheten för varje möjligt utfall, u1..u6, dvs att ett visst antal prickar dyker upp är
fortfarande 1/6.
Nu väljer vi att betrakta den stokastiska variabeln X vilket innebär antalet kronor som har
utbetalats. Detta ger oss följande uttryck:
P( X  1)  1 6 ,
P( X  2)  2 6 ,
P( X  3)  0 , och P( X  4)  3 6
Summan av sannolikheterna är riktig ty den är lika med 1.
Sannolikhetsparametrar
Då utfallet av en stokastisk variabel inte är säkert beräknas istället ett väntevärde, betecknat 
eller E, vilket representerar det förväntade utfallet. Väntevärdet är ett så kallat lägesmått, och
beräknas som summan av möjliga utfall multiplicerat med respektive sannolikhet. Som vi
skall se i det följande exemplet är inte alltid det framtagna väntevärdet något som kan existera
i verkligheten utan termen är mer av teoretisk karaktär. Till den stokastiska variabeln kopplas
även två andra typer av parametrar: beroendemått samt spridningsmått.
29 Blom G, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar, Studentlitteratur, Lund, 1989, s49
90
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Lägesmått
Väntevärde
Väntevärdet för en stokastisk variabel är ett mått på det genomsnittliga värdet för variabelns
utfall. Väntevärdet brukar betecknas med , E, m eller mX eller ibland med någon annan
bokstav. Som alternativ till ordet väntevärde används medelvärde. På engelska säger man
expectation (därav E) eller mean. Utifrån en historisk datamängd och dess väntevärde kan vi
förutsäga det mest sannolika värdet för framtiden.
Definition. Väntevärdet för den diskreta s.v. X definieras av
E  X    k  p k k 
k
(1)
där k är antalet utfall och pK(k) är sannolikheten för varje utfall.
Om vi återvänder till det föregående exemplet med tärningen så är X en stokastisk variabel
som kan anta värdena ett, två eller fyra. Väntevärdet för exemplet blir således
1
1
1
1 17
 2  4 
6
3
2 6
dvs varje möjligt utfall för X har multiplicerats med tillhörande sannolikhet, och därefter har
produkterna adderats. Den bakomliggande tanke är att om vi tänker oss att personen kastar
tärningen en väldig massa gånger (säg 6000) så kommer respektive utfall att inträffa ungefär
1000, 2000 och 3000 gånger. Personen bör således få totalt
1  1000  2  2000  4  3000  17000 ,
E X  
och per kast räknat
1
17000 17
 1  1000  2  2000  4  3000 

6000
6000
6
Här ser vi nu att värdet 17/6 inte är praktiskt möjligt men att om personen envisas med att
kasta tärningen så kommer i genomsnitt detta värde visa sig bli resultatet.
Detta medelvärde får dock inte blandas ihop med det aritmetiska medelvärdet som är summan
av alla utfall dividerat med antalet utfall dvs 6000 / 6000 = 1
Medianen är även det ett lägesmått som vi kommer att återkomma till senare.
91
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Spridningsmått
Standardavvikelsen, D eller , är ett exempel på ett spridningsmått. Spridningsmåttet berättar
hur väl koncentrerad den stokastiska variabelns värden är kring lägesmåttet. Exempelvis är
det inte särskilt svårt att konstruera två stokastiska variabler som har olika spridningsmått
men båda har samma väntevärde. De tre vanligaste spridningsmåtten är standardavvikelsen,
D(X), variansen, V(X) eller 2, och variationskoefficienten, R(X).
Variansen (eng. variance)
Definition. Variansen för den stokastiska variabeln X definieras av

V  X   E  X  m
2

(2)
eller annorlunda skrivet med Y = (X-m)2, där m = E[X]

 
V  X   EY   E  X  m   E  X  E  X 
2
2

(3)
dvs om den stokastiska variabelns värden ligger nära lägesmåttet, m, antar (X-m)2 små värden
med stor sannolikhet och variansen blir liten. Vi ser också att om allt är koncentrerat till en
punkt dvs om E(X) = X så är variansen noll.
Standardavvikelsen (eng. standard deviation)
Definition. Standardavvikelsen D(X) för den stokastiska variabeln X är kvadratroten ur
variansen, alltså
D X   V  X 
1
(4)
2
I och med kvadratrotsutdragningen får standardavvikelsen samma dimension som den
stokastiska variabeln själv.
Variationskoefficienten (eng. coefficient of variation)
Definition. Variationskoefficienten definieras som kvoten mellan standardavvikelsen och
väntevärdet dvs
R X  
D X 
E X 
(5)
92
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Det finns främst två orsaker till användningen av varationskoefficienten: Dimensionslösheten
innebär att den inte är beroende av valet av enhet. Ofta ökar mätfelet med storleken vid olika
typer av uppmätning och mätfelet blir således proportionell mot storleken.
Variationskoefficienten blir dock oberoende av storleken på mätobjektet och håller sig
ungefär konstant.
Ett viktigt samband föreligger mellan standardavvikelsen och väntevärdet:
V  X   E  X   E  X 
2
2
(6)
Skattning av spridningsmåttet vid beräkning av VaR
Centralt för beräkningen av VaR via de parametriska metoderna är skattningen av
volatiliteten. Enligt Alexander är förutsägelsen av riktiga volatiliteter och kovarianser det
centrala för varje VaR-modell - oavsett om varians/kovarians (parametrisk metod) eller
Monte-Carlo simulering används. Volatiliteten kan antingen definieras som
standardavvikelsen eller som variansen. Vi kommer här kort att beskriva några olika metoder
för att finna denna. Syftet med att beräkna standardavvikelsen kan antingen vara att helt
enkelt ta fram den bästa skattningen eller så är syftet att utifrån dennna skattning förutsäga
standardavvikelsens utseende. De följande metoderna koncentreras kring skattning med syfte
att förutsäga volatiliteten.30
30 Alexander C, The Handbook of Risk Management and Analysis, John Wiley & Sons Ltd, England, 1996,
s255
93
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Enkelt glidande medelvärde
Tanken bakom denna metod är att helt enkelt blicka bakåt i backspegeln och utifrån en viss
period, ibland kallat moving window, hämta data för att skatta volatliteten. Detta fönster
brukar vanligtvis vara 20 eller 60 handelsdagar (dvs omkring en månad eller ett kvartal).31 En
längre period ger en stabilare volatilitet än en kortare period. Detta till följd av att om en
längre period väljs så sjunker inverkan av en viss dag. Benämningen på denna metod varierar
mellan författarna: Simple Moving Average (SAM)32, Sample Variance33 eller Historic
Volatility.34 En del väljer att med begreppet avse variansen och andra standardavvikelsen men
den principiella metoden är självfallet den samma bortsett från att vissa skattar volatiliteten
utifrån antagandet att medelavkastningen är noll och andra att den är icke noll. Självfallet görs
det även skillnad på om variansen skattas utifrån ett sample ur en större population eller om
skattningen sker ur det totala antalet observationer för populationen. Variansen för dag t
beräknas enligt följande:35
1
2
  ri  rmedel , population
N
2 
(Population)
 1 
2
  ri  rmedel , sample 
s 2  
 n  1 
(Sample)
(7)
(8)
där N är det totala antalet observationer för populationen och n är antalet samples.
Standardavvikelsen blir kvadratroten ur variansen. Medelvärdet för avkastningen, rmedel,
beräknas ofta som det aritmetiska medelvärdet:
rmedel , population 
rmedel , sample 
1
 ri
N
1
 ri
n
(Population)
(9)
(10)
(Sample)
31 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s168
32 J.P. Morgan, RiskMetrics™ - Technical Document, Fourth Edition, J.P.Morgan/Reuters s78
33 Dowd K, Beyond Value at Risk - The New Science of Risk Management, John Wiley & Sons Ltd, West
Sussex, England, 1998 s94
34 Alexander C, The Handbook of Risk Management and Analysis, John Wiley & Sons Ltd, England, 1996,
s235
35 Lee C F, Statistiscs for Business and Financial Economics, D.C. Heath & Company, Lexington, Mass, 1993,
s99
94
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Jorion väljer dock att skatta variansen utifrån antagandet att medelavkastningen är noll. Över
en period av n dagar och med avkastningar på rt skattas variansen (volatiliteten) utifrån
följande glidande medelvärde:
1
2
 rt i 
N
 t2  
(11)
(Population)
Metoden med glidande medelvärde bygger således på att kontinuerligt ”lägga till”
avkastningen för den föregående perioden och dra ifrån avkastningen för perioden N+1.
De ingående värdenas tyngd är jämnt fördelad och lika med (1/n).
Ovanstående metoder med enkelt glidande medelvärde har fördelen att de är enkla men
nackdelarna torde dock överväga fördelarna. En period liggande långt tillbaka i tiden tillåts
påverka lika mycket som en period nära i tiden - trots att närliggande data borde ha en högre
relevans.36 Ett annat fenomen är att om en avgörande stor förändring ”försvinner ut ur den
studerade perioden” innebär detta att beräkningen kommer att ta ett ”onormalt” stort hopp fenomenet kallas ghost feature.37
Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
EWMA är eventuellt ett mer lovande angreppssätt där skattningen av variansen (volatiliteten)
för varje period viktas med hjälp av en viktningsfaktor delay factor. Denna viktningsfaktor
lägger en större vikt vid närliggande data och mindre vikt vid äldre data - ju större värde har
desto mer vikt läggs på händelser långt tillbaka i tiden. Dess enklaste form är som följer (en
approximation ligger bakom detta uttryck) :38
 2  1    i 1 ri  rmedel, population2
(till N)
(12)
 väljs så att felet mellan den förutsagda volatiliteten och den uppmätta minimeras - över en
viss period. Det fina med denna metod är att uttrycket kan skrivas om till en rekursiv form
dvs vi kan på ett enkelt sätt räkna ut volatiliteten vid tiden t+1. Detta förutsätter dock att vi
gör ett antagande om att mängden data är oändlig. Vi utelämnar dock härledningen av denna
formel. Exempelvis så får formeln följande utseende för en beräkning av variansen vid tiden
(t+1) med data givet vid tiden t (en dag innan) under antagandet att medelvärdet är noll:39
36 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s168
37 Alexander C, The Handbook of Risk Management and Analysis, John Wiley & Sons Ltd, England, 1996,
s235
38 J.P. Morgan, RiskMetrics™ - Technical Document, Fourth Edition, J.P.Morgan/Reuters s78
39 J.P. Morgan, RiskMetrics™ - Technical Document, Fourth Edition, J.P.Morgan/Reuters s81
95
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
 t2   t21  1   rt 2
(13)
Det är denna metod som RiskMetrics använder sig av vid estimering av volatiliteten.
RiskMetrics använder sig av ett värde på 0,94 för en 1-dagshorisont och 0,97 för en 1månadershorisont.40
ARCH
Ett annat angreppssätt för estimering av volatiliteten är ARCH, Auto Regressive Conditional
Heteroskedasticity. Autoregressive betyder regression utifrån sig självt. Begreppet anknyter
till metoden som används för modellering av conditional heteroskedasticity.
Heteroskedasticity innebär en varians som förändras. En tidsserie är av typen Conditional
Heteroskedasticity om det finns tidsserier som uppvisar mycket hög volatilitet och andra
lugnare perioder som uppvisar mycket låg volatilitet. Dessa perioder kallas för bursts of
volatility eller clusters of volatility. De flesta finansiella tidsserier är av denna typ - med
undantag för vissa växelkurser och en del dagliga obligationsräntor.41
Den första ARCH-modellen utvecklades av Rob Engle 1982. Metoden ARCH kombinerar
autoregression med en moving window-beräkning enligt ovan för beräkning av volatilitet. I
spåren efter ARCH har ett flertal olika modeller utvecklats, Generalized ARCH (GARCH),
Integrated GARCH (IGARCH), och Exponential GARCH (EGARCH).42
En GARCH-modell bygger på antagandet att variansen för en akties avkastning kan liknas vid
följande struktur:
vt2  a 0  a1 rt 21  a 2 rt 21
(14)
40 J.P. Morgan, RiskMetrics™ - Technical Document, Fourth Edition, J.P.Morgan/Reuters s97
41 Alexander C, The Handbook of Risk Management and Analysis, John Wiley & Sons Ltd, England, 1996,
s238
42 Culp C L, M H Miller och A M P Neves, Value at Risk: Uses and Abuses, Bank of America, Journal of
Applied Corporate Finance, Volume 10, Number 4, Winter 1998, s36 f
96
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Således bygger modellen på en rekursiv medelvärdesterm. Värt att notera är att när a0 = 0 och
a1 + a2 = 1 så reduceras modellen till en EWMA-modell. Denna modell bygger även den på ett
normalitetsantagande. 43 Teorin kring ARCH-modeller är mycket omfattande. Vi avser inte att
ytterligare fördjupa oss i denna teori. För en utförlig beskrivning av GARCH och liknande
modeller se Baillie et al44, Alexander45 eller Bollerslev et al.46
Volatilitet och Korrelation beskriven utifrån andra instrument47
Definitionen på denna metod är den förväntade framtida volatiliteten hos den underliggande
tillgången under optionens återstående livstid. Metoden beskrivs som ett sätt att bakvägen ta
fram volatiliteten för underliggande tillgång ur verkliga optionspriser - vilka bestäms utifrån
faktiska transaktioner och förväntningar hos marknadsaktörer. Begränsningarna hos denna
metod beror självfallet även på vilken typ av optionsprissättningsmodell som har valts. Flera
undersökningar har visat att denna metod är den bästa för bestämning av framtida
volatilitet.48
Beroendemått
Ett beroendemått beskriver beroendet mellan olika variabler. Det är främst två sätt som
används vid beräkning av beroende mellan två olika variabler; kovarians och
korrelationskoefficienten.49
Definition. Kovariansen för två stokastiska variabler X och Y definieras av
C X , Y   E X  mX Y  mY ,
(15)
43 Jorion P, Value at risk: the new benchmark for controlling market risk, The McGraw-Hill Companies, Inc.,
1997, s173
44 Baillie R T, T Bollerslev och H O Ae. Mikkelsen, Fractionally integrated generalized autoregressive
conditional heteroskedasticity, Århus: Handelshögskolan, 1994
45 Alexander C, The Handbook of Risk Management and Analysis, John Wiley & Sons Ltd, England, 1996,
s238 ff
46 Bollerslev, T, R Chou och K Kroner, ARCH Modelling in Finance: A Review of the Theory and Empirical
Evidence, Journal of Econometrics 52, 1992, s5 ff
47 Hull J, Introduction to Futures and Options Markets, Prentice - Hall International Inc, New Jersey, 1995,
s271f
48 Culp C L, M H Miller och A M P Neves, Value at Risk: Uses and Abuses, Bank of America, Journal of
Applied Corporate Finance, Volume 10, Number 4, Winter 1998, s38
49 Lee C F, Statistics for Business and Financial Economics, D.C. Heath & Company, Lexington, Mass, 1993,
s225 f
97
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
där mx och mY är medelvärden för X och Y. Detta innebär att kovariansen blir positiv om det
finns ett beroende mellan X och Y dvs om variablerna tenderar att samtidigt avvika, åt samma
håll, från sina respektive väntevärden. Om kovariansen blir negativ innebär detta att
variablerna tenderar att avvika åt olika håll från sina respektive väntevärden.
Definition. Om C(X,Y) = 0, säges X och Y vara okorrelerade.
Definition. Korrelationskoefficienten,  för två stokastiska variabler X och Y definieras av
 X ,Y  
CX ,Y 

D X DY 

{ -1   


Fördelningar
En fördelningsfunktion är ett sätt att beskriva hur en stokastisk variabel varierar.
Om vi återgår till det tidigare exemplet och med hjälp av en fördelningsfunktion beskriver
den aktuella fördelningen skulle den ta följande utseende:
F(x)=P(X<x)
1
1/2
x
1 2 3 4 5
Fördelningsfunktion50
Definition. FX (x) = P(Xx),
variabeln X
- < x < , kallas fördelningsfunktionen för den stokastiska
Definition. P(X=k) (k = 0,1, ...), dvs att den stokastiska variabeln X antar ett visst värde k,
kallas gemensamt för sannolikhetsfunktionen för den stokastiska variabeln X
50 Blom G, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar, Studentlitteratur, Lund, 1989, s51
98
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Sambandet mellan fördelningsfunktionen och sannolikhetsfunktionen ser ut på följande vis:
FX x   P X  j  för j  x
(17)
I tärningsexemplet har vi en diskret stokastisk variabel ty den kan anta ett ändligt antal eller
uppräkneligt antal olika värden. Exempel på diskreta fördelningar är binomialfördelning,
hypergeometrisk fördelning och possionfördelning. En kontinuerlig stokastisk variabel kan
anta alla värden i ett intervall (eventuellt i flera åtskilda intervall). Intervallet kan ha oändlig
utsträckning, utfallen kan ligga ”oändligt tätt” och inget utfall kan antas med positiv
sannolikhet dvs någon sannolikhetsfunktion kan inte existera. Istället definieras en
täthetsfunktion, fX (x), dvs FX (x) beräknas som integralen av fX (t) dt från - till x
Definition. Om det existerar en funktion fX (x) så beskaffad att föregående samband gäller,
sägs X vara en kontinuerlig stokastisk variabel. Funktionen fX (x) kallas täthetsfunktionen
(eller frekvensfunktionen) för X.
Det finns flera typer av kontinuerliga fördelningar, exempelvis exponentialfördelning och
normalfördelning.
Normalfördelning
Normalfördelningen är kanske den vanligaste fördelningsfunktionen - Normalfördelningen är
dock långt ifrån ”den enda normala” fördelningen utan det finns som sagts tidigare flera andra
fördelningar som på ett mer korrekt sätt beskriver verkligheten. Anledningen till att
användningen av Normalfördelningen är så pass utbredd är dess sympatiska egenskaper inom
matematiken.51 En summering av oberoende och likafördelade stokastiska variabler blir även
den approximativt normalfördelad dvs oavsett fördelningarna för de summerade stokastiska
variablerna. Andra vanliga namn på Normalfördelningen är Gauss-fördelning, Gauss-kurva
eller felfördelning. Fördelningsfunktionen för normalfördelningen är52
f x  
 
1
2
e
   x  m 2

 2 2





(18)
51 Blom G, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar, Studentlitteratur, Lund, 1989, s132
52 Brandt O, C-P Carr, A Lasu och M Roeck Hansen, Value at Risk - tre olika beräkningsmetoder, Rapport
nr.P:10, VT 1997, Matematiska institutionen, Stockholms Universitet, Stockholm, 1997, s16
99
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Standardiserad normalfördelning
När väntevärdet, m, är 0 och standardavvikelsen, ärfås specialfallet standardiserad
normalfördelning, vilket skrivs: XN(0,1). Täthetsfunktionen för detta fall brukar betecknas
(x) och fördelningsfunktionen (x).
För normalfördelningen används tabeller över fördelningsfunktionen, se exempel nedan53
x
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
 (x)
0.399
0.352
0.242
0.130
0.054
0.018
0.0044
 (x)
0.500
0.691
0.841
0.933
0.977
0.994
0.9987
Om vi har en normalfördelning som inte är X  N(0,1) så kan den överföras till en
standardiserad normalfördelning genom följande formel:
Z
Y  m ,

där Y  N (m, ) och Z  N (0,1)
(19)
Därigenom kan standardtabellen för en normalfördelning även användas för
normalfördelningar som inte är N (0,1)
Kvantiler
Utifrån normalfördelningen ska vi beskriva ytterligare några användbara begrepp inom
statistiken. En frekvensfunktion har alltid arean 1 (oavsett fördelning). Om x bestäms så att
arean under täthetsfunktionen till höger om x blir lika med ett givet tal , 0 <  < 1, fås kvantilen för fördelningen.
Några kvantiler är erkända begrepp. Exempelvis kallas kvantilerna x0.25 , x0.50 , x0.75 för övre
kvartilen, medianen och undre kvartilen. En median delar arean under frekvensfunktionen i
mitten. Kvantiler kallas även för fraktiler eller i de fall  uttrycks i procent, för percentil. På
engelska finns begreppen quantile, fractile och percentile. Även arean som avses (till vänster
eller höger) varierar. För en standardiserad normalfördelning betecknas percentilen med .
Dess värden kan erhållas ur en standardtabell. För normalfördelningen är exempelvis  = 1,645 och  = -2,326.
53 Blom G, Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar, Studentlitteratur, Lund, 1989, s133
100
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Normalitet
En ofta förekommande fråga är huruvida data uppvisar någon form av symmetri eller struktur.
För att bilda sig en uppfattning kring utseendet hos en fördelning har två centrala begrepp
definierats: skevhet och kurtosis. Vid beräkning av Value-at-Risk via den parametriska
metoden är detta test särskilt viktigt då antagandet om normalitet ligger till grund för den
parametriska metoden.54
Skevhet
Skevheten ger information om huruvida fördelningen är skev åt höger eller vänster i
förhållande till ett medelvärde eller om den är symmetrisk kring medelvärdet. För att få ett
mått på skevheten bestäms en skevhetskoefficient enligt följande formler:55
 s  EX  E X 3 (20)
Den kontinuerliga skevheten bestäms enligt följande:
För diskreta fördelningar gäller:
s  
x
 m population
3
i
N

(21)
(Population)
och tillhörande skjuvningskoefficient:
s
3
(22)
samt Skevhet

x
 msample 
3
i
n
och tillhörande skjuvningskoefficient:
(23)
(Sample)

x
 msample 
3
i
n
s
3
(24)
En skjuvningskoefficient på noll betyder att fördelningen är symmetrisk med medelvärdet lika
stort som medianen. En positiv skjuvningskoefficient innebär att fördelningen avtar
långsammare åt höger. För en fördelning med positiv skjuvningskoefficient ligger medianen
till vänster om medelvärdet. För negativ skjuvningskoefficient gäller det omvända.
54 Lee C F, Statistics for Business and Financial Economics, D.C. Heath & Company, Lexington, Mass, 1993,
s352 ff
55 Lee C F, Statistics for Business and Financial Economics, D.C. Heath & Company, Lexington, Mass, 1993,
s110 f
101
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Ett alternativ är Pearsons coefficient : 3 (mean-median) / (standard deviation)
Kurtosis
Kurtosis är ett mått på spetsigheten för en fördelning samt fördelningens utseende i ändarna.
En kontinuerlig kurtosis bestäms enligt följande:
 k  EX  E X 4
(25)
För diskreta fördelningar gäller:
k
 x

 m population
4
i
N

(26)
(Population)
k
2
och tillhörande kurtosiskoefficient:
(27)
Detta tal beskriver graden av spetsighet i förhållande till spridningen, variansen.
Kurtosis:
 x
 m sample 
3
i
(Sample)
n
(28)
 x
och tillhörande kurtosiskoefficient:
 msample 
3
i
s
n  1
4
(29)
För två fördelningar med samma spridning har fördelningen med högre kurtosiskoefficient
fler observationer kring medelvärdet samt kring ändarna. En normalfördelning har en
kurtosiskoefficient för en population på 3. Tre grundläggande begrepp beskriver de olika
typerna av kurtosis för normalfördelningen. Den normalfördelade kurvan karaktäriseras av ett
utseende som har döpts till mesokurtic. Fördelningar med kurtosiskoefficienter överstigande 3
kallas leptokurtic. Dessa fördelningar har ett utseende som är mer spetsformat än vad den
teoretiska normalfördelade kurvan uppvisar. En fördelning med en kurtosiskoefficient
understigande 3 kallas platykurtic och kan beskrivas som ”platta” fördelningar.
102
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
Oberoende över tiden
Ett grundläggande antagande vid beräkningar av Value-at-Risk är att varje observation är
oberoende samt har samma fördelning. Att variablerna är oberoende betyder att det inte finns
någon påverkan mellan observationer vid olika tidpunkter. Resultatet i en tidpunkt är
oberoende av alla resultat som inträffat. Att observationerna har samma fördelning innebär att
varje observation kommer från en fördelning som har ett visst medelvärde och en viss
standardavvikelse.
För att testa huruvida observationer är oberoende över tiden så prövas exempelvis om
autokorrelation förekommer. Om så inte är fallet är observationerna oberoende över tiden.
Graden av autokorrelation brukar illustreras med hjälp av korrelationsdiagram mellan
observationer.56
Räntor
Risk mäts ofta som förändringar i pris, exempelvis som absoluta prisförändringar, relativa
prisförändringar eller kontinuerliga prisförändringar. Nedan följer definitioner för dessa
begrepp. Vt betecknar värdet för en tillgång vid tidpunkten t.
Enligt J.P. Morgan definieras risk som en värdeförändring mellan två tidpunkter:
LLoss   Vt  Vt 1
(30)
dvs en förlust innebär att L är positivt och anses således vara en positiv förändring.
Definition. Periodräntan, rp, mellan två tidpunkter t+1 och t definieras som57
rp 
Vt 1  Vt 
Vt
 Vt 1  Vt 1  rp 
(31)
Vi skiljer på rp och Rp, där Rp anger den stokastiska periodräntan.
Definition. Den kontinuerliga räntan, rk, definieras som58
56 Newbold P, Statistics for Business and Economics, Prentice-Hall, 4:e uppl. 1992, s767
57 Gustavsson M och M Svernlöv, Stora Uppslagsboken Ekonomi & Kalkyler, 1994
58 J.P. Morgan, RiskMetrics™ - Technical Document, Fourth Edition, J.P.Morgan/Reuters
103
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
V 
rk  ln  t 1 
 Vt 
 e rk 
Vt 1
Vt
(32)
Vi skiljer på rk och Rk, där Rk anger den stokastiska kontinuerliga räntan.
Förhållandet mellan periodräntan, rp och den kontinuerliga räntan, rk, kan uttryckas som
rk  ln 1  rp 
(33)
104
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
BILAGA D
RÄNTABILITET PÅ OPERATIVT KAPITAL
Utvecklingen av räntabilitet på operativt 1993 - 1997 kapital
Ränt. operativt kap
12,00%
10,00%
8,00%
6,00%
4,00%
2,00%
-4,00%
-6,00%
105
9
6
3
19 9
96
12
6
3
19 9
95
12
6
3
19 9
94
12
6
3
6
19 9
93
12
-2,00%
3
Pe
rio
d
0,00%
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
BILAGA E
TIDSSERIENS FREKVENSFÖRDELNING
Frekvensfördelning
12
10
8
6
4
2
106
10,5%
9,5%
8,5%
7,5%
6,5%
5,5%
4,5%
3,5%
2,5%
1,5%
0,5%
-0,5%
-1,5%
-2,5%
-3,5%
-4,5%
0
VaR – som metod för att mäta rörelserisken
Lindqvist/Söderhjelm
___________________________________________________________________________
BILAGA F
JÄMFÖRELSE MELLAN LÖPANDE BERÄKNING, 20
GLIDANDE OCH UTFALL.
500000
400000
200000
100000
-100000
Kumulativ :
20 glidande:
107
Utf all:
39
37
35
33
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
VaR (kr)
300000