Ideal plattkondensator

1
Elektrodynamik
I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs.
laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i
allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska och magnetiska fälten kopplar till varandra. Kopplingen sker genom
tidsderivatorna i Maxwells ekvationer 2 och 4. Vi ska börja med
att studera fallet då källorna är statiska laddningstätheter och
stationära strömtätheter. Vi har då statisk elektromagnetism. Då
kan man studera de elektriska fälten för sig och de magnetiska
för sig. Vi börjar med de elektriska. Vi börjar dessutom med det
fullständigt statiska fallet då inga laddningar finns i rörelse inte
ens stationära strömmar. Strömmar innebär ju laddningar i
rörelse. Vi kommer då bara att ha elektriska fält, inga
magnetiska. Vi förutsätter att källorna är i vakuum. Vi generaliserar till fallet med medium senare.
Elektrostatik
Maxwells ekvationer är empiriska, dvs. bygger på experimentellt funna samband. Maxwell tänkte inte ut ekvationerna utan
sammanställde de experimentellt funna sambanden på matematisk form. Maxwells två ekvationer i Elektrostatiken,
∫ D ⋅ dS = Q
S
och
∫ E ⋅ dl = 0
C
eller
∇ ⋅ D = ρ och ∇ × E = 0
är båda resultatet av Coulombs lag. Låt källaddningen Q 0 vara
placerad i origo. Då påverkas en laddning q i fältpunkten r av
kraften
Fq =
qQ0 rˆ
4πε 0 r 2
ekv 4 : 1
2
Enligt tidigare diskussioner är ju faktorn 4πε 0 i nämnaren ett
resultat av konstruktionen av enhetssystemet.
Superpositionsprincipen gäller ju för krafter, så kraften på en
laddning q från ett antal laddningar är
Fq = ∑
i
qQi rˆi
,
4πε 0 ri2
där vektorn ri är vektorn från källpunkt i till fältpunkten, där
laddning q finns.
Om laddning q dubbleras i styrka blir kraften dubbelt så stor. Vi
söker ett fält som är oberoende av laddningens storlek och bara
beror av källorna. Det är den elektriska fältstyrkan E.
Definition av den elektriska fältstyrkan:
E=
Fq
q
=∑
i
Qi rˆi
.
4πε 0 ri2
E-fältet från en källaddning Q0 i origo blir
E=
Q0 rˆ
.
4πε 0 r 2
E-fält från en godtycklig laddningsfördelning
E-fältet från en kontinuerlig laddningsfördelning kan på generellt sätt skrivas som
E=
dQrˆ
∫ 4πε
*
2
0r
generaliserade Coulombs lag.
ekv 4 : 3
3
där * betecknar källområdet, och r är vektorn från källan till fältpunkten.
∗ = τ
dQ = ρdτ
∗ = S

dQ = ρs dS
För en volymsladdningstäthet är 
För en ytladdningstäthet är
För en linjeladdningstäthet är
∗ = C

dQ = ρl dl
4
Finns det någon grundläggande fysikalisk orsak till att Efältet från en punktladdning varierar som ∝1/r2, där 2an är
ett heltal?
Egentligen inte, men det verkar vara en exakt 2a.
Experimental test of Coulomb's law: E = q/r2+δ
Fulcher (1986)
Reevaluation of the experiment above.
(1.0 ±1.2)×10-16
From: Lewis P. Fulcher, Physical Review A33, 759 (1986).
5
Definition av den elektriska flödestätheten i vakuum:
D = ε0E .
Här har vi ytterligare en nackdel med SI-enheter. I CGS systemet är i vakuum D-fältet identiskt med E-fältet. Vidare är Hfältet identiskt med B-fältet. Vi ska komma ihåg att de riktiga
fysikaliska fälten är E- och B-fälten. D- och H-fälten är hjälpfält. I SI-systemet har hjälpfälten till och med andra dimensioner
än de fysikaliska fälten. Dessa hjälpfält varierar dessutom
mellan olika framställningar beroende på hur man bokför
ledningselektronerna i metaller. Detta är oberoende av val av
enhetssystem. Vi kommer tillbaka till det senare när vi behandlar metaller.
Den första av Maxwells ekvationer blir då
∫ ε E ⋅ dS = Q .
0
S
Q är laddningen inuti ytan S. Den här ekvationen gäller för en
godtycklig laddningsfördelning och för en godtycklig sluten yta.
Vi ska bara kontrollera att den gäller för en punktladdning Q0 i
origo och för en sfärisk yta med radie r, centrerad kring origo.
VL =
∫ ε 0 E ⋅ dS = ∫ ε 0
S
=
Q0
4π
S
2π
π
0
0
∫ dφ ∫ dθ sin θ =
Q0 rˆ
⋅ dS =
4πε 0 r 2
∫
S
(
Q0 rˆ
⋅ r 2 sin θ dθ dφ rˆ
2
4π r
)
Q0
⋅ 4π = Q0 = HL
4π
Vi ser här anledningen till att man valde att ha 4π i k e vid
definitionen av SI-systemet. Man skulle annars ha fått en faktor
4π framför laddningen i Maxwells ekvation. SI-systemet kallas
också det rationaliserade MKSA-systemet, där rationaliserade
6
innebär just att man skalar om fälten så att alla faktorer om
4 π försvinner ur Maxwells ekvationer. De dyker i stället upp på
andra platser.
Den mycket användbara Gauss sats
Maxwells 1: a ekvation kallas också Gauss sats. Den är mycket
användbar när man vill finna de elektriska fälten från olika
symmetriska laddningsfördelningar.
Ideal plattkondensator
Vi studerar nu en ideal plattkondensator med laddning ±Q på
plattorna, plattarea A och avstånd d mellan plattorna. Vi
förutsätter att avståndet mellan plattorna är mycket mindre än
plattornas utsträckning. Om detta uppfylls blir ytladdningstätheten praktiskt taget konstant på varje platta. Laddningarna
hamnar på insidan av plattorna. Fälten går vinkelrätt mot
plattorna. Nära randen blir det lite avvikelser, s.k. ströfält och
laddningstätheterna avviker något från konstanta värden. Med
ideal plattkondensator menar man att man bortser från alla dessa
randeffekter. På en ensam laddad metallskiva får man en stor
avvikelse från konstant ytladdningstäthet. Den divergerar på
randen. Det är ett exempel på spetsverkan. När två laddade
plattor med motsatt laddning förs intill varandra reduceras dessa
effekter dramatiskt.
+
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7
Vi använder nu Gauss sats på en liten cylinder med botten- och
toppyta med arean S, enligt figuren. Fältlinjerna skär endast
toppytan. De är parallella med mantelytan. Inga fält går inne i
själva metallen. D-fältet är konstant mellan plattorna. Alltså får
vi:
( Szˆ ) ⋅ ( D ⋅ zˆ ) = S ρ+ = S Q
A
⇓
SD = S Q A
D=Q A
D = zˆQ A
ˆ ε0 A
E = zQ
Det är inte trivialt att beräkna ströfälten vid kanten av en plattkondensator, men det går om man behärskar komplex analys.
Med hjälp av lämplig konform avbildning får man:
5
y=0.4
y=0.6
y=0.8
4
3
y=0.2
x=-2
y=1
1
v
x=0.5
x=0.75
2
y=0
x=0
0
-1
y=-1
x=-1.5
-2
x=-0.5
x=-1
-3
y=-0.2
-4
y=-0.8
y=-0.4
y=-0.6
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
u
1
2
3
4
5
8
Fälten från en sfärisktsymmetrisk laddningsfördelning
Låt laddningsfördelningen vara ρ (r) och inför den totala laddningen, Q(r), inuti området med avstånd < r från origo, dvs.
r
Q ( r ) = ∫ 4π r 2 ρ ( r ) dr .
0
På grund av symmetrin måste fälten peka radiellt. Vi använder
Gauss sats på en sfär med radien r centrerad kring origo,
2π π
2
∫ ∫ [ D ( r ) rˆ ] ⋅ ( r sin θ dθ dφ rˆ ) = Q ( r )
φ =0 θ =0
D (r ) r
2
2π
∫
0
π
dφ ∫ sin θ dθ = Q ( r )
0
D ( r ) r 4π = Q ( r )
2
D ( r ) = Q ( r ) 4π r 2
ˆ ( r ) 4π r 2
D ( r ) = rQ
ˆ ( r ) 4πε 0 r 2
E ( r ) = rQ
Fälten från en linjeladdning med konstant
linjeladdningstäthet
Här antar vi att fältpunkten är mycket närmare linjeladdningen
än både linjeladdningens utsträckning och närheten till en
ändpunkt. Under dessa antaganden kommer fälten att peka i den
radiella riktningen R̂ . Av symmetriskäl kommer de också endast
att bero på variabeln R.
Vi använder Gauss sats på en tunn cylinder med radien R,
koaxiell med linjeladdningen. Fältlinjerna går endast genom
9
mantelytan. De är parallella med sidoytorna och således blir
flödet genom dessa noll.
L 2π
∫ ∫
z=0 φ =0
(
)
 D ( R ) Rˆ  . Rdφ dzRˆ = Q = ρl L
L
D ( R ) R ∫ dz
0
2π
∫
dφ = ρl L
0
D ( R ) R2π L = ρl L
D ( R ) = ρl 2π R
D ( R ) = R̂
R ρl 2π R
E ( R ) = Rˆ ρl 2πε 0 R