,0 : { Wiwalla för xwRx W о о о о = ∙ ∈ =

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonalt komplement
ORTOGONALT KOMPLEMENT TILL ETT UNDERRUM
Definition 7 . Ortogonalt komplement
Låt W vara ett underrum i Rn. Det ortogonala komplementet till W är mängden av de
vektorer i Rn som är ortogonala mot alla vektorer i W:

n  
W = {x ∈ R : w ⋅ x = 0,
⊥

för alla w i W }
  

Sats 1: Om W = span(v1 , v2 ,...v p ) så är en vektor x ∈ R n ortogonal mot alla vektorer i
  

W om och endast om x är ortogonal mot alla v1 , v2 ,...v p .
  

Bevis: Anta att x ∈ R n är ortogonal mot alla v1 , v2 ,...v p , dvs
 
 
 





v1 ⋅ x = 0, v2 ⋅ x = 0, ..., v p ⋅ x = 0 och w ∈ W . Då är w = c1v1 + c2 v2 + ... + c p v p och
därmed
 
 
 
 
x ⋅ w = c1 x ⋅ v1 + c2 x ⋅ v2 + ... + c p x ⋅ v p = 0 + 0 + ... + 0 = 0 .
------------------------------------------------------------------------Konsekvensen: Det ortogonala komplementet W ⊥ till underrummet
  
W = span(v1 , v2 ,...v p ) kan vi bestämma genom att lösa systemet
 
v1 ⋅ x = 0,
 
v2 ⋅ x = 0,
...
 
vp ⋅ x = 0
Anmärkning. För att minska beräkning kan vi ta bort beroende vektorer bland
  
  
  
v1 , v2 ,...v p dvs uttrycka W = span(u1 , u2 ,...uk ) där u1 , u2 ,...uk är linjär oberoende ( och
därmed en bas till W).
1  1  1 2 5

Uppgift 1. a) Bestäm W ⊥ om W=span( 2, 2, 0, 0, 0 ) .
0 0 1 2 5
b) Bestäm en bas till W ⊥
1 
1
  
  
Lösning: Det är uppenbart att en bas till W består av u1 = 2 och u2 = 0 , alltså är
0
1
Sida 1 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonalt komplement
1  1
W=span( 2 , 0 ) .
0 1
 x
  
Låt x =  y  Vi löser systemet
 z 
 
u1 ⋅ x = 0 ,
 
u2 ⋅ x = 0
dvs
 x
x + 2 y = 0
x + 2 y = 0
⇒ (en fri variabel z=t) ⇒  y  =
⇒

−
+
=
=
+
0
2
0
y
z
z
x


 z 
 − t   −1
t / 2 = t 1 / 2 .
   
 t   1 
 −1
 −1 
 −1 




Därmed är W = {t 1 / 2, t ∈ R} = span( 1 / 2 ) och därmed är ( 1 / 2 ) en bas till W ⊥ .
 1 
 1 
 1 
⊥
 −1
Svar a) W = span( 1 / 2 )
 1 
⊥
b) En bas till W
Uppgift 2.
⊥
 −1
är ( 1 / 2 ) .
 1 
a) Bestäm W ⊥
1 
 2
om W=span(   ,
 3
 
 4
10
12
 ).
14
 
16
b) Bestäm en bas till W ⊥
Lösning:
1 
10
 2
12

Vi söker vektorer x som är vinkelräta mot W:s basvektorer   och   .
 3
14
 
 
 4
16
Sida 2 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonalt komplement
x
 
  y
Vi ska bestämma alla x =
som är ortogonala mot W:s basvektorer
z
 
 w
1 
10
 2
 
  och 12 .
 3
14
 
 
 4
16
Vi löser systemet
 x + 2 y + 3z + 4w = 0
 x + 2 y + 3z + 4w = 0
⇒
⇒

10 x + 12 y + 14 z + 16 w = 0
 − 8 y − 16 z − 24 w = 0
 x + 2 y + 3z + 4w = 0
⇒

 y + 2 z + 3w = 0
Två ledande variabler: z=s och w=t,
 x   s + 2t 
1  2
 y  − 2s − 3t 
   
 =
 = s − 2 + t − 3 .
z 

1  0
s
  

   
t
 w 

0 1
1  2
1 2
− 2 − 3
− 2 − 3
Alltså är W ⊥ = {s   + t   t , s ∈ R} = span(  ,   ) .
1  0
1 0
   
  
0 1
01
1 
 − 2
Därmed bildar vektorerna  ,
1 
 
0 
1 
 − 2
Svar: a) W ⊥ = span(  ,
1 
 
0 
b) En bas till W ⊥
2
− 3
  (som är uppenbart oberoende) en bas i W ⊥ .
0
 
1
2
− 3
  ).
0
 
1
1 2
− 2 − 3
är (  ,   )
1 0
   
0 1
1 0 1 
Uppgift 3. Låt A = 1 1 2
2 1 3
Sida 3 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Ortogonalt komplement
Bestäm a) Im(A) , b) (Im(A) ) och c) Ker ( AT ) .
Lösning:
a) Med elementära radoperationer får vi
⊥
1 0 1  1 0 1 1 0 1
A = 1 1 2 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 som implicerar att den tredje kolonnen beror av
2 1 3 0 1 1 0 0 0
de första två.
1  0 
Därmed Im( A) = span( 1 , 1 )
2 1
b) Vi löser systemet
 x
x + y + 2z = 0
sys(b) 
⇒ (en fri variabel z=t) ⇒  y  =
y + z = 0
 z 
− 1
⊥

Därmed (Im(A) ) = span( − 1 ) .
 1 
− t  − 1
− t  = t − 1 .
   
 t   1 
1 1 2
c) Först A = 0 1 1  .
1 2 3
T
 
För att bestämma Ker ( AT ) löser vi systemet AT x = 0 dvs
x + y + 2z = 0
x + y + 2z = 0


⇔ ... y + z = 0
y + z = 0
0 = 0
 x + 2 y + 3z = 0


 x
Härav  y  =
 z 
(ekvivalent med ovanstående sys(b) )
− t  − 1
− t  = t − 1
   
 t   1 
− 1
⊥
och därmed Ker ( A ) = span( − 1 ) = (Im(A) ) .
 1 
T
1  0 

Svar: a) Im( A) = span( 1 , 1 )
2 1
Sida 4 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
− 1
b) (Im(A) ) = span( − 1 )
 1 
− 1
c) Ker ( AT ) = span( − 1 )
 1 
Ortogonalt komplement
⊥
( = (Im(A) ) ).
⊥
Anmärkning: Det är uppenbart att för varje matris A gäller Ker ( AT ) = (Im(A) ) .
⊥
EGENSKAPER:
a) Det ortogonala komplementet W ⊥ är ett underrum till Rn

b) Endast nollvektorn ligger i både W och W ⊥ dvs W ∩ W ⊥ = {0} .
c) dim(W) +dim( W ⊥ ) = n
d) (W ⊥ ) ⊥ = W
Uppgift 3. Bevisa ovanstående egenskaper a) – d).
Lösning
Vi bevisar a) och d)

 

a) 1. 0 ligger i W ⊥ eftersom 0 ⋅ w = 0 för alla w i W.


 
2. Om u och v ligger i W ⊥ då ligger också deras summa u + v i W ⊥
      

eftersom (u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w = 0 + 0 = 0 för varje w i W.


3. Om u ligger i W ⊥ då ligger också λu i W ⊥
 
 

eftersom (λu ) ⋅ w = λ (u ⋅ w) = 0 för varje w i W.
d)

En godtycklig vektor v i W är ortogonal mot alla vektorer i W ⊥ ( enligt definitionen av

W ⊥ ) och därför ligger vektorn v i (W ⊥ ) ⊥ .
Därmed är W ett underrum till (W ⊥ ) ⊥ , eller lika med (W ⊥ ) ⊥ .
Enligt egenskapen c) gäller följande:
dim(W) +dim( W ⊥ ) = n ⇒ dim(W) =n- dim( W ⊥ ) (*)
Om vi tillämpar c) på W ⊥ har vi
dim( W ⊥ ) +dim( (W ⊥ ) ⊥ ) = n ⇒ dim( (W ⊥ ) ⊥ ) =n- dim( W ⊥ ) (**)
(*) och (**) ger
dim(W) = dim( (W ⊥ ) ⊥ )
(***)
som tillsammans att W ett underrum till (W ⊥ ) ⊥ , eller lika med (W ⊥ ) ⊥ visar att W är
faktiskt lika med (W ⊥ ) ⊥ , vilket skulle bevisas.
Sida 5 av 5