Övningstentamen i matematisk statistik
Uppgift 1: Från ett register över manliga patienter med diabetes fick man följande
statistik i procent:
Patientens
ålder
Under 40 år
Över 40 år
Lindrigt fall
Någon förälder
med diabetes
ja
nej
15
10
15
20
Allvarligt fall
Någon förälder
med diabetes
ja
nej
8
2
20
10
Anta att en patient väljs ut slumpmässigt. Låt händelserna A, B och C definieras av
A = Patienten är ett allvarligt fall
B = Patienten är under 40 år
C= Någon av patientens föräldrar har diabetes
a)
b)
Är händelsen att patienten är ett allvarligt fall beroende eller oberoende av att
någon av föräldrarna har diabetes (enligt ovanstående tabell)?
Beräkna följande 3 sannolikheter och beskriv i ord vad de betyder
1) P(AC∩BC)
2) P(AC∪BC)
3) P(AC∩B∩CC)
(8 poäng)
Uppgift 2: Anta att en butik har en låda med 10 reservdelar. Av dessa är 5 trasiga
men det vet ju inte personalen. När man säljer reservdelarna tar man slumpmässigt
upp dem en och en. En kund kommer in i butiken och köper 2 av dessa reservdelar.
a) Hur stor är sannolikheten att minst en av dem är trasiga?
b) Anta att den första reservdelen är trasig. Vad är sannolikheten att den andra
också är trasig?
(6 poäng)
Uppgift 3: I en annons läser du att 9 av 10 läkare rekommenderar Potters
dundermedicin som kosttillskott för vårtrötta personer. Eftersom du aldrig har hört
talas om dundermedicinen tidigare undrar du om detta påstående verkligen är sant.
Du väljer därför slumpmässigt ut 4 läkare för att fråga dem vad de rekommenderar
för kosttillskott. Anta att påståendet verkligen är sant. Vad är då sannolikheten att
högst 2 av de tillfrågade läkarna rekommenderar Potters dundermedicin?
(6 poäng)
Uppgift 4: Till en telefonväxel kommer det i genomsnitt 30 samtal per timme. Anta
att antalet telefonsamtal är Poissonfördelat.
a) Vad är sannolikheten att det kommer fler än 2 samtal under en 5 minuters
period?
b) Anta att ett samtal just har kommit in till telefonväxeln. Beräkna sannolikheten att
det tar längre tid än 2 minuter innan nästa samtal kommer.
(6 poäng)
Uppgift 5: Anta att man har 2 stokastiska variabler, ξ och η. Sannolikhetsfördelningen för ξ beskrivs i nedanstående tabell:
ξ=x
0
1
2
3
4
5
P(ξ = x)
0.1
0.1
0.2
0.1
0.3
0.2
Den stokastiska variabeln η kan beräknas med hjälp av sambandet η = (ξ – 2)2.
Beräkna väntevärdet och variansen för η.
(6 poäng)
Uppgift 6: Ett slumpmässigt urval på 10000 skaderapporter tas på ett
försäkringsbolag vid avdelningen för bilförsäkringar. Man ser då att 75 % av alla
rapporter innehåller ersättningskrav på minst 3000 kronor. Man vill nu studera nästa
400 skaderapporter som kommer in. Vad är sannolikheten att fler än 72 % av dessa
400 nyinkomna rapporterna har ersättningskrav på minst 3000 kronor?
(6 poäng)
Uppgift 7: Anta att man har en Markovkedja med de tre tillstånden E1, E2 och E3.
Övergångsmatrisen har följande utseende:
0.2 0.3 0.5
P = 0 1.0 0
0.2 0.1 0.7
Beräkna förväntad tid till absorption om man startar i tillstånd E1.
(6 poäng)
Uppgift 8: I en fabrik finns 2 likadana maskiner, som arbetar samtidigt. Deras
livslängder antas vara oberoende och exponentialfördelade med väntevärdet 100
timmar. När en maskin går sönder börjar den genast repareras. Anta att det finns två
reparatörer. Reparationstiderna kan antas vara oberoende och exponentialfördelade
med väntevärdet 5 timmar. En trasig maskin kostar 5500 kronor/timme i
produktionsbortfall om den står stilla. Beräkna fabrikens förväntade timkostnad för
produktionsbortfallet.
(6 poäng)
