Kandidatuppsats i Teoretisk filosofi
DE INTERPRETATIONE
IX, FRAMTIDA
KONTINGENTER OCH TRIVALENT LOGIK
Andreas Östling
Andreas Östling
Stockholms Universitet, Filososka institutionen, HT2010
Handledare: Per-Erik Malmnäs
Innehåll
Inledning
3
Verkbeskrivning av
De Interpretatione
En preliminär tolkning av
Exeges av
De Interpretatione
De Interpretatione
4
IX
IX
4
5
ukasiewicz plats i diskussionen
13
ukasiewicz rekonstruktion av argumentet för logisk determinism.
13
Trivalent logik
17
Lagen om det uteslutna tredje, bivalensprincipen och nya angreppssätt
20
Slutsatser
23
2
Inledning
I kapitel IX av Aristoteles logiska arbete
De Intepretatione
återges ett argument som
har som slutsats att allt som sker måste ske med nödvändighet. Om det kontingenta
är det som existerar men som inte med nödvändighet måste existera kan man säga att
argumentet är tänkt att leda till ett förnekande av existensen av
framtida kontingenter.
Kopplas en sådan deterministisk uppfattning samman med tesen att det inte spelar någon roll hur vi överlägger om framtiden kan uppfattningen kallas fatalistisk. Eftersom
argumentet är tänkt att enbart utgå ifrån självevidenta logiska principer har man kallat
detta för logisk fatalism för att kontrastera den gentemot hållningar som når samma
slutsats genom att utgå ifrån existensen av en allvetande gud (teologisk fatalism) eller
1
naturlagars opåverkbara verkan (kausal fatalism, oftare kausal hård determinism).
Jag kommer i föreliggande text undersöka det argument för logisk fatalism som
Aristoteles återger i
De Interpretatione
IX och ställa detta i relation till några välcite-
rade kommentatorer. Ett speciellt fokus tillägnas den trivalenta logik som ukasiewicz
utarbetade mellan åren 1920-1961 och som inspirerades av Aristoteles text.
Alla citat som är tagna från engelskspråkig litteratur har jag översatt till svenska. Vissa
centrala begrepp har jag låtit stå på originalspråk inom hakparenteser då jag bedömt
att detta bidrar till läsförståelsen. Aristoteles text har jag läst i den erkända engelska
facköversättningen av Ackrill, men också i svensk översättning av Bydén. Ur den senare
är citaten hämtade.
Jag vill slutligen tacka min handledare Per-Erik Malmnäs för initierade kommentarer
och förslag som jag fått både skriftligt och muntligt. I vissa avseenden skiljer sig emellertid våra läsningar av Aristoteles text ifrån varandra och jag vill därför klargöra att jag
tar på mig fullt ansvar för den tolkning som presenteras här, liksom texten i övrigt.
1
Rice 2010
3
Verkbeskrivning av
De Interpretatione
De Interpretatione
är en logisk skrift i vilken Aristoteles behandlar olika logiska grundbe-
grepp. Han utröner egenskaper och relationer hos namn, verb, negationer, armationer,
vad påståenden är och vad satser är. Aristoteles utvecklade aldrig en sats- eller predikatlogik i vår moderna mening men har kanske mest blivit känd för sin så kallade termlogik.
I
De Interpretatione
rör sig emellertid Aristoteles i diskussioner som till större del liknar
vår moderna satslogik. För våra syften är den viktigaste egenskapen hos logiken han utvecklar i
De Interpretatione
att det för varje armation av ett påstående nns exakt en
motsvarande negation. Aristoteles använder den tekniska termen
antifasis
för att beskri-
va ett par av kontradiktoriskt motsatta satser, dvs två satser sådana att disjunktionen
av dem är sann och konjunktionen falsk (P
De Interpretatione
∨ ¬P = s
och
P ∨ ¬P = f ).
I kapitel IX av
diskuterar Aristoteles en speciell typ av antifasis, nämligen antifasis
som handlar om en tidpunkt som ligger i framtiden.
Innan jag analyserar Aristoteles text i mer ingående detalj kommer jag presentera en
sammanfattande informell beskrivning av argumentet. En redogörelse för argumentet innebär också ofrånkomligt att man samtidigt gjort en tolkning av Aristoteles text och
jag kommer därför börja med att ge en preliminär egen tolkning av argumentet som jag
sedan belyser och problematiserar längre fram i texten.
En preliminär tolkning av
De Interpretatione
IX
Om en person, vid en tidpunkt, påstår att det morgonen därpå kommer utkämpas ett
sjöslag och en annan person, vid samma tidpunkt, påstår att det morgonen därpå inte
kommer att utkämpas ett sjöslag på samma plats. Då måste en av dessa personer tala
sanning och när morgondagen kommer visar det sig antingen att den första personen
sa något sant, eller att den andra personen sa något sant. Men om vi exempelvis antar
att den som hävdar att det imorgon kommer ske ett sjöslag sa något sant, då måste
4
ett sjöslag med nödvändighet inträa. Eftersom från sanningen hos en sats som utsäger
något om ett sakförhållande också följer med nödvändighet att sakförhållandet måste
realiseras, annars skulle han inte kunna ha sagt något sant. Men det spelar inte heller
någon roll om någon gör dessa utsagor eller inte och för varje händelse går det att ställa
upp en likartad kontradiktion. Samlar vi dessa för tillfället ganska oklara tankarna blir
följden att ingen händelse som sker skulle kunna vara sådan att den inte skedde, vilket
är att säga att varje händelse sker med nödvändighet och alltså att det inte nns några
framtida kontingenter.
Argumentet kan sägas åberopa bivalensprincipen som är en semantisk princip som
säger att för varje deklarativ sats
P
så är
P
sann eller
P
falsk. Vi kommer emellertid se
senare i vår undersökning att det inte är helt självklart hur bivalensprincipen gurerar
i Aristoteles argument och inte heller är det självklart hur vi ska relatera den till lagen
om det uteslutna tredje som är en syntaktisk princip som säger att för varje proposition
P
gäller att
P ∨ ¬P .
Exeges av
De Interpretatione
IX
För att förstå det första stycket i kapitel IX måste vi först introducera några tekniska
termer Aristoteles använder sig av och som han har beskrivit i de tidigare kapitlen av
De
Interpretatione. Ett påstående kan antingen handla om en individ eller om en universalie.
Ord som står för individer (ex. Johannes döparen) är sådana att de bara kan prediceras
om en unik individ, medan universalier (ex. Djur) kan prediceras om era individer. Ett
påstående kan också göras universellt eller icke-universellt. Med ett universellt påstående
avser Aristoteles något på formen Det gäller för alla... och med ett icke-universellt
påstående avser Aristoteles något på formen Det gäller för någon/något/några.... Med
dessa förklaringar i beaktning kan vi nu ta del av det inledande stycket i kapitel IX.
Nåväl: när det rör sig om sådant som är <F, G ...> och <sådant som>
har varit <F, G ...> är det nödvändigt att armationen (eller negationen)
5
är sann eller falsk. Och <av sådana kontradiktoriska påståenden som görs>
universellt beträande universalia är alltid det ena sant och det andra falskt,
liksom när det rör sig om individuella föremål, som vi har sagt. Men <när de
kontradiktoriska påståendena görs> icke-universellt beträande universalia är
det inte med nödvändighet så, liksom när det rör sig om individuella föremål,
som vi har sagt... Men med påståenden rörande individuella föremål som
2
hänför sig till framtiden <förhåller det sig> inte på samma sätt.
Ett kontradiktoriskt påstående som görs universellt beträande universalia kan
exempelvis bildas av de två satserna Det gäller för alla djur att dom har njurar och
Det är inte så att det gäller för alla djur att dom har njurar. I detta fall observerar
Aristoteles att det ena påståendet måste vara sant och det andra falskt. Det samma säger
han gäller när man uttrycker sig universellt om en individ. Men de påståenden som görs
icke-universellt följer inte samma mönster. För det kontradiktoriska påstående som vi
exempelvis kan bilda av En man är blek och En man är inte blek är bevisligen inte
sådant att en måste vara sann och den andra falsk, det är ju fullt tänkbart att det nns
både en blek man och en icke-blek man. Det tycks också från citatet klart att Aristoteles
vill göra en distinktion mellan påståenden som handlar om dåtid, nutid och framtid.
Påståenden om dåtid och nutid beter sig i ett ännu oklart avseende annorlunda än de
som handlar om framtiden. När det kommer till det som är och om det som varit, så
är det alltid så att den ena delen av en kontradiktion är sann och den andra falsk. Här
har Aristoteles antagligen i åtanke påståenden om nuet: Just nu sitter Sokrates eller så
sitter han inte eller påståenden om det förutna: Igår åt jag frukost eller så gjorde jag
det inte. Med dessa är det alltid nödvändigt att det ena ledet av kontradiktionen är sann
och det andra falskt, men båda kan inte vara sanna. Men med föremål som hänför sig till
framtiden <förhåller det sig> inte på samma sätt. Den givna frågan är naturligtvis i
vilken mening kontradiktioner om framtiden skiljer sig från de som handlar om dåtid och
nutid. Svaret på den frågan är också en vattendelare för de olika tolkningar som gjorts
av argumentet under antiken, genom medeltiden och in i modern tid.
2
Aristoteles
De Interpretatione, översättning Bydén 2000: 16
6
Aristoteles följer upp de inledande orden i kapitlet med att redogöra för konsekvenserna som följer om vi låter kontradiktioner som handlar om individuella föremål
i framtiden vara sådana att en av disjunkterna är sann och den andra falsk. Detta är
den logiska deterministens resonemang som Aristoteles försöker utröna och vi skall göra
det samma. Han säger: För om varje armation (eller negation) är sann eller falsk,
så är det nödvändigt att varje <bestämning> antingen tillkommer eller inte tillkommer
<i verkligheten>.
3 Med andra ord är en sats som talar om ett sakförhållande sann i
kraft av att det den utsäger tillkommer <i verkligheten> och vidare För om det är
sant att säga att <x> är vit (eller inte vit), så är det nödvändigt att <x> är vit (eller
inte vit); och om <x> är vit (eller inte vit) så var det sant att bekräfta (eller förneka)
det.. Detta är enligt min egen läsning av texten kärnan i argumentet, denna dubbelsidighet mellan språk och verklighet som möjligen kan ses som en instans av Aristoteles
korrespondensteori för sanning.
4 En sats om (exempelvis) ett sakförhållande är sann om
sakförhållandet nns realiserat i verkligheten, och om ett sakförhållande nns realiserat i
verkligheten så är det sant att säga om detta sakförhållande att det nns realiserat Men
om det alltid är så att en av disjunkterna i en kontradiktion om framtiden är sann redan
innan det den handlar om har inträat, då måste allt ske med nödvändighet. Ponera
nämligen att en person armerar påståendet att det imorgon kommer ske ett sjöslag
och en annan person förnekar detsamma, då måste den person som talar sanning redan
dagen innan det eventuella sjöslaget ha beskrivit något som
måste
ske dagen efter. För
om det fanns utrymme för att något annat skulle komma tillstånd dagen efter skulle
han inte kunna ha sagt något sant
redan
dagen innan. Aristoteles fortsätter därför den
logiska deterministens argument genom att säga:
Ingenting är eller blir således <F, G ...> av en tillfällighet eller som det
faller sig, och ingenting kommer att vara eller inte vara <F, G ... av en
tillfällighet>, utan allt <är F, G ...> av nödvändighet och inte som det faller
3
4
Aristoteles 2000: 16
Ett problem med en sådan läsning är att korrespondensteorin gäller det som
kommer att vara.
7
är
och inte det som
sig: för antingen talar den som bekräftar det sant, eller den som förnekar det.
5
Utan att vi behöver förstå detaljerna i hur denna slutsats har uppnåtts, så kan vi för
tillfället nöja oss med att inse att vissa tidigare antaganden i texten har etablerat att allt
sker med nödvändighet. Aristoteles är snabb att utpeka slutsatsen som absurd eftersom
Följaktligen behöver man varken överväga eller göra sig besvär, <i föreställningen> att
om vi gör det här så kommer det där att vara <fallet>, men om vi inte gör det här så
kommer inte det där att vara <fallet>
6 och vi ser ju att det nns ett upphov till de
saker som kommer att vara <fallet> såväl i överväganden som i bestämda handlingar,
och att det överhuvudtaget hos de saker som inte ständigt är i <en viss> verksamhet
nns en förmåga att vara och att inte <vara F>.
7
Det kan i det här läget vara givande att titta på en formalisering av argumentet som
8 diskussion av Aristoteles text.
åternns i Prawitz
1. A är sann eller A är falsk (antagande; bivalensprincipen)
2. Om A är sann, så är A nödvändig. (Sanning implicerar nödvändighet)
3. Om A är falsk, så är icke-A sann.
4. Om icke-A är sann, så är icke-A nödvändig. (2)
5. A är nödvändig eller icke-A är nödvändig. (1), (2), (3) och (4).
Argumentet är logiskt giltigt och har även behållningen att det kan hjälpa oss att förstå
skillnaden mellan de två fåror av tolkningar som de esta kommentatorer hamnar i när
de försöker redogöra för hur Aristoteles undviker den logiska determinismen. Prawitz kal-
9 respektive realistiska. En antirealistisk
lar efter Bydén dessa tolkningar antirealistiska
5
6
7
8
9
Aristoteles 2000: 17
Aristoteles 2000: 18
Aristoteles 2000: 18
Prawitz 2009: 114
Det är viktigt att poängtera att antirealistisk inte är ett skällsord för att antyda bristerna i denna typ
av tolkning. Istället kommer ordet i det här sammanhanget i från diskussioner inom matematikens
loso, där intuitionisterna (som är
antirealister med hänsyn till matematiska objekt) inte accepterar
lagen om det uteslutna tredje.
8
tolkning förnekar premiss (1) medan en realistisk tolkning förnekar premiss (2).
Bland de realistiska tolkningarna kan man också räkna en variant som förnekar att argumentet överhuvudtaget handlar om en oro att bivalensprincipen skall leda till deterministiska konsekvenser. Detta får Hintikka, som förespråkar en sådan tolkning, att säga:
Aristoteles huvudproblem var inte en metafysikers vaga oro om huruvida nutida sanning
om framtiden förutbestämmer framtida händelser; det var svårigheterna hos en systematiker som hade denierat sina begrepp för ett allt för snävt omfång av fall och sedan var
tvungen till att infoga otympliga nya fall i sitt ramverk. Huvudpoängen i Hintikkas artikel är att Aristoteles i andra skrifter främst är intresserad av så kallade token-reexiva
påståenden, dvs. påståenden som är beroende för sitt sanningsvärde av när de utsägs. Så
kan exempelvis Sokrates sitter uttrycka samma tanke när satsen än utsägs, men ibland
vara sann (då Sokrates faktiskt sitter) och i annat fall falsk. Vidare menar Hintikka att
nödvändighet för Aristoteles i andra sammanhang innebär: sann för alla tidpunkter.
Problemet som kommer till ytan för Aristoteles i kapitel IX skulle enligt Hintikka vara
betraktandet av påståenden med en xerad tidpunkt, så som Sokrates sitter vid
t1 för
någon given tidpunkt t1 . Om den är sann överhuvudtaget så måste den vara sann att yttra
under alla tidpunkter och därmed också nödvändig. Enligt Hintikka är alltså Aristoteles
huvudproblem hur han skall behandla påståenden med en xerad referenspunkt i tiden i
ljuset av sitt lososka system i övrigt. Aristoteles lösning på problemet med determinism blir alltså enligt Hintikka att göra en distinktion mellan påståenden med en xerad
referenspunkt i tiden och token-reexiva som saknar en sådan referenspunkt. Det är inte
nödvändigt
att Sokrates sitter eftersom han ibland inte har suttit. Morgondagens sjöslag
kan alltså vara kontingent enligt Hintikkas läsning av Aristoteles eftersom i liknande fall
i det förutna och i framtiden är det ibland sant och ibland falskt att säga 'ett sjöslag
kommer inträa imorgon '
10 . Eftersom hela Hintikkas argument lånar de esta av sina
idéer från helt andra skrifter än jag tagit del av, kan jag inte ta ställning till rimligheten
i den. Men vi kan tillsammans med honom observera att om Aristoteles försökte säga det
Hintikka tror, så skulle det inte vara en lösning på problemet med logisk determinism så
10
Hintikka 1964: 487
9
som jag målat upp det.
Prawitz menar att Aristoteles text tillåter både en antirealistisk och en realistisk läsning,
även om han slutligen tycks bestämma sig för en realistisk. Vid en första anblick kan premiss (2) te sig mest suspekt. Varför skulle sanningen hos en proposition A innebära att A
är nödvändig? I det här läget måste man förstås ha en bättre förståelse för vad nödvändighet innebär för Aristoteles. Jag har tidigare antytt att nödvändighetsbegreppet kan
tänkas vara starkt förknippat med korrespondensteorin för sanning. Nyckelcitatet för att
klargöra hur nödvändighet skall förstås i argumentet nner vi i följande citat:
Det är förvisso nödvändigt att det som är <F> är <F> närhelst det är <F>,
och att det som inte är <F> inte är <F> närhelst det inte är <F>. Däremot
är det inte nödvändigt vare sig att allt som är <F> är <F> eller att <allt>
som inte är <F> inte är <F>. Att allt som är <F> med nödvändighet är
<F> när det är <F>, och att det med oinskränkt nödvändighet är <F>, är
nämligen inte samma sak, och motsvarande <är fallet> i fråga om det som
11
inte är <F>.
Aristoteles tycks här vilja ge en kvalikation för när något kan sägas vara nödvändigt och
denna kvalikation har med tempus att göra. När något väl är så kan det sägas vara
nödvändigt. Men det kan inte därmed sägas vara nödvändigt oinskränkt. Det samma
gäller det som inte är. Prawitz kallar denna nödvändighet faktisk [factual] nödvändighet. Anscombe hävdar istället att denna typ av nödvändighet är obekant för en modern
läsare och att den kanske bäst skall översättas som skulle inte kunna visas vara annorlunda
12 . Prawitz observerar att detta är en epistemisk tolkning av nödvändighet, varför han
utvecklar hur en sådan syn på Aristoteles nödvändighetsbegrepp kan gardera oss mot determinismen.
13 Utan att gå in på detaljerna kan kanske Prawitz karakterisering av en
epistemisk tolkning summeras genom att säga att vi ofta i princip har kunnat etablera
en kunskap om att något ägt rum i det förutna eller att något sker just nu. Däremot
11
12
13
Aristoteles 2000: 20
Anscombe 1956: 7
Prawitz 2009: 131-135
10
har vi inte alltid förmågan att principiellt etablera en kunskap om vad som kommer äga
rum i framtiden. Det förutna och nuet är således nödvändigt i denna mening medan
framtiden är öppen i den mening att vi ofta principiellt saknar förmåga att etablera
en kunskap om framtiden. Det är kontroversiellt vad Aristoteles skulle ha att säga om
en sådan uppfattning och vi kommer istället återgå till en av de mer tydliga ställena i
kapitel IX av
De Interpretatione.
Jag menar, till exempel: det är nödvändigt att ett sjöslag <antingen> kommer att äga rum eller inte kommer att äga rum i morgon; däremot är det inte
nödvändigt att ett sjöslag inträar i morgon, och inte heller att <ett sjöslag>
inte <inträar i morgon>; dock är det nödvändigt att det <antingen> inträar eller inte inträar.
14
Vad Aristoteles tycks vilja säga (om vi tar oss friheten att översätta resonemanget
formellt) är att hans nödvändighetsoperator inte kan distribueras över en disjunktion.
Om L är Aristoteles nödvändighetsoperator så tycks han alltså förneka principen:
L(P ∨ Q) → LP ∨ LQ.
Som jag har uppfattat saken är realistens huvudargument för sin
tolkning att den här principen inte tycks gälla men att argumentet för logisk determinism
är beroende av den. Bara för att det är
logiskt
inte regnar nu, så är det inte för den skull
nödvändigt att det antingen regnar eller
logiskt
nödvändigt att det regnar eller
logiskt
nödvändigt att det inte regnar. Om argumentet för logisk determinism måste åberopa
en sådan princip så håller jag med om att principen kan kritiseras och argumentet på
detta sätt desarmeras. Men det nns andra delar av Aristoteles text som talar för andra
tolkningar. Betrakta detta påstående om kontradiktioner som rör föremål i framtiden.
I fråga om dessa är det nämligen visserligen nödvändigt att endera sidan
av kontradiktionen är sann (eller falsk), däremot inte att den här eller den
där sidan <är sann (eller falsk)>, utan vilken som faller sig; och visserligen
<kommer> någotdera <påståendet att vara> sant snarare <än det andra>,
15
dock är det inte redan nu sant eller falskt.
14
15
Aristoteles 2000: 20
Aristoteles 2000: 21
11
Observera att Aristoteles både säger att ena sidan av kontradiktionen måste vara sann
och den andra falsk, men dock är det inte redan nu sant eller falskt. Hintikka påstår i
början av sin artikel att han inte kan nna en distinktion mellan bivalensprincipen och
16 Jag skulle vilja påstå att ovanstående citat är en kandi-
lagen om det uteslutna tredje.
dat för ett ställe där en sådan distinktion görs. För Aristoteles tycks ju å ena sidan vilja
säga att P
vid
t0
för
de dvs.
∨ ¬P t0 < t1 .
redan
vid
yttrad vid
t0
som handlar om
t1
är sann med nödvändighet redan
Men å andra sidan har disjunkterna inte redan nu
t0 .
17 ett sanningsvär-
Men detta kräver ju att disjunktionen är sann utan att någon av
disjunkterna har ett bestämt sanningsvärde. Alltså är bivalensprincipen och lagen om det
uteslutnatredje distinkta principer när vi behandlar enskilda föremål i framtiden enligt
en sådan läsning. I det sista stycket av kapitel IX skriver Aristoteles: Det förhåller sig
nämligen inte på samma sätt med sådana saker som är <F, G...> och med sådana saker
som inte är <F, G ...> men som har förmågan att vara eller inte vara <F, G ...>, utan
<med de senare förhåller det sig> så som vi sagt.
18 Enligt min läsning säger Aristoteles
här att framtida händelser som har förmågan att vara eller inte vara är just sådana att
de hindrar att vi vid tidpunkter innan dessa händelser skett kan tilldela dem ett sanningsvärde och detta är inte en kunskapsbrist hos oss, utan det ligger i sakernas natur.
Denna uppfattning tycks också vara i överensstämmelse med Boethius kommentar av
Aristoteles när han säger om två kontradiktoriskt motsatta påståenden: ett är sant och
det andra falskt, men indenit och föränderligt [indenitely and mutably] - och detta som
19 Det är
ett resultat av deras egen natur, inte relativt till vår ignorans eller kunskap.
upplysande att jämföra en sådan uppfattning med hur man resonerar inom den klassiska
sannolikhetsteorin. Där nns endast ett nödvändigt utfallsrum. Den klassiska sanno-
16
17
Hintikka 1964: 462
Även Ackrill översätter denna del av Aristoteles text med en antydan att tidsaspekten är viktig och
väljer därför uttrycket not already. Samtidigt påpekar han att även om grekiskan som används här
vanligtvis har en temporal innebörd så kan den också ges en rent logisk innebörd och översättas not
18
19
thereby eller that is not to say that.... Se hans fotnot på sid 141.
Aristoteles 2000: 21
Boethius 1998: 160. Observera också hur Boethius tycks förneka den typ av epistemiska tolkning som
Anscombe ville göra gällande och som Prawitz senare skisserar
12
likhetsteorin kan även sägas vara realistisk beträande framtiden, men i sammanhanget
används istället termen objektiv.
20
Mot den antirealistiska tolkningen har bland annat Anscombe
21 invänt att Aristoteles
säger: Emellertid är det inte heller möjligt att säga att ingendera <sidan av kontradiktionen> är sann, det vill säga att <x> varken kommer att vara <F> eller inte kommer
att vara <F>.
22 Men det Aristoteles troligen vill förneka är att det imorgon inte både
kan vara ett sjöslag och inte vara ett sjöslag på samma gång. Vilket även en antirealist
kan gå med på.
ukasiewicz plats i diskussionen
I en uppsats 1920 introducerar ukasiewicz för första gången ett formellt system med tre
sanningsvärden. Anledningen till att hans trivalenta logik är intressant för vår förståelse
av de problem som berörs i
De Interpretatione
som det metafysiska substratet
IX är att han ser lososk indeterminism
23 till den trivalenta logik han utvecklat. Att ukasiewicz
dessutom väljer att behandla frågor om logisk determinism under sin invigningsföreläsning som rektor vid universitetet i Warszawa tyder på att problemet var något som låg
hans forskningsintressen nära.
ukasiewicz rekonstruktion av argumentet för logisk
determinism.
För ökad läsbarhet har jag valt att markera en skillnad mellan premisser och teorem,
något som ukasiewicz själv inte gör. Argumentet i denna form består av en denition,
två premisser (P1-P2), två härledda teorem (T1-T2) och en slutsats (S). Direkt ovanför
20
21
22
23
Detta blev jag uppmärksammad på av Per-Erik Malmnäs.
Anscombe 1956: 4
Aristoteles 2000: 18
ukasiewicz 1920: 88. Alla sidhänvisningar som gäller ukasiewicz är till Selected Works red. Borkowski
1970
13
premisser och teorem har jag inom parenteser markerat ukasiewicz motivering för satsen i fråga.
Determinism
tidpunkt
t
=def
Med determinism menar jag uppfattningen att om
så är det sant vid alla tidpunkter tidigare än
t
att
A är b
A
är
b
vid en
t
vid tidpunkt .
24
(Lagen om det uteslutna tredje)
P1.
Antingen är det sant vid tidpunkten t att John kommer att vara hemma imorgon ef-
termiddag eller så är det sant vid tidpunkten t att John inte kommer att vara hemma
imorgon eftermiddag.
(Korrespondensteorin för sanning)
P2.
Om det är sant vid en tidpunkt t att John inte kommer att vara hemma imorgon
eftermiddag, då kommer inte John vara hemma imorgon eftermiddag.
(Från P2 genom kontraposition)
T1.
Om John kommer vara hemma imorgon eftermiddag, då är det inte sant vid tidpunk-
ten t att John inte kommer att vara hemma imorgon eftermiddag.
(Från P1 genom hypotes och eller-elimination)
T2.
Om det inte är sant vid en tidpunkt t att John inte kommer vara hemma imorgon
eftermiddag, då är det sant vid tidpunkten t att John kommer att vara hemma imorgon
eftermiddag.
(Från T1-T2 genom kedjeslut)
S.
Om John kommer att vara hemma imorgon eftermiddag, då är det sant vid tidpunkten
t att John kommer att vara hemma imorgon eftermiddag.
24
ukasiewicz 1961: 113
14
Men
t
t
är en godtycklig tidpunkt som kan väljas hur vi vill. Vi kan välja speciellt varje
som är tidigare än Johns hemmavarande imorgon eftermiddag. Enligt denitionen för
determinism är John enligt (S) determinerad att vara hemma imorgon eftermiddag. Här
slutar beviset för determinism.
Argumentet är logiskt giltigt, så den återstående frågan är om det har sanna premisser. För att undvika den deterministiska slutsatsen måste vi antingen förneka P1 eller
P2. P2 är enligt ukasiewicz intuitioner sann, det återstår för honom att förneka P1 och
det är just vad han gör. Här menar jag att ukasiewicz avslöjar ett implicit antagande
i argumentet för logisk determinism, nämligen att det tycks förutsätta sanningen hos
kausal determinism.
Satsen: det är sant vid den nuvarande tidpunkten t att John kommer att vara
hemma i morgon eftermiddag har inget aktuellt korrelat [actual correlate],
för orsakerna till detta faktum existerar inte redan vid tidpunkten t; av denna
25
anledning nns det inget som tvingar oss att uppfatta satsen som sann.
En liknande observation menar jag att Boethius gör redan på 500-talet när han
skriver Deras utfall är ännu inte givet, för både det ena eller det andra kan inträa.
Men på detta sätt är det eftersom utfallet av sakerna, händelserna, sakförhållandena
inte är beroende av äldre orsaker, som om det fanns en sorts nödvändig kedja....
26 Både
ukasiewicz och Boethius uttrycker här intuitioner som ligger nära min egen förståelse
av dessa problem. Det verkar helt enkelt inte som att argumentet för logisk determinism
enbart åberopar en logisk princip utan även kräver vissa mer kontroversiella metafysiska
antaganden. Jag menar att ukasiewicz antyder att dispyten inte kan vara gällande en
självevident logisk lag när han skriver:
Jag kan anta utan att motsäga mig själv att min närvaro i Warszawa vid
en given tidpunkt nästa år, exempelvis på eftermiddagen den 21 December,
25
26
ukasiewicz 1961: 123
Boethius, översättning Kretzmann 1998: 183. Alla sidhänvisningar kommer vara till Kretzmanns översättning.
15
vid nuvarande tidpunkt varken är determinerat sant eller falskt. Alltså är
det
möjligt,
men inte
nödvändigt,
att jag skall vara närvarande i Warszawa
vid den tidpunkten. Under detta antagande kan propositionen Jag kommer
vara i Warszawa på eftermiddagen den 21 December nästa år vid nuvarande
tidpunkt varken vara sann eller falsk. För om den var sann nu, skulle min
framtida närvaro i Warszawa vara nödvändig, vilket strider mot antagandet.
Om det var falskt nu, å andra sidan, skulle min framtida närvaro i Warszawa
vara omöjlig, vilket också strider mot antagandet. Därför är den nämnda
propositionen när den yttras
varken sann eller falsk
och måste anta ett tredje
värde, skilt från 0 eller falskhet och 1 eller sanning. Detta värde kan vi
kalla 1/2. Det representerar det möjliga, och ingår tillsammans med det
sanna och det falska som ett tredje värde.
27
I termer av hans rekonstruktion av argumentet förnekar han premiss P1 och vi
måste acceptera att både det är inte sant vid tidpunkten t att John kommer att vara
hemma imorgon eftermiddag och det är inte sant vid tidpunkten t att John inte kommer att vara hemma imorgon eftermiddag är sanna. Så det gäller inte att Om John
kommer att vara hemma imorgon eftermiddag, då är det sant vid tidpunkten t att John
kommer att vara hemma imorgon eftermiddag. och argumentet för logisk determinism
i ukasiewicz version går inte igenom.
ukasiewicz insisterar på att förnekandet av (P1) inte är ett förnekande av lagen om det
uteslutna tredje eftersom de två påståendena i kontradiktionen inte motsäger varandra.
28 Det vore motsägelsefullt att förneka att Antingen är John hemma imorgon efter-
middag eller så är John inte hemma imorgon eftermiddag, men det ukasiewicz förnekar
är inte detta utan han förnekar att det är givet vid en tidpunkt
som handlar om
t1 ,
t0
när påståendet görs
att den ena eller andra delen är sann. Premiss T1 säger han har
således blivit deducerad från principen om det uteslutna tredje på basis av en alltigenom
intuitiv undersökning och inte genom applikationen av en logisk princip. Men, intuitiva
27
28
ukasiewicz 1930: 165
ukasiewicz 1960: 124
16
undersökningar kan vara felaktiga och de tycks ha bedragit oss i detta fall.
29
Trivalent logik
ukasiewicz formaliserar sin trivalenta logik genom att utöka denitionerna för konnektiven för att även gälla det tredje sanningsvärdet: 1/2. Hans grundläggande konnektiv är
implikation och negation, som bildar följande sanningstabeller.
→
0
1/2
1
¬
0
1
1
1
0
1
1/2
1/2
1
1
1/2
1/2
1
0
1/2
1
1
0
Vi ser att konnektiven beter sig som vanligt under värderingar med de två vanliga
sanningsvärdena. Motivationen för negationen är att om det som ett påstående uttrycker
är sådant att det både kan och inte kan ske, så måste också negationen av detta påstående
vara sådant att det som det uttrycker både kan och inte kan ske. Resterande tabellvärden
motiveras med den sortens resonemang. Tre återstående konnektiv uttrycks i termer av
de två grundläggande.
P ∨ Q = (P → Q) → Q; P ∧ Q = ¬(¬P ∨ ¬Q); P ↔ Q = (P → Q) ∧ (Q → P )
Vi känner igen denitionerna för konjunktion och ekvivalens från standardframställningar av satslogik, men denitionen för disjunktionen är inte lika bekant. Sanningstabellerna
för de härledda konnektiven är:
29
∨
0
1/2
1
∧
0
1/2
1
↔
0
1/2
1
0
0
1/2
1
0
0
0
0
0
1
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1/2
1
1
1
1
1
0
1/2
1
1
0
1/2
1
ukasiewicz 1960: 124
17
Den viktigaste aspekten hos ukasiewicz trivalenta logik för våra syften är hans
denition av
möjlighet. Denna möjlighet får inte förväxlas med den moderna modallogi-
kens semantik som: sann i någon möjlig värld, eftersom den möjlighet som ukasiewicz
beskriver är sanningsfunktionell.
30
Om M står för möjlighet så ges denitionen av:
M P =def ¬P → P .
En propo-
sition är möjlig om den impliceras av sin negation. Enligt egen utsaga har ukasiewicz
tagit över denna denition från sin elev Tarski.
genom att liksom Prior påpeka att
¬P → P
31 Man kan klargöra denna denition
är sann när
¬P
inte är mer sann än
För ett tvåvärdessystem nns bara en sådan tolkning, nämligen när
P
P .32
är sann och
¬P
därmed falsk. I ukasiewicz trivalenta system gäller det emellertid utöver denna tolkning
även när
P = 1/2 och därmed ¬P = 1/2. Konsekvensen av detta är att vi fått en denition
av möjlighet som ger sanningsvärdet sant omm
kan skrivas
M1/2
P =1
eller
P = 1/2,
vilket förkortat nu
M 1 = 1,
=1
och följaktligen M0
= 0.
Prior försöker med informella resonemang för-
klara hur dessa satser skall tolkas i relation till problemet med framtida kontingenter.
Enligt honom är det så att M1
M1/2
= 1 säger att om en proposition är sann så är den möjlig.
= 1 säger att om en proposition ännu inte är bestämt sann eller falsk så är den möj-
lig. Till sist säger M0
= 0 att om en proposition är falsk så är den givet förutsättningarna
också omöjlig. Varför ukasiewicz valde just
¬P → P
för att deniera möjlighet har nu
fått sin förklaring.
Vidare observerar Prior att lagen om det uteslutna tredje (P
30
värde om
32
för alla
P)
inte
Sanningsfunktionalitet innebär att en sammansatt logisk sats har ett bestämt sanningsvärde när satsens enklaste beståndsdelar har det.
31
∨ ¬P
P
och
Q
P ∧Q
har exempelvis i klassisk satslogik ett bestämt sannings-
har det. Modallogikens nödvändighetsoperator är däremot inte sanningsfunk-
tionell eftersom sanningsvärdet för
P
inte är givet bara för att
ukasiewicz 1930: 167
Prior 1953: 321
18
P
har sanningsvärdet sann.
är en lag i systemet, eftersom när
emot gäller
M P ∨ M ¬P
P
tar sanningsvärdet 1/2, så är
P ∨ ¬P = 1/2.33
Där-
i systemet. Ett vidare problem med ukasiewicz system är att
M P ∧M ¬P ↔ M (P ∧¬P )34 , vilket måste innebär att om en proposition uttrycker något
som är möjligt och negationen av propositionen också uttrycker något som är möjligt, då
är det möjligt både det som propositionen och dess negation uttrycker. Vilket nog borde
strida mot intuitioner som många hyser.
Om
¬P → ¬M P
vore en lag så vore
MP → P
(genom kontraposition) en lag och vi
skulle förlora distinktionen mellan möjlighet och sanning. Men det är ingen lag, för under
värderingen
P = 1/2
blir
¬P → ¬M P = 1/2
och systemet står sig. Huvudproblemet med
trevärdeslösningen är således att lagen om det uteslutna tredje,
selagen,
¬(¬P ∧ P ),
P ∨ ¬P ,
och motsägel-
inte är lagar i ukasiewicz system. Samtidigt verkar inte en lösning
vara att säga att en sats är sann så fort vi har en disjunktion med indeterminerade propositioner. Vi vill bara att det ska gälla för
P = 1/2
och
Q = 1/2.
P ∨ ¬P
Detta visar att vi inte kan låta
inte för
∨
P ∨Q
vilka som helst där
vara en sanningsfunktion om vi
vill bevara denna intuition.
Det har senare gjorts försök att rädda lagen om det uteslutna tredje och motsägelselagen genom att modiera ukasiewicz system. Med detta mål som utgångspunkt ställer
Bourne
35 diagnosen att problemet ligger i ukasiewicz denition av negation. Den enda
skillnaden mellan dessa två systems grundbegrepp är att det för en proposition
sanningsvärdet 1/2 gäller att
¬P = 1/2
i ukasiewicz system men
¬P = 1
P
med
i Bournes
system . Motiveringen som Bourne ger för sin denition av negation, förutom att den
bevarar lagen om det uteslutna tredje och motsägelselagen, är att givet att p är odeterminerad [indeterminate], då är det inte fallet att p; så att säga att det inte är fallet att
p är uppenbarligen att säga något sant.
36 Men den motiveringen är olycklig eftersom
Bourne bara betraktade den ena aspekten av hur en proposition är odeterminerad.
37
Att en proposition P är odeterminerad gör det inte bara sant att säga P är inte fallet
33
34
35
36
37
Logiska lagar har sanningsvärdet 1 under alla värderingar
Jag blev uppmärksammad på vikten av detta av min handledare Per-Erik Malmnäs.
Bourne 2004
Bourne 2004: 124
Kachi 2000: 2
19
utan även ¬P är inte fallet. Så denna motivering för att omdeniera negationen faller
platt. Men en av grundanledningarna till att modiera negationen var ju också att bevara lagen om det uteslutna tredje och motsägelselagen. Dessa lagar gäller visserligen i
Bournes modierade system, men Kachi påpekar att andra klassiska lagar (som håller
i ukasiewicz system!) inte håller. Nämligen de Morgans lagar och lagen att en dubbel
negation kan elimineras. I ljuset av dessa anledningar har vi inte fått några övertygande
skäl att föredra Bournes system framför ukasiewicz.
Sammanfattningsvis verkar det trots allt som att den trivalenta logik som ukasiewicz
utvecklade gör det möjligt att uttrycka intuitioner som inte var möjliga att uttrycka i en
vanlig bivalent logik. Vi har inte heller fått några starka skäl att föredra Bournes system.
Men samtidigt kan ukasiewicz system inte vara en rimlig tolkning av Aristoteles lösning
eftersom motsägelselagen inte håller och eftersom
P ∨ ¬P
får sanningsvärdet 1/2 i u-
kasiewicz system men enligt Aristoteles egna intuitioner skulle tilldelas sanningsvärdet
1. Dessutom nns det som vi kommer se exempel på bivalenta system som kan uttrycka
indeterministiska intuitioner på ett, enligt min mening, mer rimligt och åskådligt sätt.
Lagen om det uteslutna tredje, bivalensprincipen och nya
angreppssätt
Vi påminner oss om att bivalensprincipen är en
deklarativ sats
P
så är
P
sann eller så är
om det uteslutna tredje som är en
P
semantisk
princip som säger att för varje
falsk. Den beskrivs ofta samhöra med lagen
syntaktisk
princip som säger att för varje
P , P ∨ ¬P .
I klassisk logik är bivalensprincipen och lagen om det uteslutna tredje ekvivalenta.
Det nns emellertid exempel på logiska teorier där lagen om det uteslutna tredje gäller,
men bivalensprincipen inte gäller och det omvända. Jag har inför den här uppsatsen tagit
38 hur man kan
del av ett system av det första slaget. På 1960-talet visar van Fraasen
skapa en semantik för ett språk där vissa termer saknar referens genom att låta satser
där dessa icke-refererande termer gurerar få två klassiska tolkningar där den ena tolk-
38
van Fraasen 1966
20
ningen godtyckligt tilldelar sanningsvärdet sant och den andra tilldelar sanningsvärdet
falskt. Sedan utformar man en så kallad supervaluering över dessa klassiska tolkningar,
vilket är en funktion som ger sanningsvärdet sant om båda de klassiska tolkningarna är
sanna, falskt om båda är falska och inget sanningsvärde alls (ett truth value gap) om en
av de klassiska tolkningarna ger sanningsvärdet sant och den andra ger sanningsvärdet
falskt. Med en sådan semantik kan påståenden ibland sakna ett sanningsvärde under en
supervaluering, men alla fall av lagen om det uteslutna tredje håller. För våra syften är
inte detaljerna i detta system det väsentliga utan poängen är att det visar att man kan
konstruera rigorösa logiska teorier som har egenskaper vi vid första anblicken kanske inte
såg som möjliga (dvs. att göra lagen om det uteslutna tredje och bivalensprincipen skilda
från varandra).
Denna i sammanhanget intressanta egenskap att disjunktioner kan vara sanna utan att
någon av disjunkterna har ett sanningsvärde kan även preciserar med hjälp av den moderna idén om branching-time. Till skillnad från van Fraasens system som var utvecklat
för helt andra syften har dessa system stora möjligheter att klargöra våra tankar kring
problemet med framtida kontingenter och logisk determinism.
v0 ,
Anta för enkelhetens skull att det från ett givet tillstånd av världen,
olika sätt som världen kan utveckla sig på,
v1 −v2
är sann men i
redan vid
v0
v3
v0
Däremot kan antirealisten inte säga att
vissa grenar innehåller
v1 − v3 . Vidare antar vi att en proposition P
är falsk. Enligt Prawitz kan antirealisten säga att
eftersom varje gren från
P
P ∨¬P
innehåller en nod med antingen
P
nns tre
är sann eller att
och andra innehåller
¬P .
P
P
Det är inte bestämt
är sann
¬P .39
eller
v0 ,
är falsk vid
eftersom
redan
vid
v0
v0
är
vilken av grenarna vi kommer hamna på. För realisten är det istället så att vid
P ∨ ¬P
sann av samma anledning som ovan, men vid
v0
har enligt realisten
P
i
redan ett
sanningsvärde. Realisten är dock snabb att poängtera att vi för den skull inte kan säga
att
P
är nödvändig eftersom det nns grenar (nämligen
Lägg dock märke till att gren
blott
39
logisk
v3
möjlighet och inte
v3
i detta fall) där
P
är falsk.
aldrig kommer kunna instantieras, utan den illustrerar
faktisk
möjlighet. Jag menar att detta är det som talar
Prawitz 2009: 129
21
mest emot en realistisk tolkning som försvar mot determinism eftersom det från en given
nod endast nns en väg utstakad som kommer instantieras och att det ligger utanför vår
förmåga att påverka vad som händer mellan dessa noder. Men jag har också fått inse
att människor har olika intuitioner om detta.
Vi såg tidigare att realisten ifrågasätter principen att man kan gå från att någonting är sant till att det är nödvändigt. Här kan vi kanske tydligare ser hur dispyten om
denna rimlighet kan uppstå. Antirealisten vill helt enkelt påpeka att det inte räcker för
realisten att göra en distinktion mellan sanning och logisk sanning för att undvika determinism. Enligt antirealistens intuitioner så är världen deterministisk om det från en
given nod redan är sant vilken nod vi kommer hamna på här näst. Realistens försök att
undvika determinism genom att säga att det ju nns
annat kommer ske hjälper inte det faktum att det
logiskt
faktiskt
möjliga noder där någonting
är sant vilken nod vi kommer
hamna på redan noden innan. Det är frestande att spekulera kring om detta stötande av
intuitioner emot varandra har en motpart i diskussionen mellan kompatibilister och ickekompatibilister. Jag tänker mig att kompatibilisterna nöjer sig med realistens tolkning
eftersom de endast var oroliga över om det fanns ett förbisett argument för
minism (
kausal
logisk
deter-
determinism har de ju inget problem med) och eftersom vi kan göra den
klassiska distinktionen mellan sanning och logisk sanning så faller argumentet för logisk
determinism bort som orimligt för realisten. Att morgondagens nod är bestämd redan
idag är inget problem varken för en kompatibilist eller för en realist. Men för antirealisten
är
det ett problem att morgondagens nod är bestämd redan dagen innan och han måste
liksom icke-kompatibilisten bortfärda realistens försök att undvika determinism.
Huruvida det verkligen nns en koppling mellan dessa positioner låter jag vara osagt.
Det är märkligt nog inte ett förslag jag stött på i litteraturen. Med tanke på de otaliga
hyllmeter som ägnats åt debatten mellan kompatibilister och icke-kompatibilister måste
en noggrannare utredning av eventuella kopplingar mellan dessa positioner och de två
tolkningstraditionerna av Aristoteles text lämnas till ett annat tillfälle. ukasiewicz position tycks hursomhelst ha varit icke-kompatibilistisk och sin egen tro på människans
22
handlingsfrihet summerar han med orden: Vi kan själva på något sätt forma världens
framtid i enlighet med vår egen design. Jag vet inte hur detta är möjligt, men jag tror
40
att det är det.
Slutsatser
Vi har fått en smak för hur man kan tolka argumentet för logisk determinism som återges i kapitel IX av
De Interpretatione
men vi har också sett olika sätt att undvika det.
Åsikterna går isär om den realistiska eller den antirealistiska tolkningen bäst beskriver
Aristoteles egen position, likaså tycks olika losofer ha olika intuitioner om vilken av dessa
tolkningar som bäst undviker deterministiska konsekvenser. Jag har sorterat ukasiewicz
tolkning under antirealismen och kortfattat beskrivit systemets förtjänster. Framförallt
gav systemet möjligheter att uttrycka indeterministiska intuitioner som inte kunde uttryckas i vanlig bivalent logik. Vi såg att det mest väsentliga problemet för ukasiewicz
lösning är att den inte respekterar lagen om det uteslutna tredje eller motsägelselagen.
Detta utesluter att det är en rimlig karakterisering av Aristoteles egen position. Bournes
försök att rädda dessa lagar får ses som otillfredsställande. Min egen uppfattning lutar
mot att den antirealistiska tolkningen bäst beskriver en värld som inte är deterministisk.
Den realistiska uppfattningen tillåter aldrig att något annat sker än den tidlösa serie
som redan är satt i sten, om än ännu inte förverkligad. Men realismen skulle kunna göras mer acceptabel om man klargjorde vad denna tidslösa sanning hos propositioner
verkligen bestod i. Detta tror jag i förlängningen leder till att man måste ta ställning i
andra ökänt komplicerade frågor inom exempelvis tidens loso där vi framförallt måste
ta ställning till huruvida en A eller B-teori om tiden är korrekt. Religionsloson har
också bidragit med många klargöranden som kan vara relevanta för att försvara en realistisk tolkning. Om man låter den tidlösa serien vara en kunskap hos en Gud utanför
tiden som observerar den i ett evigt nu, kunde man kanske klargöra hur något kan vara
tidlöst sant utan att vi för den skull är ofria. Att Gud observerar oss utföra något i ett
40
ukasiewicz 1960: 127
23
evigt
nu
kanske inte innebär samma hot mot vår frihet som om han skulle ha kunskap
vid en tidpunkt
innan
en handling att vi kommer utföra handlingen. Kanske kunde re-
alistens tolkning på analogt sätt räddas genom att påpeka att vi inte får säga vid
t0
att
propositionen som handlar om t1 redan är sann, eftersom ordet redan är knutet till vår
temporala tillblivelse och får sin mening därigenom. Nej, det är sant på ett annat, för oss
tidsbundna varelser obegripligt sätt. Men vi vet likväl som goda realister att bivalensprincipen måste hålla universellt och vi leds därför med förnuftet att postulera en sådan
övermänsklig sanning.
Vi har också sett hur bivalensprincipen i sammanhanget med framtida kontingenter
eventuellt också innebär ett örtande med kausal determinism, vilket kan få oss att
tvivla på att det är en självevident logisk princip vi åberopat. Men kanske kan man utan
motsägelse hävda att det kan vara sant dagen innan något sker att det sker, utan att för
den skull hävda att det sker med kausal nödvändighet.
Vidare har vi sett att det nns logiska system som bevarar den deterministiska
intuitionen och system som bevarar den indeterministiska intuitionen. Kanske hade argumentet för logisk determinism en starkare övertygningskraft för en antik läsare eftersom
idéer om logik som tankelagar var mer övertygande då. Enligt min egen bedömning har
vissa moderna landvinningar inom logiken gjort det möjligt att ha en mer avslappnad
inställning till logiska lagar. En enorm förtjänst enligt mitt sätt att se på Aristoteles
argumentation är att den problematiserar vår förståelse av vissa logiska grundbegrepp
och uppmärksammar oss på att metafysik och logik ibland överlappar varandra.
Referenser
Ackrill, J.L., 1963,
Aristotele's Categories and De Interpretatione, Oxford University Press,
Oxford.
Anscombe, G.E.M., 1956, 'Aristotle and the sea battle',
24
Mind
LXV (257), sid 1-15.
Aristoteles, översättning Bydén, 2000,
De interpretatione. Om sostiska vederläggningar,
Thales, Stockholm.
Boethius, översättning Blank, D., Kretzmann, N., 1998,
Ammonius on Aristotle on Inter-
pretation 9, Boethius on Aristotle on Interpretation 9, Duckworth, London.
Bourne, C., 2004, 'Future contingents, non-contradiction, and the law of excluded middle
Analysis
muddle',
64.2, sid 122-128.
van Fraassen, B., 1966, 'Singular terms, truth-value gaps, and free logic',
Philosophy
The Journal of
LXIII (17), sid 481-495.
Hintikka, J., 1964, 'The once and future sea ght: Aristotle's discussion of future contingents in
De Interpretatione
IX',
Philosophical Review
73, sid 461-492.
Kachi, D., 2009, 'Bourne on future contingents and three-valued logic',
Philosophy
Logic and Logical
18-1, sid 31-41.
ukasiewicz, J., 1961, 'On determinism' i
Selected Works, ed. L. Borkowski, 1970, sid 110-
128. Amsterdam: North Holland.
ukasiewicz, J., 1930, 'Philosophical remarks on many-valued systems of propositional
logic' i
Selected Works, ed. L. Borkowski, 1970, sid 153-178. Amsterdam: North Holland.
ukasiewicz, J., 1920, 'On three-valued logic' i
Selected Works, ed. L. Borkowski, 1970 sid
87-88. Amsterdam: North Holland.
Prawitz, D., 2009, ' Logical determinism and the principle of bivalence' i
Probings - Essays on von Wright's Later Work,
Philosophical
ed. Frederick Stoutland, Automatic
Press 2009, sid 111-135.
Prior, A.N., 1953, 'Three-valued logic and future contingents',
Philosophical Quarterly
3,
sid 317- 326.
Rice,
H,
2010,
'Fatalism',
Stanford
http://plato.stanford.edu/entries/fatalism/
25
Encyclopedia
of
Philosophy :
