Vågekvationen – Schrödingerekvationen
(1-dim)
Klassiska vågor:
( x,t) som uppfyller vågekvationen:
2
x2
1 2
v2 t 2
Kvantmekanisk vågfunktion:
( x,t ) som uppfyller Schrödingerekvationen:
2
2
2m
x2
U
i
t
Om potentialen U = U(x), dvs oberoende av tiden kan vi
skriva ( x,t ) = (x) e( iE / )t
där
( x) uppfyller den tidsoberoende Schrödingerekvationen:
2
2
2m x2
U
E
Fysikaliskt acceptabla lösningar måste vara normerbara dvs
2
dx 1
Kvantiserad harmonisk oscillator
E ( 0,5) , 0,1,2....
E
0
0
Kvantiserade energinivåer i
Coulombpotentialen i H-atomen
U (r )
Ze2
4 r
0
Coulumbpotentialen i H
0
E = -1.51 eV
E = -3.40 eV
U( r ) / eV
-5
-10
E = -13.60 eV
-15
0
5
10
15
r / a0
20
25
30
Kvantmekaniska resultat i enelektronatomer.
Kap 36-3 och 36-4
Samma energier som i Bohrmodellen men ett tillstånd beskrivs av 4 kvanttal:
Huvudkvanttalet n:
n = 1, 2, 3,....
En
E0
Z2
n2
I enelektronatomer beror energin bara på n.
Bankvanttalet :
= 0, 1, 2,....., (n - 1). Beteckning s, p, d, f,.....
I en partikelmodell kan man tänka sig att elektronerna inte bara rör sig i
cirklar utan mer allmänt i elliptiska banor. -kvanttalet behövs då för att
anger formen på dessa banor.
I kvantmekaniken bestämmer bankvanttalet elektronens
( 1) .
rörelsemängdsmoment enligt: L
Magnetiska kvanttalet m:
m = -, -+1, ......., -1,
m anger storleken på projektionen av L på z-axeln: Lz
m . I en
partikelmodell kan man säga att m anger hur banplanet lutar.
Rörelsemängdsmoment är alltså kvantiserade både till storlek och riktning
Spinnkvanttal ms:
ms = -1/2 eller +1/2
I en partikelmodell ligger det nära till hands att tolka spinnet som att
elektronen är en liten magnetisk snurra som roterar kring sin egen axel åt
ena eller andra hållet samtidigt som den roterar runt atomkärnan.
Rörelsemängdsmoment
L
( 1)
m
Lz
1, m
L
L
Lz
0,
0, 1
2
2, m
0, 1, 2
L
L
6
Lz
0,
, 2
Rörelsemängdsmomentet spin, S
Storlekskvanttal s = ½
S
s(s 1)
S
S
3
2
Magnetiskt kvanttal ms = ± ½
S z ms
1
2
z
1
2
3
2
1
2
Radialfunktioner i H för n = 3
0.4
0.35
0.3
0.25
3s
R(r)
0.2
0.15
0.1
3p
3d
0.05
0
-0.05
-0.1
0
5
10
15
r / ao
20
25
30
Sannolikheten att hitta elektronen på
avståndet r från kärnan.
För 1s, 2p, 3d,... dvs.
n, = n – 1 ges det mest
sannolika avståndet rn av
rn
n2
a0
Z
precis som i Bohr-modellen!
Sannolikhetsfördelning för n = 2 i H
(Rotationssymmetri kring z-axeln)
Den fysikaliska bakgrunden till det periodiska
systemet.
• Antalet kvanttillstånd N för givna n och l
Givet n och A (orbital): N = 2⋅(2A+1) st
N =2⋅n2
Givet n (skal):
n −1
n −1
n −1
A =0
A =0
A =0
( N = ∑ 2(2A + 1) = 4 ⋅ ∑ A + 2 ∑ 1 = 4
n( n − 1)
+ 2n = 2n 2 − 2n + 2n = 2n 2 )
2
• Högst bindningsenergi för låga n och A - värden
• Pauliprincipen
I en atom kan 2 elektroner inte ha alla 4 kvanttalen (n, A, mA och ms) lika.
Optiska övergångar (spektrallinjer) i Na
(1s22s22p6) nℓ - (1s22s22p6) n’ℓ’
