Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vridmoment (eller kraftmoment)
VRIDMOMENT (ELLER KRAFTMOMENT)
(Tillämpning av vektorprodukten)
1. Vridmoment ( kraftmoment) med avseende på en punkt
F
n
F
r
P
O
d
Om kraften F har sin startpunkt (angreppspunkt) i P
då vridmoment M ( betecknas även τ ) kring
punkten O beräknas enligt följande:
M= | r || Fn |=| r || F | sin θ ,
→
där r = OP och θ betecknar vinkeln mellan r och F
Samma resultat får vi om med
M= d | F |=| r || F | sin θ .
Alltså M =| r × F |
Om vi inför momentvektor M = r × F då har vi M= | M |=| r × F |
Uppgift 1 Låt F =(2,–1,3) vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i P=(2,3,4).
Beräkna momentvektor M = r × F och vridmoment | M | kring punkten O(1,1,1).
Lösning:
→
r = OP =(1,2,3),
j
i
Momentvektorn kring O är M = r × F = 1 2
2 −1
Kraftens vridmoment kring punkten O blir M= | M
standardenheter)
k
3 = (9,3,–5)
3
|= 115 ( Newtonmeter i
=======================================================
1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vridmoment (eller kraftmoment)
2. Vridmoment ( kraftmoment) med avseende på en linje ( vridningsaxel) .
Låt L vara en linje genom punkten O med enhetsriktningsvektor e (alltså | e | =1) .
Låt F vara en kraft med startpunkt (angreppspunkt) i punkten P.
→
Vi betecknar r = OP .
Vridmoment ( kraftmoment) ML för kraften , F med angreppspunkten i P, runt linjen L kan
beräknas med följande formel:
ML= | e ⋅ M |
där M = r × F
Alltså ML= | e ⋅ ( r × F ) |
L
F
P
e
π
r
O
rπ
Fπ
Anmärkning1. Utrycket ML= | e ⋅ ( r × F ) | är positivt om e , r , F bildar ett högersystem [ då
blir rotationen av P som orsakas av kraften F positiv ( moturs), när vi betraktar från spetsen
av e ]
Anmärkning2. Uttrycket ML= | e ⋅ ( r × F ) | ( absolutbeloppet av en trippelprodukt) kan vi
beräkna med två metoder
a)Stegvismetod: Först vektorprodukten sedan skalärprodukten och slutligen absolutbeloppet.
b) Vi kan också använda determinanten för att beräkna trippelprodukten e ⋅ ( r × F ) och
därefter absolutbeloppet.
e x e y ez
Alltså ML= | e ⋅ ( r × F ) |=| rx ry rz |
Fx Fy Fz
Anmärkning 3. Ett anat sätt att beräkna vridmoment ML är att bestämma projektioner av
2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vridmoment (eller kraftmoment)
r och F på planet π som går genom O vinkelrät mot L. Därefter blir M L =| rπ × Fπ | .
Uppgift 2. Låt L vara en linje genom punkten O(0,0,0) med enhetsriktningsvektor
1
e=
(1,1,1) Låt F = (1,-2, 5) vara en kraft med startpunkten (angreppspunkten ) i
3
P=(2,1,3) . Beräkna vridmoment ML= | e ⋅ M | runt linjen L för kraften F , med
angreppspunkten i P.
Lösning:
Metod 1. (Först vektorprodukten sedan skalärprodukten och slutligen absolutbeloppet.)
→
r = OP = (2,1,3) .
i
j k
Momentvektor M = r × F = 2 1 3 = (11 , –7, –5)
1 −2 5
1
,
( minus tecken visar att vridning sker i negativ riktning, dvs medurs, om vi
e⋅M = −
3
betraktar från spetsen av e )
1
Till slut ML= | e ⋅ M | =
( i Newtonmeter, om alla storheter är i standardenheter)
3
e x e y ez
1 1 1
1
1
−1
Metod 2. ML= | e ⋅ ( r × F ) |=| rx ry rz | = |
|=
2 1 3 |= ... =|
3
3
3
Fx Fy Fz
1 −2 5
Svar: ML=
1
3
Anmärkning 4. Om vi betraktar vridning kring z-axeln och dessutom punkten P och kraften
F ligger i xy-planet dvs P= ( x, y , 0) , F =( Fx,Fy,0) då har vi:
→
r = OP =(x,y,0), e = k = (0,0,1) och därmed
0
Vridningsmoment Mz= | e ⋅ ( r × F ) |= x
Fx
0
y
Fy
1
x
0 =|
Fx
0
y
|=| xFy − yFx |
Fy
( Notera att positiv ( moturs) vridning svarar mot xFy − yFx > 0 )
Uppgift 3.
Beräkna vridningsmoment kring z-axeln för kraften F =(2,1,0) med angrepspunkten i
P(3,5,0). Avgör om kraften orsakar positiv (moturs) eller negativ (medurs) vridning.
Lösning:
3 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vridmoment (eller kraftmoment)
Mz= | 3 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 | = |–7|=7 (Nm)
Vridningen är negativ, dvs medurs, eftersom xFy − yFx = −7 < 0
========================================================
Villkoret för både translationsjämvikt och rotationsjämvikt:
Om en kropp påverkas av flera krafter (“kraftsystem”) F1 , F2 ,...Fn då är kroppen i
jämviktsläge om både summan av krafterna och summan av deras momentvektorer (kring en
godtyckligt vald punkt) är 0 , dvs
F
( translationsjämvikt )
∑k k = 0
och ∑ M k = 0 .
( rotationsjämvikt)
k
4 av 4
