Instruktioner för laboration 2, Elektromagnetism och elektriska nät

Instruktioner för laboration 2,
Elektromagnetism och elektriska nät 1TE025
Elektriska system 1TE014
Mattias Wallin
Datum:
15 februari 2010
16 februari 2010
1
Inledning
I denna laboration ingår förberedande räkneuppgifter. Innan laborationstillfället skall hela instruktionen ha lästs och de förberedande uppgifterna ha
lösts. Dessa uppgifter kommer att förhöras innan laborationsarbetet påbörjas. I laborationsmaterialet ingår också en del förberedande läsning vilken
beskrivs nedan.
Syftet med laborationen är att visa hur resonans kan uppstå i elektriska
kretsar och hur enkla elektriska filter påverkar en signal.
Efter laborationen skall en kortfattad laborationsrapport skrivas och lämnas
in senast 14 dagar efter laborationsdatumet.
Laborationsledaren kan nås för frågor angående både förberedande uppgifter
och rapportskrivande på [email protected] eller 070/516 39 26
alternativt genom besök i rum 5104B.
I denna laboration behandlas följande områden
• Växelspänning och jω-metoden.
• Kretsar med motstånd, kondensatorer och induktanser i olika kombinationer.
• Resonans i kretsar och långa ledare.
Resten av instruktionen består av följande kapitel:
• Säkerhet
1
• Förberedande läsning
• Grundläggande samband
• Förberedande uppgifter
• Mätningar på kretsar
• Demonstration av resonans i en lång ledare
• Laborationsrapport
2
Säkerhet
Säkerhet behandlades i instruktionerna till laboration ett. Meddela läraren
om det uppstår det några frågor eller om det påträffas några brister i utrustningen.
3
Förberedande läsning
Kursboken: University physics
Titta på graf 31.11 över impedanserna för R, L och C på sidan 1069 och
jämför med tabell 31.1 på samma sida.
Läs styckena 31.3-5 inklusive problemlösningsstrategi och exempel.
Instruktionerna A wave lab in a coaxial cable
Ladda ner instruktionen med ovanstående namn från hemsidan och läs den.
Hemsidor
Läs texten på hemsidan:
http://openbookproject.net//electricCircuits/AC/AC_14.html
och notera bland annat vad som står om karakteristisk impedans.
Gå in på sidorna
www.st-andrews.ac.uk/~www_pa/Scots_Guide/experiment/highpass/hpf.html
och
2
www.st-andrews.ac.uk/~www_pa/Scots_Guide/experiment/lowpass/lpf.html
och ändra komponent- och frekvensvärden. Notera hur amplituden på utsignalen och fasförskjutningen förändras som svar på parameterförändringarna.
Titta extra noga på hur amplituden ändras i närheten av f0 .
4
Grundläggande samband
Fasförskjutning och impedans
När växelspänning appliceras på en krets som är kapacitiv eller induktiv
leder induktansers och kapacitansers egenskaper till att strömmen över kretsen inte ligger i fas med spänningen, vilket den gör i en enbart resistiv krets.
Med kapacitiv och induktiv avses summan av induktansers och kapacitansers reaktans. Dominerar kapacitanserna så är kretsen kapacitiv och omvänt.
Normalt är kraftnätet med dess laster induktivt.
Ett samlingsord för dessa egenskaper är impedans. Den består av resistansen från resistorer och reaktansen, X, från induktanser och kapacitanser.
Reaktans är frekvensberoende.
För att kunna visa att ström och spänning inte ligger i fas i en krets beskrivs
strömmar och spänningar ofta med vektorer bestående av en imaginär och en
real del. På samma sätt kan resistans och reaktans beskrivas med vektorer.
Resistans och reaktans går att räkna samman till en impedans för kretsen i
fråga. Symbolen för impedans är Z. Notera att det inom ellära är vanligt att
skriva imaginärdelen för ett tal med j för att inte förväxla den med i som
representerar ström. Uttrycket för impedans blir då
Z = R + jX
(1)
Läs gärna om det fjärde stycket i instruktionerna för den första laborationen
för att få en repetition av relevanta symboler och enheter.
Impedans är en vektor och skrivs i olika sammanhang med fetstil, Z, eller ett
streck ovanför, Z̄, för att indikera detta. Det händer också ofta att det skrivs
med vanlig kursiv stil, Z, trots att det är en vektor. R och X är skalärer.
Reaktansen för induktanser och kapacitanser är som sagts frekvensberoende.
För en induktans blir impedansen
Z L = jXL = jωL ⇔ X = ωL.
(2)
ω = 2πf.
(3)
där
ω är vinkelhastigheten, mätt i radianer per sekund, och f är frekvensen hos
växelspänningen, mätt i svängningar per sekund, Hz.
3
Ökar eller minskar en spoles reaktans med frekvensen?
Svar:
. . . . . . . . ..
För en kondensator är sambandet
Z C = jXC = −
1
j
1
=−
⇔X=−
jωC
ωC
ωC
(4)
Ökar eller minskar en kondensators reaktans med frekvensen?
Svar:
. . . . . . . . ..
För en resistor är impedansen detsamma som resistansen
Z R = R.
(5)
Z = R + jXL − jXC = R + j(XL − XC )
(6)
På komplex form
där Z har en real och en komplex del. Impedansen kan även skrivas på polär
form
p
(7)
Z = R2 + (XL − XC )2 ∠ θ
|
{z
}
|Z|
där |Z| är absolutvärdet, längden på vektorn uträknad med Pytagoras sats.
θ = tan−1 (Im{Z}/Re{Z}) är vinkeln mellan vektorn och den positiva realaxeln.
Se figur 1.
Im
Z
θ
jXL Im{Z}
R, Re{Z}
Re
jXC
Figur 1: Impedansen, Z, hos en komponent som är resistiv, kapacitiv och
induktiv.
Ekvationer som
U = RI
4
(8)
får nu R utbytt mot Z. Det blir också viktigt att hålla reda på riktningen
hos de olika storheterna så alla storheter blir vektorer, som kan skrivas på
antingen komplex eller polär form.
U = ZI
(9)
U ∠α◦ = Z ∠θ◦ · I ∠ϕ◦
(10)
eller
Aktiv och reaktiv effekt
Den skenbara effekten, S, som rör sig i ett transmissonsnät består av aktiv,
P , och reaktiv, Q, effekt enligt
(11)
S = P + jQ
där
P = |I|2 R
Q = |I|2 X.
och
(12)
Enligt ovan är reaktansen
(13)
X = XL − XC
så för att maximera den aktiva effekt som kan transporteras genom en ledning skall impedanserna för nätets induktiva och kapacitiva komponenter,
inklusive lasterna, om möjligt fås att ta ut varandra.
Decibel
Decibel, dB, används för att visa förstärkningen av en signal. Enheten var
från början bel, uppkallad efter Alexander Graham Bell1 , men enheten var
så stor att det visade sig vara lättare att använda om tiondels bel, decibel.
Är det amplituders förstärkning som mäts så jämförs ofta kvadraten på den
förstärkta signalen. Detta beror på effekten ofta är beroende av kvadraten
på amplituden av något storhet och arbetssättet då blir mer jämförbart med
förstärkning av ljudintensitet som är en effekt.
Förstärkningsfaktorn vid amplitudförstärkning blir då
LdB = 10 log10
U12
U02
= 10 log10
U1
U0
2
= 20 log10
U1
U0
(14)
vilket ger att
U1 = U0 · 10(LdB /20)
1
Bell föddes i Skottland 1847 och är telefonens uppfinnare.
5
(15)
Således kan två utsignaler som har förstärkts till exempel 50 decibel ha väldigt olika amplitud om deras respektive insignaler skiljde sig åt.
Notera att en försvagning av en signal svarar mot en negativ förstärkningsfaktor.
En annan vanlig användning av ordet decibel är för att beskriva ljudintensitet
och då är det inte kvadraten på amplituden som avses. Därmed blir ekvation
(14)
I1
.
(16)
LI = 10 log10
I0
I0 är en konstant, 10−12 W/m2 , och därför innebär, till skillnad från vid
förstärkning av en elektrisk signal, 50 decibel alltid samma ljudintensitet.
Notera att decibel är en logaritmisk skala, med basen 10, så att en fördubbling av en signal innebär en ökning med ungefär 3 decibel för ljud och 6
decibel om det är två amplituder som jämförs. Prova med att stoppa in
U1 = 2 och U0 = 1 i ekvation (14).
För ljud innebär en ökning av decibeltalet med tio en tiofaldig ökning av
ljudintensiteten.
5
Förberedande uppgifter
Komponenterna i figurerna nedan har följande värden:
Symbol
U1
U2
R1
R2
C1
C2
L1
Värde
2 V, 50 Hz−50 kHz
5 V, 50 Hz−50 kHz
100 Ω
2, 4 kΩ
0, 022 µF
0, 1 µF
2 mH
Tabell 1: Komponentvärden, spänningar och frekvenser till förberedande
uppgifter och laboration. Spänningen indikerar amplituden och inte topptill-toppvärden.
RCL-kretsen
En seriell RCL-krets är ett enkelt specialfall av en krets med en resistans, en
induktans och en kapacitans.
Under de förberedande uppgifterna skall frekvensen 15 kHz antas.
6
Räkna med hjälp av informationen i kapitel 4 ut vinkeln mellan spänningen
och strömmen i kretsen i figur 2 samt vinklarna mellan spänningarna över
de olika komponenterna. Behövs mera teori så använd kursböckerna, andra
böcker och internet. Notera vilka vinklar som är negativa och vilka som är
positiva i förhålland till referensrikningen. Använd U1 som referensriktning
och rita ut den och de andra spänningarna som vektorer i ett koordinatsystem
med realdelen på x-axel och imaginärdelen på y-axel.
Svar:
Vinkeln mellan U 1 och I är . . . . . . . . . grader.
Svar:
Vinkeln mellan U 1 och U R5 är . . . . . . . . . grader.
Svar:
Vinkeln mellan U 1 och U C1 är . . . . . . . . . grader.
Svar:
Vinkeln mellan U 1 och U L1 är . . . . . . . . . grader.
På samma sätt som en pendel eller något annat mekaniskt system kan en
elektrisk krets hamna i självsvängning, resonans, om frekvensen och komponentvärdena är de rätta. För en seriekopplad RCL-krets blir uträkningen
lätt och självsvängningsvinkelhastigheten fås ur
ωRES = √
1
.
LC
(17)
Huruvida kretsen kommer att börja oscillera vid denna frekvens eller inte
beror på dämpningen, vilken utgörs av resistorn, och amplituden på den
matande spänningen.
Vad blir resonansfrekvensen för kretsen i figur 2?
Svar:
. . . . . . . . . Hz.
Vid låga frekvenser fungerar spolen som en ledare och spänningsfallet över
denna blir mycket lågt. Kondensatorn å andra sidan fungerar som ett avbrott
i ledningen och denna hinner laddas upp och ur helt och hållet vid låga
frekvenser varför spänningsfallet blir stort över denna. Vid höga frekvenser
gör induktansen i spolen att spänningsfallet över spolen blir stort medan
kondensatorn inte hinner laddas och laddas ur så mycket att spänningsfallet
över denna blir litet.
Filter
Titta på figurerna 6 och 7.
För ett lågpassfilter är sambandet
ŪU T = Ū2
1
1 + jRωC
(18)
och för ett högpassfilter är sambandet
ŪU T = Ū2
jRωC
1 + jRωC
7
(19)
Strecken över Ūi indikerar att de är vektorer och det är viktigt att ha i åtanke
att ett filter, vid sidan om filtrering, ger en viss fasförskjutning av signalen
och att denna är beroende av frekvensen.
Avsikten med dessa filter är att filtrera bort höga eller låga frekvenser i en
signal. Det kan till exempel vara oönskade störningar som skall tas bort.
Brytpunktsvinkelhastigheten för den enklaste formen av RC filter räknas ut
enligt
1
1
ω0 = =
(20)
τ
RC
Vid denna frekvens är signalens förstärkning -3 dB.
Vad blir brytpunktsfrekvensen för filtren i figurerna 6 och 7?
Svar: . . . . . . . . . Hz.
Mycket mer avancerade filter med flera kondensatorer och även spolar förekommer.
6
Mätning på kretsar
Vid avläsningarna i denna laboration bör kurvornas x-position justeras så
att insignalens topp går genom axeln x = 0.
Amplituden på signalen från funktionsgeneratorn kan ändras då komponenter byts ut eller frekvensen ändras. Detta beror på att funktionsgeneratorn
inte är någon ideal spänningskälla utan reagerar på den krets den är kopplad
till. Vid alla mätningar gäller att amplituden på utsignalen om så erfordras
skall justeras till det korrekta värdet mellan avläsningarna.
Krets 1, RCL-kretsen
Då oscilloskopens båda kanaler har samma jord måste komponenterna flyttas om mellan mätningarna i denna uppgift men resultaten blir de samma
oavsett ordning på komponenterna så länge motståndet inte sätts mellan
spolen och kondensatorn.
Koppla kretsen i figur 2 med komponenternas värden enligt tabell 1. Resistorn skall kopplas mot jordkontakten på kopplingslådan.
Ställ sedan funktionsgeneratorn enligt följande
Signal:
Freq:
Amp:
AC sinus
15 kHz
2V
och mata kretsen med denna signal.
8
Börja med att mäta insignalens spänning och spänningen över resistorn och
rita in dessa i figur 3. Glöm inte att rita in de valda skalorna på amplitud
och tidssteg i grafen. Kurvan för signalen, U 1 , skall ritas så att dess går topp
genom x = 0 och U R1 skall ritas med rätt fasförskjutning.
C1
R1
L1
i
+U L −
+ −
+U −
1
R1
U C1
+
U1
−
Figur 2: Ett motstånd, en kondensator och en induktans kopplade i serie
med ett växelspänningskälla kan användas för att visa hur spänning över och
ström genom dessa komponenter uppförs sig jämfört med för en resistor.
Flytta därefter om komponenterna och sätt kondensatorn närmast jordkontakten. Mät U 1 och U C1 och rita in U C1 korrekt i grafen. Flytta sedan
komponenterna igen så att induktansen är närmast jordsidan och rita in U 1
och U L1 i grafen.
Hur mycket före spänningen ligger strömmen i kretsen som helhet? Hur kan
detta mätas?
Justera signalgeneratorn och se hur spänningen över induktansen och kapacitansen uppför sig mellan 20 och 30 kHz. Vid vilken frekvens blir spänningen
över spolen och kondensatorn som högst? Glöm inte att flytta om komponenterna mellan mätningarna. Använd figur 4 och rita in U 1 , U C1 och U L1
vid denna frekvens.
Vilken av kondensatorn och spolen påverkas mest vid en höjning respektive
sänkning av frekvensen? Berätta vad detta beror på.
Krets 2, lågpassfilter
Koppla in signalen från generatorn mellan jord och Ū2 och koppla oscilloskopet mellan jord och ŪU T . Ū2 skall ha amplituden 5 V och sinusform.
Frekvensen skall justeras från 50 Hz till 50 kHz. Vad händer med amplituden
på ŪU T ?
Välj ett antal frekvenser och rita in amplituden på utsignalen i figur 8. Var
extra noga runt brytpunktsfrekvensen som räknades ut i de förberedande
uppgifterna.
9
Figur 3: Underlag för mätningar på RCL-kretsen i 15 kHz.
10
Figur 4: Underlag för mätningar på RCL-kretsen i resonansfrekvens.
11
Figur 5: Extra underlag för mätningar på RCL-kretsen. Glöm inte att skriva
ner vilka inställningar användes.
12
Ū2
R2
ŪUT
C2
Figur 6: Ett motstånd och en kondensator kan också användas som ett enkelt
lågpassfilter för att filtrera bort högfrekventa signaler.
Krets 3, högpassfilter
Koppla in signalen från generatorn mellan jord och Ū2 och koppla oscilloskopet mellan jord och ŪU T . Ū2 skall ha amplituden 5 V och sinusform.
Frekvensen skall justeras från 50 Hz till 50 kHz. Vad händer med amplituden
på ŪU T ?
Välj ett antal frekvenser och rita in amplituden på utsignalen i figur 9. Var
extra noga runt brytpunktsfrekvensen som räknades ut i de inledande uppgifterna.
Ū2
C2
ŪUT
R2
Figur 7: Får motståndet och kondensatorn byta plats så filtreras lågfrekventa signaler bort. Beroende på vilka frekvenser som skall filtreras respektive
behållas kan komponentvärdena behöva ändras för att få rätt egenskaper hos
högpassfiltret.
7
Demonstration av resonans i ledare
I en kraftledning påverkar bland annat avståndet mellan ledarna och mellan
ledarna och marken den karakteristiska impedansen. För en koaxialkabel
13
Förstärkning, LdB
[dB]
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
10-1
100
101
102
103
104
105
106
107 f ,[Hz]
Figur 8: Underlag för mätning på lågpassfiltret.
har karakteristisk impedans att göra med kvoten mellan ytterradien på den
inre ledaren och innerradien på den yttre ledaren samt permittiviteten för
isolationsmaterialet dem emellan. Last i änden på ledaren påverkar också
kretsens impedans.
Impedansen påverkar högfrekventa signaler och med högfrekvent avses frekvenser där våglängden är av samma storleksordning som ledningens längd.
Detta gör att vad som måste ses högfrekvent sjunker då längden på ledningen
ökar.
Kopplas ett motstånd med samma resistans som kabelns karakteristiska impedans mellan ledarna i den fria kabeländen sker ingen reflektion i den änden.
Detta beror på att motståndet får kabeln att uppföra sig som om den vore
oändligt lång och då finns det ingen ände att reflektera mot. Ett ändligt stort
motstånd, vilket är det samma som en öppen krets gör att en reflektion sker
med samma fas och en kortslutning gör att reflektion sker med omvänd fas.
Kabeln i demonstrationen har våghastigheten 0, 66c, där c är ljusets hastighet.
14
Förstärkning, LdB
[dB]
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
10-1
100
101
102
103
104
105
106
107 f ,[Hz]
Figur 9: Underlag för mätning på högpassfiltret.
Tiden det tog för en puls att reflekteras och vända var:
Frekvensen som användes i demonstrationen var:
. . . . . . . . . s.
. . . . . . . . . Hz.
Hur lång är kabeln?
Rita av hur signalerna ser ut vid de olika kopplingarna i rutorna nedan.
Öppen kabel
Kortsluten kabel
15
Med inkopplat
50 Ω-motstånd
8
Laborationsrapport
Denna rapport får vara kortfattad och det viktiga är att visa att laborationen
har förståtts. En lista med siffror och svar duger dock inte.
Rapporten skall vara maskinskriven men får innehålla prydliga handritade
figurer.
Gå under rapportskrivandet tillbaka till de dokument och hemsidor som
nämndes i stycket Förberedande läsning om det underlättar rapportskrivandet.
Alla frågor i instruktionerna skall besvaras och alla ritade figurer skall vara
med i rapporten.
Problemlösningsguiden kan användas som en minneslista över vad som krävs
för att göra en problembeskrivning och lösning tydlig.
Extra kopior av figurerna kan skrivas ut och användas i rapporten.
Skriv på rapporten vilken dag laborationen ägde rum.
16