1
Tisdag v.6
Analytisk geometri forts. 1
Plan i rummet:
I samband med linjära ekvationssystem diskuterade vi ekvationen för ett plan. Vi
argumenterade i analogi med den räta linjens ekvation att ekvationen för ett plan måste vara
.
Detta är planets ekvation på standardform. En mycket mer behändig form är normalformen.
Ett plan kan bestäms geometriskt av en punkt i planet och en vektor som anger riktningen som
är normal (vinkelrät) mot planet. Notera att denna vektor inte är unik; om
är en
normalvektor så är
om bara inte
. Låt
vara en allmän vektor, och
en punkt som ligger i planet. Villkoret för att
är vinkelrät mot planets normel, dvs
på normalform, som alltså lyder
ligger i planet är att
. Detta är planets ekvation
.
Ett annat sätt att beskriva ett plan är att ange tre punkter i planet,
en linje), eller ekvivalent, en av punkterna,
övriga,
och
och
(ej alla tre på
och de två vektorerna från denna till de två
. En allmän punkt i planet är då
,
där
. Detta är planet på parameterform, och talen
kallas för parametrar.
Samma sak i skalär form blir
ex. Ange planet som går genom punkterna
,
och
på
normalform,standardform samt på parameterform. Antag att inga av talen
och är noll.
Vi börjar med parameterformen: Den första punkten får bli vår "utgångspunkt", och vi
beräknar två vektorer som är parallella med planet:
.
Parameterframställningen blir då
För att få normalformen löser vi ut
ekvationen:
.
Vi delar med och flyttar om:
.
och
och sätter in detta i den första
2
Tisdag v.6
Detta är standardformen, och i detta specialfall då det finns ett samband med var planet skär
koordinataxlarna så kallar Adams denna form även för Intercept form.
Normalformen blir t.ex.
,
eftersom normalen är
.
Efter nästa föreläsning kommer vi ha ett allmänt och smidigt verktyg att få fram normalen till
ett plan – nämligen kryssprodukten.
Linjer i rummet:
Geometriskt så bestäms en linje av två punkter
dem och en riktningsvektor, t.ex.
och
(ej samma), eller ekvivalent en av
. Linjen på parameterform är
,
där är en allmän punkt på linjen. Även detta kan vi skriva på skalär form om vi vill.
I introduktionen till linjära ekvationssystem såg vi linjer som skärningar mellan plan. Två plan
skär varandra i en linje om deras normalvektorer inte är parallella. Annars så samanfaller
planen eller har tom skärning. Ekvationerna för en linje på standardform är
.
Det är lätt att se att punkterna
samt
Alltså ska
ses om en "startpunkt", och vektorn
Observera att detta är väsentligen två ekvationer, och inte tre!
ligger på denna linje.
som en riktningsvektor.
ex. Bestäm standardformen för linjen som går genom
och
.
Riktningsvektor:
. Alltså är ekvationerna
.
ex. Bestäm det kortaste avståndet från punkten
till linjen i exemplet ovan.
Låt
och vara dess ortogonala projektion på linjen ovan. Låt även
allmän punkt på linjen. Ortogonaldekompositionen av
är
vara en
.
Pythagoras sats ger att
.
Alltså gäller det att
är den närmaste punkten! Enligt formeln för ortogonalprojektion har vi
Detta ger att
.
Se Example 8, C: 10.4 i Adams för en alternativ metod. Möjligtvis är dess fördel inte värd
besväret att lära sig en ny metod, dessutom måste man först kunna kryssprodukt.
