Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för
ME1 och IT1
Torsdagen den 4/9 2008
SI-enheter (MKSA)
7 grundenheter
Längd: meter (m), dimensionssymbol L.
Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.
Tid: sekund (s), dimensionssymbol T.
Elektrisk ström: Ampère (A), dimensionssymbol I.
Termodynamisk (absolut) temperatur: Kelvin (K), dimensionssymbol Θ.
Substansmängd: mol, dimensionssymbol N.
Ljusintensitet: candela (cd), dimensionssymbol J.
Härledda enheter
Kraft: Newton (N)
Energi: Joule (J)
Laddning: Coulomb (C) etc.
Kan uttryckas i grundenheterna.
Fördelar med att använda SI-enheter:
1) Uttrycker man alla storheter i SI-enheter vet man att svaret blir uttryckt i en
SI-enhet.
2) Ofta har man fått fram den sökta storheten (vänsterledet) uttryckt i en kombination av andra storheter (högerledet). Man kan då lätt kontrollera om enheten hos
vänsterledet överensstämmer med den resulterande enheten för högerledet. Om så
inte är fallet har man gjort ett allvarligt fel. På tentamina m.m. brukar det bedömas
strängt om man lätt hade kunnat konstatera att svaret är orimligt.
Några exempel
1) Watt (W) enhet för effekt P. Hur uttrycker vi W i grundenheter? Vi använder
kända samband.
Effekt = energi/tidsenhet, enhet W = J/s
Energi (arbete) = kraft · väg, enhet J = Nm
Kraft = massa · acceleration, enhet N = kg·m/s2
Metod 1 med användning av dimensionssymboler(Jfr. sid. 24 i KP1).
dim(F ) = M LT −2
1
dim(E) = M L2 T −2
dim(P ) = M L2 T −3
Enhet: W = kg m2 s−3
Metod 2 med användning av enheter
W = J/s = N m/s =
(kg · m/s2 ) · m
kg · m2
=
s
s3
Anm. Metoden med dimensionssymboler har nackdelen att vi först måste uttrycka alla storheter i grundenheter. Om vi räknar i enheter kan vi starta med härledda
storheter som W, J och N och successivt byta ut dem mot grundenheter.
2) Farad (F) enhet för kapacitans C.
Kapacitans definieras som laddning dividerat med spänningen över kondensatorn
→ F = C/V
Ström = laddning / tidsenhet, enhet C = As
Effekt = spänning · strömstyrka, enhet V = W/A
Fann nyss att W = kg·m2 /s3
Metod 1: dim (P ) = M L2 T −3 enligt föregående uppgift
dim (V ) = M L2 I −1 T −3
dim (q) = IT
dim (C ) = dim(q/V ) = IT (M L2 I −1 T −3 )−1 = IT M −1 L−2 IT 3 = I 2 T 4 M −1 L−2
Metod 2:
F = C/V = As/V =
As
A2 · s
A2 · s4
=
=
W/A
kg · m2 /s3
kg · m2
3) Tesla (T) enhet för magnetisk fältstyrka B.
Viktigt samband: Lorentzkraften: F = qv × B
Magnetfältets belopp ges alltså av B = F/(qv)
Metod 1: dim (B ) = dim (F/qv) = M LT −2 (IT )−1 (LT −1 )−1 = M LT −2 I −1 T −1 L−1 T =
M T −2 I −1
Metod 2:
N = kg·m/s2
C = As (båda sambanden visade tidigare)
2
→T =
kg
kg · m/s2
kg · m · s
=
=
2
(As) · (m/s)
As · m · s
A · s2
Problem 2.1, sid. 36 i KP1
Korrigerad lydelse:
Man kan modellera sambandet mellan trycket p, volymen V och antalet gaspartiklar
N vid absoluta temperaturen T för en icke-ideal gas enligt van der Waals gaslag:
Ã
·
N
p+a
V
¸2 !
(V − N b) = N kB T,
där kB = 1.38065 × 10−23 J/K är Boltzmanns konstant. Vilken enhet har konstanterna
a och b uttryckta i SI-systemets enheter?
Lösning:
När man adderar två storheter måste båda ha samma enhet. I den första parentesen
är den första termen trycket p som är kraft per ytenhet och mäts i SI-enheten pascal
(Pa) = N/m2 . Kraft är massa gånger acceleration och därmed har vi 1 N = 1 kg·m/s2 .
Enheten för p blir därmed kg · m−1 · s−2 . Uttryckt i dimensionssymboler har vi M ·
L−1 · T −2
Den andra termen i parentesen ska alltså ha samma enhet. N är dimensionslöst. Man
kan säga att N har dimensionen 1. V mäts i m3 och har dimensionen L3 . Vi ska ha
÷
dim(p) = dim(a) · dim
vilket ger
dim(a) =
dim(p)
dim
µh i ¶ =
2
N
V
N
V
¸2 !
M · L−1 · T −2
= M · L5 · T −2
(L−3 )2
och enheten hos a blir alltså kg · m5 · s−2
Den andra parentesen innehåller (V − Nb). Eftersom N är dimensionslöst måste b ha
samma dimension som V, d.v.s. L−3 och enheten blir m−3 .
Observera att vi kan bestämma dimensionen hos a och b enbart ur vänsterledet. Vi
bör dock kontrollera att högerledet har samma dimension som vänsterledet. Det lämnas som en hemuppgift.
Anm. I facit anges att enheten för b är N m4. Om vi sätter in att 1 N = 1 kg · m ·
s−2 får vi att 1 N m4 = 1 kg · m5 · s−2 , vilket överensstämmer med svaret för a ovan.
Förutom att exponenterna har hamnat på fel rad har svaren för a och b kastats om.
Specialfallet a = 0 = b ger ideala gaslagen. En ideal gas kännetecknas av att
växelverkan mellan partiklarna kan försummas. När temperaturen hos en gas sänks
ner mot kondensationspunkten blir ideala gaslagen en allt sämre approximation och
vi får ta till van der Waals lag.
3
Överslagsberäkningar, storleksordningar
Används för att bedöma om det erhållna resultatet är rimligt.
Problem 1: Uppskatta en mans livstid i sekunder
Omvandlingsfaktorer:
Livslängd ≈ 75 år
1 år ≈ 365 dagar
1 dag = 24 h
1 h = 60 min = 60 · 60 s = 3600 s
⇒ 1 livslängd = 75·365·24·3600 s ∼ 100·1000·10·1000 s = 102 ·103 ·10·103 s = 109 s.
Beräkning med miniräknare ger 1 livslängd = 2.37 · 109 s.
Anm. För att inte få onödigt stor säkerhet är det bra om vi avrundar uppåt och
neråt ungefär lika ofta.
Vi kan får ett något noggrannare resultat om vi behåller en siffra förutom tiopotenserna. Vi får då
1 livslängd ∼ 80 · 400 · 20 · 4000 = 256 · 107 = 2.56 · 109 s men avsikten med överslagsberäkningar är att få en grov uppskattning av storleksordningen på ett enkelt sätt.
Vid längre beräkningar med miniräknare är det lätt att göra fel och då kan det vara
bra att snabbt uppskatta om det erhållna svaret är av rätt storleksordning.
Problem 2: Hur många atomer finns det i ett A4-papper ?
Se exempel sid. 32-33 i KP1.
Dimensionsanalys
Problem 4, avsnitt 8.1 i KP3
Det finns pulserande stjärnor vars ljusstyrka och radiella hastighet oscillerar med en
period t. En hypotes är att t beror på stjärnans radie r, massa m och gravitationskonstanten G. Uttryck t i dessa storheter så att dimensionerna hänger ihop.
Vi ansätter sambandet
t = ma rb Gc , där exponenterna a, b och c ska bestämmas.
Allmänt gäller (Newtons gravitationslag) att kraften mellan två partiklar med massorna m1 och m2 på avståndet r är
F =
Gm1 m2
r2
(Notera att Coulombs lag för kraften mellan två laddningar är på precis samma form).
Kraft mäts i N = kg · m/s2 . Om vi uttrycker G i de övriga storheterna får vi
F r2
G=
m1 m2
4
och enheten blir
(kg · m)m2
= m3 /(kg · s2 )
s2 kg 2
Ekvationen för t ger att kg a mb (m3 kg −1 s−2 )c ska ha enheten s. Därmed ska exponenten
för s vara ett, d.v.s. −2c = 1, och exponenterna för kg och m ska vara noll, vilket ger
a − c = 0 och b + 3c = 0. Detta ger i tur och ordning c = − 21 , a = − 12 och b = 32 .
Slutsats: Det sökta sambandet är
t = m−1/2 r3/2 G−1/2
Anm. Verkar detta rimligt fysikaliskt? Uttrycket anger att perioden t minskar om
m och/eller G ökar. Båda faktorerna innebär att kraften bakom oscillationen ökar
och då verkar det rimligt att oscillationen sker snabbare, d.v.s. att perioden minskar.
När radien r ökar verkar det också rimligt att oscillationen får större amplitud och
sker långsammare. Även om detta resonemang inte ger de exakta värdena för exponenterna kan det vara skäl att tänka efter om trenderna verkar fysikaliskt rimliga.
Problem 7, avsnitt 8.1 i KP3
Det hydrostatiska blodtrycket p kan antas bero på blodets densitet ρ, höjdskillnaden
h mellan hjärtat och en lägre mätpunkt i kroppen och gravitationen g. Ange ett rimligt uttryck för p så att dimensionerna stämmer.
Vi ansätter p = kρa hb g c , där k är en dimensionslös konstant. Tryck är kraft per
ytenhet och mäts i pascal (Pa) = N/m2 = (kg · m/s2 ) /m2 = kg · m−1 · s−2 . Vidare
mäts ρ i kg/m3 och tyngdaccelerationen g i m/s2 . Enheten hos högerledet blir därmed
(kg · m−3 )a mb (m · s−2 )c = kg a mb+c−3a s−2c
Jämförelse med enheten för p ger ekvationssystemet
a = 1, -2c = -2, b + c - 3a = -1. Detta ger a = b = c = 1, d.v.s. sambandet blir
p = kρhg
Anm. Verkar det rimligt att trycket ökar om densiteten, höjdskillnaden och/eller
gravitationsaccelerationen ökar? Kan man tänka sig ett mera allmänt uttryck där dimensionerna också stämmer men där den fysikaliska situationen beskrivs bättre?
5
