LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
EXEMPELTENTAMEN
INLEDANDE KURS, 4 p
Extenta nr 2
Inga hjälpmedel är tillåtna. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
1. Lös följande ekvationer:
a) x3 − 5x2 + 6x = 0
(0.2)
b) ln x · ln x = 150 .
(0.4)
c) cos 2x + 5 sin x = 3 .
(0.4)
2
2.
3
9
X
a) Beräkna och förenkla summan
2−k .
(0.3)
k=1
2 x
x e + 2x4 − 1
.
(0.3)
x→∞
x2 ex
c) Bevisa logaritmlagen a log st = a log s + a log t (s > 0, t > 0) med utgångspunkt
från lämplig potenslag.
(0.4)
b) Beräkna gränsvärdet
lim
3. a) Lös ekvationen x|x + 2| − 1 = 0 och rita kurvan y = x|x + 2| − 1.
(0.5)
b) Ange definitionsmängden för funktionen f (x) = arcsin ex .
Bestäm inversen till f och ange dess definitionsmängd.
(0.5)
4. a) Skissera kurvan 3x2 − 2y 2 + 6x + 4y = 3. Ange eventuella asymptoter. Bestäm
alla skärningspunkter mellan kurvan och den räta linjen genom punkterna (−1, 1)
och (2, 4).
(0.6)
b) Visa att vinkelsumman i en triangel är 180◦ .
(0.4)
5. a) Formulera och bevisa kordasatsen, inre fallet, dvs då två kordor skär varandra
inuti en cirkel.
(0.5)
b) I en cirkel med radien 2 finns en korda som delar cirkeln i en större och en mindre
båge. Från en punkt på den större bågen syns kordan under vinkeln 22.5◦ . Vilken
area har cirkelsegmentet som begränsas av kordan och den mindre bågen? (0.5)
6. Jultomtens släde rör sig över himlen längs kurvan (i lämpliga enheter)
x2 + y 2 = 100 ,
y>0.
y
x
Tomtens julklappskanon skjuter iväg klappar rätlinjigt i tangentens riktning ned mot
husen på marken/x-axeln (se figuren).
a) I vilken punkt på kurvan skall tomten skjuta iväg en klapp för att den skall träffa
ett hus i punkten (25, 0)?
(0.5)
b) När tomten färdas längs kurvan ser han intervallet [0, 10] på x-axeln under vinkeln
θ = f (x), där x är tomtens x-koordinat. Ange funktionen f samt dess definitionsmängd och värdemängd.
(0.5)
