732G71 Statistik B
Föreläsning 6
Bertil Wegmann
IDA, Linköpings universitet
November 21, 2016
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
1 / 15
Efterfrågeanalys
Metoder för att studera sambandet mellan efterfrågan på en vara och
faktorer som påverkar efterfrågan, t.ex. varans pris eller disponibel
inkomst.
Efterfrågan = Q = försäljningsvolym av aktuell vara, tjänst eller grupp
av varor/tjänster beror av
Priset, P , på varan, tjänsten, eller priserna i gruppen av varor/tjänster
(ofta relativprisindex uträknade mot KPI).
Inkomstnivån, I , i den population av konsumenter som efterfrågar
varan/tjänsten/gruppen (ofta realinkomst per capita där realinkomst är
nominell inkomst deaterad mot KPI).
Priset, P2 , på en annan vara relaterad till varan/tjänsten/gruppen (ofta
relativprisindex).
Tiden, t , som sammanfattande indikator på trendförändringar.
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
2 / 15
Elasticitetsmodeller
Efterfrågan, Q , kan modelleras enligt
EP2
Q = C · P EP · I EI · P2
· 10γ·t · δ,
där C , EP , EI , EP2 och γ är parametrar och δ är en slumpkomponent
i modellen där log (δ) är N (0, σ).
Parametrarna kallas
EP = priselasticitet
EI = inkomstelasticitet
EP2 = korselasticitet
γ modellerar trendf ör ändringar över tiden.
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
3 / 15
Logaritmlagarna
Denition: logaritmen av ett tal a är den exponent x till vilket ett
givet tal, basen b, måste upphöjas till för att anta värdet a:
a = bx
Första logaritmlagen: multiplikation
log (x · y ) = log (x ) + log (y )
Andra logaritmlagen: division
x
= log (x ) − log (y )
log
y
Tredje logaritmlagen: potenser
log (x a ) = a · log (x )
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
4 / 15
Elasticitetsmodeller
Den fullständiga modellen med alla elasticiteter och trendförändringar
över tiden används främst till mikroekonomiska jämviktsanalyser.
Vi reducerar därför modellen här till följande modeller:
Q = C · P EP · δ,
Q = C · I EI · δ,
Q = C · P EP · I EI · δ
Anpassning av modellerna med regressionsanalys kan göras med hjälp
av de logaritmerade sambanden.
Enkel linjär regressionsanalys används till de två första modellerna.
Multipel linjär regressionsanalys används till den tredje modellen.
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
5 / 15
Exempel: skattning av elasticitetsmodell
Teoretisk modell: Q = C · P EP · δ
Stickprovsmodell: Q̂ = c · P ÊP
Logaritmering ger för stickprovsmodellen att
log Q̂ = log c + ÊP log P
Detta är lika med
ŷ = b0 + b1 x
för den skattade enkla linjära regressionsmodellen med ŷ = log Q̂ som
punktskattning av det logaritmerade värdet för efterfrågan Q ,
b0 = log c som skattning av skärningen och den skattade lutningen
b1 = ÊP som skattning av priselasticiteten EP .
ÊP = b1 =
(∑ xi )(∑ yi )
n
(∑ xi )2
2
∑ xi − n
∑ xi yi −
=
∑ (log Pi ) (log Qi ) −
2
∑ (log Pi ) −
(∑ log Pi )(∑ log Qi )
n
(∑ log Pi )2
n
log c = b0 = ȳ − b1 x̄ = log¯ Q − ÊP · log¯ P
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
6 / 15
Exempel: konsumtion av margarin i Storbrittanien
År
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
Konsumtion
3.15
3.52
3.03
2.60
2.60
3.06
3.48
3.54
3.63
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
Fast pris
132.9
126.0
119.6
138.8
141.0
122.3
132.7
126.7
115.7
År
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
Konsumtion
3.83
4.11
4.33
4.08
4.08
3.76
4.10
3.98
3.78
732G71, Statistik B
Fast pris
104.2
95.5
88.1
88.9
97.3
100.0
86.7
79.8
79.9
November 21, 2016
7 / 15
Exempel forts.
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
8 / 15
Exempel forts.
Logaritmera konsumtions- och prisvärdena och plotta log Q mot log P .
Observera! Det är inte självklart att detta samband blir mer linjärt, men
man får ofta lita på att efterfrågemodellen är förnuftig.
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
9 / 15
Exempel forts.
I den teoretiska modellen
Q = C · P EP · δ =⇒ log Q = log C + EP · log P + log δ
ska vi alltså skatta EP och log C .
Vi har att n = 18 och beräknar att
∑ log Pi = 36.5921
∑ log Qi = 9.91265
2
∑ (log Pi ) = 74.5090
2
∑ (log Qi ) = 5.53490
∑ (log Pi ) · (log Qi ) = 20.0726
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
10 / 15
Tumregler: efterfrågeanalys
EP
> −1
= −1
< −1
Typ av vara
Oelastisk
Enhetselastisk
Priselastisk
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
Kommentar
Ej priskänslig
Normalt priskänslig
Priskänslig
732G71, Statistik B
November 21, 2016
11 / 15
Exempel forts., skattad regressionslinje
Regression Analysis: log Q versus log P
Analysis of Variance
Source
Regression
log P
Error
Total
DF
1
1
16
17
Adj SS
0,05111
0,05111
0,02487
0,07598
Adj MS
0,051109
0,051109
0,001554
F-Value
32,88
32,88
P-Value
0,000
0,000
Model Summary
S
0,0394258
R-sq
67,27%
R-sq(adj)
65,22%
R-sq(pred)
56,14%
Coefficients
Term
Constant
log P
Coef
1,871
-0,649
SE Coef
0,230
0,113
T-Value
8,12
-5,73
P-Value
0,000
0,000
VIF
1,00
Regression Equation
log Q = 1,871 - 0,649 log P
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
12 / 15
Hypotesprövning, elasticitetsmodeller
Test för priselasticiteten EP på signikansnivån α.
H0 : EP = B
Ha : EP 6= B, Ha : EP > B, Ha : EP < B,
t=
ÊP −B
,
sÊ
P
där sÊP utläses från Minitabutskrift.
H0 förkastas om
vid dubbelsidig mothypotes |t | > t[α/2],(n−2)
vid enkelsidig mothypotes t > t[α],(n−2) respektive t < −t[α],(n−2)
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
13 / 15
Exponentiella modeller
y = β 0 · βx1 · δ,
där β 0 och β 1 är parametrar och δ är en slumpkomponent i modellen där
log (δ) är N (0, σ).
Strategi för att skatta modellen:
Logaritmera på bägge sidor
Anpassa modellen med en enkel linjär regressionsmodell
Transformera tillbaka till originalskala
Dra slutsatser från hypotesprövning, kondensintervall, prognoser och
tillhörande intervall på vanligt sätt.
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
14 / 15
Exempel, exponentiell modell
Antag att ett företag under en tioårsperiod har köpt och sålt diverse
värdepapper. Kapitalet har därvid utvecklats enligt tabell. Uppskatta
en räntesatsekvivalent.
År
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Kapital 27.7 33.9 34.0 42.9 48.7 60.3 67.8 76.0 81.0 95.1
Bertil Wegmann (IDA, LiU)
732G71, Statistik B
November 21, 2016
15 / 15
