Kursprogram

27. Kursprogram
Definitioner. 1. Om M är mittpunkten på sidan BC i en ABC så kallas sträckan AM en median
(eller medianen dragen mot sidan BC).
2. I en likbent ABC där AB=AC kallas sidan BC basen.
Sats 1. I en likbent triangel
a) är vinklarna vid basen lika stora
b) sammanfaller medianen, höjden och bisektrisen dragna mot basen.
Sats 2. Om i en ABC är B=C så är AB=AC (d.v.s. ABC är en likbent triangel).
Definition. Mittpunktsnormalen till en sträcka är en rät linje som går genom sträckans
mittpunkt vinkelrät mot sträckan.
Sats 3. a) Om MA=MB, så ligger punkten M på mittpunktsnormalen till sträckan AB.
b) Om en punkt M ligger på mittpunktsnormalen till sträckan AB så är MA=MB.
Sats 4. Tre mittpunktsnormaler till sidorna av en triangel skär varandra i en punkt.
Definition. Två figurer kallas kongruenta om de kan placeras på varandra på ett sådant sätt att
de sammnfaller helt. Bl.a. två trianglar är kongruenta om de kan placeras på varandra på ett
sådant sätt att deras hörn sammnfaller. Detta skrivs ABC  A´B´C´, motsvarande horn skrivs i
samma ordning.
Sats 5. (1:a kongruensfallet: två sidor och mellanliggande vinkel)
Om AB=A´B´, AC=A´C´, A=A´ så är ABC  A´B´C´.
Sats 6. (2:a kongruensfallet: Tre sidor)
Om AB=A´B´, AC=A´C´, BC=B´C´ så är ABC  A´B´C´.
Sats 7. (3:e kongruensfallet: En sida och två vinklar vid den)
Om AB=A´B´, A=A´, B=B´ så är ABC  A´B´C´.
Sats 8. (4:e kongruensfallet för rätvinkliga trianglar: en katet och hypotenusan)
Om AB=A´B´, AC=A´C´, C=C=90 så är ABC  A´B´C´.
Definition. Två räta linjer kallas parallella om de inte skär varandra.
Parallellaxiomet. Genom en punkt utanför en rät linje kan dras en och endast en linje, som är
parallell med den första linjen.
Sats 9. Två linjer som är parallella med en tredje linje antingen är parallella med varandra eller
sammanfaller.
Sats 10. a) Två linjer som är vinkelräta mot en linje är parallella.
b) Två linjer är parallella. Om en tredje linje är vinkelrät mot den ena så
är den vinkelrät med den andra.
Definition. Benämningar på vinklar:
b och d (likaså c och a) är sidovinklar, deras summa är 180,
a och b är alternatvinklar,
c och d är likbelägna vinklar.
Sats 11. Om två linjer skärs av en tredje och ett par alternatvinklar är lika stora, så är de två
första linjerna parallella.
Sats 12. Om två parallella linjer skärs av en tredje, så är varje par alternatvinklar lika stora.
Följdsats 13. Låt två parallella linjer skäras av en tredje.
a) Om ett par likbelägna vinklar är lika stora så är de två första linjerna är parallella.
b) Om de två första linjerna är parallella så är varje par likbelägna vinklar lika stora.
Sats 14. Vinkelsumman i en triangel är 180.
Definition. En parallellogram är en fyrhörning med parvis parallella sidor. En romb är en
parallellogram med alla sidor som är lika stora.
Sats 15. a) I en parallellogram är motstående sidor och vinklar lika stora.
b) I en parallellogram skär diagonalerna varandra i mittpunkterna.
Sats 16. Om i en fyrhörning är ett par motstående sidor parallella och lika stora, så är
fyrhörningen en parallellogram.
Definition. En
geometrisk ort (kort sagt ort) är mängden av alla
punkter som
satisfierar ett givet geometriskt villkor.
En ort kan vara
ett antal punkter, linjer, sträckor, bågar, även figurer.
Att bestämma
en ort betyder att beskriva den på ett kort (konstruktivt)
sätt, visa, att
alla dessa punkter satisfierar alla givna villkor medan
ingen annan punkt gör det.
Definition. En omskriven cirkeln till en polygon är en cirkel som går genom samtliga hörn av
polygonen.
Sats 17. Det finns en och endast en omskriven cirkel till en godtycklig triangel. Dess medelpunkt
är skärningspunkten av mittpunktsnormalerna till triangelns sidor.
Sats 18. En triangels höjder eller deras förlängningar skär varandra i en punkt.
Definition. Avståndet mellan en punkt och en figur är längden på den kortaste sträckan mellan
punkten och figuren.
Definition. En tangent till en cirkel är en linje som har exakt en gemensam punkt med cirkeln.
Den gemensama punkten kallas tangeringspunkten.
Sats 19. Radien dragen till tangeringspunkten är vinkelrät mot tangenten.
Sats 20. Givet en cirkel med medelpunkten O. Låt två tangenter tangera cirkeln i punkerna A och
B samt skära varandra i punkten M. Så är MA=MB och MO är bisektrisen till vinkeln AMB.
Definition. Bisektrisen till en vinkel är en rät linje som delar vinkeln mitt itu.
Sats 21. Tre bisektriser till vinklarna i en triangel skär varandra i en punkt.
Definition. En inskriven cirkel i en polygon tangerar samtliga polygonens sidor.
Sats 22. Det finns en och endast en cirkel inskriven i en triangel. Den inskrivna cirkelns
medelpunkt är bisektrisernas skärningspunkt.
Sats 23. Medianen AD i ABC är orten för alla punkter M för vilka ABM och ACM har lika
stora areor.
Sats 24. Tre medianer i en triangel skär varandra i en punkt.
Sats 25. Om AD är medianen i ABC och M är medianernas skärningspunkt så gäller
AM:MD=2:1.
Sats 26. Låt i en triangel med sidorna a, b,c den inskrivna cirkeln ha radien r. Så är triangelns
area A=(a+b+c)r/2.
Sats 27. Den inskrivna i ABC cirkeln tangerar sidan AB i punkten K, AB=c, BC=a, CD=b. Så
är AK=(b+c–a)/2.
Definition. Sträckan AB – en korda AB. Del av cirkeln AUB – en båge AB. AOB –
medelpunktsvinkel som står på kordan AB eller på bågen AB. AMB – randvinkel som står på
kordan AB eller på bågen AB. Vinkelmått av AB =AOB. Den hela cirkeln har vinkelmåttet
360.
Sats 28. I en cirkel har bågar med lika långa kordor samma vinkelmått.
Sats 29. AOB=2AMB (en randvinkel är hälften så stor som motsvarande medelpunktsvinkel).
Sats 30. Randvinklar som står på samma båge är lika stora.
Definition. En fyrhörning kallas inskriven (eller cyklisk) om dess hörn ligger på en cirkel.
Sats 31. I en inskriven fyrhörning är summan av två motsatta vinklar =180.
Sats 32. Om i en fyrhörning är summan av två motsatta vinklar =180, så är
fyrhörningen inskriven i någon cirkel.
Sats 33. Om i en fyrhörning ABCD är ACD=ABD så är fyrhörningen
inskriven.
Sats 34. Kordor AN och BM skär varandra i en punkt P innanför cirkeln.
AM=a, BN=b. Så är APM=(a+b)/2.
Sats 35. Förlängningar av kordor AB och CD skär varandra i en punkt P (se
bilden till vänster). AD=a, BC=b. Så är APD=(a–b)/2.
Sats 36. Vinkel mellan en tangent AP och en korda AB är lika med hälften av AB (bågen som
ligger inom vinkeln).
Sats 37. a) En diameter som går vinkelrät mot en korda delar både kordan och bågarna som står
på kordan mitt itu.
b) En diameter som delar en korda mitt itu går vinkelrätt mot kordan.
Definition. Två trianglar kallas likformiga om deras motsvarande vinklar är lika och deras
motsvarande sidor är proportionella. Närmare bestämt, ABC ~ A' B' C' om A=A’,
AB
AC
BC


B=B’, C=C’ och
=k. Förhållandet k kallas i så fall för likformighets
A' B' A' C ' B' C '
koefficient, och man säger att den 1:a triangeln är likformig till den 2:a med koefficienten k.
Sats 38. (3:e likformisfallet: Två vinklar (utan bevis) Om två vinklar i en triangel är lika med
två vinklar i en annan triangel så är trianglarna likformiga mot varandra. D.v.s. om A=A´,
B=B´ så är ABC ~ A' B' C' .
Sats 39. (Topptriangelsatsen) Om MN||BC (se bilden) så är ABC  AMN.
Lemma 40. Om AM/AB=AN/AC (se bilden) så är MN||BC.
Sats 41. (1:a likformisfallet: två sidor och mellanliggande vinkel)
Om AB/A´B´=AC/A´C´, A=A´ så är ABCA´B´C´.
Sats 42. (2:a likformisfallet: Tre sidor) Om AB/A´B´=AC/A´C´=BC/B´C´ så är ABCA´B´C´.
Definition. En sträckan som binder samman två sidornas mittpunkter i en triangel kallas
medellinje.
Sats 43. Om AL är bisektrisen i ABC så
AL AC

gäller
.
BL BC
Sats 44. (9-punkterscirkel till ABC) I
ABC är dragna höjderna AK, BL, CM som
skär varandra i punkten H. A”, B”, C” är
mittpunkterna på sträckorna AH, BH
respektive CH. A´, B´, C´ är mittpunkterna på
sträckorna BC, AC respektive AB. O är
mittpunkten på A´A”.Så ligger punkterna A´,
B´, C´, A”, B”, C”, K, L, M ligger på en
cirkel. A´A”, A´A”, A´A” är diametrar hos
denna cirkel.
Definition. Homoteti (sträckning) med centrum O och skalfaktor k är en tillordning av planets punkter.
Punkten O tillordnas O, medan en godtycklig punkt Х tillordnas punkten Х’ som ligger på strålen OX och
för vilken gäller ОХ=kОХ. Beteckning: H ok .
Exempel. Låt BC||MN, |AB|=1,5|AM| (se bilden). Så är H 1A,5 (ANM)=ABC.
Egenskaper:
1. En rät linje genom O tillordnas samma linje. En rät linje som inte går
genom O tillordnas en parallell rät linje.
2. Vinklar bibehåller sin storlek. Parallella linjer tillordnas parallella linjer. En
triangel tillordnas en likformig triangel.
3. Bibehållas kvoter mellan sträckor och areor. Bl.a. lika långa sträckor
tillordnas lika långa sträckor.
4. Figurernas snitt tillordnas till snitt av tillordnade figurer.
Definition. Två figurer kallas homotetiska om en av dem tillordnas den andra figuren vid någon homoteti.
Sats 45 (om Eulers linje). I en triangel ligger höjdernas skärningspunkt H, medianernas skärningspunkt M
och mittpunktsnormalernas skärningspunkt O på en rät linje ( som kallas Eulers linje) och det gäller
MH=2MO.
Sats 46. I ABC är dragna höjderna AK, BL, CM som skär varandra i punkten H. A´, B´, C´ är
mittpunkterna på sidorna BC, AC respektive AB. Punkterna K’, L’, M’ är återspeglinar av punkten H kring
linjerna BC, AC respektive AB (bl.a. är K mittpunkten på HK’). Punkterna A”, B”, C” är återspeglinar av
punkten H kring mittpunkterna A´, B´ respektive C´ (bl.a. är A’ mittpunkten på HA”). Så gäller
a) Punkterna K’, L’, M’, A”, B”, C” ligger på den omskrivna kring ABC cirkeln.
b) Vid homotetin H H0,5 övergår den omskrivna cirkeln i triangelns 9-punktercirkel.
c) Medelpunkten av 9-punktercirkelns medelpunkt ligger på Eulers linje och är mittpunkten på sträckan
OH, där O är mittpunktsnormalernas skärningspunkt.
Axiom. AB+BCAC, likheten gäller endast då punkten B ligger på sträckan AC.
Sats 47. M är en punkt inne i ABC. Så är AM+MB<AC+CB.
Sats 48. (Mot en triangels större sida ligger en större vinkel, och omvänt) ABC är en triangel.
Så är AC>BC  A>B.
Sats 49. Om en konvex fyrhörning P ligger inom en annan konvex fyrhörning Q då är Qs
omkrets större än Ps.
Definition. Cirkelns längd är längden som är mindre än omkretsen av vilken som helst konvex
polygon som cirkeln ligger i samtidigt som längden är större än omkretsen av vilken som helst
konvex polygon som ligger in cirkeln.
Sats 50. Har man en triangle med sidolängder a och b
och en rörlig vinkel de emellan så gäller att ju större är
vinkeln desto större är den tredje sedan.
(På bilden: u<u’  c<c’ )
Sats 51. I en triangeln med sidorna a,b,c är u vinkeln
mellan a och b. Så är
1. c2<a2+b2  u är en spetsig vinkel.
2. c2=a2+b2  u är en rätt vinkel.
3. c2>a2+b2  u är en trubbig vinkel.
Sats 52. I en triangeln med sidorna a,b,c är u vinkeln mellan a och b. Så är
1. c2<a2+b2  u är en spetsig vinkel.
2. c2=a2+b2  u är en rätt vinkel.
3. c2>a2+b2  u är en trubbig vinkel.
Sats 53. Bland trianglar ABC med BC=a och höjden AH=h den största värdet på A har en
likbent triangle med AB=AC.
Definition. Torricellis punkt är punkten inom triangeln ur vilken samtliga sidor syns under lika
stora vinklar.
Sats 54. Torricellis punkt M i ABC är sådan att summan MA+MB+MC är den minsta.
Den 16 maj, Metapontum, åk1 http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/2007/vt1/